第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省甘南州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z=21?i，則|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.已知向量a=(2,1),b=(?2,4)，則aA.(?2,9) B.(0,5) C.(4,?3) D.(6,?7)3.已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為6π，則此圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為(

)A.π6 B.π4 C.π34.tan10°+tan50°+3tan10°tan50°A.?3 B.3 C.35.甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題.解決這個(gè)問(wèn)題的概率分別為23和34，則恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率為(

)A.12 B.512 C.146.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足2a?b=2ccosB，且cosA+cosB=1，則△ABC的形狀為(

)A.等邊三角形 B.頂角為120°的等腰三角形

C.頂角為150°的等腰三角形 D.等腰直角三角形7.已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0，且A.重心

外心

垂心 B.重心

外心

內(nèi)心 C.外心

重心

垂心 D.外心

重心

內(nèi)心8.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P，Q分別為棱A1B1，A.25+95+2136 B.5+2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知m，n為兩條不同的直線(xiàn)，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若m//α，m//β，則α//β

B.若m//α，n//α，則m，n可以是異面直線(xiàn)

C.若m⊥α，m//β，則α⊥β

D.若m⊥α，n⊥m，則n//α10.已知向量a,b滿(mǎn)足a?b=2,|bA.|a|=2 B.a與b的夾角為π6

C.a與b的夾角為π11.在平面直角坐標(biāo)系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，則稱(chēng)“d(M,N)=|x1?x2|+|y1?y2|A.已知點(diǎn)A(1,2)，B(3,5)，則d(A,B)=5

B.“曼哈頓橢圓”關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.△PF1F2的周長(zhǎng)為2a+2c三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是______．13.已知sin(α+π6)+cosα=14.在平面四邊形ABCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△ACD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，將該四邊形沿對(duì)角線(xiàn)AC折成四面體B?ACD，在折起的過(guò)程中，四面體外接球表面積最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z=m2?4m+3+(m2?1)i，m∈R．

(1)若z為純虛數(shù)，求m的值；

16.(本小題15分)

已知某校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為540，360，360.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去兒童福利院參加慶六一獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)．

(1)應(yīng)從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取多少人？

(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)的主持工作．

(ⅰ)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

(ⅱ)設(shè)事件T為“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，求事件T發(fā)生的概率．17.(本小題15分)

如圖，四棱錐S?ABCD的各個(gè)棱長(zhǎng)均相等，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且SP=2PD．

(1)求證：AC⊥SD；

(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE//平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18.(本小題17分)

已知向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,3cosx)．

(1)若a//b，求cos2x的值；

(2)若f(x)=a?b：

(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(ii)已知A(?3,2)，B(3,10)，將f(x)的圖象向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移319.(本小題17分)

(1)如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積；

(2)如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，試證明其面積為S=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)(p=12(a+b+c+d))．

(3)已知凸四邊形的邊長(zhǎng)分別為AB=1，BC=2，CD=4，DA=3，求四邊形ABCD內(nèi)切圓半徑答案解析1.【答案】C

【解析】解：z=21?i，則|z|=|21?i|=2|1?i|=22.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閍=(2,1)，b=(?2,4)，

所以則a?2b=(2,1)?(?4,8)=(6,?7)．

故選：D3.【答案】C

【解析】解：由題意圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為6π，

可設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，

則π?1?l=6π，得l=6，

又設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為θ，

則θ?6=2π?1，得θ=π4.【答案】B

【解析】解：tan10°+tan50°+3tan10°tan50°

=tan(10°+50°)(1?tan10°tan50°)+3tan10°tan50°

=3(1?tan10°tan50°)+3tan10°tan50°

=5.【答案】B

【解析】解：記“甲解決問(wèn)題”為事件A，“乙解決問(wèn)題”為事件B，

根據(jù)題意可知，甲、乙兩人獨(dú)立地解決這個(gè)問(wèn)題的概率分別為23和34，

則P(A)=23，P(B)=34，P(A?)=13，P(B?)=14，

因?yàn)榧?、乙兩人?dú)立地解同一問(wèn)題，所以事件A與B相互獨(dú)立，故A與B?，A?與B相互獨(dú)立，

記“恰有一人解決問(wèn)題”為事件C，則C=AB6.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?a?b=2ccosB，

可得2sinA?sinB=2sinCcosB，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，代入化簡(jiǎn)得2(sinBcosC+cosBsinC)?sinB=2sinCcosB，

又sinB≠0，

化簡(jiǎn)可得cosC=12，可得C=60°，

則A+B=120°，即A=120°?B，

可得cos(120°?B)+cosB=1，

可得12cosB+32sinB=1，

可得sin(B+30°)=12cosB+32sinB=1，

因?yàn)?<B<120°，

所以B+30°=90°，即B=60°，

可得A=B=C=60°，三角形為等邊三角形．

故選：A．

已知2a?b=2ccosB，根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角關(guān)系化簡(jiǎn)，得出內(nèi)角C，根據(jù)A7.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則、三角形四心等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

由題意根據(jù)三角形四心的定義，判斷即可．

【解答】

解：∵|OA|=|OB|=|OC|，∴O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴O是三角形的外心；

由NA+NB+NC=0，則NA+NB=?NC，取AB的中點(diǎn)E，則NA+NB=?2NE=CN，

所以2|NE|=|CN8.【答案】A

【解析】解：取CD的中點(diǎn)為T(mén)，取B1P的中點(diǎn)為S，取CD上靠近D的四等分點(diǎn)為M，

取C1D1上靠近D1的四等分點(diǎn)為G，取A1D1上靠近D1的三等分點(diǎn)為N，

連接BM，QM，NQ，PN，B1G，D1T，D1S.

如圖：

由正方體性質(zhì)可知D1T//BP，

在△D1TD中，Q，M分別為D1D，DT的中點(diǎn)，

所以D1T//QM，所以BP//QM，

故B，P，Q，M四點(diǎn)共面，

在正方形A1B1C1D1中，D1G//B1S且D1G=B1S，

所以D1SB1G為平行四邊形，

所以B1G//D1S，由正方體性質(zhì)可知D1S//BM，

在△D1A1S中，P，N分別為A1S，9.【答案】BC

【解析】解：若m/?/α，m//β，則α/?/β或α與β相交，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m/?/α，n/?/α，則m與n異面或平行或相交，所以B選項(xiàng)正確；

若m//β，則β內(nèi)存在直線(xiàn)m′，使得m′/?/m，

m⊥α，若m′⊥α，根據(jù)面面垂直判定定理，可得α⊥β，所以C選項(xiàng)正確；

若m⊥α，n⊥m，則n/?/α或n?α，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：BC．

AD可舉出反例；BC根據(jù)空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間的位置關(guān)系，運(yùn)用平行與垂直的判定定理，分析可得．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A：由a?b=2,|b|=2，

可得|a+b|=|a|2+2a?b+|b|2=|a|2+4+4=23，

所以|a|2=4，即|a|=2，故A正確；

對(duì)于BC：設(shè)a與b的夾角為θ，11.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)锳(1,2)，B(3,5)，

所以d(A,B)=|1?3|+|2?5|=2+3=5，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)“曼哈頓橢圓”上任意一點(diǎn)為P(x,y)，

因?yàn)镻點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)的“曼哈頓距離”之和為定值2a(a>c)，

即d(P,F1)+d(P,F2)=2a，

即|x+c|+|y|+|x?c|+|y|=2a，

即|x+c|+|x?c|+2|y|=2a(a>c>0)，

所以“曼哈頓橢圓”的方程為|x+c|+|x?c|+2|y|=2a(a>c>0)；

將點(diǎn)(?x,y)代入得，|?x+c|+|?x?c|+2|y|=2a，

即|x+c|+|x?c|+2|y|=2a，方程不變，

所以“曼哈頓橢圓”關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

將點(diǎn)(x,?y)代入得，|x+c|+|x?c|+2|?y|=2a，

即|x+c|+|x?c|+2|y|=2a，方程不變，

所以“曼哈頓橢圓”關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

將點(diǎn)(?x,?y)代入得，|?x+c|+|?x?c|+2|?y|=2a，

即|x+c|+|x?c|+2|y|=2a，方程不變，

所以“曼哈頓橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以“曼哈頓橢圓”關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，先研究第一象限及x軸和y軸非負(fù)半軸上點(diǎn)的軌跡，

d(P,F1)+d(P,F2)=

2x+2y,x≥c,y≥02y+2c,0≤x<c,y≥0，

作曲線(xiàn)2x+2y=2a,x≥c,y≥02y+2c=2a,0≤x<c,y≥0，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可作出如圖“曼哈頓橢圓”，

則D(a,0)，G(0,a?c)，E(c,a?c)，

當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，△PF1F2的周長(zhǎng)為2c+2c2+(a?c)2=2c+2a2?2ac+2c2<2c+2a2?2c2+2c2

=2c+2a，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；12.【答案】13【解析】解：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

所以甲排在排尾共有2+2=4種排法，

同理乙排在排尾也有4種方法，于是共有8種排法符合題意；

基本事件總數(shù)是A44=24，

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為824=13．

13.【答案】?7【解析】解：由題意得sinαcosπ6+cosαsinπ6+cosα=33，

整理得12sinα+32cosα=13，即sin(α+π3)=14.【答案】16π3【解析】解：因?yàn)槠矫嫠倪呅蜛BCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△ACD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

所以要想在折起的過(guò)程中，四面體外接球表面積最小，只需四面體外接球半徑最小，

球心在平面ABC的投影為等邊△ABC的中心O，

所以只需外接球半徑等于等邊△ABC的外接圓半徑，

即R=22sin60°=233，

取AC的中點(diǎn)H，連接DH，BH，則點(diǎn)O在BH上，

其中DH=12AC=1，OH=12OB=33，又DO=R=233，

滿(mǎn)足DH2+OH2=OD215.【答案】m=3；

(?1,1)．

【解析】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m2?4m+3+(m2?1)i，m∈R是純虛數(shù)，

所以m2?4m+3=0m2?1≠0，解得m=3．

所以m的值為3；

(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

所以m2?4m+3>0m2?1<0，化簡(jiǎn)可得(m?3)(m?1)>0(m?1)(m+1)<0

所以?1<m<1，

16.【答案】應(yīng)從高一、高二、高三，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．

(ⅰ)結(jié)果見(jiàn)解析；

(ⅱ)521【解析】(1)由題意知，高一、高二、高三，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為540：360：360=3：2：2，

所以應(yīng)從高一年級(jí)的學(xué)生志愿者中抽取7×33+2+2=3(人)

從高二年級(jí)的學(xué)生志愿者中抽取7×23+2+2=2(人)

從高三年級(jí)的學(xué)生志愿者中抽取7×23+2+2=2(人)

所以應(yīng)從高一、高二、高三，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．

(2)(ⅰ)隨機(jī)試驗(yàn)從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能得抽取結(jié)果的集合

Ω={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(A,G)，

(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(B,G)，

(C,D)，(C,E)，(C,F)，(C,G)，(D,E)，

(D,F)，(D,G)，(E,F)，(E,G)，(F,G)}共含有21個(gè)樣本點(diǎn)．

(ⅱ)不妨設(shè)A，B，C為高一學(xué)生，D，E為高二學(xué)生，F(xiàn)，G為高三學(xué)生，因?yàn)槭录為“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”，

所以T={(A,B)，(A,C)，(B,C)，(D,E)，(F,G)}，共5個(gè)樣本點(diǎn)，

所以P(T)=521．

(1)17.【答案】證明見(jiàn)解析；

存在，SE：EC=1：1．

【解析】解：(1)證明：設(shè)AC∩BD=F，

因?yàn)樗睦忮FS?ABCD的各個(gè)棱長(zhǎng)均相等，

所以F為AC中點(diǎn)，

因?yàn)镾A=SC，所以SF⊥AC，

又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC，

又SF∩BD=F，SF，BD?平面SDB，

所以AC⊥平面SDB，

又因?yàn)镾D?平面SDB，所以AC⊥SD．

(2)取SD上(靠近S)的三等分點(diǎn)Q，

設(shè)點(diǎn)E為SC的中點(diǎn)，

因?yàn)镻，F(xiàn)分別為QD，BD的中點(diǎn)，

所以PF//QB，又PF?平面PAC，QB?平面PAC，

所以QB/?/平面PAC，

因?yàn)椤鱍SE∽△PSC，所以QE//PC，

又QE?平面PAC，PC?平面PAC，

所以QE//平面PAC，

又QB∩QE=Q，QB，QE?平面BEQ，

所以平面BEQ//平面PAC，

又BE?平面BEQ，

所以BE//平面PAC，

因?yàn)辄c(diǎn)E為SC的中點(diǎn)，

所以SE：EC=1：1．

(1)根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證明；

(2)利用面面平行的性質(zhì)定理證明線(xiàn)面平行，繼而即可求解．

本題考查線(xiàn)面位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】?1或12；

(i)[kπ?5π12,kπ+π12],k∈Z【解析】(1)由a/?/b，得sinx?3cosx?cosx?cosx=0，即cosx(3sinx?cosx)=0．

若cosx=0，則cos2x=2cos2x?1=?1；

若3sinx=cosx，則tanx=33，cos2x=1?2sin2x=1?tan2x1+tan2x=12．

(2)(i)由f(x)=sinxcosx+3cos2x=12sin2x+32(1+cos2x)=sin(2x+π3)+32，

令?π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得kπ?5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z；

所以x∈[kπ?5π12,kπ+π12]，k∈Z時(shí)，f(x)單調(diào)遞增．

19.【答案】83；

證明見(jiàn)