高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市六校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線l過、兩點,則直線l的傾斜角的大小為（）A.不存在 B. C. D.【答案】C【解析】由題知直線l過、兩點,所以直線的方程為,故傾斜角為.故選:C2.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結論成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，由，可得，所以A不正確，C正確；對于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；故選：C.3.已知兩平行直線，的距離為，則m的值為（）A.0或-10 B.0或-20 C.15或-25 D.0【答案】B【解析】化簡得：，兩平行直線，的距離為：，，或，故選：B.4.已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】因為，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D5.在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是正方形的中心，則的值為（）A.不確定 B.2 C. D.4【答案】D【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，則,0,，,2,，，,1,，．故選：D．6.在平行六面體中，為與的交點，是的中點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：由題意可知，，所以，故選：A.7.臺風中心從地以每小時速度向西北方向移動，離臺風中心內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險區(qū)內(nèi)的時長為（）A.1小時 B.小時 C.小時 D.2小時【答案】B【解析】如圖所示，以點為坐標原點建立直角坐標系，則，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，當臺風進入圓內(nèi)，則城市處于危險區(qū)，又臺風的運動軌跡為，設直線與圓的交點為，，圓心到直線的距離，則，所以時間，故選：B.8.已知圓：的圓心為點，直線：與圓交于，兩點，點在圓上，且，若，則的值為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】設弦的中點為，由題可知圓的半徑為，因為，，所以，所以，，可得，解得.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，，若，的夾角是鈍角，則的可能取值為（）A. B. C.0 D.1【答案】AC【解析】由題意得，再去掉其共線反方向的情況，則，解得，當，共線時，解得，故且，對照選項知AC正確，BD錯誤.故選：AC.10.已知直線：，則（）A.直線的一個方向向量為B.直線過定點C.若直線不經(jīng)過第二象限，則D.若，則圓上有四個點到直線的距離等于【答案】BD【解析】對于A：由方程可得可得一個方向向量：，可判斷A錯誤；對于B：，所以，則直線過定點，故B正確；對于C，若，則直線，此時直線不過第二象限，又直線過定點，要使得直線不過第二象限，則，解得，所以若直線不經(jīng)過第二象限，則，故C錯誤.對于D：當時，直線方程為：，圓心到直線的距離為：，而圓的半徑為，因為，所以圓上有四個點到直線的距離等于，正確；故選：BD11.已知點在圓：上，點是直線：上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，又設直線分別交，軸于，兩點，則（）A.的最小值為B.直線必過定點C.滿足的點有兩個D.過點作圓的切線，切線方程為或【答案】BCD【解析】A：因為，當PQ最小時，取最小值，PQ取最小值時即為到直線的距離，所以PQ最小值為，所以的最小值為，故A錯誤；B：設，，所以中點坐標為，，以為直徑的圓的方程為，又圓，兩圓方程相減可得，即為令，解得，所以公共弦所在直線過定點，故B正確；對于C：對于，令，則，所以，令，則，所以，所以中點的坐標為，，故以為直徑的圓的方程為，又因為，且，所以圓與圓相交，所以滿足的點有兩個，故C正確；對于D：如圖所示，不妨設切線方程為，即，因為與圓相切，所以，所以，解得，所以切線方程為或，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點在平面內(nèi)，為空間內(nèi)任意一點，若，則________．【答案】【解析】由，得，即．因為點在平面內(nèi)，所以，得．13.直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．【答案】【解析】如下圖所示：設過點且與軸垂直的直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，當點從點移動到點（不包括點）的過程中，直線的傾斜角為銳角，此時，；當點從點（不包括點）移動到點的過程中，直線的傾斜角為鈍角，此時，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.14.如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架、的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.長度為1的金屬桿端點在對角線上移動，另一個端點在正方形內(nèi)（含邊界）移動，且始終保持，則端點的軌跡長度為______.【答案】【解析】以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，設，可得，因為，即，可得，則，則，整理可得，可知端點軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，所以端點的軌跡長度為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線：與直線：的交點為.（1）求點關于直線的對稱點；（2）求點到經(jīng)過點的直線距離的最大值，并求距離最大時的直線的方程.解：（1）聯(lián)立方程,解得所以兩直線，的交點為.設，則的中點為.聯(lián)立方程，解得，所以.（2）因為，所以點到經(jīng)過點的直線距離的最大值為.由題意，與垂直，則，故的斜率為.所以直線的方程為，即所以當距離最大時，直線的方程為.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別為棱，的中點.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：∵、分別為，的中點，∴，∵為正方形，∴，則，∵平面，平面，∴平面.（2）解：由題知平面，，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，A0,0,0，，，，∴，，∴，，，設平面ADNM的一個法向量為，則令，則，，∴.設直線與平面所成的角為，∴，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知動點與兩個定點，的距離的比是2.（1）求動點的軌跡的方程；（2）直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.解：（1）設點，動點與兩個定點，的距離的比是，，即，則，化簡得，所以動點的軌跡的方程為；（2）由（1）可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長為，圓心到直線的距離，①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡得，解得或，此時直線方程為或.綜上，直線的方程是或.18.如圖1所示中，．分別為中點．將沿向平面上方翻折至圖2所示的位置，使得．連接得到四棱錐，記的中點為N，連接，動點Q在線段上．（1）證明：平面；（2）若，連接，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）求動點Q到線段的距離的取值范圍．（1）證明：因為折疊前為中點，，所以，折疊后，，所以，所以，在折疊前分別為中點，所以，又因為折疊前，所以，所以在折疊后，，；以為坐標原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，為中點，所以，，設平面的法向量為，又，，所以，，令，則，，所以，所以，所以，所以平面.（2）解：設，由（1）知，，因為動點Q在線段上，且，所以，所以，所以，，，所以，，，設平面的法向量為，，，令，則，，所以，設平面的法向量為，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（3）解：設，，，動點Q在線段上，所以，，即，即，所以，，，設點Q到線段的距離為，，，，，，令，，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，由此可知動點Q到線段距離的取值范圍為.19.在空間直角坐標系Oxyz中，已知向量，點.若直線l以為方向向量且經(jīng)過點，則直線l的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.（1）證明：向量是平面的法向量；（2）若平面，平面，直線l為平面和平面的交線，求直線l的單位方向向量（寫出一個即可）；（3）若三棱柱的三個側面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點，，