高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市十校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)4中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A.0° B.45° C.90° D.不存在【答案】C【解析】直線與軸垂直，所以直線的傾斜角為90°.故選：C.2.等比數(shù)列中，，，則（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】D【解析】由，可得：即，又，所以，由，可得：，故選：D.3.數(shù)列滿足，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，故選：C.4.若方程表示圓，則（）A.1 B. C. D.或1【答案】A【解析】由題意可得，化簡(jiǎn)可得，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得方程，整理可得，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，可得，整理可得，符合題意.故選：A.5.若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】由題圓C：,則兩圓心距為，故兩圓相交由于圓O：與圓C：關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l是兩圓的公共弦所在的直線，故把兩圓的方程相減可得直線l的方程為，故選D．6.已知一小球從地面豎直向上射出到10m高度后落下，每次著地后又彈回到前一次高度的處，則該小球第6次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)小球第一次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為，第次落地到第次落地經(jīng)過(guò)的路程為，由題意，，數(shù)列從第二項(xiàng)起構(gòu)成以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則第6次著地后經(jīng)過(guò)的路程為（），故選：D7.已知曲線，是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.曲線圍成的圖形有4條對(duì)稱軸 B.曲線圍成的圖形的周長(zhǎng)為C.的最大值為5 D.曲線上任意兩點(diǎn)間的距離不大于4【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，代表以為圓心，為半徑的圓，在軸右側(cè)部分，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，代表以為圓心，為半徑的圓，在軸左側(cè)部分，所以曲線的圖象如圖所示，對(duì)于A，由圖可知曲線圍成的圖形有2條對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，曲線由2個(gè)圓組成，其周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，到直線的距離，所以，點(diǎn)到直線的距離為，則曲線上的點(diǎn)到直線的距離最大值為所以最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖可知曲線上任意兩點(diǎn)間的最大距離為兩圓圓心距離加上兩個(gè)半徑，故D錯(cuò)誤；故選：B.8.曲線上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則以下不可能成為公比的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，故曲線為如圖所示的半圓，其圓心為，半徑為1，，因?yàn)椋?，結(jié)合曲線為半圓可得，而半圓上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，故，即，其中為公比，因，，故ABC中的選項(xiàng)均存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，又，故不可能成立公比，故D錯(cuò)誤，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知兩直線與，則（）A.直線過(guò)定點(diǎn) B.直線在軸上的截距為1C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，與之間的距離為【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，解得.所以直線過(guò)定點(diǎn)，選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，對(duì)于直線，令，則，解得.所以直線在軸上的截距為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C，直線，其斜率；直線，其斜率.當(dāng)時(shí)，，即，，解得，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，解得.此時(shí)，即.兩平行直線與之間的距離公式為.對(duì)于與，距離，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選；AC.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.數(shù)列為遞減數(shù)列C.數(shù)列為等差數(shù)列 D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即，則，A正確，對(duì)于BC，由可得，相減可得，即，由于則，故的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，又，，故，因此對(duì)任意的，，故為等差數(shù)列，且公差為2，故B錯(cuò)誤，C正確，對(duì)于D，由于，故的前項(xiàng)和為，D正確，故選：ACD.11.已知，圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)為線段AP的中點(diǎn)，則（）A.的取值范圍為 B.點(diǎn)的軌跡方程為C.直線AP的斜率的最大值為 D.當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】取的中點(diǎn)，連接，易知當(dāng)不在橫軸上時(shí)，，當(dāng)P在橫軸上時(shí)，若時(shí)，仍有；若時(shí)，仍有，所以Q軌跡為以B為圓心，1為半徑的圓上，其軌跡方程為，故B正確；所以，即A正確；顯然當(dāng)與圓O相切時(shí)斜率取得最值，不妨設(shè)切線方程為，則圓心O到切線的距離為，所以直線AP的斜率的最大值為，故C錯(cuò)誤；兩圓方程作差得其公共弦方程為，所以Q在圓O上時(shí)，即在兩圓的公共弦上，所以其橫坐標(biāo)為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.等差數(shù)列中，，，則__________．【答案】0【解析】由題意設(shè)公差為，則，所以.13.已知點(diǎn)P，Q在直線上，且P，Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均小于或等于2，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)圓，設(shè)直線截圓所得的弦為，所以弦長(zhǎng)為，所以的最大值為.14.對(duì)于任意給定的一個(gè)正整數(shù)，將分母小于或等于的既約（最簡(jiǎn)）真分?jǐn)?shù)按照自左至右遞增排列，并在第一個(gè)分?jǐn)?shù)之前加上，在最后一個(gè)分?jǐn)?shù)之后加上，該數(shù)列稱為階Farey數(shù)列，記為，其項(xiàng)數(shù)記為，各項(xiàng)的和記為.如下，給出，，…，，在中，有，，已知，則________，_________.【答案】23【解析】分母為6的既約真分?jǐn)?shù)有，，共2個(gè)；分母為7的既約真分?jǐn)?shù)有，，，，，，共6個(gè)；分母為8的既約真分?jǐn)?shù)有，，，，共4個(gè)，由題意得，所以.與100互質(zhì)的數(shù)是不能被2和5整除的數(shù)，即個(gè)位是1，3，7，9的數(shù)都與100互質(zhì)，所以與100互質(zhì)的數(shù)共有40個(gè)，即分母為100的既約真分?jǐn)?shù)有40個(gè)，又，所以，由題意可知階Farey數(shù)列，每一階最中間的數(shù)都為，且關(guān)于對(duì)稱的兩數(shù)之和為1，所以利用倒序相加法可得，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)為，，．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且B，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，求直線l的方程．解：（1）法一：依題意，有，所以AD的斜率為2，所以AD所在直線的方程為，即．法二：依題意，有，即直線AD的一個(gè)法向量為．由直線的點(diǎn)法式，可得直線AD所在的直線的方程為：，即．（2）法一：（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線．B，C兩點(diǎn)到直線l的距離分別為2和6，不符合題意．（ii）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為，即．依題意，有，即，所以或，解得或．所以直線的方程為或．法二：因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且B，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，所以直線l與直線BC平行，或過(guò)線段BC的中點(diǎn)．（i）當(dāng)直線l與直線BC平行時(shí)，直線BC的斜率為，所以直線的方程為，即．（ii）當(dāng)直線l過(guò)線段BC的中點(diǎn)時(shí)，線段BC的中點(diǎn)為，所以直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．16.已知圓C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．（1）求過(guò)點(diǎn)A，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線m的方程；（2）求圓C的方程．解：（1）（i）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為2，此時(shí)直線的方程為．（ii）當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為．因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得．此時(shí)直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．（2）法一：設(shè)圓C的方程為，依題意，有解得所以圓的方程為．法二：直線AB的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為1．又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段AB的垂直平分線的方程為．由解得即圓心．又圓C的半徑為，所以圓的方程為．法三：因圓心C在直線上，所以可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為．依題意，有，所以，解得．所以圓C的圓心，半徑，所以圓C的方程為．17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，．（1）求與；（2）記集合，，若將中所有元素從小到大依次排列成一個(gè)新的數(shù)列，為前n項(xiàng)和．（i）求；（ii）求滿足的最小正整數(shù)的值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得解得所以，．（2）與集合相比，元素間隔大，所以在集合中加入幾個(gè)中的元素來(lái)考慮．（i）．（ii）考慮到，，．易知為遞增數(shù)列，則滿足的最小正整數(shù)的值為23．18.過(guò)原點(diǎn)O的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)．（1）過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線m，求切線m的方程；（2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；（3）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與圓相離，不符合題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線，即．因?yàn)橹本€與圓相切，圓的圓心，半徑，所以，即，解得或．所以直線的方程為，或．（2）法一：因?yàn)辄c(diǎn)A，B為過(guò)原點(diǎn)O的直線與圓的交點(diǎn)，且點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，所以，則點(diǎn)的軌跡是以O(shè)C為直徑的圓，圓心為，半徑為，所以點(diǎn)的軌跡方程為．法二：設(shè)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合時(shí)，由圓的性質(zhì)可知，，所以，所以，即．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O或點(diǎn)C重合時(shí)，和均滿足方程．綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為．（3）i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，．所以．ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為．設(shè)，，由聯(lián)立，得．由，得，，所以．綜上所述，為定值．法二：所以．所以．綜上所述，為定值．19.已知半圓，圓，作圓與半圓，圓，軸均相切，點(diǎn)，且．（1）求的周長(zhǎng)；（2）證明：為等比數(shù)列；（3）證明：對(duì)任