第05講正、余弦定理解三角形

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

知識(shí)點(diǎn)01正、余弦定理和三角形面積公式

1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2b2c22bccosA；

abc

公式==2Rb2c2a22accosB；

sinAsinBsinC

222

cab2abcosC.

1

b2c2a2

cosA；

(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；2bc

abcc2a2b2

常見變形(2)sinA，sinB，sinC；cosB；

2R2R2R2ac

a2b2c2

cosC.

2ab

2、三角形面積公式：

111

SABCabsinCbcsinAacsinB

222

abc1

SABC(abc)r（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r.）

4R2

abc

注：(1)已知兩角A，B與一邊a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c．

sinAsinBsinC

(2)已知兩邊b，c及其夾角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C．

(3)已知三邊a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C．

ab

(4)已知兩邊a，b及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理＝可求出另一邊b的對(duì)角B，由C＝π－(A＋B)，

sinAsinB

acab

可求出角C，再由＝可求出c，而通過＝求角B時(shí)，可能有一解或兩解或無解的情況．

sinAsinCsinAsinB

知識(shí)點(diǎn)02公式的相關(guān)應(yīng)用

1、正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊a:b:csinA:sinB:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

abABsinAsinBcosAcosB

abcabbcacabc

③合分比：2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinCsinAsinBsinC

2、△ABC內(nèi)角和定理：ABC

①sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinBcacosBbcosA

②cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB；

3、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選

擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：

（1）若式子含有sinx的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；

（2）若式子含有a,b,c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；

（3）若式子含有cosx的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；

（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；

2

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到ABC．

4、三角形中的射影定理

在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB．

知識(shí)點(diǎn)03對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究

1、已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

2、已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三

角形不能被唯一確定.

3、從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知

a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

（1）若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

（2）若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

（3）若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三

角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.

知識(shí)點(diǎn)04測量問題的基本類型和解決思路

1、解三角形的實(shí)際應(yīng)用

（1）仰角和俯角

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．

（2）方位角

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．

（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．

(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)．

(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．

(3)南偏西等其他方向角類似．

3

（4）坡角與坡度

(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)．

(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．

2、測量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長度不可直接測量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：

類型簡圖計(jì)算方法

A,B間不可達(dá)測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理

也不可視得

測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，

B,C與點(diǎn)A可

由正弦定理得

視但不可達(dá)

測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC

C,D與點(diǎn)A,B的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在

均可視不可達(dá)△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，

用余弦定理求AB.

3、測量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：

類型簡圖計(jì)算方法

底部

測得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.

可達(dá)

達(dá)底

部點(diǎn)與測得及∠與∠的度數(shù)

不BCD=aACBADB.

可C,D共先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角

4

線形得AB的值.

點(diǎn)B與測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

C,D不在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角

共線三角形得AB的值.

4、測量角度問題的解決方案

測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問題涉及方向角、方

位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖

形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

【考點(diǎn)一：正、余弦定理求三角形的邊與角】

一、單選題

1

1．（24-25高一下·云南·期中）在VABC中，BC2,AB4,cosC，則AC的值為（）

4

A．2B．3C．4D．5

2．（24-25高一下·吉林·期中）在VABC，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a2，b3，

π

B，則角A為（）

3

ππ2πππ3π

A．B．或C．D．或

333444

π5

3．（24-25高一下·山東淄博·期中）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊長分別為a,b,c.若A,cosB,a13，

413

則c（）

A．17B．7C．34D．13

4．（24-25高一下·江蘇南通·期中）在等腰直角VABC中，DB=90°，點(diǎn)E,F將AC三等分，則tanEBF

（）

1334

A．B．C．D．

3843

5

二、解答題

cosBb

5．（24-25高一下·河北邢臺(tái)·期中）在VABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且.

cosC2ac

(1)求B的大??；

(2)若b19，ac5，求a的值.

6．（24-25高一下·天津·期中）已知VABC的內(nèi)角A?B?C所對(duì)的邊分別為a?b?c,a23,b3，且滿足

basinBsinC

，

csinAsinB

(1)求角A的值；

π

(2)求sin2B的值.

6

bcosC

7．（24-25高一下·海南·期中）在VABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3csinBa3.

tanB

(1)若a23，求VABC的外接圓面積；

2

a

(2)若6cos2B6，求角C.

c

【考點(diǎn)二：判斷三角形形狀】

一、單選題

1．（24-25高一下·湖北·期中）設(shè)VABC的面積為S，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且sinC2sinB，

若ACAB2S，則此三角形的形狀為（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等邊三角形D．等腰直角三角形

2．（24-25高一下·全國·課堂例題）在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2a2c2ab，

若sinAsinBsin2C，則三角形的形狀為（）

A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形

3．（24-25高一下·福建福州·期中）在VABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若acosAbcosB0，則VABC

的形狀為（）

A．等邊三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

sinAsinB11

4．（24-25高一下·河北滄州·階段練習(xí)）在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，

sinAsinC9

sinBsinC10

，則VABC的形狀是（）

sinAsinC9

6

A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定的

a2b2sinAB

5．（24-25高一下·湖北武漢·期中）已知VABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若

a2b2sinAB

則VABC的形狀是（）

A．等腰三角形但不是直角三角形

B．直角三角形但不是等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形

【考點(diǎn)三：判斷三角形解的個(gè)數(shù)】

一、單選題

π

1．（24-25高一下·廣西河池·階段練習(xí)）在三角形ABC中，a2，B，b23，則A（）

3

ππππππ

A．B．C．或D．或

626232

2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）在VABC中，已知b40,c20,C60，則此三角形的解的情況是（）

A．有一解B．有兩解

C．無解D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定

π

3．（23-24高一下·福建南平·期中）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a2,b23,A，

6

則此三角形（）

A．無解B．一解C．兩解D．解的個(gè)數(shù)不確定

π4

4．（24-25高一下·甘肅白銀·期中）已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A,b，且VABC有

63

兩解，則a的取值范圍為（）

224442

A．0,B．,C．,D．,

333333

π

5．（24-25高一下·山東·期中）在VABC中，A，BC3，若滿足上述條件的VABC有且僅有一個(gè)，

3

則邊長AC的取值范圍是（）

A．0,3B．0,3C．0,32D．3,2

π

6．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在VABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)邊，已知a6，bx，B，

3

若滿足條件的角A有兩個(gè)不同的值，則x的取值范圍為（）

A．0,33B．33,C．33,6D．0,6

7

【考點(diǎn)四：證明解三角形中的恒等式與不等式】

一、解答題

1．（23-24高一·上海·課堂例題）在VABC中，求證：

a2b2sin2Asin2B

(1)；

c2sin2C

(2)a2b2c22bccosAaccosBabcosC．

2．（24-25高一下·上?！て谥校?）在VABC中，已知2acosBc，求證：ab；

（2）在VABC中，已知2acosB3bcosAc，求證：tanA2tanB．

3．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）已知在VABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin2BsinB．

(1)求B；

(2)若ac，且ac3b，證明：a2c．

4．（24-25高一下·湖南·期中）已知VABC中，3sinAcosA2.

(1)求A；

3

(2)證明：sinBsinC.

4

asinAcsinC

5．（24-25高一下·河南·階段練習(xí)）在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知sinB．

ab

π

(1)證明：C；

3

π

(2)證明：A；

3

(3)若點(diǎn)D在線段AB上，ADCACB，AD2BD2，求a的值．

【考點(diǎn)五：三角形面積公式的應(yīng)用】

一、單選題

5

1．（24-25高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）在VABC中，若a3,cosA,bc，則VABC的面積等于（）

6

1531115311

A．B．C．D．

4224

π

2．（24-25高一下·浙江·階段練習(xí)）已知VABC的面積為3,B,AB4，則邊AC的長度為（）

3

A．3B．4C．10D．13

8

a2

3．（24-25高一下·福建莆田·階段練習(xí)）記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若VABC的面積為，

3sinA

則sinBsinC（）

2111

A．B．C．D．

3236

π

4．（24-25高一下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且b2,B,ABC

3

的面積，則（）

SABC3ac

A．8B．23C．33D．4

5．（24-25高一下·云南昭通·期中）在VABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S表示VABC的

1

面積，若C90，Sb2c2a2，則B等于（）

4

A．90B．60oC．45D．30o

6．（24-25高一上·湖南郴州·期末）在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,BAC120,c2,b1，

D為BC邊上一點(diǎn)，且BAD90，則ACD的面積為（）

3333

A．B．C．D．

45610

【考點(diǎn)六：實(shí)際問題中距離、高度、角度的測量】

一、單選題

1．（24-25高一下·天津·期中）已知甲船位于燈塔A的北偏東70方向，且與A相距3海里，乙船位于燈塔A

的北偏西50方向，若兩船相距19海里，則乙船與燈塔A之間的距離為（）

A．23B．2C．3D．5

2．（23-24高一上·山東泰安·階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.

某人在點(diǎn)A處測得樓頂?shù)难鼋菫?5，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)B處，測得仰角為45，沿

該方向再行走60米到點(diǎn)C處，測得仰角為.則sin（）

11

A．B．3C．2D．

23

3．（24-25高一下·天津?yàn)I海新·期中）山西應(yīng)縣木塔，始建于1056年，是世界上現(xiàn)存最高大、最古老的純

木樓閣式建筑，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”．某同學(xué)為了估算水塔的高度MN，

他在塔的附近找到一座建筑物AB，高為10m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N在同一水平面上且三點(diǎn)共線）

測得木塔頂部M，建筑物頂部A的仰角分別為60°和15°，在A處測得木塔頂部M的仰角為30°，則可估算

木塔的高度為（）m．

9

A．10302B．30102C．10303D．30103

4．（24-25高一下·福建廈門·期中）某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量某建筑的高度OP，選取了在同一水平面上

的A，B，C三處，其中B是AC的中點(diǎn).如圖.已知在A，B，C處測得該建筑頂部P的仰角分別為

30，45，60，AC20米，則該建筑的高度OP（）

A．56米

B．10米

C．53米

D．52米

5．（23-24高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）一艘漁船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的南偏東15，距離為126海

里，燈塔C在A的北偏東60o，距離為123海里，該漁船由A沿正東方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在

其南偏西30o方向，則此時(shí)燈塔C位于漁船的（）

A．南偏東60方向B．南偏西30方向

C．北偏西60方向D．北偏西30方向

6．（24-25高一下·山東·期中）如圖，為了測量兩山頂M,N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點(diǎn)進(jìn)行測

量，A,B,M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)．在A點(diǎn)測得M,N的俯角分別為75,30，在B點(diǎn)測得M,N的俯角分

別為45,60，且AB6km，則MN（）

A．26kmB．215kmC．62kmD．63km

10

【考點(diǎn)七：解三角形中的圖形問題】

一、解答題

1．（23-24高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，△ADC是等邊三角形，VABC是等腰直角三角形，

ACB90，BD交AC于E，AB2.

(1)求ABE的度數(shù)；

(2)求△ABD的面積.

2．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，ABBC,ADC120,ABCD2AD,△ACD的面

積為3．

2

(1)求sinCAB；

(2)證明：CABCAD．

3．（24-25高一下·海南?？凇るA段練習(xí)）如圖，在VABC中，ABC90，AB10，BC5，P為VABC內(nèi)

一點(diǎn)，且BPC90．

(1)若PB3，求PA的長；

(2)若APB150，求tan∠PBA．

4．（23-24高一上·安徽·期末）如圖,在VABC中,CAB的平分線交BC邊于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AB邊

57

上,AE7,AD37,cosCAE.

14

11

(1)求ADE的大小;

2π

(2)若ACB,求CDE的面積.

3

5．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形ABCD中，ADC=45，CD3，BC2．

(1)若該四邊形ABCD存在外接圓，且AB2，求AD；

(2)若BADBCA60，求AB．

6．（23-24高一下·河南·階段練習(xí)）如圖，D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且點(diǎn)B，D位于直線AC的兩側(cè)，在△ADC

AC2AD2DC2

中，2ADDC．

AD

(1)求ADC的大??；

π5π

(2)若BAD，ABC，AB1，DC2，求AC的長．

36

一、單選題

1．（24-25高一下·山東淄博·期中）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若B30，b2，c2，

則A（）

A．15°B．45°C．105°D．15°或105°

2．（24-25高一下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）在VABC中，角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c.若

12

6

b2c2a2bc，則sinA的值為（）

5

4334

A．B．C．-D．

5555

41

3．（24-25高一下·廣東佛山·期中）在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，且bca，cosB，

36

則VABC的形狀是（）

A．等腰三角形B．等邊三角形

C．直角三角形D．不確定的

4．（24-25高一下·江西·期中）如圖，為了測量某樓的高度，測量人員選取了與該樓AB在同一鉛垂面內(nèi)的

樓CD，B，C在同一水平直線上，現(xiàn)測得BCm，在樓底B點(diǎn)處測得樓CD的頂點(diǎn)D的仰角為，在點(diǎn)D

處測得樓AB的頂點(diǎn)A的仰角為，則AB（）

mcosmcosmsinmsin

A．B．C．D．

coscossincoscossincoscos

cosAc

5．（24-25高一下·天津和平·期中）在VABC中，若，則VABC的形狀是（）

cosCa

A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等邊三角形

6．（23-24高一下·陜西商洛·期末）記VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若bsinA3acosB0，

b

b23ac，則（）

ac

3321

A．B．C．D．

3243

7．（24-25高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）在VABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ax，b3，

B60，若VABC有兩解，則x的取值范圍是（）

A．0,3B．3,23C．23,D．3,23

8．（23-24高一下·福建·期末）如圖，某觀察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出發(fā)的一條公路走向

是南偏東40°，在B處測得公路上距B處7km的C處有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到達(dá)D

處，此時(shí)B，D間的距離為31km．要達(dá)到A城，這個(gè)人還要走（）

13

19

A．6kmB．km

3

13

C．kmD．7km

2

9．（23-24高一下·重慶·期末）已知VABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，VABC的面積為S，

1112

S(b2c2)sinA，，則A（）

2tanAtanCtanB

A．120°B．135°C．150°D．165°

二、多選題

10．（24-25高一下·河南·期中）在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，則下列各組條件中使得VABC

有兩個(gè)解的是（）

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