第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值課標要求1.借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的實際意義.3.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應用.1.函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)性的定義定義要求x1，x2一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I，當x1＜x2時要求f（x1）與f（x2）都有f（x1）＜f（x2）都有f（x1）＞f（x2）結(jié)論函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增；若函數(shù)f（x）在定義域D上單調(diào)遞增時，則稱f（x）為增函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減；若函數(shù)f（x）在定義域D上單調(diào)遞減時，則稱f（x）為減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間.提醒（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域；（2）“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個不同的概念，顯然N?M.2.函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f（x）的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件①?x∈D，都有f（x）≤M；②?x0∈D，使得f（x0）＝M①?x∈D，都有f（x）≥M；②?x0∈D，使得f（x0）＝M結(jié)論M是函數(shù)y＝f（x）的最大值M是函數(shù)y＝f（x）的最小值提醒（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點處取得；（2）開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.1.函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論設?x1，x2∈I（x1≠x2），則：（1）f（x1)-f（x2）x1－x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（2）f（x1)-f（x2）x1－x2＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f2.若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：（1）當f（x），g（x）都單調(diào)遞增（減）時，f（x）＋g（x）單調(diào)遞增（減）；（2）若k＞0，則kf（x）與f（x）單調(diào)性相同；若k＜0，則kf（x）與f（x）單調(diào)性相反；（3）函數(shù)y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定義域內(nèi)與y＝－f（x），y＝1f（3.對于復合函數(shù)y＝f（g（x）），若u＝g（x）在（a，b）上是單調(diào)函數(shù)，并且y＝f（u）在（g（a），g（b））或（g（b），g（a））上也是單調(diào)函數(shù)，則y＝f（g（x））在（a，b）上的單調(diào)性為“同增異減”.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝1x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.（×（2）對于函數(shù)y＝f（x），若f（1）＜f（3），則f（x）為增函數(shù).（×）（3）函數(shù)y＝f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞）.（×）（4）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2]和（2，3）上均單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞增.（×）2.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A.f（x）＝－x B.f（x）＝2C.f（x）＝x2 D.f（x）＝3解析：D取x1＝－1，x2＝0，對于A項有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以A項不符合題意；對于B項有f（x1）＝32，f（x2）＝1，所以B項不符合題意；對于C項有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以C項不符合題意.故選D3.（人A必修一P81例5改編）函數(shù)y＝3x－2在區(qū)間[3，5]上的最小值為a，最大值為b，則a－b＝－解析：由y＝3x－2在[3，5]上單調(diào)遞減，故a＝35－2＝1，b＝33－2＝3，即a4.（人A必修一P86習題7（1）題改編）函數(shù)y＝x2+2x的單調(diào)遞減區(qū)間是（－∞，－2解析：由題意，要使函數(shù)y＝x2+2x有意義，需滿足x2＋2x≥0，解得x≤－2或x≥0，又由t＝x2＋2x在（－∞，－2]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)y＝x2+2x的單調(diào)遞減區(qū)間是5.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意兩個不等的實數(shù)a，b∈[0，＋∞），總有f（a)-f（b）a－b＞0，則滿足f（2x－3）＜f（1）解析：由題意知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，＋∞）上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，則在（－∞，0]上單調(diào)遞減，故f（2x－3）＜f（1）即｜2x－3｜＜1，解得1＜x＜2，故實數(shù)x的取值范圍是（1，2）.函數(shù)的單調(diào)性（定向精析突破）考向1函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明試討論函數(shù)f（x）＝axx－1（a≠0）在（－1，1）解：設－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a·x－1+1x－1＝a（1＋1x－1），則f（x1）－f（x2）＝a（1＋1x1－由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故當a＞0時，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函數(shù)f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞減；當a＜0時，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函數(shù)f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞增.解題技法定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟提醒判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導數(shù)法、性質(zhì)法等.考向2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)f（x）＝｜4－x｜·（x－1）的單調(diào)區(qū)間.解：f（x）＝｜4－x｜·（x－1）＝（作出函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知其單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，52），（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（52，4解題技法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法1.已知函數(shù)f（x）＝ax＋1在R上是減函數(shù)，則函數(shù)g（x）＝a（x2－4x＋3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.（－2，＋∞） B.（2，＋∞）C.（－∞，2） D.（－∞，－2）解析：C由函數(shù)f（x）＝ax＋1在R上是減函數(shù)，可知a＜0，所以函數(shù)g（x）＝a（x2－4x＋3）圖象開口向下，對稱軸為直線x＝2，因此g（x）在（－∞，2）上單調(diào)遞增，故選C.2.已知定義域為（－1，1）的函數(shù)f（x）＝xx2+1，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性解：函數(shù)f（x）＝xx2+1在（－1，1證明如下：設－1＜x1＜x2＜1，則f（x1）－f（x2）＝x1x＝（x又－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0，則有f（x1）－f（x2）＜0，故f（x）在（－1，1）上為增函數(shù).函數(shù)單調(diào)性的應用（定向精析突破）考向1比較函數(shù)值的大小已知函數(shù)f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，當x2＞x1＞1時，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，設a＝f（－12），b＝f（2），c＝f（e）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則a，b，c的大小關系為（）A.c＞a＞b B.c＞b＞aC.a＞c＞b D.b＞a＞c解析：D∵f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，∴f（－12）＝f（52）.又∵當x2＞x1＞1時，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.∵2＜52＜e，∴f（2）＞f（52）＞f（e），∴b＞解題技法利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)的性質(zhì)，將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較，或采用中間值法比較大小.考向2解不等式已知函數(shù)f（x）＝lnx＋2x，若f（a2－4）＜2，則實數(shù)a的取值范圍是（－5，－2）∪（2，5）.解析：因為函數(shù)f（x）＝lnx＋2x在定義域（0，＋∞）上為增函數(shù)，且f（1）＝ln1＋2＝2，所以由f（a2－4）＜2得，f（a2－4）＜f（1），所以0＜a2－4＜1，解得－5＜a＜－2或2＜a＜5.解題技法考向3求參數(shù)的值（范圍）已知函數(shù)f（x）＝－x2+2x（x≥0),x2+2x（x<0）在區(qū)間[－1，a解析：由分段函數(shù)解析式知：f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上單調(diào)遞減，在[－1，1]上單調(diào)遞增，由f（x）在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，得－1＜a－2≤1，即a∈（1，3].解題技法利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值（范圍）的方法（1）根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程（組）（不等式（組））或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解；（2）對于分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.1.已知函數(shù)f（x）＝x2，x≥t，x，0<x＜t（t＞0）是區(qū)間（A.{1} B.（0，＋∞）C.（1，＋∞） D.[1，＋∞）解析：D∵f（x）＝x2，x≥t，x，0<x＜t（t＞0）是區(qū)間（2.設函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）上為減函數(shù)，a∈R，則（）A.f（a）＞f（2a） B.f（a2）＜f（a）C.f（a2＋a）＜f（2a） D.f（a2＋1）＜f（a）解析：D∵a2＋1－a＝（a－12）2＋34＞0，∴a2＋1＞a，又∵f（x）在（－∞，＋∞）上為減函數(shù)，∴f（a2＋1）＜f（a），故選函數(shù)的值域（最值）（師生共研過關）求下列函數(shù)的最值：（1）f（x）＝2xx+3，x∈[1（2）f（x）＝2x2－x2解：（1）∵f（x）＝2xx+3＝2x+6－6x+3＝2－6∴f（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，∴函數(shù)的最小值為f（1）＝12，最大值為f（4）＝8（2）令x2+1＝t，t≥1，則x2＝t2－∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）.∵y＝2t2－t－2（t≥1）的圖象的對稱軸為直線t＝14∴當t≥1時，y＝2t2－t－2的圖象是上升的，∴ymin＝2×12－1－2＝－1，∴函數(shù)f（x）的最小值為－1，無最大值.解題技法求函數(shù)最值（值域）的五種常用方法（1）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；（2）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求出最值；（3）換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求出最值；（4）基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；（5）導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值.1.已知函數(shù)f（x）＝2x＋（a－2）x－1（a＞0）在區(qū)間[2，A.2 B.3C.15 D.3或15解析：Bf（x）＝2x＋（a－2）x－1＝2（x－1）＋ax－1＝2＋ax－1.因為a＞0，所以函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[22.函數(shù)f（x）＝1x，x≥1解析：作出函數(shù)f（x）＝1x，x≥1，－x2+2，x<1的圖象（如圖所示），由函數(shù)圖象可知1.若函數(shù)f（x）＝（m－1）x＋b在R上是減函數(shù)，則f（m）與f（1）的大小關系是（）A.f（m）＜f（1） B.f（m）＞f（1）C.f（m）≤f（1） D.f（m）＝f（1）解析：B因為函數(shù)f（x）＝（m－1）x＋b在R上是減函數(shù)，所以m－1＜0，得m＜1，因為f（x）在R上是減函數(shù)，所以f（m）＞f（1）.故選B.2.函數(shù)f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.[1，＋∞） B.（－∞，1]C.[1，2] D.[2，＋∞）解析：D因為f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜＝3－2x，x<1，1，1≤x<2，3.函數(shù)f（x）＝x1－x在A.（－∞，1）∪（1，＋∞）上單調(diào)遞增B.（－∞，1）∪（1，＋∞）上單調(diào)遞減C.（－∞，1）和（1，＋∞）上單調(diào)遞增D.（－∞，1）和（1，＋∞）上單調(diào)遞減解析：C函數(shù)f（x）的定義域為{x｜x≠1}，f（x）＝x1－x＝11－x－1，根據(jù)函數(shù)y＝－1x的單調(diào)性及有關性質(zhì)，可知f（x）在（－∞，1）和4.已知函數(shù)f（x）＝x－2＋2x，若f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），則實數(shù)a的取值范圍是（A.（－∞，12）∪（2，＋∞） B.[2，6C.（0，12］∪[2，6） D.（0，6解析：C由題意可知，函數(shù)f（x）在[2，＋∞）上單調(diào)遞增，∵f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），∴2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a＜6或0＜a≤125.設函數(shù)f（x）＝－x2+4x，x≤4，log2x，x>4.若函數(shù)f（xA.（－∞，1]B.[4，＋∞）C.（－∞，1）∪（4，＋∞）D.（－∞，1]∪[4，＋∞）解析：D函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，由圖象可知f（x）在（a，a＋1）上單調(diào)遞增，需滿足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.6.〔多選〕設函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）＞0，g（x）＞0，f（x）是減函數(shù)，g（x）是增函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.g（x）＋f（x）是增函數(shù) B.f（x）－g（x）是減函數(shù)C.f（x）g（x）是增函數(shù) D.f（解析：BD對于A，若g（x）＝2x，f（x）＝（12）x，則g（1）＋f（1）＝52，g（－1）＋f（－1）＝52，故g（x）＋f（x）不一定為增函數(shù)，A錯誤；而f（x）·g（x）＝1不是增函數(shù)，C錯誤；對于B，因為g（x）是增函數(shù)，所以－g（x）為減函數(shù).又f（x）是減函數(shù)，所以f（x）－g（x）＝f（x）＋（－g（x））為減函數(shù)，B正確；對于D，因為g（x）是增函數(shù)，且g（x）＞0，所以1g（x）＞0且1g（x）是減函數(shù).又f（x）＞0，且f（x）為減函數(shù)，所以f7.已知一次函數(shù)f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值為9，則實數(shù)a的值為2或－14解析：當4a－2＞0時，f（x）在[－2，1]上單調(diào)遞增，∴4a－2>0，4a+1=9，∴a＞12，a=2，則a＝2；當4a－2＜0時，f（x）在[－2，1]上單調(diào)遞減，∴4a－8.若函數(shù)f（x）＝x＋a－3x－1在（a，＋∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為解析：f（x）＝x＋a－3x－1＝x－1+a－2x－1＝1＋a－2x－1，且定義域為（－∞，1）∪（1，＋∞）.∵9.已知函數(shù)f（x）＝－x2＋2x＋1的定義域為（－2，3），求函數(shù)f（｜x｜）的單調(diào)遞增區(qū)間.解：因為函數(shù)f（x）＝－x2＋2x＋1的定義域為（－2，3），對稱軸為直線x＝1，開口向下，所以函數(shù)f（｜x｜）滿足－2＜｜x｜＜3，所以－3＜x＜3.又f（｜x｜）＝－x2＋2｜x｜＋1＝－x2+2x+1，0≤x<3，－x2－2x+1,-3<x<0，且y＝－x2－2x＋1圖象的對稱軸為直線10.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，A（0，－2），B（3，2）是其圖象上的兩點，則不等式｜f（x＋1）｜＜2的解集是（）A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，－1）∪[4，＋∞）D.（－∞，－1）∪[2，＋∞）解析：B不等式｜f（x＋1）｜＜2即為－2＜f（x＋1）＜2，因為A（0，－2），B（3，2）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點，所以－2＜f（x＋1）＜2等價于f（0）＜f（x＋1）＜f（3）.又因為f（x）是定義在R上的增函數(shù)，所以0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2.故選B.11.已知函數(shù)f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（）A.一定大于0 B.一定小于0C.等于0 D.正負都有可能解析：B因為f（x）＝x＋x3是增函數(shù)，且x1＋x2＜0，所以f（x1）＜f（－x2）.又易驗證f（－x）＝－f（x），所以f（x1）＜－f（x2），即f（x1）＋f（x2）＜0.同理f（x2）＋f（x3）＜0，f（x3）＋f（x1）＜0.所以f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＝12[f（x1）＋f（x2）＋f（x2）＋f（x3）＋f（x3）＋f（x1）]＜012.〔多選〕已知函數(shù)f（x）＝bx+3ax+2（a≠0）在區(qū)間（－2，＋∞）上單調(diào)遞增，則a，b的取值可以是A.a＝－1，b＝2 B.a＝2，b＝1C.a＝1，b＞32 D.0＜a≤1，b＝解析：CD函數(shù)f（x）＝bx+3ax+2＝3－2baax+2＋ba在區(qū)間（－2，＋∞）上單調(diào)遞增，必有－2a≤－2且3－2ba＜0，即0＜a≤1且2ba＞3.選項A、B都不滿足0＜a≤1；對于選項C，當a＝1，b＞32時，滿足0＜a≤1且2ba＞3，條件成立；對于選項D，當0＜a≤1，b＝2時，13.（開放創(chuàng)新題）能使“函數(shù)f（x）＝x｜x－1｜在區(qū)間I上不是單調(diào)函數(shù)，且在區(qū)間I上的函數(shù)值的集合為[0，2]”是真命題的一個區(qū)間I為［12，2］（答案不唯一）解析：當x≥1時，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；當x＜1時，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在－∞，12，（1，＋∞）上單調(diào)遞增，在12，1上單調(diào)遞減.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1時，f（x）在I14.已知定義在區(qū)間（0，＋∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x1x2）＝f（x1）－f（x2），且當x＞1時，f（x（