江西省重點(diǎn)八校數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B，記作______。

A.A∪B

B.A∩B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)a______時(shí)，拋物線開(kāi)口向上。

A.a>0

B.a<0

C.a=0

D.a≠0

3.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)的值為_(kāi)_____。

A.0

B.1/5

C.3/5

D.無(wú)窮大

4.在三角函數(shù)中，sin(π/6)的值為_(kāi)_____。

A.1/2

B.1/3

C.√3/2

D.√2/2

5.若復(fù)數(shù)z=a+bi，其中a和b為實(shí)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_____。

A.a-bi

B.-a+bi

C.-a-bi

D.bi-a

6.在矩陣運(yùn)算中，矩陣A乘以矩陣B，記作______。

A.AB

B.BA

C.A+B

D.A-B

7.級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)(1/2^n)的和為_(kāi)_____。

A.1/2

B.1

C.2

D.∞

8.在解析幾何中，直線y=kx+b的斜率為_(kāi)_____。

A.k

B.b

C.1/k

D.-k

9.在概率論中，事件A和事件B互斥，意味著______。

A.P(A∪B)=P(A)+P(B)

B.P(A∩B)=P(A)+P(B)

C.P(A∪B)=0

D.P(A∩B)=0

10.在數(shù)列中，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為_(kāi)_____。

A.Sn=n(a1+an)/2

B.Sn=na1

C.Sn=n(an)/2

D.Sn=n(a1+a2)/2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的是______。

A.f(x)=√(x^2+1)

B.f(x)=1/x

C.f(x)=|x|

D.f(x)=tan(x)

2.在微積分中，下列極限正確的有______。

A.lim(x→0)(sin(x)/x)=1

B.lim(x→∞)(1/x)=0

C.lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)=2

D.lim(x→0)(e^x-1)/x=1

3.在線性代數(shù)中，下列說(shuō)法正確的有______。

A.若矩陣A可逆，則其行列式不為0

B.若向量組線性無(wú)關(guān)，則其中任意向量都不能由其余向量線性表示

C.齊次線性方程組總有解

D.矩陣的秩等于其行向量組的秩

4.在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，下列說(shuō)法正確的有______。

A.樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量

B.樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)量

C.正態(tài)分布的密度函數(shù)是關(guān)于均值對(duì)稱的

D.大數(shù)定律表明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，事件發(fā)生的頻率依概率收斂于其概率

5.在解析幾何中，下列說(shuō)法正確的有______。

A.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

B.橢圓的離心率e滿足0<e<1

C.雙曲線的離心率e滿足e>1

D.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p/2，其中p為拋物線的參數(shù)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為_(kāi)_____。

2.不定積分∫(x^2+1)/(x^2-1)dx=______+C。

3.已知向量α=(1,2,-1)，β=(2,-1,1)，則向量α與β的夾角余弦值為_(kāi)_____。

4.矩陣A=|12;34|，則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T=______。

5.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-cos(x))/x^2。

2.計(jì)算定積分∫from0to1x^2(1-x)^3dx。

3.解微分方程dy/dx=x/y，且滿足初始條件y(1)=1。

4.計(jì)算矩陣A=|123;212;321|的特征值。

5.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，且P(X<2)=0.2，P(X<8)=0.8，求μ和σ的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.A

3.B

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.D

10.A

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.A,C

2.A,B,D

3.A,B,D

4.A,B,C,D

5.A,B,C,D

三、填空題答案

1.3

2.ln|x^2-1|+C

3.0

4.|13;24|

5.1/4

四、計(jì)算題答案及過(guò)程

1.解：

lim(x→0)(e^x-cos(x))/x^2=lim(x→0)[(e^x-1)+(1-cos(x))]/x^2

=lim(x→0)(e^x-1)/x^2+lim(x→0)(1-cos(x))/x^2

=lim(x→0)(e^x-1)/x+lim(x→0)(1-cos(x))/x

=1+0=1/2

2.解：

∫from0to1x^2(1-x)^3dx=∫from0to1(x^2-3x^3+3x^4-x^5)dx

=[x^3/3-3x^4/4+x^5/5-x^6/6]from0to1

=1/3-3/4+1/5-1/6=5/60-45/60+12/60-10/60=2/60=1/30

3.解：

dy/dx=x/y=>ydy=xdx

∫ydy=∫xdx=>y^2/2=x^2/2+C

由y(1)=1得1=1+C=>C=0

所以y^2=x^2=>y=±x

因?yàn)閥(1)=1，所以y=x

4.解：

|λI-A|=|λ-1-2-3;-2λ-1-2;-3-2λ-1|=0

=(λ-1)[(λ-1)^2-4]-(-2)[-2(λ-1)-6]-(-3)[-2-(λ-1)]

=(λ-1)(λ^2-2λ-3)+4(λ+2)+3(λ-1)

=(λ-1)(λ-3)(λ+1)+4λ+8+3λ-3

=(λ-1)(λ-3)(λ+1)+7λ+5

=(λ-1)(λ-3)(λ+1)+7λ+5=0

解得λ=1,λ=3,λ=-1

5.解：

因?yàn)镻(X<2)=0.2，P(X<8)=0.8

所以P(2<X<8)=0.8-0.2=0.6

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得Z使得P(Z<z)=0.2時(shí)，z≈-0.8416；P(Z<z)=0.8時(shí)，z≈0.8416

標(biāo)準(zhǔn)化得：(2-μ)/σ≈-0.8416，(8-μ)/σ≈0.8416

解得μ=5，σ=3

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要涵蓋了數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等部分的基礎(chǔ)知識(shí)。

一、選擇題所考察的知識(shí)點(diǎn)

1.集合論：集合間的關(guān)系

2.函數(shù)：函數(shù)的單調(diào)性

3.極限：函數(shù)的極限計(jì)算

4.三角函數(shù)：特殊角的三角函數(shù)值

5.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的共軛

6.矩陣：矩陣的乘法

7.數(shù)列：幾何級(jí)數(shù)的求和

8.解析幾何：直線的斜率

9.概率論：互斥事件的概率

10.數(shù)列：等差數(shù)列的求和公式

二、多項(xiàng)選擇題所考察的知識(shí)點(diǎn)

1.函數(shù)的連續(xù)性：連續(xù)函數(shù)的判斷

2.極限：極限的計(jì)算

3.線性代數(shù)：矩陣與向量的性質(zhì)

4.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：估計(jì)量與分布性質(zhì)

5.解析幾何：圓錐曲線的性質(zhì)

三、填空題所考察的知識(shí)點(diǎn)

1.極值：函數(shù)的極值點(diǎn)

2.不定積分：有理函數(shù)的積分

3.向量：向量的夾角余弦

4.矩陣：矩陣的轉(zhuǎn)置

5.概率論：古典概型

四、計(jì)算題所考察的知識(shí)點(diǎn)

1.極限：洛必達(dá)法則

2.定積分：多項(xiàng)式函數(shù)的積分

3.微分方程：一階常微分方程的解

4.線性代數(shù)：矩陣的特征值

5.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：正態(tài)分布的性質(zhì)

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題

1.集合論：理解集合間包含、等于等關(guān)系

示例：A?B表示集合A中的所有元素都屬于集合B

2.函數(shù)：掌握函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

示例：若f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)遞增

二、多項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)的連續(xù)性：判斷函數(shù)在一點(diǎn)或區(qū)間上是否連續(xù)

示例：連續(xù)函數(shù)的圖像是一條不間斷的曲線

三、填空題

1.極值：掌握函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件

示例：f'(x0)=0是f(x)在x0處取得極值的必要條件

2.不定積分：掌握有理函數(shù)的積分方法

示例：∫(a