第21頁(yè)（共21頁(yè)）2025年新高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）中等生專題復(fù)習(xí)《復(fù)數(shù)》一．選擇題（共8小題）1．（2025春?廣東月考）若復(fù)數(shù)z滿足z+1z+1A．12 B．33 C．1 D2．（2025?景德鎮(zhèn)模擬）已知z=(1+i)A．22+22i B．﹣i C．3．（2025春?杭州期中）復(fù)數(shù)z1＝3+i，z2=1+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2025春?安徽期中）設(shè)z=1+iA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i5．（2025春?安徽期中）已知z為復(fù)數(shù)，z+3為純虛數(shù)，z﹣2i為實(shí)數(shù)，則|z|＝（）A．13 B．5 C．2 D．36．（2025?新寧縣校級(jí)模擬）若（1+i）z＝3+i（i為虛數(shù)單位），則z-zA．﹣2 B．4 C．﹣2i D．2i7．（2025春?榆林期中）已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則z1+z2為實(shí)數(shù) B．若Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則|z1|?|z2|＝z1z2 C．若OZ1⊥OZ2，則z1z2＝0 D．若OZ1⊥OZ2，則|z1+z2|＝|z1﹣z2|8．（2025?江寧區(qū)校級(jí)一模）若復(fù)數(shù)z滿足（z+i）（1﹣2i）＝5，則|z|＝（）A．2 B．1 C．2 D．5二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?浙江月考）已知復(fù)數(shù)z=A．z的虛部為-3B．|z|2＝|z2| C．z3＝﹣1 D．z是方程x2+x+1＝0的根（多選）10．（2025春?廣東月考）已知非零復(fù)數(shù)z1，z2，其中z2為純虛數(shù)，則（）A．若|z1|＝|z2|，則z1為純虛數(shù) B．若z1z2與z1互為共軛復(fù)數(shù)，則|z2|＝1 C．若|z1|＝2，且z12為純虛數(shù)，則D．若z1z2=z（多選）11．（2025春?永安市期中）下列命題正確的是（）A．方程x2+4＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解為x＝2i B．在復(fù)平面內(nèi)|z|＝1表示的圖形是一個(gè)單位圓 C．若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，則z-zD．復(fù)數(shù)z＝（m2﹣9）+（m2﹣2m﹣3）i為實(shí)數(shù)，則m＝3或m＝﹣1（多選）12．（2025?福州模擬）設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z1≠0．下列命題中正確的是（）A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3 C．若z2=z3，則|z1z2|＝|z1D．若z1z2=|z1三．填空題（共4小題）13．（2025?天津模擬）已知（1+i）z＝1﹣i，則z＝．14．（2025春?武漢期中）已知復(fù)數(shù)ω=-12+32i，則ω+ω2+ω3+…+ω2024+ω15．（2025春?潮州校級(jí)期中）已知i為虛數(shù)單位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y(tǒng)﹣2i，則x+y＝．16．（2025春?青羊區(qū)校級(jí)月考）已知（1﹣i）z＝2i2024+i2025，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限．四．解答題（共4小題）17．（2025春?東莞市校級(jí)月考）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2+3m﹣10）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（1）在虛軸上；（2）在第二，四象限．18．（2025春?市北區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)z1＝i﹣a，z2＝1﹣i，其中a是實(shí)數(shù)．（1）若z12=-2（2）若z1①求z1②當(dāng)|z﹣2z1|＝1時(shí)，|z﹣z2|的最小值．19．（2025春?永安市期中）已知復(fù)數(shù)z＝1+mi（m∈R），且z?(3+i)為純虛數(shù)（其中（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z1=ai+i2024（3）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求向量OZ→在向量b20．（2025春?雙陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)z＝2+bi（b∈R），且（2+3i）?z+2為純虛數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)ω=z4-2

2025年新高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）中等生專題復(fù)習(xí)《復(fù)數(shù)》參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DAADACCA二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案BCBDBDBC一．選擇題（共8小題）1．（2025春?廣東月考）若復(fù)數(shù)z滿足z+1z+1A．12 B．33 C．1 D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】設(shè)z＝a+bi，a，b∈R，再根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和等量關(guān)系即可求出參數(shù)a，b，再結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可計(jì)算求解．【解答】解：z＝a+bi（a，b∈R），則a+bi+1a-bi+1=2a2bi=abi，即a2故a2+a+b則a=-12，b2＝﹣a2﹣故|z故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025?景德鎮(zhèn)模擬）已知z=(1+i)A．22+22i B．﹣i C．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的周期性即可得到結(jié)果．【解答】解：∵(1+i2∴z=(1+故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．3．（2025春?杭州期中）復(fù)數(shù)z1＝3+i，z2=1+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】先由共軛復(fù)數(shù)求出z2，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得．【解答】解：復(fù)數(shù)z1＝3+i，z2=1+i，則z2＝1所以z=復(fù)數(shù)z=z1z2=1+2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025春?安徽期中）設(shè)z=1+iA．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)z，即可求出z．【解答】解：由題意，z=1+i1-i-1=(1+則z=-1﹣i故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?安徽期中）已知z為復(fù)數(shù)，z+3為純虛數(shù)，z﹣2i為實(shí)數(shù)，則|z|＝（）A．13 B．5 C．2 D．3【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；純虛數(shù)．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求出復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，進(jìn)而求出z的模．【解答】解：由題意，設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），z+3＝a+3+bi為純虛數(shù)，則a+3＝0，b≠0，z﹣2i＝a+（b﹣2）i為實(shí)數(shù)，則b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，z＝﹣3+2i，所以|z|=9+4故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025?新寧縣校級(jí)模擬）若（1+i）z＝3+i（i為虛數(shù)單位），則z-zA．﹣2 B．4 C．﹣2i D．2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出z，再求出z，最后計(jì)算z-【解答】解：已知（1+i）z＝3+i，則z=化簡(jiǎn)得到z=可得：z-故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025春?榆林期中）已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z1，復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則z1+z2為實(shí)數(shù) B．若Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則|z1|?|z2|＝z1z2 C．若OZ1⊥OZ2，則z1z2＝0 D．若OZ1⊥OZ2，則|z1+z2|＝|z1﹣z2|【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的模．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算可解．【解答】解：設(shè)z1＝a+bi，a，b∈R，z2＝c+di，c，d∈R，Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則a＝c，b＝﹣d，∴z1+z2＝2a∈R，故A正確；Z1與Z2關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則a＝c，b＝﹣d，∴|z1|?|z2∵OZ1⊥OZ2，∴ac+bd＝0，∴z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i不一定為0，故C錯(cuò)誤；∵OZ1⊥OZ2，∴ac+bd＝0，∴|z∴|z1-故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．8．（2025?江寧區(qū)校級(jí)一模）若復(fù)數(shù)z滿足（z+i）（1﹣2i）＝5，則|z|＝（）A．2 B．1 C．2 D．5【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模．【專題】整體思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求z的代數(shù)形式，再求其模．【解答】解：由題意，z=所以|z|=1+1故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?浙江月考）已知復(fù)數(shù)z=A．z的虛部為-3B．|z|2＝|z2| C．z3＝﹣1 D．z是方程x2+x+1＝0的根【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】由復(fù)數(shù)的基本概念判斷A；利用復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的求法判斷B、C、D．【解答】解：由z=12-32i|z|2=(1(12-(12-32i故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025春?廣東月考）已知非零復(fù)數(shù)z1，z2，其中z2為純虛數(shù)，則（）A．若|z1|＝|z2|，則z1為純虛數(shù) B．若z1z2與z1互為共軛復(fù)數(shù)，則|z2|＝1 C．若|z1|＝2，且z12為純虛數(shù)，則D．若z1z2=z【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】設(shè)z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝ci（c≠0），根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)等的概念逐項(xiàng)求解求解判斷．【解答】解：設(shè)z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝ci（c≠0，c∈R），因?yàn)閨z1|＝|z2|，所以a2+b2＝c2，并不能證明a＝0，A錯(cuò)誤；由z1z2＝（a+bi）?ci＝﹣bc+aci與z1＝a+bi互為共軛復(fù)數(shù)，可得a=解得c2＝1，所以|z2|＝1，B正確；由|z1|＝2，得a2+b又z12為純虛數(shù)，則a2＝b2，解得a=±2z1z2=z故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．（多選）11．（2025春?永安市期中）下列命題正確的是（）A．方程x2+4＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解為x＝2i B．在復(fù)平面內(nèi)|z|＝1表示的圖形是一個(gè)單位圓 C．若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z，則z-zD．復(fù)數(shù)z＝（m2﹣9）+（m2﹣2m﹣3）i為實(shí)數(shù)，則m＝3或m＝﹣1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；共軛復(fù)數(shù)；純虛數(shù)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】求解實(shí)系數(shù)一元二次方程判斷A；由復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷B；舉例說(shuō)明C錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的基本概念判斷D．【解答】解：由x2+4＝0，得x＝±2i，即方程x2+4＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解為x＝±2i，故A錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)|z|＝1表示的圖形是一個(gè)單位圓，故B正確；設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則z=a﹣bi，則z-z=2bi，當(dāng)b＝若復(fù)數(shù)z＝（m2﹣9）+（m2﹣2m﹣3）i為實(shí)數(shù)，則m2﹣2m﹣3＝0，即m＝3或m＝﹣1，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，是基礎(chǔ)題．（多選）12．（2025?福州模擬）設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z1≠0．下列命題中正確的是（）A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3 C．若z2=z3，則|z1z2|＝|z1D．若z1z2=|z1【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：對(duì)于A，令z2＝1，z3＝i，滿足|z2|＝|z3|，但z2≠±z3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，z1z2＝z1z3，則z1（z2﹣z3）＝0，z1≠0，則z2＝z3，故B正確；對(duì)于C，z2則|z1z2|=|z1||z2|=|z1||z2|＝|z1z2對(duì)于D，z1＝i，z2＝﹣i，滿足z1z2=|z1|2，但故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025?天津模擬）已知（1+i）z＝1﹣i，則z＝﹣i．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】﹣i．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算計(jì)算可得．【解答】解：因?yàn)椋?+i）z＝1﹣i，所以z=故答案為：﹣i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．（2025春?武漢期中）已知復(fù)數(shù)ω=-12+32i，則ω+ω2+ω3+…+ω2024+ω【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】0．【分析】先求出ω2，ω3，發(fā)現(xiàn)具有周期性，周期為3，由周期性求解即可．【解答】解：∵復(fù)數(shù)ω=∴ω2ω3ω4=-1ω+ω2+ω3+…+ω2024+ω2025=675(ω故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（2025春?潮州校級(jí)期中）已知i為虛數(shù)單位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y(tǒng)﹣2i，則x+y＝﹣1．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】﹣1．【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法及復(fù)數(shù)相等得x＝﹣2，y＝1，即可得．【解答】解：若（x﹣i）i＝y(tǒng)﹣2i，則1+xi＝y(tǒng)﹣2i，故x＝﹣2，y＝1，可得x+y＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025春?青羊區(qū)校級(jí)月考）已知（1﹣i）z＝2i2024+i2025，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】一．【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：i2024＝（i4）506＝1，i2025＝（i4）506?i＝i，故（1﹣i）z＝2i2024+i2025＝2+i，故z=故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1故答案為：一．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?東莞市校級(jí)月考）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2+3m﹣10）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)：分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（1）在虛軸上；（2）在第二，四象限．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】（1）m＝﹣2或4；（2）（﹣5，﹣2）∪（2，4）．【分析】（1）根據(jù)已知得出實(shí)部和虛部進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)在虛軸上列方程求解；（2）點(diǎn)在二四象限列不等式求解．【解答】解：（1）復(fù)數(shù)z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2+3m﹣10）i的實(shí)部為m2﹣2m﹣8，虛部為m2+3m﹣10．由題意得m2﹣2m﹣8＝0，解得m＝﹣2或4；（2）由復(fù)數(shù)z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2+3m﹣10）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二，四象限，可得（m2﹣2m﹣8）（m2+3m﹣10）＜0，∴2＜m＜4或﹣5＜m＜﹣2．故實(shí)數(shù)m的取值范圍（﹣5，﹣2）∪（2，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．18．（2025春?市北區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)z1＝i﹣a，z2＝1﹣i，其中a是實(shí)數(shù)．（1）若z12=-2（2）若z1①求z1②當(dāng)|z﹣2z1|＝1時(shí)，|z﹣z2|的最小值．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】（1）a＝1．（2）①i；②10-1【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等的意義，建立關(guān)于a的方程，從而算出a的值．（2）①根據(jù)z1z2是純虛數(shù)，列式算出a＝﹣1且z1z2②根據(jù)|z﹣2z1|＝1，結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式推導(dǎo)出z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P（x，y）在以C（2，2）為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，而|z﹣z2|=(x-1)2+(y+1)2表示點(diǎn)P與點(diǎn)Q（1【解答】解：（1）由z1＝i﹣a，得z12=（i﹣a）2＝﹣即a2﹣1﹣2ai＝﹣2i，所以a2-1=0-2（2）設(shè)z1z2=i-a1-i=ki，k∈R且k≠0，可得i﹣a＝（所以k=-ak=1，可得k＝1，a＝﹣1，z①因?yàn)閕4n+1＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n+4＝1，n∈N，所以i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4＝0，n∈N．根據(jù)z1z2=i，可得z1z2+(z1z2＝（i+i2+i3+i4）+（i5+i6+i7+i8）+…+（i2021+i2022+i2023+i2024）+i2025＝i2025＝i；②設(shè)z＝x+yi（x、y∈R），可得|z﹣2z1|＝|（x﹣2）+（y﹣2）i|＝1，所以(x-2)2+(y-2)2=1，化簡(jiǎn)得（x﹣2可得z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P（x，y）在圓C上運(yùn)動(dòng)，圓心為C（2，2），半徑r＝1．而|z﹣z2|＝|（x﹣1）+（y+1）i|=(x-1)2+(y+1)由圓的性質(zhì)，可知|PQ|min＝|CQ|﹣r=(2-1)2+(2+1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的定義與四則運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義、兩點(diǎn)間的距離公式與圓的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．19．（2025春?永安市期中）已知復(fù)數(shù)z＝1+mi（m∈R），且z?(3+i)為純虛數(shù)（其中（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）設(shè)復(fù)數(shù)z1=ai+i2024（3）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求向量OZ→在向量b【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算；平面向量的投影向量；復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；共軛復(fù)數(shù)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】（1）﹣3；（2）(-（3）（-2【分析】（1）由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念列式求解；（2）由復(fù)數(shù)的乘方及除法運(yùn)算結(jié)合題意列不等式組求解；（3）求出OZ→【解答】解：（1）由z＝1+mi（m∈R），得z=1-∴z?∵z?(3+i)為純虛數(shù)，∴m+3=0（2）由（1）得z＝1﹣3i，∴z1∵復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，∴1-3a∴-3＜a＜1（3）由已知得OZ→=(1，∴OZ→?b∴向量OZ→在b→上的投影向量坐標(biāo)為【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算，考查投影向量的概念，是中檔題．20．（2025春?雙陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)z＝2+bi（b∈R），且（2+3i）?z+2為純虛數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)ω=z4-2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；純虛數(shù)；共軛復(fù)數(shù)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】（1）2+2i；（2）25【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)（2+3i）?z+2，根據(jù)該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可求出b的值，即可得出復(fù)數(shù)z；（2）利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)ω，利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得復(fù)數(shù)ω+【解答】解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝2+bi（b∈R），且（2+3i）?z+2＝（2+3i）?（2+bi）+2＝（6﹣3b）+（2b+6）i為純虛數(shù)，所以，6﹣3b＝0，2b+6≠0，解得b＝2，即z＝2+2i；（2）ω=z4-2則ω+45【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的投影向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】投影向量是指一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影．投影向量可以用來(lái)求兩個(gè)向量之間的夾角，也可以用來(lái)求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的分解．設(shè)a→，b→是兩個(gè)非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解題方法點(diǎn)撥】投影，是一個(gè)動(dòng)作．投影向量，是一個(gè)向量．我們把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量為|a→|e→cosθ（其中e→為與b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量與b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命題方向】（1）向量分解：將一個(gè)向量分解成與另一個(gè)向量垂直和平行的兩個(gè)部分．（2）向量夾角計(jì)算：通過(guò)求兩個(gè)向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問(wèn)題：求點(diǎn)到平面的距離．2．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a(bǔ)+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a(bǔ)＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實(shí)數(shù)．復(fù)數(shù)的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中3．純虛數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別叫做它的實(shí)部和虛部，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)．純虛數(shù)也可以理解為非零實(shí)數(shù)與虛數(shù)單位i相乘得到的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)是一一對(duì)飲的，這為形與數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化提供了一條重要思路．要完整理解復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的等價(jià)條件，復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的充要條件是a＝0，b≠0．實(shí)數(shù)集和虛數(shù)集的并集是全體復(fù)數(shù)集．虛數(shù)中包含純虛數(shù)，即由純虛數(shù)構(gòu)成的集合可以看成是虛數(shù)集的一個(gè)真子集．【命題方向】純虛數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點(diǎn)，考察學(xué)生的基本運(yùn)算能力．常見(jiàn)的命題角度有：（1）復(fù)數(shù)的概念；（2）復(fù)數(shù)的模；（3）復(fù)數(shù)相等的四則運(yùn)算；（4）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．4．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．3、復(fù)數(shù)中的解題策略：（1）證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?z=z（2）證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時(shí)，z-z=2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+z=0且5．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．【解題方法點(diǎn)撥】﹣點(diǎn)的表示：將復(fù)數(shù)a+bi作為復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b）進(jìn)行圖示．﹣幾何運(yùn)算：利用復(fù)平面上的點(diǎn)進(jìn)行幾何運(yùn)算和分析．【命題方向】﹣復(fù)平面的幾何表示：考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的點(diǎn)表示及其幾何意義．﹣復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何在復(fù)平面中使用復(fù)數(shù)解決幾何問(wèn)題．6．共軛復(fù)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)Z=a﹣bi【解題方法點(diǎn)撥】共軛復(fù)數(shù)的常見(jiàn)公式有：|Z