高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省豫西重點高中2025屆高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題1．已知3+iz=4+3iA．-1 B．1 C．-i D．【答案】A【解析】因為3+iz=所以z的虛部為-1.故選：A2．已知集合M=xx2-x-2>0，N=xx2A．1,2 B．1,+∞ C．4,+∞ D【答案】D【解析】由x2-x-2>0，即x+1x-2>0，解得所以M={x|x<-1或x>2}，因為N=xx2若a<0時N=R，若a=0時N=x|x≠0，不符合題意，所以則N={x|x<-a或x>a}，所以-即實數(shù)a的取值范圍為4,+∞故選：D3．在△ABC中，D是AC邊的中點，且點M滿足BD=3BM，若AM=λAB+μA．12 B．23 C．34【答案】D【解析】因為AM=AB+BM=由①×2+②，得3AM即λ=23，μ=1故選：D.4．某鋼管車間生產(chǎn)的無縫鋼管的直徑規(guī)格為45mm，現(xiàn)從生產(chǎn)的鋼管中隨機抽取10根，測得10根鋼管的平均直徑為45.3mm，方差為0.2mm2，若再加入1根直徑為45.3mm的鋼管，則這11根鋼管直徑的（A．平均數(shù)變小 B．平均數(shù)變大 C．方差變小 D．方差變大【答案】C【解析】設11根鋼管的平均直徑為xmm，方差為s2mm2，則x=10×45.3+45.311=45.3，故A，B故選：C5．記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差d≠0，a1=1，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且b1=a3A．2 B．52 C．118 D【答案】C【解析】由題意得b22=b1解得d=0（舍去）或d=12，所以b1=a則bn=因為S8所以S8故選：C.6．已知函數(shù)fx=x2-2x,x<1,A．-∞,12 B．-∞,1【答案】A【解析】當x<1時，fx=x2-2x≥12當x≥1時，令gx=ln所以當x∈1,2時，g'x>0，當x∈2,+∞時，g'x<0所以gx≤g2=ln所以當x≥1時，不等式fx≥綜上，所求不等式的解集為x∈-故選：A.7．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1（a,b均為正整數(shù)）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，P為C右支上一點，△PF1F2的周長為25，A．y=±23x B．y=±34x【答案】B【解析】設F1F2=2cc>a>0，因為P由雙曲線的定義得PF1由①②得PF1=因為△PF1O與△PF2則PF所以25+2a-2c25-2a-2c=237，整理得所以23a<100，又因為a為正整數(shù)，所以a∈1,2,3,4，又c=a2經(jīng)驗證得，a=4，c=5，所以b=c2-a2故選：B8．在三棱錐P-ABC中，底面ABC為正三角形，PA⊥平面ABC，AB=23，PA=4，若P，A，B，C四點都在球O的表面上，則球心O到平面PBC的距離為（

A．15 B．25 C．35【答案】B【解析】設底面中心為D，取BC的中點E，連接AE，則A，D，E三點共線，連接PE，過點D作底面的垂線l1取棱PA的中點Q，在平面PAE中，過Q作PA的垂線l2，則l1與l2在正△ABC中，AB=23，AE=AB×sin60°=3又PA=2PQ=4，則OP=PQ2OE=OD2則sin∠OPE=210，過O作PE的垂線，垂足為G，由BC⊥AEPA∩AE=A，PA，AE?平面PAE，得BC⊥平面PAE，又BC?平面PBC，于是平面PBC⊥平面PAE，又平面PAE∩平面PBC=PE，OG?平面PAE，因此OG⊥平面PBC，在Rt△POG中，OG=PO×所以球心O到平面PBC的距離為25故選：B二、多選題9．某蔬菜批發(fā)市場統(tǒng)計了近5個月某種蔬菜的批發(fā)價格（單位：元/千克），如表所示，若y與x線性相關，且線性回歸方程為y=-0.44x+a，則（月份序號x12345批發(fā)價格y：元/千克54.243.83A．變量y與x負相關B．a(chǎn)C．當x=3時，y的觀測值與估計值的差為-0.88D．可以預測當x=6時，批發(fā)價格不超過2.8元/千克【答案】ABD【解析】由題中數(shù)據(jù)可知，隨著x變大，y變小，故變量y與x負相關，故A正確；由表中數(shù)據(jù)可知，x=15又因為y=-0.44x+a，則-0.44×3+a=4，解得所以y=-0.44x+5.32當x=3時，y的觀測值與估計值的差為4--0.44×3+5.32=0，故當x=6時，y=-0.44×6+5.32=2.68，所以可以預測當x=6時，批發(fā)價格不超過2.8元/千克，故D正確故選：ABD10．如圖（1）所示，在矩形ABCD中，點E為AD的中點，BC=2AB=4，將△ABE沿BE翻折，使點A到達點P的位置，如圖（2）所示，點F為PC的中點，且PC=23，則（

A．平面PBE⊥平面BCDE B．直線PC與平面BCDE所成的角為30°C．DF//平面PBE D．【答案】AC【解析】連接EC，則EC=22，因為PE=2，PC=23，所以即PE⊥EC，又因為BE=CE=22,BC=4，所以所以BE⊥EC，又PE，BE?平面PBE，PE∩BE=E.所以EC⊥平面PBE，又EC?平面BCDE，所以平面PBE⊥平面BCDE，故A正確；取線段BE的中點為G，連接PG，CG，則PG⊥BE，因為平面PBE∩平面BCDE=BE，PG?平面PBE，所以PG⊥平面BCDE，則∠PCG為直線PC與平面BCDE所成的角，sin∠PCG=PGPC取線段PB的中點為H，連接FH，HE，則FH//BC，且又因為DE//BC，且DE=12BC即四邊形DEHF為平行四邊形，所以DF//又因為EH?平面PBE，DF?平面PBE，所以DF//平面PBE，故C由C知，DF//HE，故HE與PB所成的角即為DF與因為EP⊥PB，所以EH與PB不垂直，所以PB與DF不垂直，故D錯誤.故選：AC11．已知函數(shù)fx=13x3-A．當a=1時，若f'x≥mx，則B．若y=2x是fx的一條切線，則實數(shù)a的值有且只有1C．當a=-1時，fx的圖象關于點0,-1D．當a∈73,+∞時，【答案】ACD【解析】對于選項A：當a=1時，fx=1由f'x≥mx，可得x要使得不等式恒成立，則Δ=m+22-4≤0，解得-4≤m≤0對于選項B：對函數(shù)求導得f'x=x2所以方程x2-a+1x+a=2有解，又因為所以方程有兩個不相等的實根，此時滿足條件的a的值有無數(shù)個.B錯誤；對于選項C：當a=-1時，fxfx所以當a=-1時，fx的圖象關于點0,-1對稱，故C對于選項D：對函數(shù)求導為f'當a>73>1時，由f'x>0，得由f'x<0，得1<x<a所以fx極大值=f因為當a>73時，f'a<0又f0=-1<0，f2a=23a3故選：ACD.三、填空題12．已知sinα+π3=-【答案】-【解析】cos2α-故答案為：-713．《推動大規(guī)模設備更新和消費品以舊換新行動方案》（國發(fā)[2024]7號）于2024年3月1日經(jīng)國務院常務會議審議通過.在某次以舊換新的活動中，某家庭從冰箱、洗衣機、電視、空調、電腦、熱水器、家用灶具、吸油煙機8個品類中任選4個品類進行以舊換新，則電視、空調、電腦和熱水器更換至少2個品類的概率為.【答案】53【解析】如果電視、空調、電腦和熱水器更換2個品類，則P1如果電視、空調、電腦和熱水器更換3個品類，則P2如果電視、空調、電腦和熱水器全部更換，則P3所以所求概率為P1故答案為：537014．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C【答案】1【解析】設Pm,nm<a，MxM由PF1=3PM，可得又OP=m,n，MF2=整理得n2=m2c-m，由P在C上，得m得m2c-m=b21-m2由a2c-a<a，可得2c>a，即e=ca>12故答案為：12四、解答題15．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2acos（1）求A；（2）若D是邊AB上靠近點A的三等分點，AD=DC，△ABC的面積為33，求△ABC的周長解：（1）由正弦定理得:2sin整理得2cos即2cos因為A+B∈0,π，所以sinA+B因為A∈0,π，所以（2）設AD=DC=x，則AB=3x，在△ACD中，由AD=DC，A=π6，得由余弦定理得b2所以b2=x在△BCD中，由余弦定理得a2所以a2=x因為S△ABC=12bc所以△ABC的周長為6+4316．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥BC，AB=BC=22，AD=DC=5，點M為棱PD上一點，PA=PC，O為AC（1）證明：平面PBD⊥平面MAC.（2）已知PD=5，PO=2，點N在棱BC上，且BN=2NC，若直線PN與平面MAC所成角的正弦值為77，求PM（1）證明：連接BO，DO，因為AB=BC，AD=DC，所以BO⊥AC，DO⊥AC，所以B，O，D三點共線，即AC⊥BD，因為PA=PC，所以AC⊥PO，因為PO，BD?平面PBD，且PO∩BD=O，所以AC⊥平面PBD，因為AC?平面MAC，所以平面PBD⊥平面MAC.（2）解：由題意得AC=AB2+BC2=4又因為PD=5，PO=2，所以PO2由（1）知AC⊥BD，AC⊥PO，所以BD，AC，PO兩兩相互垂直，以O為原點，OB，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A0,-2,0，C0,2,0，D-1,0,0，P0,0,2，因為BN=2NC，所以N2設PM=λPD0≤λ≤1，所以M設n=x,y,z為平面MAC即4y=0,取x=2，得z=λ1-λ，y=0，則設直線PN與平面MAC所成角為θ，則sinθ=整理得15λ2-4λ-4=0，解得λ=所以PMPD17．已知函數(shù)fx（1）討論fx的單調性（2）若存在兩個不同的x1，x2滿足fx（1）解：fx的定義域為0,+∞，且①當a≤0時，由f'x<0，得0<x<1，由f所以函數(shù)fx在0,1上單調遞減，在1,+②當a=1時，f'x≥0恒成立，故函數(shù)f③當0<a<1時，由f'x<0，得a<x<1，由f'x所以函數(shù)fx在a,1上單調遞減，在0,a，1,+④當a>1時，由f'x<0，得1<x<a，由f'x所以函數(shù)fx在1,a上單調遞減，在0,1，a,+綜上：當a≤0時，函數(shù)fx在0,1上單調遞減，在1,+當0<a<1時，函數(shù)fx在a,1上單調遞減，在0,a，1,+當a=1時，函數(shù)fx在0,+當a>1時，函數(shù)fx在1,a上單調遞減，在0,1，a,+∞（2）證明：由（1）知，當0<a<1時，fx極大值=f當a>1時，fx極大值=f當a=1時，fx在0,+∞上單調遞增，所以若要fx有兩個零點，當a=0時，fx=12x2-x，此時設x1<1<x則F'所以Fx在0,1上單調遞減，則Fx>F所以fx1>f2-x因為x2>1，2-x1>1，由（1所以x2>2-x18．已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F，O為坐標原點，點M在C上且在第一象限，F(xiàn)M（1）求C的方程.（2）A，B是C上異于M的兩個動點，直線MA與MB的斜率之積為1，證明：直線AB過定點.（3）點M關于x軸的對稱點為N，分別過M，N作C的兩條切線，這兩條切線的交點G恰好在x軸上，GS=λSM0<λ<1，過S作C的切線，切點為R（異于點M），且與線段GN交于點T，求（1）解：設Ma,b，則△OMF的面積為S=12根據(jù)拋物線的定義，得FM=a--p所以8p2=2p×2p，解得p=2，即C（2）證明：由（1）知M4,4，設Ax1,y1，則x1≠4且x2≠4，聯(lián)立x=ty+n,y由韋達定理可得y1+ykMA=y又因為kMA?k整理得y1y2+4y所以x=ty+4t=ty+4，即直線AB過定點0,-4（3）解：因為M4,4，所以N設直線GM的方程為y-4=kx-4由y-4=kx-4,y則Δ=16-64k1-k=0，解得所以直線GM的方程為y=12x+4，且G設S2t,t+2，因為GS=λSM，所以2t+4=λ由0<λ<1得t∈-2,2，設直線ST:x=m由x=my-t-2+2t,y由Δ=-4m2-44mt+8m-8t=0當m=2時，直線ST:x=2y-4，與直線GM的方程一樣，舍去，故m=t，所以直線ST:x=ty-t2，即x-ty+t2=0點G-4,0到直線ST:x=ty-t2又ST=所以△GST的面積為S△GST因為t∈-2,2，所以當t=0時，△GST面積取到最大值為19．定義：在數(shù)列an中，隨著nn≥3的增大，an的個數(shù)按照一定的規(guī)律逐漸增加，則稱an為“個數(shù)發(fā)散數(shù)列”.記數(shù)列an的前n項和為Sn，a1（1）當n=3，4，5時，求an，并驗證an是否為“個數(shù)發(fā)散數(shù)列（2）當n=5時，在所有an中隨機抽取3個數(shù)列，記S5=1的an的個數(shù)為X，求（3）當n≥3，an+4=a解：（1）已知Sn+1所以(S進一步整理得(S所以Sn+1-S當n≥2時，由an=SSn+1所以an+1+a確定不同n時數(shù)列個數(shù)：n=3時，已知a1=1,a2=3若an+1+an=0，則a3=-a2=-3，有2個數(shù)列，分別為：1，n=4時，按上述規(guī)則繼續(xù)推導，有4個數(shù)列，分別為：1，3，5，7；1，3，5，-5；1，3，-3，-1；1，3，-3，3；n=5時，同理可得有7個數(shù)列，分別為：1，3，5，7，9；1，3，5，-5，-3；1，3，5，-5，5；1，3，5，7，-7；1，3，-3，-1，1；1，3，-3，3，5；1，3，-3，3，-3；隨著n增大，數(shù)列{an}的個數(shù)增多，所以{an（2）當n=5時，S5=1的情況有3種：1，3，5，-5，-3；1，3，-3，-1，1；1，3，-3，3，所以X