第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年吉林省長春市汽開三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列四個命題正確的是(

)A.若m⊥α，m⊥β，則α//β B.若m//α，n//α，則m//n

C.若m⊥α，m⊥n，則n//α D.若α⊥β，m⊥β，則m//α2.若復(fù)數(shù)1+mii(m∈R)的實部與虛部相等，則m=(

)A.?2 B.2 C.?1 D.13.如表是某校120名學(xué)生假期閱讀時間(單位：小時)的頻率分布表，現(xiàn)按比例分層抽樣的方法從[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)四組中抽取20名學(xué)生了解其閱讀內(nèi)容，那么從這四組中依次抽取的人數(shù)是(

)分組頻數(shù)頻率[10,15)120.10[15,20)30a[20,25)m0.60[25,30)n0.05合計1201.00A.2，5，8，5 B.2，5，12，1 C.4，6，8，2 D.3，6，10，14.在△ABC中，若滿足sinA：sinB：sinC=2：3：7，則A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形5.有4張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回地隨機取兩次，每次取1張卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)”，A2表示事件“兩次取出的卡片上的數(shù)字之和為5”，則(

)A.P(A1)=P(A2) B.A1與A2為互斥事件

C.A16.如圖，無人機在離地面高100m的A處，觀測到山頂M處的仰角為15°，山腳C處的俯角為45°，已知∠MCN=60°，則山的高度MN為(

)A.1002m

B.150m

C.1507.如圖，過圓錐PO的軸的截面是邊長為4的正三角形，過PO的中點O′作平行于底面的截面，以截面為底面挖去一個圓柱，則余下幾何體的表面積為(

)A.11π+3π

B.11π+23π8.如圖，矩形ABCD的長為3，寬為2，E是BC邊的中點，F(xiàn)是AB邊上靠近點A的三等分點，AE與DF交于點M，則∠EMF的余弦值為(

)

A.210 B.?2C.225 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.小胡同學(xué)參加射擊比賽，打了8發(fā)子彈，報靶數(shù)據(jù)如下：9，8，6，10，9，7，6，9(單位：環(huán))，則下列說法正確的是(

)A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為9 B.這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)是7：5

C.這組數(shù)據(jù)的極差是4 D.這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，A(1,0,0)，B(2,1,?2)，C(1,2,3)，則(

)A.AB?BC=?10B.|AC|=13

C.異面直線OB與AC所成角的余弦值為211.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,A=π3,b=2，則下列說法正確的是A.若c=1，則CA?AB=1B.當(dāng)t∈R時，|AC?t?AB|最小值為3

C.當(dāng)△ABC有兩個解時，a的取值范圍是[三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.單位向量a,b滿足|a+b|=13.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)面展開圖中，AB：BC：CD=1：2：3，且AD=3+314.如圖，九宮格中已填入數(shù)字1，3，5，7，9，隨機將數(shù)字2，4，6，8填入空格中，則第三行與第三列數(shù)字和相等的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別a，b，c其中a=b+2,c=2b，且sinA=2sinC．

(1)求c的值；16.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=3．

(1)證明：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求點B到平面PAD的距離．17.(本小題15分)

象棋是中華民族優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化遺產(chǎn)，為弘揚棋類運動精神，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，豐富校園文化生活，培養(yǎng)學(xué)生良好的心態(tài)和認(rèn)真謹(jǐn)慎的生活觀，某學(xué)校高一年級舉辦象棋比賽.比賽分為初賽和決策、初賽采用線上知識能力競賽，共有500名學(xué)生參加，從中隨機抽取了50名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如圖頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)直方圖，求a的值；

(2)估計這次知識能力競賽的平均數(shù)和中位數(shù)；

(3)決賽環(huán)節(jié)學(xué)校決定從知識能力競賽中抽出成績最好的兩個同學(xué)甲和乙進(jìn)行現(xiàn)場棋藝比拼，比賽采取三局兩勝制.若甲每局比賽獲勝的概率均為23，且各輪比賽結(jié)果相互獨立.求甲最終獲勝的概率．18.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且sinA?sinBsinC=c?ba+b

(1)求角A；

(2)若△ABC的面積為43，

①已知E為BC的中點，且b+c=8，求△ABC中線AE的長；

②求內(nèi)角19.(本小題17分)

在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P為AB的中點，線段AC與DP交于O點(如圖1)將△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得平面D′AC⊥平面BAC(如圖2)．

(1)求證：BC//平面POD′；

(2)求二面角A?BC?D′的大?。?/p>

(3)線段PD′上是否存在點Q，使得CQ與平面BCD′所成角的余弦值為588

參考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.C

6.B

7.D

8.A

9.ACD

10.ABD

11.BD

12.9213.214.1415.(1)因為sinA=2sinC，所以由正弦定理可得a=2c，

又c=2b，a=b+2，所以2c=c2+2，解得c=22；

(2)由(1)可得c=2216.(1)證明：因為PC⊥底面ABCD，

所以PC⊥AD，又CD⊥AD，且PC∩CD=C，

所以AD⊥平面PCD，又AD?平面PAD，

所以平面PCD⊥平面PAD；

(2)根據(jù)題意建系如圖：

則B(0,2,0)，A(2,2,0)，D(2,0,0)，P(0,0,3)，

所以BA=(2,0,0),AP=(?2,?2,3),AD=(0,?2,0)，

設(shè)平面PAD的一個法向量為n=(x,y,z)，

則AP?n=0AD?n=0，即17.(1)由頻率分布直方圖，[50,60)的頻率為0.08，[60,70)的頻率為0.12，

[80,90)的頻率為0.42，[90,100]的頻率為0.08，

所以0.08+0.12+10a+0.42+0.08=1，解得a=0.03；

(2)由頻率分布直方圖，估計這次知識能力測評的平均數(shù)為：

x?=55×0.08+65×0.12+75×0.3+85×0.42+95×0.08=78分，

因為前三組[50,60)，[60,70)，[70,80)的頻率之和為0.08+0.12+0.30=0.50，

所以估計這次知識能力測評的中位數(shù)為80分；

(3)因為甲最終獲勝，比分可能是2：0，2：1，

設(shè)甲2：0獲勝為事件A，2：1獲勝為事件B，

所以P(A)=(23)2=49，

P(B)=1318.(1)因為sinA?sinBsinC=c?ba+b，

由正弦定理得a?bc=c?ba+b，

整理可得a2=b2+c2?bc，

由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA，

可得cosA=12，

因為0<A<π，

所以A=π3；

(2)①因為S△ABC=12bcsinA=43，

所以bc=16，

且b+c=10，解得b=8，c=2或b=2，c=8，

因為AE為中線，

由于2AE19.(1)證明：在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，

AB=2AD=2CD=4，P為AB的中點，

可得△ADP為等邊三角形，四邊形DPBC為菱形，

故BC//OP，而OP?平面POD′，BC?平面POD′，

所以BC//平面POD′，

(2)由(1)得BC=2，∠ABC=π3，AB=4，

故AC⊥BC，AC⊥DP，

而平面D′AC⊥平面BAC，平面D′AC∩平面BAC=AC，D′O?平面D′AC，D′O⊥AC，

所以D′O⊥平面BAC，

所以O(shè)A，OP，OD′兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則D′(0,0,1)，C