PAGE1第09講立體幾何中線線角、線面角、二面角問題全歸納內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)01線線角的定義與求解一、線線角主要是求異面直線所成角。1、線線角的定義：①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，，把與所成的銳角或直角叫做異面直線所成的角(或夾角)②范圍：2、求異面直線所成角一般步驟：（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角．（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．3、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：①平行四邊形平移法；②中位線平移法；③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)．知識(shí)點(diǎn)02線面角的定義與求解1、直線與平面所成角的定義如圖，一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.2、垂線法求線面角（也稱直接法）：（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；（3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求線面角（也稱等體積法）：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：sinθ=?l，其中θ是斜線與平面所成的角，?是垂線段的長，知識(shí)點(diǎn)03二面角1、二面角的定義①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.2、二面角的表示①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角-l-，如圖(1).②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)P，Q，這個(gè)二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).3、二面角的平面角①自然語言在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②圖形語言③符號(hào)語言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.4、二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.②當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.知識(shí)點(diǎn)04求二面角的一般方法1、定義法利用二面角的平面角的定義,在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn)),過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線,兩射線所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底邊或菱形的對(duì)角線以及所求二面角的兩個(gè)面是全等的三角形等常用此法.2、三垂線法1.方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角2.具體演示：在平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面β作垂線AB，垂足為B，再過點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、射影面積法（1）方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對(duì)于無棱二面角的求解很簡便。（2）以多邊形為三角形為例證明，其它情形可自證。AABDC證明：如圖，平面內(nèi)的△ABC在平面的射影為△，作于D，連結(jié)AD.于，，在內(nèi)的射影為.又，（三垂線定理的逆定理）.為二面角—BC—的平面角.設(shè)△ABC和△的面積分別為S和，，則..4、補(bǔ)形法當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線，然后借助前述的定義法與三垂線法解題．【考點(diǎn)一：利用平行四邊形平移求線線角】一、單選題1．（24-25高一下·湖南邵陽·期中）在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如圖，已知正三棱柱為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（

）

A．1 B． C． D．3．（24-25高一下·天津和平·期中）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（24-25高一下·浙江·期中）在正方體中，P、M分別是、的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．（24-25高一下·黑龍江·月考）在正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，則直線AN與CM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)二：利用中位線平移求線線角】一、單選題1．（24-25高一下·河北邢臺(tái)·期中）在正三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·吉林·期末）如圖，在正方體中，M，N分別為的中點(diǎn)，異面直線MN與所成角為（

）A． B． C． D．3．（24-25高一下·全國·課堂例題）如圖，已知棱長都為4的四棱錐，底面是矩形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·山東德州·月考）已知正四棱錐的所有棱長均為為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·廣西河池·期末）如圖，在正四面體ABCD中．點(diǎn)E是線段AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．6．（2025·新疆喀什·二模）《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)稱為方亭，如圖，在方婷中，，其體積為，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【考點(diǎn)三：補(bǔ)形法求線線角】一、填空題1．（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為.2．（23-24高一下·寧夏吳忠·期末）在三棱錐中，平面，則與所成的角的余弦值為．3．（23-24高一下·四川成都·期末）如圖，在三棱錐中，，，，平面，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為.

【考點(diǎn)四：求線面角（定義法和等積法）】一、單選題1．（24-25高一下·河北邢臺(tái)·期中）在直四棱柱中，四邊形是菱形，，，是棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·甘肅張掖·期中）三棱錐中，若，，，則直線與平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·重慶·月考）如圖所示，四棱錐中，平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，，M為PD的中點(diǎn)，則CD與平面ACM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、解答題4．（24-25高一下·湖南·期中）如圖，在四面體中，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且.(1)證明：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；5．（24-25高一下·廣東東莞·期中）已知正三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面的邊長為2，．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求直線與平面所成角的正弦值．6．（24-25高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)已知：①求直線與平面所成角的正弦值；②求點(diǎn)到平面的距離.【考點(diǎn)五：已知線面角求其他量】一、單選題1．（24-25高一上·貴州·月考）在長方體中，，與平面所成的角為，則四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·山東煙臺(tái)·月考）已知在長方體中，，直線與平面所成角的正弦值為為線段的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、解答題3．（23-24高一下·江西九江·期末）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形，.(1)證明：平面；(2)若與平面所成的角為，求三棱錐的體積.4．（23-24高一下·遼寧·期末）正方體的棱長為，是線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)與平面所成的角的余弦值為，求的長．5．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在直三棱柱中，D、E分別是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．【考點(diǎn)六：求二面角】一、單選題1．（23-24高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·月考）如圖，在正方體中，二面角的平面角等于（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）在四面體ABCD中，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，斜邊，，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·湖北武漢·期末）已知中，，，，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，連接CM．將沿直線CM折起，使得點(diǎn)A到達(dá)A'的位置，且平面平面，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、解答題4．（23-24高一下·福建福州·月考）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，，側(cè)面底面，是的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求側(cè)面與底面所成二面面角的余弦值.5．（24-25高一下·天津·期中）已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點(diǎn)，且(1)求證:平面(2)求點(diǎn)A到平面的距離.(3)求平面與平面所成銳二面角的正弦值.6．（24-25高一下·吉林松原·期中）如圖，三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的余弦值；(3)求二面角的正弦值.7．（2025·江蘇淮安·模擬預(yù)測）斜三棱柱中，所有棱長都為2，，平面平面.

(1)若為中點(diǎn)，E點(diǎn)在線段上，且，求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【考點(diǎn)七：已知二面角求其他量】一、單選題1．（24-25高一上·福建福州·月考）如圖，已知二面角平面角的大小為，其棱l上有A、B兩點(diǎn)，、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都與垂直.已知，，則（

）A．4 B．8 C． D．2．（23-24高一下·廣東惠州·期末）已知直三棱柱的體積為8，二面角的大小為，且，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·江蘇無錫·月考）如圖，已知正四棱錐的底面邊長，側(cè)面與底面所成的二面角的正切值為，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、解答題4．（23-24高一下·浙江溫州·期末）如圖，繞邊BC旋轉(zhuǎn)得到，其中，平面ABC，∥．(1)證明：平面ACD；(2)若二面角的平面角為，求銳二面角平面角的正弦值．5．（23-24高一下·貴州黔西·月考）如圖，將邊長為的正方形沿對(duì)角線折起使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接，為的中點(diǎn).(1)若平面平面，求的長度.(2)不考慮點(diǎn)與點(diǎn)重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.6．（23-24高一下·浙江金華·期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，，，，，，點(diǎn)N在棱PC上，平面平面．(1)證明：；(2)若平面，求三棱錐的體積；(3)若二面角的平面角為，求．7．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在直角梯形中，，（如圖所示），將沿折起，將D翻折到D′，記平面為α，平面ABC為β，平面為γ.(1)若二面角為直二面角，求二面角的大小；(2)若二面角為60°，求三棱錐的體積．8．（24-25高一下·浙江紹興·期中）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，分別是，，的中點(diǎn).(1)若，求證：平面；(2)若二面角的正切值為，且，，求與平面所成角的正弦值.【考點(diǎn)八：線面角、二面角中的探索性問題】一、解答題1．（23-24高一上·上海·期末）如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．(1)求異面直線與所成的角的大小；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長度，若不存在，說明理由.2．（23-24高一下·廣東茂名·月考）如圖，在四棱錐中，平面底面，底面是直角梯形，，，，，是的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)底邊上是否存在異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.3．（24-25高一上·北京·期中）已知中，，，，分別取邊的點(diǎn)，使得，將沿折起到的位置，設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，棱上的點(diǎn)滿足.(1)求證：平面；(2)試探究在的折起過程中，是否存在一個(gè)位置，使得三棱錐的體積為，若存在，求出二面角的大小，若不存在，請說明理由.4．（24-25高一下·山東泰安·期中）如圖，已知三棱臺(tái)中，平面平面，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的大小；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由.5．（23-24高一下·重慶·期末）正方形中，，為的中點(diǎn)，，．將沿翻折到，沿翻折到，連接．(1)求證：：(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的正弦值；(3)設(shè)直線與平面所成角為，問是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由．6．（23-24高一下·廣東佛山·期末）如圖，在直三棱柱中，是上一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，證明:平面;(2)在答題卡的題(2)圖中作出平面與平面的交線(保留作圖痕跡,無需證明);(3)是否存在，使得平面與平面所成二面角的余弦值為?若存在求滿足條件的值，若不存在，則說明理由.一、單選題1．（2025高一·全國·專題練習(xí)）在長方體中，和與底面所成的角分別為和，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·廣東潮州·期末）已知空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，，，則與所成的角為（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·遼寧沈陽·月考）正方體中，直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·天津?yàn)I海新·期中）在四面體中，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，斜邊，，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（24-25高一下·江蘇常州·期中）在矩形中，平面，則平面與平面的夾角的正切值為.6．（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知在正三棱柱中，，與平面所成的角為，則該正三棱柱的體積為．7．（24-25高一下·江蘇無錫·期中）已知某圓臺(tái)軸截面的周長為，母線與底面成角，圓臺(tái)的高為，該圓臺(tái)的體積為．8．（24-25高一下·重慶榮昌·月考）已知三棱錐滿足，且，則該三棱錐外接球的表面積為，異面直線與所成夾角的余弦值為．9．（24-25高一下·上海·月考）如圖，在的二面角的棱上有兩點(diǎn)，點(diǎn)分別在內(nèi)，且，，則的長度為．

三、解答題10．（24-25高一下·湖南·期中）如圖1，已知在中，，，，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，，將沿EF翻折至，連接PB，PC，得到如圖2所示的四棱錐，若平面PEF與平面PBC相