PAGE1第04講坐標(biāo)法和極化恒等式在平面向量中的應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點(diǎn)01平面直角坐標(biāo)系建系的常見技巧1、前言坐標(biāo)運(yùn)算能將問題從復(fù)雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達(dá)成解題的目標(biāo)。對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法來統(tǒng)一表示向量，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題，簡單求解的目的。2、技巧①涉及到含有垂直的圖形，如長方形、正方形、直角三角形、等邊三角形、直角梯形、菱形的對角線等等；②雖然沒有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。知識點(diǎn)02極化恒等式設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個向量，則有證明：，①，②將兩式相減可得，這個等式在數(shù)學(xué)上我們稱為極化恒等式．①幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，，則，由，得．即“從平行四邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)的兩個邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的”．②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對角線的交點(diǎn)，則由變形為，得，該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．注：具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．【考點(diǎn)一：坐標(biāo)法求式子的最值與范圍】一、單選題1．（24-25高一下·江蘇連云港·期中）邊長為2的正方形上有一動點(diǎn)，則向量的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．42．（20-21高一下·遼寧·階段練習(xí)）已知正三角形ABC的邊長為4，D是BC邊上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，分別以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點(diǎn)在弧AC上，且，則（

）

A． B． C． D．4．（23-24高一下·甘肅白銀·期末）在中，，，，若，則等于（

）A．7 B．8 C．12 D．135．（2024·全國·模擬預(yù)測）在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中點(diǎn)，N在BC上，且，則（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·江西宜春·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是正六邊形的中心，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．（24-25高一下·陜西西安·階段練習(xí)）平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，則的最大值是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一下·江蘇鹽城·期中）如圖，“六芒星”是由兩個邊長為正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對邊分別平行，點(diǎn)，是“六芒星”（如圖）的兩個頂點(diǎn)，動點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（23-24高一下·山東煙臺·階段練習(xí)）在中，，當(dāng)時，的最小值為4．若，，其中，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．【考點(diǎn)二：極化恒等式解決數(shù)量積的最值與范圍問題】一、單選題1．（24-25高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，為的中點(diǎn)，且，則（

）A．3 B．5 C．6 D．122．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（23-24高一下·山東日照·期末）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形；在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·湖南衡陽·期末）是邊長為2的正三角形，為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．-2一、單選題1．（23-24高一下·浙江·期中）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·吉林長春·期中）如圖，邊長為的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，P是弧BC（包括端點(diǎn)）上一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）在邊長為2的菱形中，，點(diǎn)是內(nèi)一動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·北京·三模）已知點(diǎn)在邊長為2的正八邊形的邊上，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（24-25高一下·重慶萬州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若點(diǎn)P在線段BC上，則的最小值是（

）A． B．4 C．8 D．6．（24-25高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是菱形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若菱形的邊長為定值，且的最小值為，則該菱形的邊長為（

）A． B． C．2 D．37．（23-24高一上·北京順義·期中）如圖，在中，，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）點(diǎn)是邊長為1的正六邊形邊上的動點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．9．（24-25高一上·河南·階段練習(xí)）銅錢，古代銅質(zhì)輔幣，指秦漢以后的各類方孔圓錢，其形狀如圖所示．若圖中正方形的邊長為2，圓的半徑為3，正方形的中心與圓的圓心重合，動點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．2 D．410．（23-24高一下·重慶·期末）如圖，已知正方形的邊長為2，若動點(diǎn)在以為直徑的半圓上（正方形內(nèi)部，含邊界），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．（23-24高一下·江蘇常州·開學(xué)考試）17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的有趣問題：在三角形所