2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷-三角函數(shù)中的正弦定理與余弦定理考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在△ABC中，若A=60°，B=45°，則C等于（）A.75°B.65°C.55°D.25°（解析：我敢打賭，這道題很多同學(xué)一看就會(huì)，但你要是寫錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！三角形的內(nèi)角和是180度，減去已知的兩個(gè)角，不就得了嘛。）2.在△ABC中，已知a=3，b=2，C=120°，那么邊c的長度是（）A.√7B.√13C.5D.√19（哎，這道題可不能想當(dāng)然，余弦定理用起來！我當(dāng)年學(xué)的時(shí)候，就差點(diǎn)被這一題繞進(jìn)去。記得公式是c2=a2+b2-2abcosC，把數(shù)字代入，算一下就知道答案啦。）3.如果在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2=c2，那么角C的大小一定是（）A.30°B.60°C.90°D.120°（這個(gè)題，我敢說，很多同學(xué)一眼就能看出是直角三角形！勾股定理的影子嘛，不過要我說，還是要嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)，證明一下才放心。）4.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=4，b=3，c=5，那么sinA的值是（）A.√2/2B.3/5C.4/5D.1/2（這道題，我當(dāng)年做的時(shí)候，差點(diǎn)就選成了sinB，真是要命！一定要看清楚題目問的是哪個(gè)角的正弦值，千萬別搞混了。）5.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊a=1，那么邊b的長度是（）A.√3B.2C.√2D.1/2（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題！正弦定理用起來，sinA/a=sinB/b，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a/b=c/sinA，那么角B的大小一定是（）A.30°B.45°C.60°D.90°（這道題，我敢說，是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！正弦定理的表述嘛，不就是這樣的嗎？不過啊，你要是選錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√2，那么邊b的長度是（）A.1B.√2C.√3D.2（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！正弦定理用起來，sinA/a=sinB/b，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2=b2+c2-2bc*cosA，那么角A的大小一定是（）A.30°B.45°C.60°D.90°（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！余弦定理的表述嘛，不就是這樣的嗎？不過啊，你要是選錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=1，那么邊c的長度是（）A.√2B.√3C.2D.√6（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！正弦定理用起來，sinA/a=sinC/c，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?0.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a=2，b=√3，c=1，那么角B的大小一定是（）A.30°B.45°C.60°D.90°（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！余弦定理用起來，cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是選錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！）二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。把答案填在題中橫線上。）11.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，邊a=2√2，那么邊b的長度是______。（哎，這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！正弦定理用起來，sinA/a=sinB/b，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?2.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a=3，b=2，c=√7，那么角C的大小一定是______度。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！余弦定理用起來，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是選錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?3.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊a=1，那么邊c的長度是______。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！正弦定理用起來，sinA/a=sinC/c，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?4.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a=2，b=√3，c=1，那么角A的大小一定是______度。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！余弦定理用起來，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是選錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√3，那么邊b的長度是______。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題中的戰(zhàn)斗機(jī)！正弦定理用起來，sinA/a=sinB/b，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。┤?、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.在△ABC中，已知角A=45°，角B=75°，邊a=√6。求邊b的長度以及角C的正弦值。（哎呀，這道題看著是不是有點(diǎn)眼熟？我當(dāng)年做的時(shí)候，就差點(diǎn)把角度搞混了。你可得仔細(xì)看題，別把A和B搞反了。首先，你得知道三角形的內(nèi)角和是多少，對(duì)吧？180度！減去已知的兩個(gè)角，不就得了嘛。角C=180°-45°-75°=60°。然后，你就可以用正弦定理了，sinA/a=sinB/b，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?7.在△ABC中，已知邊a=3，邊b=√7，邊c=2。求角B的大小以及△ABC的面積。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題！余弦定理用起來，cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！求出角B之后，你就可以用三角形的面積公式了，S=1/2*ab*sinC，或者S=1/2*ac*sinB，或者S=1/2*bc*sinA，隨便用哪個(gè)都行。把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?8.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a=2√3，b=4，C=30°。求邊c的長度以及角B的正弦值。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題！余弦定理用起來，c2=a2+b2-2ab*cosC，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！求出邊c之后，你就可以用正弦定理了，sinA/a=sinB/b，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！）19.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√2。求邊b的長度以及△ABC的周長。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題！正弦定理用起來，sinA/a=sinB/b，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！求出邊b之后，你就可以求出邊c了，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！求出邊c之后，你就可以求出周長了，周長=a+b+c，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。?0.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a=3，b=2，c=√13。求角A的大小以及△ABC的面積。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題！余弦定理用起來，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！求出角A之后，你就可以用三角形的面積公式了，S=1/2*bc*sinA，把數(shù)字代入，一算就出來了。不過啊，你要是算錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你?。┧?、證明題（本大題共2小題，共20分。）21.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2=c2。求證：角C=90°。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題！勾股定理的逆定理嘛，不就證明完了嘛。不過啊，你要是寫錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！你要是寫錯(cuò)了證明過程，我可得給你講講，別急，聽我慢慢說。首先，你要知道余弦定理是什么，對(duì)吧？c2=a2+b2-2ab*cosC。然后，你把a(bǔ)2+b2=c2代入，不就得到c2=a2+b2-2ab*cosC了嗎？接著，你把等式兩邊的c2移到等式右邊，不就得到0=-2ab*cosC了嗎？然后，你把等式兩邊的-2ab移到等式右邊，不就得到0*cosC=ab嗎？然后，你就可以得到cosC=0，因?yàn)閍和b都不可能是0。然后，你就可以得到角C=90°，因?yàn)閏os90°等于0。你看，是不是很簡(jiǎn)單？不過啊，你要是寫錯(cuò)了證明過程，可別怪我沒提醒你?。?2.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a=2b*cosC。求證：△ABC是等腰三角形。（這道題，簡(jiǎn)直就是送分題！正弦定理的變形嘛，不就證明完了嘛。不過啊，你要是寫錯(cuò)了，可別怪我沒提醒你！你要是寫錯(cuò)了證明過程，我可得給你講講，別急，聽我慢慢說。首先，你要知道正弦定理是什么，對(duì)吧？sinA/a=sinB/b=sinC/c。然后，你把a(bǔ)=2b*cosC代入，不就得到sinA/(2b*cosC)=sinB/b=sinC/c了嗎？然后，你就可以得到sinA=2sinB*cosC，因?yàn)閍=2b*cosC。然后，你就可以利用和角公式，把sinA寫成sin(B+C)，因?yàn)閟in(B+C)=sinB*cosC+cosB*sinC。然后，你就可以得到sin(B+C)=sinB*cosC+cosB*sinC，因?yàn)閟inA=sin(B+C)。然后，你就可以得到sinB*cosC+cosB*sinC=2sinB*cosC，因?yàn)閟inA=2sinB*cosC。然后，你就可以得到cosB*sinC=sinB*cosC，因?yàn)閟inB*cosC+cosB*sinC=2sinB*cosC。然后，你就可以得到cosB*sinC-sinB*cosC=0，因?yàn)閟inB*cosC+cosB*sinC=2sinB*cosC。然后，你就可以得到sin(C-B)=0，因?yàn)閏osB*sinC-sinB*cosC=sin(C-B)。然后，你就可以得到C-B=0，因?yàn)閟in0°等于0。然后，你就可以得到C=B，因?yàn)镃-B=0。然后，你就可以得到△ABC是等腰三角形，因?yàn)镃=B。你看，是不是很簡(jiǎn)單？不過啊，你要是寫錯(cuò)了證明過程，可別怪我沒提醒你?。┍敬卧嚲泶鸢溉缦乱?、選擇題答案及解析1.A解析：三角形內(nèi)角和為180度，所以C=180°-60°-45°=75°。2.B解析：根據(jù)余弦定理，c2=32+22-2*3*2*cos120°=9+4-12*(-1/2)=13，所以c=√13。3.C解析：a2+b2=c2是勾股定理的表達(dá)式，所以△ABC是直角三角形，角C=90°。4.C解析：根據(jù)余弦定理，cosA=(32+52-42)/(2*3*5)=8/15，所以sinA=√(1-cos2A)=√(1-(8/15)2)=4/5。5.A解析：根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b，所以sin30°/1=sin60°/b，b=sin60°/(sin30°)=√3。6.D解析：a/b=c/sinA是正弦定理的表達(dá)式，所以△ABC是直角三角形，直角在B處，角B=90°。7.B解析：根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b，所以sin60°/√2=sin45°/b，b=(sin45°*√2)/(sin60°)=√2。8.D解析：a2=b2+c2-2bc*cosA是余弦定理的表達(dá)式，所以△ABC是直角三角形，直角在A處，角A=90°。9.A解析：根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinC/c，所以sin60°/1=sin45°/c，c=(sin45°*1)/(sin60°)=√2/√3=√6/3≈√2。10.A解析：根據(jù)余弦定理，cosB=(22+12-√32)/(2*2*1)=0，所以角B=30°。二、填空題答案及解析11.2解析：根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b，所以sin45°/2=sin60°/b，b=(sin60°*2)/(sin45°)=√2*2/√2=2。12.120解析：根據(jù)余弦定理，cosC=(32+22-√72)/(2*3*2)=0，所以角C=120°。13.√3解析：根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinC/c，所以sin30°/1=sin60°/c，c=(sin60°*1)/(sin30°)=√3/0.5=√3*2/1=√3。14.60解析：根據(jù)余弦定理，cosA=(√32+12-22)/(2*√3*1)=0，所以角A=60°。15.2解析：根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b，所以sin60°/√3=sin45°/b，b=(sin45°*√3)/(sin60°)=√2*√3/√3=√2。三、解答題答案及解析16.b=2√3,sinC=√3/2解析：首先，角C=180°-45°-75°=60°。然后，根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b，所以sin45°/√6=sin75°/b，b=(sin75°*√6)/(sin45°)≈(0.9659*√6)/0.7071≈2√3。最后，sinC=sin60°=√3/2。17.B=45°,S=3√3/4解析：首先，根據(jù)余弦定理，cosB=(32+√72-22)/(2*3*√7)=0，所以角B=45°。然后，根據(jù)正弦定理，sinB/b=sinC/c，所以sin45°/√7=sin60°/c，c=(sin60°*√7)/(sin45°)≈(0.8660*√7)/0.7071≈√13。最后，三角形的面積S=1/2*ab*sinC=1/2*3*√7*sin60°≈3√3/4。18.c=2√3,sinB=√2/2解析：首先，根據(jù)余弦定理，c2=22+(2√3)2-2*2*2√3*cos30°=12，所以c=2√3。然后，根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b，所以sin30°/2=sinB/4，sinB=4*sin30°/2=1/2，所以角B=45°，sinB=√2/2。19.b=2,周長=6+2√3解析：首先，根據(jù)正弦定理，sinA/a=sinB/b，所以sin60°/√2=sin45°/b，b=(sin45°*√2)/(sin60°)≈(0.7071*√2)/0.8660≈2。然后，根據(jù)余弦定理，cosC=(a