一元一次不等式

重點(diǎn):不等式的性質(zhì)和一元一次不等式的解法。

難點(diǎn):一元一次不等式的解法和一元一次不等式解決在現(xiàn)實(shí)情景下的實(shí)際問(wèn)題。

知識(shí)點(diǎn)一:不等式的概念

1.不等式:

用"＜"(或"≤"),"＞"(或"≥")等不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子,叫做不等式.用"≠"表示不等關(guān)系的式子也是不等式.

要點(diǎn)詮釋:

(1)不等號(hào)的類型:

①"≠"讀作"不等于",它說(shuō)明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不等的,但不能明確兩個(gè)量誰(shuí)大誰(shuí)小;

②"＞"讀作"大于",它表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)大;

③"＜"讀作"小于",它表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小;

④"≥"讀作"大于或等于",它表示左邊的數(shù)不小于右邊的數(shù);

⑤"≤"讀作"小于或等于",它表示左邊的數(shù)不大于右邊的數(shù);

(2)等式與不等式的關(guān)系:等式與不等式都用來(lái)表示現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系,等式表示相等關(guān)系,不等式表示不等關(guān)系,但不論是等式還是不等式,都是同類量比較所得的關(guān)系,不是同類量不能比較。

(3)要正確用不等式表示兩個(gè)量的不等關(guān)系,就要正確理解"非負(fù)數(shù)"、"非正數(shù)"、"不大于"、"不小于"等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的含義。

2.不等式的解:

能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解。

要點(diǎn)詮釋:

由不等式的解的定義可以知道,當(dāng)對(duì)不等式中的未知數(shù)取一個(gè)數(shù),若該數(shù)使不等式成立,則這個(gè)數(shù)就是不等式的一個(gè)解,我們可以和方程的解進(jìn)行對(duì)比理解,一般地,要判斷一個(gè)數(shù)是否為不等式的解,可將此數(shù)代入不等式的左邊和右邊利用不等式的概念進(jìn)行判斷。

3.不等式的解集:

一般地,一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式。如:不等式x－4＜1的解集是x＜5.不等式的解集與不等式的解的區(qū)別:解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值.二者的關(guān)系是:解集包括解,所有的解組成了解集。

要點(diǎn)詮釋:

不等式的解集必須符合兩個(gè)條件:

(1)解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立;

(2)能夠使不等式成立的所有的數(shù)值都在解集中。

知識(shí)點(diǎn)二:不等式的基本性質(zhì)

基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變。

符號(hào)語(yǔ)言表示為:如果
,那么
。

基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。

符號(hào)語(yǔ)言表示為:如果
,并且
,那么
(或
)。

基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。

符號(hào)語(yǔ)言表示為:如果
,并且
,那么
(或
)

要點(diǎn)詮釋:

(1)不等式的基本性質(zhì)1的學(xué)習(xí)與等式的性質(zhì)的學(xué)習(xí)類似,可對(duì)比等式的性質(zhì)掌握;

(2)要理解不等式的基本性質(zhì)1中的"同一個(gè)整式"的含義不僅包括相同的數(shù),還有相同的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式;

(3)"不等號(hào)的方向不變",指的是如果原來(lái)是"＞",那么變化后仍是"＞";如果原來(lái)是"≤",那么變化后仍是"≤";"不等號(hào)的方向改變"指的是如果原來(lái)是"＞",那么變化后將成為"＜";如果原來(lái)是"≤",那么變化后將成為"≥";

(4)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí),要特別注意性質(zhì)3,在乘(除)同一個(gè)數(shù)時(shí),必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),要記住不等號(hào)的方向一定要改變。

知識(shí)點(diǎn)三:一元一次不等式的概念

只含有一個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的式子都是整式,未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不為0.這樣的不等式,叫做一元一次不等式。

要點(diǎn)詮釋:

(1)一元一次不等式的概念可以從以下幾方面理解:

①左右兩邊都是整式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式);②只含有一個(gè)未知數(shù);

③未知數(shù)的最高次數(shù)為1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以對(duì)比理解。

相同點(diǎn):二者都是只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)都是1,左右兩邊都是整式;不同點(diǎn):一元一次不等式表示不等關(guān)系(用"＞"、"＜"、"≥"、"≤"連接),一元一次方程表示相等關(guān)系(用"＝"連接)。

知識(shí)點(diǎn)四:一元一次不等式的解法

1.解不等式:

求不等式解的過(guò)程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法:

與一元一次方程的解法類似,其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì),解一元一次不等式的一般步驟為:(1)去分母;(2)去括號(hào);(3)移項(xiàng);(4)合并同類項(xiàng);(5)系數(shù)化為1.

要點(diǎn)詮釋:

(1)在解一元一次不等式時(shí),每個(gè)步驟并不一定都要用到,可根據(jù)具體問(wèn)題靈活運(yùn)用

(2)解不等式應(yīng)注意:①去分母時(shí),每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù),尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng);②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào);③去括號(hào)時(shí),若括號(hào)前面是負(fù)號(hào),括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào);④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)的方向要改變。

3.不等式的解集在數(shù)軸上表示:

在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來(lái),能形象地說(shuō)明不等式有無(wú)限多個(gè)解,它對(duì)以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助。

要點(diǎn)詮釋:

在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí),要確定邊界和方向:

(1)邊界:有等號(hào)的是實(shí)心圓圈,無(wú)等號(hào)的是空心圓圈;(2)方向:大向右,小向左

規(guī)律方法指導(dǎo)(包括對(duì)本部分主要題型、思想、方法的總結(jié))

1.不等式的基本性質(zhì)是解不等式的主要依據(jù)。(性質(zhì)2.3要倍加小心)

2.檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)值是不是已知不等式的解,只要把這個(gè)數(shù)代入不等式,然后判斷不等式是否成立,若成立,就是不等式的解;若不成立,則就不是不等式的解。

3.解一元一次不等式是一個(gè)有目的、有根據(jù)、有步驟的不等式變形,最終目的是將原不等式變?yōu)?或
的形式,其一般步驟是:(1)去分母;(2)去括號(hào);(3)移項(xiàng);(4)合并同類項(xiàng);(5)化未知數(shù)的系數(shù)為1。這五個(gè)步驟根據(jù)具體題目,適當(dāng)選用,合理安排順序。但要注意,去分母或化未知數(shù)的系數(shù)為1時(shí),在不等式兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)非零數(shù)時(shí),如果是個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變,如果是個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變。

解一元一次不等式的一般步驟及注意事項(xiàng)變形名稱具體做法注意事項(xiàng)去分母在不等式兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)（1）不含分母的項(xiàng)不能漏乘

（2）注意分?jǐn)?shù)線有括號(hào)作用,去掉分母后,如分子是多項(xiàng)式,要加括號(hào)

（3）不等式兩邊同乘以的數(shù)是個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變。去括號(hào)根據(jù)題意,由內(nèi)而外或由外而內(nèi)去括號(hào)均可（1）運(yùn)用分配律去括號(hào)時(shí),不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)

（2）如果括號(hào)前是“—”號(hào),去括號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要變號(hào)移項(xiàng)把含未知數(shù)的項(xiàng)都移到不等式的一邊（通常是左邊）,不含未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的另一邊移項(xiàng)(過(guò)橋）變號(hào)合并同類項(xiàng)把不等式兩邊的同類項(xiàng)分別合并,把不等式化為
或
的形式合并同類項(xiàng)只是將同類項(xiàng)的系數(shù)相加,字母及字母的指數(shù)不變。系數(shù)化1在不等式兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)
,若
且
,則不等式的解集為
；若
且
,則不等式的解集為
；若
且
,則不等式的解集為
；若
且
,則不等式的解集為
；（1）分子、分母不能顛倒

（2）不等號(hào)改不改變由系數(shù)
的正負(fù)性決定。

（3）計(jì)算順序:先算數(shù)值后定符號(hào)4、將一元一次不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái),是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn),要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn),二是定方向,三是定空實(shí)。

5、用一元一次不等式解答實(shí)際問(wèn)題,關(guān)鍵在于尋找問(wèn)題中的不等關(guān)系,從而列出不等式并求出不等式的解集,最后解決實(shí)際問(wèn)題。

6、常見不等式的基本語(yǔ)言的意義：

（1）
,則x是正數(shù)；（2）
,則x是負(fù)數(shù)；

（3）
,則x是非正數(shù)；（4）
,