3．1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算[課標(biāo)要求]1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．2.通過(guò)函數(shù)圖象直觀(guān)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的導(dǎo)數(shù)．4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．5.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b【必備知識(shí)】1．導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義定義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記法記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim?x幾何意義函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線(xiàn)y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)的斜率，相應(yīng)地，切線(xiàn)方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝1f(x)＝lnxf′(x)＝1[提醒]函數(shù)的解析式中含有根式的，在求導(dǎo)時(shí)要先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后求導(dǎo)數(shù)．3．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx'＝4．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和，如果給定x的一個(gè)值，就得到了u的值，進(jìn)而確定了y的值，那么y可以表示為x的函數(shù)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和的復(fù)合函數(shù)，記作，其中u為中間變量.(2)求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為＝，其中．【必記結(jié)論】1．可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2．在點(diǎn)處的切線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的區(qū)別(1)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線(xiàn)有且僅有一條．(2)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線(xiàn)至少有一條．3.1fx′＝?f'x【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．()(2)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝cosx．()(3)已知質(zhì)點(diǎn)的速度v＝10t，則從t＝0到t＝t0質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程是5t0(4)曲線(xiàn)y＝f(x)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y＝f(x)過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)意義是相同的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．(多選)下列導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是()A．(3x)′＝3xln3B．(x3ex)′＝3x2ex＋x3exC．2sinxxD．(sinxcosx)′＝cos2x解析：選ABD.因?yàn)?sinxx23．設(shè)f(x)＝ex＋ln2的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則fA．0 B．eC．e+12 解析：選D.f′(x)＝ex·x′＝12ex4．曲線(xiàn)y＝12x2－2在點(diǎn)1解析：點(diǎn)1，?32在曲線(xiàn)上，且y′＝x，所以切線(xiàn)的斜率k答案：π5．曲線(xiàn)y＝x22－3lnx的斜率為解析：∵y＝x22－3lnx，x>0，∴y′＝x－3x，由y′＝x－3x＝－2，可得x＝1，x＝－3(舍去)，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝12，∴曲線(xiàn)y＝x22－3lnx的斜率為－2的切線(xiàn)方程為y－12＝－2(x－1)，即4答案：4x＋2y－5＝0題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例1】(1)(多選)下列求導(dǎo)正確的是()A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C．1lnx′D．(ln2x)′＝1解析：選ABC.對(duì)于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正確；對(duì)于B，(x3lnx)′＝(x3)′lnx＋x3(lnx)′＝3x2lnx＋x2，故B正確；對(duì)于C，1lnx′＝－1ln2x·(ln對(duì)于D，(ln2x)′＝2·12x(2)已知f(x)＝2xlnx－f′(1)x，則f(e)＝()A．eB．0C．－eD．－1解析：選A.f′(x)＝2lnx＋2－f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2ln1＋2－f′(1)，解得f′(1)＝1，所以f(x)＝2xlnx－x，f(e)＝2elne－e＝e.方法指導(dǎo)導(dǎo)數(shù)計(jì)算的方法(1)連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；(2)分式形式：觀(guān)察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)；(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)．(6)分解復(fù)合函數(shù)為基本初等函數(shù)，適當(dāng)選擇中間變量；求每一層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；每層函數(shù)求導(dǎo)后，需把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(人教A版選擇性必修二P78P81)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(x2＋2x)x；(2)y＝lnxx；(3)y＝tan(4)y＝23x+1；(5)y＝log2(2x＋1)；(6)y＝sin3解：(1)y′＝2x+2x(2)y′＝1x(3)y′＝(tanx)′＝sinxcosx′(4)因?yàn)閥＝23x+1所以y′＝23x+1?12(5)y′＝[log2(2x＋1)]′＝22x+1(6)因?yàn)閥＝sin3π2?3x＝－所以y′＝(－cos3x)′＝3sin3x.題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用角度1求切線(xiàn)方程【例2】(1)(2024·全國(guó)甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex+2sinx1+x2A．16B．C．12D．解析：選A.f′x＝ex所以f′(0)＝3，所以曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)方程為y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0，1)，?13，(2)(2024·莆田質(zhì)檢)若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)35，0，且與曲線(xiàn)y＝x2(x＋解析：由y＝x2(x＋1)＝x3＋x2，得y′＝3x2＋2x，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t2(t＋1))，則過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y－t2(t＋1)＝(3t2＋2t)(x－t)，把點(diǎn)35，0代入，可得－t2(t＋1)＝(3t2＋2t整理得t(t－1)(5t＋3)＝0，即t＝0或t＝－35或t＝當(dāng)t＝0時(shí)，切線(xiàn)方程為y＝0，當(dāng)t＝1時(shí)，切線(xiàn)方程為y＝5x－3，當(dāng)t＝－35時(shí)，切線(xiàn)方程為y＝－3綜上，直線(xiàn)l的方程為y＝0或5x－y－3＝0或15x＋125y－9＝0.答案：y＝0(答案不唯一)方法指導(dǎo)求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程的方法(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)時(shí)，切線(xiàn)方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)，可分以下四步完成：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步：寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P′(x1，f(x1))的切線(xiàn)方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線(xiàn)方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線(xiàn)方程．角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)的值(1)求切點(diǎn)坐標(biāo)的思路已知切線(xiàn)方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線(xiàn)的斜率，從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)．(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線(xiàn)的斜率、切線(xiàn)的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿(mǎn)足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．教考銜接鏈接高考·【例3】(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)若曲線(xiàn)y=ex+x在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=ln(x+1)+a的切線(xiàn)，則a=_____.解析:令f(x)=ex+x，則f′(x)=ex+1，所以f′(0)=2,所以曲線(xiàn)y=ex+x在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)方程為y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a，則g′(x)=1x+1,設(shè)直線(xiàn)y=2x+1與曲線(xiàn)y=g(x)相切于點(diǎn)(x0，y0)，則1x0+1=2得x0=?12，則y0=2x0+1=0，所以0=ln?答案:ln2.教材溯源·(人教A版選擇性必修二P104T13)已知曲線(xiàn)y=x+lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=ax2+(2a+3)x+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值.解:由y=x+lnx得y′=1+1x(x>0)所以曲線(xiàn)y=x+lnx在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)的斜率k=y′|x=1=1+11所以切線(xiàn)方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1(x∈R),因?yàn)榍芯€(xiàn)y=2x-1與曲線(xiàn)y=ax2+(2a+3)x+1只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程2x-1=ax2+(2a+3)x+1有且只有一解,即ax2+(2a+1)x+2=0①有且只有一解，當(dāng)a=0時(shí)，①式變?yōu)閤+2=0，則x=?2，方程有且只有一解，符合題意，當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＝2a+12?4a×2綜上，a=0或a=12【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)(2024·湖北武漢開(kāi)學(xué)考試)若曲線(xiàn)y＝ln(x＋2a)的一條切線(xiàn)為y＝ex－2b(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，其中a，b為正實(shí)數(shù)，則1eA．[2，e) B．(e，4]C．[4，＋∞) D．[e，＋∞)解析：選C.y′＝1x+2a，令1x+2a＝e，則x＝1e－2a，有y＝ln即e1e?2a－2b＝－1，即ae＋b又a，b為正實(shí)數(shù)，則1ea+1b＝1ea+1b(ae＋當(dāng)且僅當(dāng)bea＝eab，即b故1ea+(2)(2022·新課標(biāo)Ⅰ卷)若曲線(xiàn)y＝(x＋a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)，則a的取值范圍是___________________．解析：∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，設(shè)切點(diǎn)為x0，y0，則y0＝x0+ae∵切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，∴?x0+aex0＝x0∵切線(xiàn)有兩條，∴Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，∴a的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)題型三兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)問(wèn)題【例4】(1)(2024·四川宜賓模擬)若曲線(xiàn)y＝ex＋a在x＝0處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y＝lnx的切線(xiàn)，則a＝()A．－2B．1C．－1D．e解析：選A.由曲線(xiàn)y＝ex＋a得y′＝ex，則其在x＝0處的切線(xiàn)斜率為1，且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1＋a，所以曲線(xiàn)y＝ex＋a在x＝0處的切線(xiàn)為y－(1＋a)＝1×(x－0)，即y＝x＋1＋a，由曲線(xiàn)y＝lnx得y′＝1x設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則1x0＝1，解得x0＝1，y0＝0，又切點(diǎn)在切線(xiàn)y＝x＋1＋即有0＝1＋1＋a，得a＝－2.(2)若兩曲線(xiàn)y＝lnx－1與y＝ax2存在公切線(xiàn)，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，2e] B．1C．0,12e?3解析：選B.設(shè)公切線(xiàn)與曲線(xiàn)y＝lnx－1和y＝ax2的切點(diǎn)分別為(x1，lnx1－1)，(x2，ax22)，其中x1>0，對(duì)于y＝lnx－1，有y′則切線(xiàn)方程為y－(lnx1－1)＝1x1(x－x即y＝xx1＋lnx1對(duì)于y＝ax2，有y′＝2ax，則切線(xiàn)方程為y－ax22＝2ax2(x－即y＝2ax2x－ax所以1x1＝2ax2，lnx1即14a＝2x12?x令g(x)＝2x2－x2lnx，x>0，則g′(x)＝3x－2xlnx＝x(3－2lnx)，令g′(x)＝0，得x＝e3當(dāng)x∈0，e32時(shí)，g′(x)>0，g當(dāng)x∈e32，+∞時(shí)，g′(x)<0，g所以g(x)max=ge故0<14a≤12e3，即a≥12e思維升華解決此類(lèi)問(wèn)題通常有兩種方法：一是利用其中一曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)與另一曲線(xiàn)相切，列出關(guān)系式求解；二是設(shè)公切線(xiàn)l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝fx【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.(1)已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝x2－m，g(x)＝6lnx－4x，設(shè)兩曲線(xiàn)y＝f(x)與y＝g(x)在公共點(diǎn)處的切線(xiàn)相同，則m等于()A．－3B．1C．3D．5解析：選D.依題意，設(shè)曲線(xiàn)y＝f(x)與y＝g(x)在公共點(diǎn)(x0，y0)處的切線(xiàn)相同．∵f(x)＝x2－m，g(x)＝6lnx－4x，∴f′(x)＝2x，g′(x)＝6x－∴fx0∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝lnx＋1，則f(x)與g(x)的公切線(xiàn)有()A．0條B．1條C．2條D．3條解析：選C.根據(jù)題意，設(shè)直線(xiàn)l與f(x)＝ex－1相切于點(diǎn)(m，em－1)，與g(x)相切于點(diǎn)(n，lnn＋1)，對(duì)于f(x)＝ex－1，有f′(x)＝ex，則直線(xiàn)l的斜率k＝em，則直線(xiàn)l的方程為y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋(1－m)em－1，對(duì)于g(x)＝lnx＋1，有g(shù)′(x)＝1x則直線(xiàn)l的斜率k＝1n則直線(xiàn)l的方程為y－(lnn＋1)＝1n(x－n即y＝1nx＋lnn，則e可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，則切線(xiàn)方程為y＝ex－1或y＝x，故f(x)與g(x)的公切線(xiàn)有2條．[課下鞏固精練卷(二十一)]導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算_____________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．(多選)下列結(jié)論中不正確的是()A．若y＝cos1x，則y′＝－1xsinB．若y＝sinx2，則y′＝2xcosx2C．若y＝cos5x，則y′＝－sin5xD．若y＝12xsin2x，則y′＝xsin2解析：選ACD.對(duì)于A，y＝cos1x，則y′＝1x2sin對(duì)于B，y＝sinx2，則y′＝2xcosx2，故正確；對(duì)于C，y＝cos5x，則y′＝－5sin5x，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，y＝12xsin2x，則y′＝12sin2x＋xcos22．設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)足limΔx→0f3+Δx?f33Δx＝3，則曲線(xiàn)A.1B．3C．6D．9解析：選D.依題意，limΔx→0f3+Δx?f33Δx＝13limΔx→0f3+Δx?f3Δx＝3，則3.函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是()A．2f′(3)<f(5)－f(3)<2f′(5)B．2f′(3)<2f′(5)<f(5)－f(3)C．f(5)－f(3)<2f′(3)<2f′(5)D．2f′(5)<2f′(3)<f(5)－f(3)解析：選A.由圖可知，f′(3)<f5?f35?3<f′(5)，即2f′(3)<f(5)－4．(2024·江蘇南京二模)曲線(xiàn)y＝ln(x－1)2在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為()A.y＝xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝－2x解析：選D.由題意，令y＝f(x)＝ln(x－1)2，f′(x)＝2x?1，則f′(0)＝－2，又f(0)＝0，故切線(xiàn)方程為y＝－2x5．(2024·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2的圖象在x＝1處的切線(xiàn)方程為3x－y＋b＝0，則a＋b等于()A．－2B．－1C．0D．1解析：選B.因?yàn)閒(x)＝alnx＋x2，所以f′(x)＝ax＋2x又函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線(xiàn)方程為3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，則f(x)＝lnx＋x2，所以f(1)＝1，代入切線(xiàn)方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.6．曲線(xiàn)y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x－y＋3＝0的最短距離是()A．5 B．25C．35 D．0解析：選A.設(shè)曲線(xiàn)y＝ln(2x－1)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x－y＋3＝0平行，∵y′＝22x?1，∴y′|x＝x0＝22x0?1＝2，解得x0＝∴切點(diǎn)(1，0)到直線(xiàn)2x－y＋3＝0的距離為d＝2?0+34+1＝5，即曲線(xiàn)y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x－y＋3＝7．(多選)已知點(diǎn)M是曲線(xiàn)y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一點(diǎn)，曲線(xiàn)在M處的切線(xiàn)為lA．l斜率最小時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為2B．l斜率最小時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為2C．切線(xiàn)l的傾斜角α的取值范圍為0，D．l斜率的取值范圍為k≤1解析：選BC.∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y′min＝－1，此時(shí)y＝53∴斜率最小時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為2，53，最小斜率k＝－由k≥－1，得tanα≥－1.又∵α∈[0，π)，∴α∈0，π故α的取值范圍為0，π2∪8．設(shè)曲線(xiàn)y＝e2ax在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x－y＋1＝0垂直．則a的值為_(kāi)_______．解析：∵y＝e2ax，∴y′＝2a·e2ax，∴曲線(xiàn)在點(diǎn)(0，1)處的切線(xiàn)斜率為k＝y(tǒng)′|x＝0＝2ae0＝2a，∵切線(xiàn)與直線(xiàn)2x－y＋1＝0垂直，∴2a×2＝－1，∴a＝－14答案：－19．(2024·陜西榆林模擬)已知曲線(xiàn)f(x)＝x2與g(x)＝ln(ax)(a>0)有公共切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)_______．解析：設(shè)曲線(xiàn)f(x)＝x2與g(x)＝ln(ax)(a>0)的切點(diǎn)分別為(x1，x12)，(x2，ln(ax因?yàn)閒′(x)＝2x，g′(x)＝1x所以k1＝2x1，k2＝1x所以y－x12＝2x1(x－x1)，y－ln(ax2)＝1x2(x所以2x1＝1x2，x12+lnax2?1＝0，得14x22＋令h(x)＝14x2＋lnx，則h′(x)當(dāng)0<x<22時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>22時(shí)，h′(x)>0，h(故h(x)≥h(22)＝12＋ln22，即1－lna≥12＋ln22，即lna≤ln2e答案：2e10．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿(mǎn)足f(x)＝2xf′(e)＋lnx.(1)求f′(e)及f(e)的值；(2)求f(x)在點(diǎn)(e2，f(e2))處的切線(xiàn)方程．解：(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋1x，f′(e)＝2f′(e)＋1∴f′(e)＝－1e，f(x)＝－2xe＋ln∴f(e)＝－2ee＋lne＝－(2)∵f(x)＝－2xe＋lnx，f′(x)＝－2e＋∴f(e2)＝2－2e，f′(e2)＝－2e＋1∴f(x)在點(diǎn)(e2，f(e2))處的切線(xiàn)方程為y－(2－2e)＝?2e+1e2(x－e2)，即(2e－1)x＋e2【綜合應(yīng)用題】11．(2024·山東濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝asin3x＋bx3＋3(a∈R，b∈R)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(2023)＋f(－2023)＋f′(2024)－f′(－2024)＝()A．0B．2023C．2024D．6解析：選D.依題意，得f(x)的定義域?yàn)镽，令g(x)＝asin3x＋bx3，則g(－x)＝asin3(－x)＋b(－x)3＝－g(x)，即g(x)是奇函數(shù)，有g(shù)(2023)＋g(－2023)＝0，則f(2023)＋f(－2023)＝g(2023)＋3＋g(－2023)＋3＝6，又f′(x)＝3acos3x＋3bx2，且有f′(－x)＝3acos3(－x)＋3b(－x)2＝f′(x)，即f′(x)是偶函數(shù)，f′(2024)－f′(－2024)＝0，所以f(2023)＋f(－2023)＋f′(2024)－f′(－2024)＝6.12．(2024·福建泉州模擬)若曲線(xiàn)y＝x2與y＝tex(t≠0)恰有兩條公切線(xiàn)，則t的取值范圍為()A．0，B．4C．(－∞，0)∪D．(－∞，0)∪{解析：選A.設(shè)曲線(xiàn)y＝tex切點(diǎn)為M(m，tem)，y＝x2的切點(diǎn)為N(n，n2)，則曲線(xiàn)y＝tex在點(diǎn)M(m，tem)處的切線(xiàn)方程為y－tem＝tem(x－m)，即y＝tem(x－m)＋tem，同理，y＝x2在點(diǎn)N(n，n2)處的切線(xiàn)方程為y＝2nx－n2，根據(jù)y＝tex與y＝x2有兩條公切線(xiàn)，則tem＝2n，tem?mtem＝?n2，所以轉(zhuǎn)化為t＝4m?4em有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x?4ex，則f′(x當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x＝2時(shí)有極大值即為最大值，故f(2)＝4e當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→0，故t的取值范圍為(0，4e13．(多選)對(duì)于函數(shù)f(x)＝lnx－1，則下列判斷正確的是()A．直線(xiàn)y＝xe2是f(B．f(x)關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是y＝ex－1C．若過(guò)點(diǎn)(a，b)有2條直線(xiàn)與f(x)相切，則lna<b＋1D．f(x)≤x－2解析：選ACD.對(duì)于A，設(shè)切點(diǎn)為(m，lnm－1)，則k＝f′(m)＝1m∴l(xiāng)nm－1＝1m·m，∴l(xiāng)nm＝∴m＝e2，k＝1e∴過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y＝xe對(duì)于B，由反函數(shù)的概念可得y＋1＝lnx?ey＋1＝x，故與f(x)關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為y＝ex＋1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若過(guò)點(diǎn)(a，b)有2條直線(xiàn)與f(x)相切，則點(diǎn)(a，b)在f(x)上方，如圖所示，即b>f(a)，即b>lna－1，故C正確；對(duì)于D，由于?x>0，設(shè)g(x)＝x－lnx－1?g′(x)＝x?1x令g′(x)>0?x>1，令g′(x)<0?0<x<1，∴g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減，∴g(x)≥g(1)＝0?lnx≤x－1?f(x)≤x－2，故D正確．14．已知直線(xiàn)y＝k1x與y＝k2x(k1>k2)是曲線(xiàn)y＝ax＋2ln|x|(a∈R)的兩條切線(xiàn)，則k1－k2＝________．解析：由已知得曲線(xiàn)的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0，0)，當(dāng)x>0時(shí)，曲線(xiàn)為y＝ax＋2lnx，設(shè)x1>0，直線(xiàn)y＝k1x在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為(x1，ax1＋2lnx1)，y′|x=x1＝a∴切線(xiàn)方程為y－(ax1＋2lnx1)＝a+2x1(x－又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0，0)，∴－ax1－2lnx1＝a+2x1(－∴x1＝e，k1＝a＋2e同理，當(dāng)x<0時(shí)，曲線(xiàn)為y＝ax＋2ln(－x)，設(shè)x2<0，直線(xiàn)y＝k2x在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為(x2，ax2＋2ln(－x2))，y′|x=x2＝a∴切線(xiàn)方程為y－[ax2＋2ln(－x2)]＝(a＋2x2)(x－x又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0，0)，∴－ax2－2ln(－x2)＝a+2x2(－∴x2＝－e，k2＝a－2e，∴k1－k2＝4答案：415．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－bx，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)方程為7x－4y－12＝(1)求f(x)的解析式；(2)證明曲線(xiàn)f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0和直線(xiàn)y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝74x－當(dāng)x＝2時(shí)，y＝12又∵f′(x)＝a＋bx∴2a?b2∴f(x)＝x－3x(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線(xiàn)y＝f(x)上任一點(diǎn)，由y′＝1＋3x2知曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)方程為y－x0?3x0＝令x＝0，得y＝－6x∴切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0，2x0)，∴曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0和y＝x所圍成的三角形的面積S＝12?6x0·|2故曲線(xiàn)y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0和y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.【創(chuàng)新拓展題】16．若函數(shù)f(x)＝x2?2ax2＋ln(xA．a(chǎn)≤1B．a(chǎn)<0C．a(chǎn)≥1D．a(chǎn)≤0解析：選A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2?2ax2＋ln(x＋1)(所以f′(x)＝x＋1x+1－a＝x＋1＋1x+1－a－1≥2x+1·1x+1－a－當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝1x+1，即x＝因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象上不存在互相垂直的切線(xiàn)，所以f′(x)min≥0，即1－a≥0，解得a≤1.17．(多選)丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f′(x)在(a，b)上的導(dǎo)函數(shù)為f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在(a，b)上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在0，πA．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x解析：選ABC.對(duì)于A，由f(x)＝sinx＋cosx，得f′(x)＝cosx－sinx，則f″(x)＝－sinx－cosx＝－(sinx＋cosx)，因?yàn)閤∈0，π2，所以f″(x)＝－(sinx＋cosx)<0，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對(duì)于B，由f(x)＝lnx－2x，得f′(x)＝1x－2，則f″(x)＝－1x2，因?yàn)閤∈0，π2，所以f″(x)＝－1x2<0，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對(duì)于C，由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，則f″(x)＝－6x，因?yàn)閤∈0，π2，所以f″(x)＝－6x<0，所以此函數(shù)是凸函數(shù)；對(duì)于D，由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝－e－x＋xe－x，則f″(x)＝e－x＋e－x－xe－x＝(2－x)e－x，因?yàn)閤∈0，π23．2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性[課標(biāo)要求]1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀(guān)了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．3.對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)，能求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【必備知識(shí)】1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是常數(shù)函數(shù)2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y＝f(x)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．[提醒](1)定義域優(yōu)先的原則：解決問(wèn)題的過(guò)程只能在定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)注意“臨界點(diǎn)”和“間斷點(diǎn)”：在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外，還要注意在定義域內(nèi)的間斷點(diǎn)．【必記結(jié)論】1．若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f′(x)≤0恒成立．2．若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f′(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f′(x)<0有解．【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性．()(2)在(a，b)內(nèi)f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限個(gè)，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減．()(3)若函數(shù)f(x)在定義域上恒有f′(x)>0，則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增．()(4)函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上是增函數(shù)．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．函數(shù)f(x)＝x－12exA．(－∞，ln2)B．(ln2，＋∞)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)解析：選B.因?yàn)閒′(x)＝1－12ex，由f′(x)<0，得x>ln2，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(ln2，＋3．已知f(x)＝1＋x－sinx，則f(2)，f(3)，f(π)的大小關(guān)系正確的是()A．f(2)>f(3)>f(π)B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3)D．f(π)>f(3)>f(2)解析：選D.f(x)＝1＋x－sinx，則f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)．因?yàn)?<3<π，所以f(π)>f(3)>f(2).4．函數(shù)f(x)＝x＋2x－lnx解析：f(x)＝x＋2x－lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－1x－2x2＝x2?x?2x2＝x?2x+1x2，令f′(x答案：(2，＋∞)5．若函數(shù)f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，4]，則實(shí)數(shù)解析：因?yàn)閒′(x)＝x2－3x＋a，又函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，4]，所以－1，4是方程f′(x)＝0的兩根，所以a＝－1×4＝－4.答案：－4題型一不含參函數(shù)的單調(diào)性【例1】(1)(2024·山師大附中質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f(x)＝lnx＋f′(1)x2，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．?B．?C．0，D．2解析：選C.由f(x)＝lnx＋f′(1)x2，得f′(x)＝1x＋2f′(1)x，所以f′(1)＝1＋2f′(1)，f′(1)＝－1，所以f′(x)＝1x－2x＝1?2x2x，因?yàn)閤>0，所以由f′(x)＝1?2(2)若函數(shù)f(x)＝lnx+1ex，則函數(shù)解析：f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1x令φ(x)＝1x－lnx－1(xφ′(x)＝－1x2－φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且φ(1)＝0，∴當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ(x)>0，即f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ(x)<0，即f′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1).答案：(0，1)思維升華確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號(hào)”或“和”隔開(kāi)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，x∈[0，2π]，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．0，π2C．(π，2π)D．3π解析：選B.由題意得f′(x)＝xcosx，當(dāng)x∈0，π2∪3π2，2π時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈π2，3π2時(shí)，f′((2)已知函數(shù)f(x)＝x－lnx－exx，判斷函數(shù)f(解：因?yàn)閒(x)＝x－lnx－exx，所以f′(x)＝1－1x－x?1ex令g(x)＝x－ex，則g′(x)＝1－ex，可得g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)＝－1<0，所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．題型二含參函數(shù)的單調(diào)性【例2】已知函數(shù)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性．解：g(x)的定義域?yàn)镽，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①若a>ln2，則當(dāng)x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈(ln2，a)時(shí)，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln2，a)上單調(diào)遞減．②若a＝ln2，則g′(x)≥0恒成立，g(x)在R上單調(diào)遞增，③若a<ln2，則當(dāng)x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈(a，ln2)時(shí)，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，ln2)上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)a>ln2時(shí)，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln2，a)上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝ln2時(shí)，g(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<ln2時(shí)，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a，ln2)上單調(diào)遞減．思維升華(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.已知函數(shù)f(x)＝alnx＋32x2－(a＋3)x，a∈R(1)若曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)的斜率為4，求a的值；(2)當(dāng)a>0時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由f(x)＝alnx＋32x2－(a＋3)x得f′(x)＝ax＋3x－(a＋所以f′(2)＝－a2＋3＝4，所以a＝－(2)由(1)得f′(x)＝3x?ax?1x，x∈(0，①當(dāng)0<a<3時(shí)，令f′(x)>0，解得0<x<a3或x>1，令f′(x)<0，解得a3<所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，a3和(1，＋②當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；③當(dāng)a>3時(shí)，令f′(x)>0，解得0<x<1或x>a3，令f′(x)<0，解得1<x<a所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)和(a3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，a綜上，當(dāng)0<a<3時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a3)和(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為a當(dāng)a＝3時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)a>3時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)和(a3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為1題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1比較大小【例3】(多選)(2024·深圳模擬)若0<x1<x2<1，則()A．ex2－ex1>lnx2+1x1+1 B．ex2－exC．x2ex1>x1ex2 D．x2ex1<x1ex2解析：選AC.令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0，1)，則f′(x)＝ex－1x+1故f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，因?yàn)?<x1<x2<1，所以f(x1)<f(x2)，即ex1－ln(x1＋1)<ex2－ln(x2＋1)，故ex2－ex1>lnx2令f(x)＝exx且x∈(0，1)，則f′(x)＝故f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<x1<x2<1，所以f(x1)>f(x2)，即ex1x1>ex2x2，故x2思維升華(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，利用不等關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是觀(guān)察已知條件構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)．(2)含有兩個(gè)變?cè)牟坏仁?，可把兩個(gè)變?cè)醋鲀蓚€(gè)不同的自變量，構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性確定其不等關(guān)系．角度2解不等式【例4】已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋1x－x，則不等式f(2x－1)<f(1－xA．0，23C．12，1解析：選B.由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).因?yàn)閒′(x)＝2x?1x2－所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．由f(2x－1)<f(1－x)，可得2x?1>0解得23<x即原不等式的解集為23思維升華利用單調(diào)性解不等式的思路方法(1)利用單調(diào)性解不等式通常用于：①分段函數(shù)型不等式；②復(fù)合函數(shù)型不等式；③抽象函數(shù)型不等式；④解析式較復(fù)雜的不等式．(2)解題的一般策略是：利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系，解不等式即可．角度3根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍【例5】若函數(shù)h(x)＝lnx－12ax2－2x(a≠0)在[1，4]上單調(diào)遞減，則a解析：因?yàn)閔(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，h′(x)＝1x－ax－2≤即a≥1x設(shè)G(x)＝1x2?2x，所以a≥G(x)max，而G(x因?yàn)閤∈[1，4]，所以1x∈14,1，所以G(x)max＝－716(此時(shí)x＝4)，所以a又因?yàn)閍≠0，所以a的取值范圍是－716，答案：－716，[變式1]若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間”，則a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閔(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h′(x)＜0在[1，4]上有解，所以當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，a＞1x2－而當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，1x2?2xmin＝－1(此時(shí)x＝1)，所以所以a的取值范圍是(－1，0)∪(0，＋∞).答案：(－1，0)∪(0，＋∞)[變式2]若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)在[1，4]上不單調(diào)”，則a的取值范圍為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閔(x)在[1，4]上不單調(diào)，所以h′(x)＝0在(1，4)上有解，即a＝1x2?2令m(x)＝1x2?2x，x∈(1，4)，則－1＜m所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是?1,－答案：?1,思維升華已知函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的步驟第一步：對(duì)含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f′(x).第二步：若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍．第三步：驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號(hào)時(shí)，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，則函數(shù)f(x)在(a，b)上為常數(shù)函數(shù)，舍去此參數(shù)值．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.(1)(2024·鄭州模擬)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則f(x)·f′(x)>0的解集為()A．(1，6) B．(1，4)C．(－∞，1)∪(6，＋∞) D．(1，4)∪(6，＋∞)解析：選D.由圖象可得，當(dāng)x<4時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>4時(shí)，f′(x)<0.結(jié)合圖象可得，當(dāng)1<x<4時(shí)，f′(x)>0，f(x)>0，即f(x)·f′(x)>0；當(dāng)x>6時(shí)，f′(x)<0，f(x)<0，即f(x)·f′(x)>0，所以f(x)·f′(x)>0的解集為(1，4)∪(6，＋∞)．(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx－xex，設(shè)a＝f32，b＝f(2)，c＝A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析：選C.易知f′(x)＝ex又x∈(0，＋∞)時(shí)，ex＞1，x?1所以f′(x)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f73＞f(2)＞f32，即c＞b＞(3)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為()A．e2B．eC．e-1D．e-2解析：選C.依題可知，f′(x)＝aex－1x≥0在(1，2)上恒成立，顯然a＞0，所以xex≥1設(shè)g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在(1，2)上單調(diào)遞增，g(x)＞g(1)＝e，故e≥1a，即a≥1e＝e-1，即a的最小值為e組合函數(shù)“六脈神劍”的圖象在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中常用到以下六個(gè)組合函數(shù)，記住以下的函數(shù)圖象對(duì)解題有事半功倍的效果．【典例】(多選)(2024·河南開(kāi)封模擬)如果函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意兩實(shí)數(shù)x1，x2(x1≠x2)都有x1fx1?x2fx2xA．f(x)＝ex B．f(x)＝x2C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx解析：選ACD.依題意，函數(shù)g(x)＝xf(x)為定義域上的增函數(shù)．對(duì)于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，g′(x)<0，故A中函數(shù)不是“F函數(shù)”；對(duì)于B，g(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，故B中函數(shù)為“F函數(shù)”；對(duì)于C，g(x)＝xlnx，g′(x)＝1＋lnx，當(dāng)x∈0，1e時(shí)，g′(x)<0，故C中函數(shù)不是“F對(duì)于D，g(x)＝xsinx，g′(x)＝sinx＋xcosx，當(dāng)x∈?π2，0時(shí)，g′(x)<0，故D中函數(shù)不是“[課下鞏固精練卷(二十二)]導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．函數(shù)f(x)＝x－ln(2x＋1)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．?12，0C．?12，+∞解析：選D.f(x)的定義域是?1f′(x)＝1－22x+1令f′(x)>0，得x>12故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是122．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()解析：選D.f′(x)>0的解集對(duì)應(yīng)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′(x)<0的解集對(duì)應(yīng)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，驗(yàn)證只有D符合．3．(2024·湖南常德模擬)若函數(shù)h(x)＝lnx－12ax2－2在[1，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)aA．?∞，1 C．(－∞，1) D．?解析：選B.h′(x)＝1x－ax若函數(shù)h(x)＝lnx－12ax2－則h′(x)＝1x－ax≥故a≤1x2在[1，2]上恒成立，故a≤4．(2024·邯鄲模擬)已知函數(shù)f(x)＝x?1xlnx，且a＝A．a(chǎn)>b>cB．c>a>bC．a(chǎn)>c>bD．c>b>a解析：選B.由f(x)＝x?1xln得f′(x)＝1+1x2lnx當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，因?yàn)閏＝f1e，0<1e<23所以f1e>f23>f45，故c>a5．(2024·河南名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋acosx在π4，πA．2?1，+∞C．1?2，+∞D(zhuǎn)．[－解析：選B.由題意，f′(x)＝cosx－asinx≤0在π4即a≥cosxsinx因?yàn)閥＝tanx在π4所以y＝tanx>1，所以當(dāng)x∈π4，π2時(shí)，0<16．(2024·蘇州模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝ex＋sinx，則不等式f(2x－1)<eπ的解集是()A．1+π2，+∞ C．0，1+eπ2解析：選D.當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)＝ex＋cosx，因?yàn)閑x≥1，cosx∈[－1，1]，所以f′(x)＝ex＋cosx≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f(－π)＝f(π)＝eπ，所以由f(2x－1)<eπ可得－π<2x－1<π，解得x∈1?π7．(多選)(2024·河北衡水中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝12x2?9lnx在區(qū)間[A．m≥4 B．m≤2C．1<m≤2 D．0<m≤3解析：選AC.f′(x)＝x－9x＝x2?9x，定義域?yàn)?0，＋∞)，由f′(x)≥0得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，＋∞)，由f′(x)≤0得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，3].因?yàn)閒(x)在區(qū)間[m－1，m＋1]上單調(diào)，所以m?1>0，m+1≤3或m8．(多選)若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值可以是()A．－2 B．－3C．e D．23解析：選ACD.由題意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1，函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋x有兩個(gè)極值點(diǎn)，即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則判別式Δ＝4b2－12>0，解得b>3或b<－3，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為?∞，?3∪39．函數(shù)f(x)＝e－xcosx(x∈(0，π))的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______．解析：f′(x)＝－e－xcosx－e－xsinx＝－e－x(cosx＋sinx)＝－2e－xsinx+π當(dāng)x∈0，3π4時(shí)，e－x>0，則f′(x)<0；當(dāng)x∈3π4，π時(shí)，e－x>0，sin則f′(x)>0，∴f(x)在(0，π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為3π答案：310．(2024·畢節(jié)模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a－x)lnx.(1)求曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程；(2)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f(1)＝0，f′(x)＝－lnx＋a?xx∴f′(1)＝a－1，∴曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為y＝(a－1)(x－1)．(2)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－lnx＋a?xx令g(x)＝－xlnx－x＋a，則g′(x)＝－lnx－2，令g′(x)＝0，則x＝1e令g′(x)>0，則0<x<1e令g′(x)<0，則x>1e∴g(x)在0，1e2上單調(diào)遞增，在1e2，+∞上單調(diào)遞減，g(x)max∵f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即1e2＋a∴a≤－1e【綜合應(yīng)用題】11．(2024·北京順義模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－x，則不等式f(x)>0的解集是()A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：選C.f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，f′(x)＝1x+1ln易知f′(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，令f′(x)＝0，得x＝1ln2－1，當(dāng)－1<x<1ln2－1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>1ln2－則f(x)在?1，1ln當(dāng)x>－1且x趨近于－1時(shí)，log2(x＋1)趨近于－∞，故此時(shí)f(x)＝log2(x＋1)－x趨近于－∞，又f(0)＝0，f(1)＝log22－1＝0，所以可作出函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)－x的大致圖象如圖，由圖可知不等式f(x)>0的解集是(0，1)．12．(2024·信陽(yáng)模擬)已知a＝1100，b＝e?99100，c＝ln101A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．b>c>a解析：選B.設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－x－1，x∈R，則f′(x)＝ex－1，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)≥f(0)＝0，即ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，∵ex≥1＋x，∴e?99100>1－99100＝1由以上分析可知當(dāng)x>0時(shí)，有ex-1≥x成立，當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，即lnx≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，∴l(xiāng)n101100<101100?1＝1100，∴a>c，故b13．已知函數(shù)f(x)＝3xa－2x2＋lnx(a>0)，若函數(shù)f(x)在[1，2]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a解析：f′(x)＝3a若函數(shù)f(x)在[1，2]上單調(diào)，即f′(x)＝3a?4x+1x≥0或f′(x)即3a≥4x?令h(x)＝4x－1x，則h(x所以3a≥h(2)或3a≤即3a≥152又a>0，所以0<a≤25或a≥因?yàn)閒(x)在[1，2]上不單調(diào)，所以25<a答案：214．(2024·青島調(diào)研)若函數(shù)g(x)＝lnx＋12x2－(b－1)x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b解析：g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且g′(x)＝1x＋x－(b－由g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間知g′(x)<0在(0，＋∞)上有解，即1x＋x－(b－因?yàn)間(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，所以x＋1x≥要使1x＋x－(b－1)<0有解，只需2<b－即b>3，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)15．(2024·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋1.(1)若f(x)≤x＋c，求c的取值范圍；(2)設(shè)a>0，討論函數(shù)g(x)＝fx解：(1)f(x)≤x＋c等價(jià)于lnx－x≤c－1.令h(x)＝lnx－x，x>0，則h′(x)＝1x當(dāng)0<x<1時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．故h(x)max＝h(1)＝－1，所以c－1≥－1，即c≥0，所以c的取值范圍是[0，＋∞)．(2)g(x)＝lnx+1?lna+1x?a＝因此g′(x)＝x?a?xln令m(x)＝x－a－xlnx＋xlna，則m′(x)＝lna－lnx，當(dāng)x>a時(shí)，lnx>lna，所以m′(x)<0，m(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<a時(shí)，lnx<lna，所以m′(x)>0，m(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，因此有m(x)<m(a)＝0，即g′(x)<0在x>0且x≠a上恒成立，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，a)和(a，＋∞)上單調(diào)遞減．【創(chuàng)新拓展題】16．已知函數(shù)f(x)＝exx－ax，當(dāng)0<x1<x2時(shí)，不等式fxA．(－∞，e)B．(－∞，e]C．?∞，e2解析：選D.因?yàn)楫?dāng)0<x1<x2時(shí)，不等式fx所以fx1x2<fx2x1，即x1f(x1令g(x)＝xf(x)＝ex－ax2，則g(x1)<g(x2)，又因?yàn)?<x1<x2，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g′(x)＝ex－2ax≥0在(0，＋∞)上恒成立，分離參數(shù)得2a≤ex令h(x)＝exx(x>0)，則只需2a≤h(x)而h′(x)＝ex·x?1x令h′(x)>0，得x>1，令h′(x)<0，得0<x<1，所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)≥h(1)＝e，故2a≤e，即a≤e217．已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋2)＋a2x2＋m，討論f(x解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－2，＋∞)，f′(x)＝1x+2當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－2，＋∞)為增函數(shù)．當(dāng)a>0時(shí)，由4a2－4a≤0得0<a≤1，此時(shí)f′(x)≥0恒成立，即f(x)在(－2，＋∞)為增函數(shù)；由4a2－4a>0得a>1，由f′(x)>0得x<－1－1?1a或x>－1＋由f′(x)<0得－1－1?1a<x<－1＋1?1a，又∴f(x)在?2，?1?1?當(dāng)a<0時(shí)，4a2－4a>0恒成立，由f′(x)<0得x>－1＋1?1a?1?1?1a<?2，由f′(x)>0得－2<∴f(x)在?2，?1+1?綜上，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在?2，?1+1?當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)在(－2，＋∞)為增函數(shù)；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在?2，?1?3．3導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值[課標(biāo)要求]1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件．2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．【必備知識(shí)】1．函數(shù)的極值(1)極小值點(diǎn)與極小值：若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值f(x0)比它在點(diǎn)x0附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(x0)＝0，而且在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，就把點(diǎn)x0叫作函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)叫作函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)極大值點(diǎn)與極大值：若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值f(x0)比它在點(diǎn)x0附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(x0)＝0，而且在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，就把點(diǎn)x0叫作函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)叫作函數(shù)y＝f(x)的極大值．[提醒]①極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)；②對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件．2．函數(shù)的最值(1)一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值與最小值．函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．[提醒](1)函數(shù)最值與極值的區(qū)別①函數(shù)在閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有唯一性；而極大值和極小值可能有多個(gè)，也可能沒(méi)有；②極值只能在函數(shù)區(qū)間的內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的不一定有極值．(2)如果函數(shù)f(x)在(a，b)上只有一個(gè)極值，那么這個(gè)極值就是相應(yīng)的最值．【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有．()(2)函數(shù)的極小值一定是函數(shù)的最小值．()(3)函數(shù)的極小值一定不是函數(shù)的最大值．()(4)函數(shù)y＝f′(x)的零點(diǎn)是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)．()(5)函數(shù)的極小值一定小于函數(shù)的極大值．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×2．如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：選A.由題意知，只有在x＝－1處，f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正，故f(x)的極小值點(diǎn)只有1個(gè)．3．函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋2x－1有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．解析：f′(x)＝3x2－2ax＋2，由題意知f′(x)有變號(hào)零點(diǎn)，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>6或a<－6.答案：?∞，?4．已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈－13，1，則f解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，因?yàn)閤∈－13，1，所以f故f(x)在－1所以f(x)的最大值為f?13＝134答案：13427－5．若函數(shù)f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值為4，則m＝解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(2，3]時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.答案：4題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值角度1根據(jù)圖象判斷函數(shù)的極值【例1】(多選)(2024·華南師大附中模擬)如圖是y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，對(duì)于下列四個(gè)判斷，其中正確的判斷是()A．當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極小值B.f(x)在[－2，1]上單調(diào)遞增C．當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極大值D.f(x)在[－1，2]上不具備單調(diào)性解析：選AC.由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可知，當(dāng)－2<x<－1時(shí)，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＝－1時(shí)，f′(x)＝0；當(dāng)－1<x<2時(shí)，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＝2時(shí)，f′(x)＝0；當(dāng)2<x<4時(shí)，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＝4時(shí)，f′(x)＝0，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極小值，故選項(xiàng)A正確；f(x)在[－2，1]上有減有增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極大值，故選項(xiàng)C正確；f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．思維升華由函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由導(dǎo)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)的圖象可以看出導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，從而可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．角度2求已知函數(shù)的極值【例2】已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，討論函數(shù)f(x)的極值．解：因?yàn)閒(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x，所以f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1x＋4ax＋2a＋2＝2ax+1若a<0，則當(dāng)x∈0，?12a時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈?1故函數(shù)f(x)在0，?1故f(x)在x＝?12a處取得唯一的極大值，且極大值為若a>0，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0恒成立，故函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值．綜上，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的極大值為ln?12a?12a－1，無(wú)極小值；思維升華運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)；(5)求出極值．角度3已知函數(shù)的極值求參數(shù)的值(范圍)【例3】(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1處取得極大值10，則a＋b的值為()A．－1或3 B．1或－3C．3 D．－1解析：選C.因?yàn)閒(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝1處取得極大值10，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0①，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10②，聯(lián)立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.當(dāng)a＝－2，b＝1時(shí)，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)·(3x－1)，f(x)在?∞，13和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在13，1上單調(diào)遞減，故f(當(dāng)a＝－6，b＝9時(shí)，f′(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)·(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，故f(x)在x＝1處取得極大值10，符合題意．綜上可得，a＝－6，b＝9，則a＋b＝3.(2)(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a3.若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f′(x)＝ex－a，若a≤0，則f′(x)≥0對(duì)任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；若a>0，令f′(x)>0，解得x>lna；令f′(x)<0，解得x<lna；可知f(x)在(－∞，lna)內(nèi)單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)有極小值f(lna)＝a－alna－a3，無(wú)極大值，由題意可得f(lna)＝a－alna－a3<0，即a2＋lna－1>0，構(gòu)建g(a)＝a2＋lna－1，a>0，則g′(a)＝2a＋1a可知g(a)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且g(1)＝0，不等式a2＋lna－1>0等價(jià)于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范圍為(1，＋∞).思維升華根據(jù)函數(shù)極值情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)如果一個(gè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，那么在其極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必然為零，即對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點(diǎn)的必要條件，當(dāng)已知函數(shù)在某一點(diǎn)處取得極值時(shí)，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一定為零，據(jù)此可建立關(guān)于參數(shù)的方程進(jìn)行求解，并檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有極值點(diǎn)，則f′(x)在區(qū)間I上有變號(hào)的零點(diǎn)，亦即方程f′(x)＝0有滿(mǎn)足相應(yīng)條件的實(shí)數(shù)根，從而可轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，也可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行求解．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)(2024·成都模擬)若函數(shù)f(x)＝x(x＋a)2在x＝1處有極大值，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1 B．－1或－3C．－1 D．－3解析：選D.函數(shù)f(x)＝x(x＋a)2，f′(x)＝(x＋a)2＋2x(x＋a)＝(x＋a)(3x＋a)，由函數(shù)f(x)＝x(x＋a)2在x＝1處有極大值，可得f′(1)＝(1＋a)(3＋a)＝0，解得a＝－1或a＝－3，當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝(x－1)(3x－1)，當(dāng)x∈13，1時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f所以f(x)在13，1上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)在當(dāng)a＝－3時(shí)，f′(x)＝(x－3)(3x－3)，當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，f(x)在x＝1處有極大值，符合題意．綜上可得，a＝－3.(2)(2024·重慶模擬)若函數(shù)f(x)＝x2－x＋alnx有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．0，18 C．?∞，18解析：選C.函數(shù)f(x)＝x2－x＋alnx的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝2x－1＋ax＝2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有極值，所以f′(x)在(0，＋∞)上有變號(hào)零點(diǎn)，即2x2－x＋a＝0在(0，＋∞)上有解(若有兩個(gè)解，則兩個(gè)解不能相等)，因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝2x2－x＋a的對(duì)稱(chēng)軸為x＝14所以只需Δ＝(－1)2－8a>0，解得a<18，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1題型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值角度1求已知函數(shù)的最值【例4】(2022·全國(guó)乙卷)函數(shù)f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區(qū)間0，2π的最小值、最大值分別為()A．－π2，πC．－π2，π解析：選D.f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x+1)cosx＝(x+1)cosx，所以在區(qū)間0，π2和3π2，2π上f即f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間π2，3π2上f′(x)<0，即f又f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝πf3π2＝?3π2所以f(x)在區(qū)間0，2π上的最小值為－3π2，最大值為π2思維升華導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上函數(shù)的最值問(wèn)題的一般步驟(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；(3)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的最大值與最小值．角度2含參函數(shù)的最值【例5】已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋(a－1)x，a∈R.求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值．解：由f(x)＝xlnx＋(a－1)x，可得f′(x)＝lnx＋a，由f′(x)＝lnx＋a＝0，可得x＝e－a，當(dāng)e－a≤1，即a≥0時(shí)，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為f(1)＝a－1；當(dāng)e－a≥e，即a≤－1時(shí)，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為f(e)＝ae；當(dāng)1<e－a<e，即－1<a<0時(shí)，若x∈[1，e－a)，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，若x∈(e－a，e]，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為f(e－a)＝－e－a.綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為a－1；當(dāng)－1<a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為－e－a；當(dāng)a≤－1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為ae.思維升華求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．角度3由函數(shù)的最值求參數(shù)的值(范圍)【例6】(2024·蘇州模擬)函數(shù)f(x)＝－13x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，則實(shí)數(shù)a解析：由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，故若函數(shù)f(x)在(a，10－a2)上存在最大值，則a＜1，10?a2＞1，答案：[－2，1)【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)(2024·河南鄭州模擬)在半徑為R的球內(nèi)作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱體積取得最大值時(shí)，圓柱的高為()A．R B．23C．3R D．103解析：選B.設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為r，則r2＋?24＝R2，所以r2＝R2－則圓柱體積V＝πr2h＝πR2??24令V′＝πR2?3?24＝當(dāng)h∈0，233R時(shí)，V′(h當(dāng)h∈233R，2R時(shí)，V′(h故當(dāng)h＝233R時(shí)，(2)(2024·上饒模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2＋1.當(dāng)0<x≤e2時(shí)，g(x)＝f(x)－ax2－3＋ax有最小值2，求a解：g(x)＝f(x)－ax2－3＋ax＝lnx＋ax－2，其中0<x≤e2，則g′(x)＝若a≤0，則g′(x)>0，g(x)在(0，e2]上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)無(wú)最小值，不符合題意；若a>0，當(dāng)x>a時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)0<x<a時(shí)，g′(x)<0.①當(dāng)a≥e2時(shí)，對(duì)任意的x∈(0，e2]，g′(x)≤0，函數(shù)g(x)在(0，e2]上單調(diào)遞減，則g(x)min＝g(e2)＝lne2＋ae2?2＝ae2＝②當(dāng)0<a<e2時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，a]上單調(diào)遞減，在(a，e2]上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(a)＝lna＋aa－2＝解得a＝e3，不符合題意．綜上所述，a的值為2e2.[課下鞏固精練卷(二十三)]導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值_____________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．函數(shù)f(x)