課下鞏固精練卷(六十八)雙曲線【基礎(chǔ)鞏固題】1．已知雙曲線的漸近線方程為y＝±22xA．x2B．x24?C．x2D．x24?解析：選D.設(shè)雙曲線方程為x22m?∵2a＝4，∴a2＝4，當(dāng)m>0時，2m＝4，m＝2；當(dāng)m<0時，－m＝4，m＝－4.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24?2．(2024·全國甲卷)已知雙曲線的兩個焦點分別為(0，4)，(0，－4)，點(－6，4)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為()A．4B．3C．2D．2解析：選C.根據(jù)焦點坐標(biāo)可知c＝4，根據(jù)焦點在y軸上，可設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b2＝1(a>0，b>0)，則3．若雙曲線x23－y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為圓x2＋y2＝4與此雙曲線的一個公共點，則△PF1FA．4B．3C．2D．1解析：選D.由題意得a＝3，所以線段F1F2是圓x2＋y2＝4的直徑，因此PF1⊥PF2，所以P所以|PF1||PF2|＝2，4．(2024·廣東梅州一模)由倫敦著名建筑事務(wù)所設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線y2a2?xA．33B．C．32D．解析：選D.雙曲線y2a2?x2b2＝1(a雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60°，根據(jù)雙曲線兩條漸近線對稱關(guān)系可得y＝abx則ab＝tan60°＝3，則b2＝13a2，∴c2＝a2＋b2＝43則該雙曲線的離心率為e＝ca5．(2024·天津卷)雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線右支上一點，且直線A．x28?C．x22?解析：選C.如圖，由題可知，點P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，設(shè)|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由kPF2＝tanθ1＝2，求得sinθ1因為∠F1PF2＝90°，所以kPF1·kPF2＝－1，求得kPF1由正弦定理可得：|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sinθ1∶sinθ2∶sin90°＝2∶1∶5，則由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝5m，由S△PF1F2＝12PF則|PF2|＝22，PF1＝42，由雙曲線第一定義可得：|PF1|－|PF2|＝2a＝22，所以雙曲線的方程為x26．(2024·湖南師大附中模擬)已知雙曲線C：x24?y2b2＝1(bA．1，32 C．32，132解析：選B.由題意可知雙曲線的其中一條漸近線為y＝b2x，即bx－2y又該圓的圓心為(c，0)，故圓心到漸近線的距離為bcb則由題意可得bcb2+4<3，即b2c2<9(又b2＝c2－a2＝c2－4，則(c2－4)c2<9c2，解得c2<13，即c<13，則e＝ca＝c又e>1，故離心率的取值范圍是1，7．(多選)已知曲線C1：5x2＋y2＝5，C2：x2－4y2＝4，則()A．C1的長軸長為5B．C2的漸近線方程為x±2y＝0C．C1與C2的離心率互為倒數(shù)D．C1與C2的焦點相同解析：選BC.曲線C1：5x2＋y2＝5整理得y25＋x2＝1，則曲線C1是焦點在y軸上的橢圓，其中a12＝5，b12＝1，所以c12＝a12?曲線C2：x2－4y2＝4整理得x24－y2＝1，則曲線C2是焦點在x軸上的雙曲線，其中a22＝4，b22＝1，所以c22＝a22+b22＝5，離心率為e1·e2＝255×52＝1，所以CC1的焦點在y軸上，C2的焦點在x軸上，焦點位置不同，故D錯誤．8．(多選)(人教A版選擇性必修一P127)已知曲線C：x2sinα＋y2cosα＝1(0≤α<π)，則下列說法正確的是()A．若曲線C表示兩條平行線，則α＝0B．若曲線C表示雙曲線，則π2<αC．若0<α<π2，則曲線CD．若0<α<π4，則曲線C表示焦點在x解析：選BD.若曲線C表示兩條平行線，則有sinα＝0或cosα＝0，且0≤α<π.若sinα＝0，則α＝0，此時曲線C的方程為y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合題意，若cosα＝0，則α＝π2此時曲線C的方程為x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合題意，故A錯；若曲線C表示雙曲線，則sinαcosα<0，由于0≤α<π且sinα≠0，則sinα>0，可得cosα<0，則π2<α<π，故B若曲線C表示橢圓，則sin解得0<α<π2且α≠π若0<α<π4，則0<sinα<cosα則1sinα>曲線C的方程可化為x2此時，曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，故D對．9．雙曲線的一條漸近線方程為x＋2y＝0，且焦距為10，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．解析：依題意，2c＝10，∴c＝5，若雙曲線的焦點在x軸上，則b解得b2＝5，a2＝20，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2若雙曲線的焦點在y軸上，則a解得b2＝20，a2＝5，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2綜上，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x220?答案：x220?10．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且AB＝BC＝CD＝2，設(shè)AD所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：設(shè)所求雙曲線方程為x2a2?y2b2＝1(a>0，b易知a＝1，又坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，所以32得到92?92b2故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2答案：x2－y2【綜合應(yīng)用題】11．(2024·廣東廣州模擬)已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C為焦點的橢圓過A、B兩點，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程為()A．y2－x248＝1(B．y2－x248＝1(C．y248－x2D．y248－x2解析：選A.因為A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，所以|AC|＝122+7?22＝13，|BC|＝因為A，B都在橢圓上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，即|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支，又2c＝|AB|＝14，2a＝|AF|－|BF|＝2，即c＝7，a＝1，所以b2＝48，因此F的軌跡方程是y2－x248＝1(y12．(多選)(2024·南京調(diào)研)已知雙曲線C：mx2＋ny2＝1，其焦點(0，10)到漸近線的距離為6，則下列說法正確的是()A．1mB．雙曲線C的漸近線方程為y＝±43C．雙曲線C的離心率為5D．雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為2解析：選BCD.由雙曲線C的焦點(0，10)到漸近線的距離為6，可得雙曲線C的焦點在y軸上，設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2?x則雙曲線C的半焦距c＝10，b＝6，所以a2＝c2－b2＝100－36＝64，得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2對于A，m＝－136，n＝對于B，雙曲線C的漸近線方程為y＝±86x＝±43對于C，雙曲線C的離心率e＝ca對于D，雙曲線C上的所有點中，上、下頂點到相應(yīng)焦點的距離最小，所以最小值為c－a＝10－8＝2，D正確．13．(多選)已知雙曲線x2－y2b2＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2作x軸的垂線與雙曲線交于A，B兩點，若△A．b＝2＋22B．雙曲線的離心率為2＋1C．雙曲線的焦距為25D．△ABF1的面積為12＋82解析：選BD.如圖所示，若△ABF1為直角三角形，由雙曲線的對稱性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.設(shè)|AF2|＝m，則由雙曲線的定義得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2，解得m＝2＋22，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋22，所以△ABF1的面積為12AF1·BF1|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋22，故C不正確；由x2－y2b2＝1(b>0)可知，a＝1，c所以b2＝1+22－1＝2＋22，故Ae＝ca＝1+214．已知雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點B(0，b)，直線F1B與雙曲線的漸近線在第一象限交于點A，若|F解析：因為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，B(0，b)，所以直線F1B的方程為y＝bcx＋b又雙曲線x2a2?y2b2＝1(a由y＝bc所以Aacc?a又因為|F2A|＝|F1F2|，所以acc?a?c2+整理得2c2－4ac＋a2＝0，即2e2－4e＋1＝0，解得e＝22＋1或e＝1－2答案：22【創(chuàng)新拓展題】15．(2024·浙江湖州、衢州、麗水二模)人教版必修第一冊第92頁上“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)y＝x＋1x的圖象與性質(zhì)”，經(jīng)探究它的圖象實際上是雙曲線．現(xiàn)將函數(shù)y＝2x＋1x的圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點位于x軸上的雙曲線C，則該雙曲線A．10?252 C．10－45 D．10?4解析：選D.由y＝2x＋1x的兩條漸近線分別為y＝2x，x所以該函數(shù)對應(yīng)的雙曲線焦點在直線y＝2x，x＝0夾角(銳角)的角平分線l上，設(shè)l：y＝kx且k>2，若α，β分別是y＝kx，y＝2x的傾斜角，故tanα＝k，tanβ＝2，故α－β為雙曲線旋轉(zhuǎn)后其中一條漸近線的傾斜角，由tan(α－β)＝tanπ2?α＝1tanα，即tan(α－整理得k2－4k－1＝0，可得k＝2＋5(負(fù)值舍去)，所以繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到焦點位于x軸上的雙曲線C一條漸近線斜率為ba＝12+5＝516．(2024·山東煙臺模擬)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計中，例如從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點．如圖，從雙曲線C的右焦點F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.已知入射光線F