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第三節(jié)格林公式及其應用一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關的條件三、二元函數(shù)的全微分求積一、格林公式平面單連通區(qū)域:設D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復連通區(qū)域.

通俗的說，平面單連通區(qū)域是不含有“洞”的區(qū)域.例如圓形區(qū)域：上半平面：都是單連通區(qū)域.又例如圓環(huán)形區(qū)域：都是復連通區(qū)域.定理1

(格林公式)

設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)注意:

格林公式表達了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.其中L是D的取正向的邊界曲線，上式為格林公式.證:將格林公式分為兩式格林公式.曲線積分注意：對復連通區(qū)域D應用格林公式，公式右端的L應包括沿區(qū)域D的全部邊界，且邊界的方向?qū)來說都是正向.格林公式即：閉區(qū)域D的面積可用封閉曲線的曲線積分來表示.例1求橢圓解:例2L為任意一條分段光滑的閉曲線，證明：證:解:解:由已知可知此題有二種情況：(a)原點在D外(b)原點在D內(nèi)(2)原點在D內(nèi)時二、平面上曲線積分與路徑無關的條件1、什么叫平面上曲線積分與路徑無關恒成立.2、曲線積分與路徑無關的結論3、定理2在G內(nèi)恒成立.證:先證充分性

因G為單連通區(qū)域，故閉曲線C所圍成的區(qū)域D全部在G內(nèi).由格林公式有：再證必要性，用反證法:假設沿G內(nèi)任意閉曲線的由格林公式與二重積分性質(zhì)，有：注意：定理2格林公式三、二元函數(shù)的全微分求積1、兩個問題

(1)函數(shù)全微分；2、定理3在G內(nèi)恒成立.再證充分性

(1)先確定u(x,y):定理2

因曲線積分與路徑無關,可取先從M0到M,再沿平行于x軸的直線段從M到N作為積分路徑..(如圖18010-14)注意:當曲線積分與路徑無關時,為計算簡便起見，可選擇平行于坐標軸的直線段連成的折線為積分路線.解：(2)求u(x,y)

取積分路線如圖(如圖P18310-17)例6驗證:在整個xOy面內(nèi)，xy2dx+x2ydy是某個函數(shù)的

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