非慣性系中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動1舉例例：一直桿OA，長l=0.5m，可繞過端點(diǎn)O的z′軸在水平面內(nèi)作勻速轉(zhuǎn)動，如圖。轉(zhuǎn)動角速度ω=2πrad/s，在桿OA上有一質(zhì)量為m=0.1kg的套筒B。設(shè)開始運(yùn)動時(shí)，套筒在桿的中點(diǎn)處于相對靜止。忽略摩擦，求套筒運(yùn)動到端點(diǎn)A所需要的時(shí)間及此時(shí)對桿的水平壓力。用直角坐標(biāo)系描述如何？用極坐標(biāo)描述如何？用其他描述方法？坐標(biāo)變換例：在經(jīng)度為零，緯度為零的地面A處取一東北天直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，另一處B（經(jīng)度為φ，緯度為λ的地面上取一東北天直角坐標(biāo)系Bx′y′z′。在B處測得某飛行器的速度和加速度在Bx′y′z′中的分量為(vx′,vy′,vz′)

和(ax′,ay′,az′)。求飛行器的速度和加速度在Axyz中的分量。3坐標(biāo)變換速度與加速度關(guān)系：4練習(xí)5考慮以下兩次連續(xù)轉(zhuǎn)動。第一次繞z軸轉(zhuǎn)動90度第二次繞新的x

軸轉(zhuǎn)動90度求坐標(biāo)兩次轉(zhuǎn)動后的坐標(biāo)變換矩陣。xyzxyzxyzxyzzxyxyz相對運(yùn)動作坐標(biāo)系中的速度、加速度關(guān)系6坐標(biāo)系絕對運(yùn)動—動點(diǎn)對于定參考系的運(yùn)動相對運(yùn)動—

動點(diǎn)對于動參考系的運(yùn)動牽連運(yùn)動—

動參考系對于定參考系的運(yùn)動絕對運(yùn)動和相對運(yùn)動是點(diǎn)的運(yùn)動，而牽連運(yùn)動是坐標(biāo)系的運(yùn)動。動參考系和定參考系：“動”和“定”的選取可以是人為的，是相對的。慣性系與非慣性系VS定系與動系向量的絕對導(dǎo)數(shù)等于它的相對導(dǎo)數(shù)加上動系的角速度叉乘該向量。向量的絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)向量r在定系中的列陣為，在動系中的列陣為。反對稱矩陣！的計(jì)算ω1、ω2和ω3可以看作是一個(gè)向量在坐標(biāo)系OXYZ中的分量討論ω是用方向余弦矩陣A定義的，是個(gè)偽矢量；矩陣A描述了運(yùn)動坐標(biāo)系(也可以是剛體)相對于固定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動；ω反映了動坐標(biāo)系相對于固定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動的快慢；ω不依賴于動坐標(biāo)系的位置；“質(zhì)點(diǎn)的角速度”的說法是否正確？坐標(biāo)系的角速度能否是某一個(gè)角度矢量的導(dǎo)數(shù)？速度關(guān)系式11O0XYZOxyzP—P

點(diǎn)相對動系的速度是P點(diǎn)的牽連速度（給定瞬時(shí)）加速度ar

—P點(diǎn)相對動系xyz的加速度ac—科里奧利加速度，常簡稱科氏加速度牽連加速度的物理意義牽連加速度ae是動系(剛體)上與點(diǎn)P重合的點(diǎn)(牽連點(diǎn))的瞬時(shí)加速度。牽連加速度ae也可以看成是在該瞬時(shí)將P點(diǎn)固連在動系上，跟隨動系一起運(yùn)動時(shí)所具有的加速度，即受動系的拖帶或牽連而產(chǎn)生的加速度。牽連加速度的物理意義？例題例：一直桿OA，長l=0.5m，可繞過端點(diǎn)O的z′軸在水平面內(nèi)作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動角速度ω=2πrad/s，在桿OA上有一質(zhì)量為m=0.1kg的套筒B。設(shè)開始運(yùn)動時(shí)，套筒在桿的中點(diǎn)處于相對靜止。忽略摩擦，求套筒運(yùn)動到端點(diǎn)A所需要的時(shí)間及此時(shí)對桿的水平壓力，A的速度。直接受力分析，列牛頓第二定律，如何？作業(yè)周一（調(diào)至周六）：16、17、192025年7月25日質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程

質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)向量式（牛頓第二運(yùn)動定律）自然坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程柱坐標(biāo)系動力學(xué)重點(diǎn)講授如何建立物體運(yùn)動微分方程。如何求解運(yùn)動微分方程、解的特性等是微分方程課程研究的內(nèi)容。不能解析求解的，需要數(shù)值求解，是數(shù)值方法課程研究的內(nèi)容。不需要求解方程情況下確定穩(wěn)定性，是運(yùn)動穩(wěn)定性研究的內(nèi)容。例1空氣中落體的運(yùn)動已知：v0=0，空氣阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)μ。求：落體運(yùn)動規(guī)律。(5)動力特性分析(4)數(shù)學(xué)求解 已知力求運(yùn)動時(shí)，需要運(yùn)動初始條件解：自由質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動問題(1)分析運(yùn)動，建立坐標(biāo)系(2)分析受力，畫任一位置的受力圖(3)建立運(yùn)動微分方程：例1數(shù)學(xué)求解運(yùn)動初始條件例1動力學(xué)特性分析存在極限速度，即，不管初始條件如何，空氣中落體的速度最終趨近于以v=C的速度運(yùn)動。高空中下落的降落傘，很快達(dá)到其極限速度(約為5m/s)，落地時(shí)的沖擊只相當(dāng)于由1.25m高度跳下時(shí)的落地速度。落體以極限速度運(yùn)動時(shí)，重力與空氣阻力平衡，據(jù)此也能求出極限速度的表達(dá)式：運(yùn)動微分方程求解方法

分離變量法質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程當(dāng)F=F(t)或F=C時(shí)（質(zhì)點(diǎn)動量定理）初始條件當(dāng)

時(shí)當(dāng)F=F(x)時(shí)（質(zhì)點(diǎn)動能定理）2025年7月25日質(zhì)點(diǎn)在非慣性參考系中的運(yùn)動

質(zhì)點(diǎn)在非慣性參考系中的運(yùn)動問題的提出：如何描述質(zhì)點(diǎn)相對于非慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動？解決辦法

復(fù)合運(yùn)動分析

質(zhì)點(diǎn)相對非慣性系的運(yùn)動與相對慣性系的運(yùn)動間的關(guān)系 在慣性系中應(yīng)用牛頓定律

質(zhì)點(diǎn)在非慣性系中的運(yùn)動(ar)與受力之間的關(guān)系

—

相對運(yùn)動微分方程。如洲際導(dǎo)彈相對于地球的運(yùn)動；在研究質(zhì)點(diǎn)相對非慣性系的運(yùn)動時(shí)，在形式上仍可使用牛頓第二定律，條件是在真實(shí)力之外再加上牽連慣性力和科氏慣性力。取慣性坐標(biāo)系為定系，非慣性坐標(biāo)系為動系，質(zhì)點(diǎn)M

為動點(diǎn)。引入（牽連慣性力）（科氏慣性力）質(zhì)點(diǎn)的相對運(yùn)動微分方程式得：牛頓第二運(yùn)動定律相對慣性系適用慣性力如果要在非慣性坐標(biāo)系中應(yīng)用牛頓第二定律，就必須引入慣性力(牽連慣性力和科氏慣性力)。慣性力的特點(diǎn)：既無施力體，也無相應(yīng)的反作用力。牛頓第三定律不成立。慣性力隨坐標(biāo)系的不同而不同。當(dāng)觀察者處于非慣性系中時(shí)就能感受到慣性力的存在，并可測量。慣性力具有與真實(shí)力一樣的動力學(xué)和靜力學(xué)效應(yīng)，在質(zhì)點(diǎn)的相對運(yùn)動中可以與實(shí)際力一樣對待。實(shí)例分析慢速轉(zhuǎn)動的大圓盤使盤上快速運(yùn)動的皮帶變形解：研究人相對電梯的運(yùn)動，加牽連慣性力：例2已知電梯加速度為a，求磅秤的指示(體重)。因而磅秤指示增加，人體超重人工制造失重現(xiàn)象的方法： 落塔飛機(jī)的拋物線飛行在水池中利用水的浮力減少體重，能模擬宇航員的失重環(huán)境嗎？如何測量電梯的加速度？例3已知水平圓盤繞O軸轉(zhuǎn)動，角速度ω為常數(shù)。求小球相對圓盤的運(yùn)動和光滑槽對小球的橫向作用力。SeSCN解：動坐標(biāo)系Oxyz固結(jié)于圓盤上，研究小球的相對運(yùn)動。加慣性力：相對運(yùn)動微分方程：初始條件：θωxOm例4導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)帶動單擺的支點(diǎn)O按已知規(guī)律x=x0sinωt作水平運(yùn)動。試導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)m的相對運(yùn)動微分方程。解：在O點(diǎn)處建立平動坐標(biāo)系，添加牽連慣性力在

方向上列寫運(yùn)動微分方程mgSeT2025年7月25日相對地球的運(yùn)動相對地球的運(yùn)動若：地球自轉(zhuǎn)的影響對一般工程問題影響很小對長時(shí)間問題或精度要求較高的問題需考慮其影響地球自轉(zhuǎn)的影響牽連慣性力的影響科氏慣性力的影響炮彈偏右(北半球)鐵軌一側(cè)磨損右岸沖刷落體偏東傅科擺臺風(fēng)慣性導(dǎo)航引起：地垂線與地心線的偏離重力加速度隨緯度變化質(zhì)點(diǎn)相對地球靜止重力地垂線與地心線的偏離重力加速度當(dāng)φ

=

0時(shí)，F(xiàn)=mg0+mω2Rφ

=0°時(shí)，g=9.78m/s2；φ

=90°

時(shí)，g=9.83m/s2(+0.51%)英國、阿根廷Forkland戰(zhàn)爭中英軍炮彈偏左。后調(diào)整。落體偏東落體偏東yxz在北京，小球從100m的高度下落，東偏1.68cm。迭代求解一次近似解零次近似解二次近似解傅科擺的原理及相對軌跡圖傅科(J.B.L.Foucault)，法國巴黎萬神殿(1851年)28kg傅科擺的原理及相對軌跡圖傅科(J.B.L.Foucault)，法國巴黎萬神殿(1851年)偏離平衡位置從靜止出發(fā)28kg傅科擺的原理及相對軌跡圖重力：假設(shè)：T≈mg科氏慣性力：在xy平面內(nèi)的近似方程：極坐標(biāo)表達(dá)式：直角表達(dá)式：28kg例5如圖所示，人造地球衛(wèi)星A繞地球E在半徑為1的圓軌道上運(yùn)行。在同一軌道平面內(nèi)，衛(wèi)星B做小偏心率運(yùn)動。推導(dǎo)衛(wèi)星B在衛(wèi)星A軌道坐標(biāo)系（坐標(biāo)平面xAy在軌道平面內(nèi)，x軸指向衛(wèi)星A矢徑方向，y軸指向衛(wèi)星A的前進(jìn)方向）中的相對運(yùn)動微分方程；當(dāng)||r||<<1時(shí)，求線性化的相對運(yùn)動微分方程；設(shè)衛(wèi)星B在衛(wèi)星A軌道坐標(biāo)系中的初始位置為

(x0,y0)，初始速度為

。當(dāng)||r||<<1時(shí)，求t時(shí)刻，衛(wèi)星B在衛(wèi)星A軌道坐標(biāo)系中的科氏加速度；滿足什么條件時(shí)，衛(wèi)星A和B的軌道周期相同？Clohessy

andWiltshire,Terminalguidancesystemforsatelliterendezvous,JournaloftheAerospaceSciences,1960解在衛(wèi)星A的軌道坐標(biāo)系為中，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y,0)。則點(diǎn)B處的牽連加速度、科氏加速度、相對加速度分別為：代入牛頓第二定律寫成分量形式線性化后周期相同就不發(fā)散，條件為：右岸沖刷臺風(fēng)如果地球不自轉(zhuǎn)