課下鞏固精練卷(八十)計數(shù)原理【基礎(chǔ)鞏固題】1．從甲地到乙地，若一天中有火車5班、汽車12班、飛機(jī)3班、輪船6班，則一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是()A．18B．20C．26D．1080解析：選C.由題意，從甲地到乙地，一天中這些交通工具的每一班都能到達(dá)，根據(jù)分類加法原理知共有5＋12＋3＋6＝26(種)不同走法．2．將3張不同的冬奧會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，不同的分法種數(shù)為()A．720B．240C．120D．60解析：選A.可分三步：第一步，第1張門票有10種不同的分法；第二步，第2張門票有9種不同的分法；第三步，第3張門票有8種不同的分法，由分步乘法計數(shù)原理得，共有10×9×8＝720(種)不同分法．3．高二1，2，3班各有升旗班同學(xué)人數(shù)分別為1，3，3，現(xiàn)從中任選2人參加升旗，則2人來自不同班的選法種數(shù)為()A．12B．15C．20D．21解析：選B.依題意，選中高二1班的同學(xué)有1×6種方法，高二1班的同學(xué)沒選中有3×3(種)方法，所以2人來自不同班的選法種數(shù)為1×6＋3×3＝15.4．(人教A版選擇性必修三P11)乘積(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后的項(xiàng)數(shù)為()A．5 B．11C．20 D．45解析：選D.根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則，(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后每一項(xiàng)均是從(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1項(xiàng)相乘得到，所以展開后的項(xiàng)數(shù)為3×3×5＝45.5．(2024·湖南長郡中學(xué)模擬)如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有()A．72B．56C．48D．36解析：選C.將四個區(qū)域標(biāo)記為A，B，C，D，如圖所示．第一步涂A：4種涂法，第二步涂B：3種涂法，第三步涂C：2種涂法，第四步涂D：2種涂法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，一共有4×3×2×2＝48(種)著色方法．6．從數(shù)字1，2，3，4中取出3個數(shù)字(允許重復(fù))組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為()A．7 B．9C．10 D．13解析：選C.各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：①由1，1，4三個數(shù)字組成的三位數(shù)：114，141，411，共3個；②由1，2，3三個數(shù)字組成的三位數(shù)：123，132，213，231，312，321，共6個；③由2，2，2三個數(shù)字可以組成1個三位數(shù)，即222.所以共有3＋6＋1＝10(個)．7．(多選)現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的有()A．從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法B．從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的選法C．從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法D．要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不同的掛法解析：選ABC.對于選項(xiàng)A，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法，故A正確；對于選項(xiàng)B，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法，故B正確；對于選項(xiàng)C，可分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法，故C正確；對于選項(xiàng)D，可以分兩個步驟完成：第一步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第二步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知不同掛法的種數(shù)是N＝3×2＝6，故D錯誤．8．(多選)現(xiàn)有4個數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是()A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為34B．每組選1名組長的選法種數(shù)為5400C．若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420D．若另有3名學(xué)生加入這4個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種解析：選AD.對于A，4個數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負(fù)責(zé)人的選法共有34種，故A對；對于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，故B錯；對于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法；從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，故C錯；對于D，若不考慮限制條件，每個人都有4種選法，共有43＝64(種)選法，其中第一組沒有人選，每個人都有3種選法，共有33＝27(種)選法，所以不同的選法有64－27＝37(種)，故D對．9．從2，3，4，5，6，7，8，9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為________．解析：在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)共可組成8×7＝56(個)對數(shù)值，但在這56個數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重復(fù)了4個數(shù)值，要減去4，即滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52(個)．答案：5210．(人教A版選擇性必修三P11)用1，5，9，13中的任意一個數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個數(shù)作分母，可構(gòu)成________個不同的分?jǐn)?shù)，可構(gòu)成________個不同的真分?jǐn)?shù)．解析：從1，5，9，13中的任選一個數(shù)作分子，4，8，12，16中任選一個數(shù)作分母，可構(gòu)成4×4＝16(個)不同的分?jǐn)?shù)；由真分?jǐn)?shù)的定義，①若1為分子，分母有4種選擇；②若5為分子，分母有3種選擇；③若9為分子，分母有2種選擇；④若13為分子，分母有1種選擇；所以真分?jǐn)?shù)共有4＋3＋2＋1＝10(個)．答案：1610【綜合應(yīng)用題】11．如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12.若k－j＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為()A．5B．8C．10D．15解析：選C.滿足條件1≤i<j<k≤12，k－j＝3且j－i＝4的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5個；滿足條件1≤i<j<k≤12，k－j＝4且j－i＝3的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5個．所以一共有10個．12．(2024·佛山聯(lián)考)某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域(有公共邊)不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有()A．720種 B．1440種C．1560種 D．2520種解析：選C.如圖，不同的布置方案分兩類：①A與C布置相同的花卉．先安排E，有6種不同的選擇；再安排A與C，有5種不同的選擇；再安排B，有4種不同的選擇；最后安排D，有4種不同的選擇，共有6×5×4×4＝480(種)布置方案．②A與C布置不同的花卉．先安排E，有6種不同的選擇；再安排A與C，有5×4種不同的選擇；再安排B，有3種不同的選擇；最后安排D，有3種不同的選擇，共有6×5×4×3×3＝1080(種)布置方案．所以不同的布置方案共有480＋1080＝1560(種)．13．(人教A版選擇性必修三P12)2160有_____個不同的正因數(shù)．解析：由題意，2160＝24×5×33，則2160的正因數(shù)p＝2r×5s×3t(r，s，t∈N)，因?yàn)閞可取0，1，2，3，4；s可取0，1；t可取0，1，2，3；所以2160有5×2×4＝40(個)不同的正因數(shù)．答案：4014．(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有________種選法．在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是________．解析：第一步，從第一行任選一個數(shù)，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個與第一個數(shù)不同列的數(shù)，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個與第一、二個數(shù)均不同列的數(shù)，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個與第一、二、三個數(shù)均不同列