高中數(shù)學第十章.排列組合二項定理

考試內(nèi)容：

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.

排列.排列數(shù)公式.

組合.組合數(shù)公式.組合數(shù)的兩個性質(zhì).

二項式定理.二項展開式的性質(zhì).

考試規(guī)定：

(1)掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和處理某些簡樸的應(yīng)用問題.

(2)理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它處理某些簡樸的應(yīng)用問題.

(3)理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì),并能用它們處理某些簡樸的應(yīng)

用問題.

(4)掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明某些簡樸的問題.

§10.排列組合二項定理知識要點

一、兩個原理.

1.乘法原理、加法原理.

2.可以有反復元素的排列.

從m個不一樣元素中，每次取出n個元素，元素可以反復出現(xiàn)，按照一定的次序排成一排,

那么第一、第二……第n位上選用元素的措施都是m個，因此從m個不一樣元素中，每次

取出n個元素可反復排列數(shù)m?m?…m=mn..例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法,

共有多少種不一樣放法？(解：種)

二、排列.

1.⑴對排列定義日勺理解.

定義：從n個不一樣H勺元素中任取m(mWn)個元素，按照一定次序排成一列，叫做從n個不

一樣元素中取出m個元素的J一種排列.

⑵相似排列.

假如；兩個排列相似，不僅這兩個排列的元素必須完全相似，并且排列日勺次序也必須完全相

似.

⑶排列數(shù).

從n個不一樣元素中取出m(mWn)個元素排成一列，稱為從n個不一樣元素中取出m個元素

時一種排列.從n個不一樣元素中取出m個元素的一種排列數(shù)，用符號表達.

⑷排列數(shù)公式：

A",=〃(〃-1)???(?-/?1+1)=-----:—(m<n,n,mGN)

注意：規(guī)定0!=1

叱="：+"從叱％"=〃黑；規(guī)定。

2.具有可重元素的J排列問題.

對具有相似元素求排列個數(shù)的措施是：設(shè)重集S有k個不一樣元素al,a2,…...an其中限反復

數(shù)為nl.n2……nk,Kn=nl+n2+……nk,則S的排列個數(shù)等于.

例如：已知數(shù)字3、2、2,求其排列個數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列

個數(shù).

三、組合.

1.⑴組合：從n個不一樣的元素中任取m(mWn)個元素并成一組，叫做從n個不一樣元素中

取出m個元素H勺一種組合.

⑵組合數(shù)公式：

⑶兩個公式：①②

①從n個不一樣元素中取出m個元素后就剩余n-m個元素，因此從n個不一樣元素中取出

n-m個元素H勺措施是一一對應(yīng)H勺，因此是同樣多H勺就是說從n個不一樣元素中取出n-m個元

素的唯一日勺一種組合.

(或者從n+1個編號不一樣H勺小球中，n個白球一種紅球，任取m個不一樣小球其不一樣選

法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球日勺選法有）

②根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個不一樣元冢中取m個元素措施時，對于某一元

素，只存在取與不取兩種也許，假如取這?元素，則需從剩余的n個元素中再取mT個元素,

因此有C,假如不取這一元素，則需從剩余n個元素口取出m個元素，因此共有C種，

依分類原理有.

⑷排列與組合H勺聯(lián)絡(luò)與區(qū)別.

聯(lián)絡(luò)：都是從n個不一樣元素中取出m個元素.

區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有次序關(guān)系，后者無次序關(guān)系.

⑸①幾種常用組合數(shù)公式

二+《+《+…=C：+C；：+C*?=2〃T

,nm,nw+,

VC“十+CJ〃】+l十?〃+2...Jcn;+n=Jrm+〃+l

kC；=〃C3

|1「HI

,,n=—H+l

k+1〃+1

②常用口勺證明組合等式措施例.

i.裂項求和法.如：（運用）

ii.導數(shù)法.iii.數(shù)學歸納法.iv.倒序求和法.

V.遞推法（即用遞推）如：.

vi.構(gòu)造二項式.如：

證明：這里構(gòu)造二項式其中的系數(shù)，左邊為

，而右邊

四、排列、組合綜合.

1.1.排列、組合問題幾大解題措施及題型：

①直接法.②排除法.

③捆綁法：在特定規(guī)定的條件下，將幾種有關(guān)元素當作一種元素來考慮，待整體排好之后

再考慮它們“局部”的排列.它重要用于處理“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不一

樣元素排成一列，規(guī)定其中某個元素必相鄰的排列有個.其中是一利產(chǎn)整體排列”，而

則是“局部排列”.

乂例如①有n個不一樣座位，A.B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為.

②有n件不一樣商品，若其中A.B排在一起有.

③有n件不一樣商品，若其中有二件要排在一起有.

注：①③區(qū)別在于①是確定日勺座位，有種；而③日勺商品地位相似，是從n件不?樣商品任

取的2個，有不確定性.

④插空法：先把?般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的I空檔中，此法

重要處理“元素不相鄰問題”.

例如:n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不一樣H勺排法種數(shù)為多少？（插空法），

當n-m+l>m,即mW時故意義.

⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元

素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采

用“先特殊后一般”的解題原則.

⑥調(diào)序法：當某些元素次序一定期，可用此法.解題措施是：先將n個元素進行全排列有

利1個元素的全排列有種，由于規(guī)定m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法,

可以運用除法起到去調(diào)序為作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有

種排列措施.

例如：n個元素全排列，其中m個元素次序不變，共有多少種不一樣的排法？

解法一：（逐漸插空法）（m+1）（m+2）-n=n!/m!；解法二：（比例分派法）.

⑦平均法：若把kn個不一樣元素平均提成k組，每組n個，共有.

例如：從1,2,3,4中任取2個元素將其平均提成2組有幾種分法？有（平均分組就用不著

管組與組之間H勺次序問題了）乂例如將20（）名運動員平均提成兩組，其中兩名種子選手必在

?組的概率是多少？

（p=CH'；）

C；S/2!

注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且次序不變，共有

多少種排法？有，當n-m+12m,即mW時故意義.

⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.

例如：H勺正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相似H勺球排成一列，在它們之間形

成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球提成4個組.每一種措施所得球I內(nèi)數(shù)目依次為

顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應(yīng)著惟一口勺一種在12個球

之間插入隔板II勺方式（如圖

所示）故方程口勺解和插板的措施一一對應(yīng).即方程日勺解口勺組數(shù)等于插隔板口勺

措施數(shù).

注意：若為非負數(shù)解的Jx個數(shù)，即用中等于，有，進而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)

為.

⑨定位問題：從n個不一樣元素中每次取出k個不一樣元素作排列規(guī)定某r個元素都包括在

內(nèi)，并且都排在某I?個指定位置則有.

例如：從n個不一樣元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在（或不同

定在）某一位置上，共有多少種排法？

固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一類是不取出特殊元素a,有，一類是取

特殊元素即有從m-1個位置取一種位置，然后再從n-1個元素中取m-1,這與川插空法處理

是同樣口勺）

⑩指定元素排列組合問題.

i.從n個不一樣元素中每次取出k個不一樣的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包

括在內(nèi)。先C后A方略，排列；組合.

ii.從n個不一樣元素中每次取出k個不一樣元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包

括在內(nèi)。先C后A方略，排列；組合.

iii從n個不一樣元素中每次取出k個不一樣元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組

合）都只包括某I?個元素中的S個元素。先C后A方略，排列；組合.

H.排列組合常見解題方略：

①特殊元素優(yōu)先安排方略；②合理分類與精確分步方略；③排列、組合混合問題先選后排的

方略（處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列）；④正難則反，等價轉(zhuǎn)化方略；

⑤相鄰問題插空處理方略；

⑥不相鄰問題插空處理方略；⑦定序問題除法處理方略；⑧分排問題直排處理日勺方略；⑨“小

集團”排列問題中先整體后局部的方略；⑩構(gòu)造模型的方略.

2.組合問題中分組問題和分派問題.

①均勻不編號分組：將n個不一樣元素提成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不

管與否分盡，其分法種數(shù)為（其中A為非均勻不編號分組中分法數(shù)）.假如再有K組均勻

分組應(yīng)再除以.

例：10人提成三組，各組元素個數(shù)為2、4、4,其分法種數(shù)為.若提成六組，各組人數(shù)分別為

1、1、2、2、2、2,其分法種數(shù)為

②非均勻編號分組：n個不一樣元素分組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間口勺次序,

其分法種數(shù)為

例：10人提成三組，各組人數(shù)分別為2.35去參與不一樣日勺勞動，其安排措施為：種.

若從10人中選9人提成三組，人數(shù)分別為2.3.4,參與不一樣的勞動，則安排措施有種

③均勻編號分組：n個不一樣元素提成m組，其中r組元素個數(shù)相似且考慮各組間的次序,

其分法種數(shù)為.

例：10人提成三組，人數(shù)分別為244,參與三種不一樣勞動，分法種數(shù)為

④非均勻不編號分組：將n個不一樣元素提成不編號的m組，每組元素數(shù)目均不相似，且不

考慮各組間次序，不管與否分盡，其分法種數(shù)為…

例：10人提成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5,其分法種數(shù)為若從10人中選出6人提成三

組，各組人數(shù)分別為I、2、3,其分法種數(shù)為.

五、二項式定理.

1.(1)二項式定理:

①展開式具有如下特點：

②項數(shù)：共有項；

③系