課下鞏固精練卷(五十八)空間向量的概念與運(yùn)算【基礎(chǔ)鞏固題】1．已知a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，則a·(b＋c)等于()A．18 B．－18C．32 D．－32解析：選B.因?yàn)閎＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.2．已知空間向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為()A．π6B．C．2π3解析：選A.由題意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝12+0所以cos〈a，b〉＝a·又〈a，b〉∈[0，π]，所以a與b的夾角為π63．已知平面α內(nèi)有一個點(diǎn)A(2，－1，2)，α的一個法向量為n＝(3，1，2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是()A．(1，－1，1) B．1C．1，?3，3解析：選B.對于選項(xiàng)A，PA＝(1，0，1)，PA·n＝5，所以PA與n不垂直，排除A；同理可排除C，D；對于選項(xiàng)B，有PA＝1，?4，4．如圖在一個120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若AB＝2，AC＝1，BD＝2，則CD的長為()A．2 B．3C．23 D．4解析：選B.∵CD＝∴CD2∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴CA·AB＝0，BD·∴CD2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴CD5．(2024·陜西西安模擬)已知點(diǎn)P在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的表面上運(yùn)動，則PA·A．6B．7C．8D．9解析：選C.取AB中點(diǎn)O，連接PO，如圖，則PA·PB＝PO+OA·當(dāng)P在正方體表面上運(yùn)動時(shí)，運(yùn)動到D1或C1處時(shí)，PO最大，所以PO2max＝D1D2＋DA2＋AO2所以PA·6．(多選)給出下列四個說法，其中正確的是()A．若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角B．若a為直線l的方向向量，則λa(λ∈R)也是直線l的方向向量C．若AD＝1D．在三棱錐P-ABC中，若PA·BC＝0解析：選CD.對于A，當(dāng)a＝－b時(shí)，滿足a·b<0，但〈a，b〉＝π，不是鈍角，故A錯誤；對于B，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0，不是直線l的方向向量，故B錯誤；對于C，由AD＝13AC+23對于D，過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC交平面ABC于點(diǎn)O，連接CO并延長，交AB于點(diǎn)M，連接AO并延長，交BC于點(diǎn)N，連接BO并延長，交AC于點(diǎn)T(圖略)，由PA·BC＝0，可得PA⊥BC，則AN⊥BC，同理得CM⊥AB，所以O(shè)為△ABC的垂心，所以BT⊥AC，則PB⊥AC，從而7．(多選)已知空間向量a＝(2，－2，1)，b＝(3，0，4)，則下列說法正確的是()A．向量c＝(－8，5，6)與a，b垂直B．向量d＝(1，－4，－2)與a，b共面C．若a與b分別是異面直線l1與l2的方向向量，則其所成角的余弦值為2D．向量a在向量b上的投影向量為(6，0，8)解析：選BC.對于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故a，c不垂直，故A錯誤；對于B，設(shè)d＝ma＋nb，則m(2，－2，1)＋n(3，0，4)＝(1，－4，－2)，所以2m+3n＝1，?2m＝?4，m+4n＝?2，解得m＝2，n＝?1，即2a－b＝d，故B正確；對于C，因?yàn)閏os〈a，b〉＝a·bab＝1023×158．已知直線l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一個法向量是n＝(2，3，3)．若l⊥α，則a＋b＝________．解析：因?yàn)閘⊥α，所以m∥n，所以12＝a+2b3＝a?13，解得a答案：29．(人教A版選擇性必修一P48)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CF；(2)求EF與CG所成角的余弦值；(3)求CE的長．解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則E0，0，12，F(xiàn)12(1)EF＝12，1則EF·CF＝12×12+12×(2)設(shè)EF與CG所成角為θ，CG＝1，則cosθ＝cos〈EF，CG〉＝EF·CG(3)CE＝0?0210．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn)．求證：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.證明：(1)∵E，H分別是線段AP，AB的中點(diǎn)，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(xiàn)(0，1，1)，H(1，0，0)．PD＝(0，2，－2)，AH＝(1，0，0)，AF＝(0，1，1)，∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)∴PD⊥AF，PD⊥AH，∴PD⊥AF，PD⊥∵AH∩AF＝A，且AH，AF?平面AHF，∴PD⊥平面AHF.【綜合應(yīng)用題】11．(2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D解析：選A.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD，所以EF⊥DD1，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，則EF＝(－1，1，0)，EB1＝(0，1，2)，DB＝(2，2，0)，DA1＝(2，0，2)，AA設(shè)平面B1EF的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則m·EF＝?同理可得平面A1BD的一個法向量為n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一個法向量為n2＝(1，1，0)，平面A1C1D的一個法向量為n3＝(1，1，－1)，則m·n1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B1EF與平面A1BD不垂直，故B錯誤；因?yàn)閙與n2不平行，所以平面B1EF與平面A1AC不平行，故C錯誤；因?yàn)閙與n3不平行，所以平面B1EF與平面A1C1D不平行，故D錯誤．12．(多選)(2024·梅州模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(不含端點(diǎn))．若D1M⊥MN，則下列命題正確的是()A．MN⊥A1MB．MN⊥平面D1MCC．線段BN長度的最大值為3D．三棱錐C1-A1D1M的體積不變解析：選ACD.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A1(3，0，3)，D1(0，0，3)，C(0，3，0)，B(3，3，0)，設(shè)M(3，y，0)，N(3，3，z)，y，z∈(0，3)，D1M＝(3，y，－3)，MN＝(0，3－y，z)，而D1M⊥則D1M·MN＝y(tǒng)(3－y)－3z＝0，即z＝1對于A，連接A1M，A1M＝(0，y，－3)，則A1M·MN＝y(tǒng)(3－y)－3z＝0，則A1M⊥對于B，CM＝(3，y－3，0)，CM·MN＝(y－3)·(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM與MN不垂直，從而MN與平面D1對于C，BN＝(0，0，z)，則線段BN的長度BN＝z＝13?y?32對于D，連接A1C1，MC1，不論點(diǎn)M如何移動，點(diǎn)M到平面A1D1C1的距離均為3，而V三棱錐C1-A1D1M＝V三棱錐M-A1D1C1＝1313．如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點(diǎn)，AF＝13AD，AG＝2GA1解析：由題圖知，設(shè)AM＝λAC由已知，得AC所以AM＝2λ因?yàn)镸，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，所以2λ＋3λ＋3λ2＝1，解得λ＝2答案：214．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，PB＝1，則EP·解析：連接EC，如圖，因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，則PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，則BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，即有BC⊥PB.因?yàn)辄c(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，則EM＝12EA+EC＝12EA+1≥－12EP+EB22＝?18，當(dāng)且僅當(dāng)EP答案：－115．如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為l，過其底面中心O作動平面α，交線段PC于點(diǎn)S，交PA，PB的延長線于M，N兩點(diǎn)，則1PS解析：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接AE，PE，PO，則O在AE上且AO＝2OE，所以PO＝PA+AO＝故PO＝由于S，M，N，O四點(diǎn)共面，于是PA3PM因此1PM答案：316．如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由．解：(1)證明：設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，則BD⊥AC，連接A1O，如圖所示，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，所以A1O2＝AA12＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，所以AO2＋A1O2＝AA12，所以由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O?平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD，又BO?平面ABCD，CO?平面ABCD，所以A1O⊥BO，A1O⊥CO，所以以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1，0)，B3，0，0，C(0，1，0)，D?3，0