課下鞏固精練卷(八十五)離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征【基礎(chǔ)鞏固題】1．已知離散型隨機變量X的分布列為X123P3a1則X的均值E(X)等于()A．32C．52解析：選A.由題意得35+a+110＝1，解得a＝310，故E(2．已知隨機變量X的分布列為X123P111且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，則a等于()A．－3 B．－2C．53 解析：選A.E(X)＝1×12+2×13+3×16＝53.∵Y＝aX＋3，∴E3．已知甲、乙兩種產(chǎn)業(yè)收益的分布列分別為：甲產(chǎn)業(yè)收益分布列收益X/億元－102概率0.10.30.6乙產(chǎn)業(yè)收益分布列收益Y/億元012概率0.30.40.3則下列說法正確的是()A．甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險高B．甲產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險小C．乙產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險小D．乙產(chǎn)業(yè)收益的期望小，風(fēng)險高解析：選A.由題意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲產(chǎn)業(yè)收益的期望大，風(fēng)險高．4．隨機變量X的取值范圍為{0，1，2}，若P(X＝0)＝14，E(X)＝1，則D(XA．14B．C．12D．解析：選C.設(shè)P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，由題意得E(X)＝0×14＋p＋2q且14＋p＋q＝1，解得p＝1所以D(X)＝14×(0－1)2＋12×(1－1)2＋14×(2－1)25．(2024·綿陽診斷)若離散型隨機變量X的分布列如下，E(X)＝0，D(X)＝1，則P(X<1)＝()X-1012Pabc1A．12B．C．34D．解析：選D.由題意知，a＋b＋c＋112由E(X)＝0，即E(X)＝－1×a＋0×b＋1×c＋2×112＝0，得－a＋c＋1由D(X)＝1，即D(X)＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112得a＋c＋13聯(lián)立①②③解得a＝512所以P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝a＋b＝236．(2024·桂林模擬)設(shè)0<a<1.隨機變量X的分布列為X0a1P111當(dāng)a在(0，1)上增大時，則()A．E(X)不變B．E(X)減小C．D(X)先增大后減小D．D(X)先減小后增大解析：選D.E(X)＝0×13+a×13+1×D(X)＝a+132×13+a?a+132×13＋1?a+132×13＝127[(a＋1)∴當(dāng)a在(0，1)上增大時，D(X)先減小后增大．7．(多選)已知隨機變量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表：X1234P1mn1則下列正確的是()A．E(X)＝12B．E(X)＝9C．m＝13 D．n＝解析：選BCD.根據(jù)分布列可知m＋n＝1－14因為Y＝12X＋7，所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，解得E(X)＝94又由分布列可得E(X)＝1×14整理得2m＋3n＝53聯(lián)立①②解得m＝138．(多選)(2024·濰坊段考)一盒中有7個乒乓球，其中5個未使用過，2個已使用過，現(xiàn)從盒子中任取3個球來用，用完后再裝回盒中．記盒中已使用過的球的個數(shù)為X，則()A．X的所有可能取值是3，4，5B．X最有可能的取值是5C．X等于3的概率為1D．X的數(shù)學(xué)期望是6解析：選AC.記未使用過的乒乓球為A，已使用過的為B，任取3個球的所有可能是1A2B，2A1B，3A，A使用后成為B，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正確；P(X＝3)＝C51C22C73＝17，P(XE(X)＝3×179．(人教A版選擇性必修三P91)已知隨機變量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)＝10，則n的值為________．解析：因為隨機變量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，所以P(X＝i)＝1n(i＝1，2，…，n所以E(X)＝1×1n+2×1n+…+n所以n+12＝10，解得n答案：1910．(2024·江蘇南京高三期中)某校在一次慶祝活動中，設(shè)計了一個“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個套圈，向M，N兩個目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)M擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標(biāo)N連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據(jù)累計得分發(fā)放獎品．已知小明每投擲一次，套中目標(biāo)M的概率為34，套中目標(biāo)N的概率為23，假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨立，累計得分記為(1)求小明恰好套中2次的概率；(2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)記“小明恰好套中2次”為事件A，分3種情況：第一次、第二次套中，第一次、第三次套中，第二次、第三次套中，則P(A)＝34故小明恰好套中2次的概率為49(2)由題意可得，X的可能取值為0，1，2，3，4，5，P(X＝0)＝14P(X＝1)＝34P(X＝2)＝14P(X＝3)＝34P(X＝4)＝14P(X＝5)＝34所以X的分布列為所以E(X)＝0×136【綜合應(yīng)用題】11．(多選)(2024·哈爾濱質(zhì)檢)若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X＝0)＝13，E(X)，D(X)分別為隨機變量XA．P(X＝1)＝E(X)B．E(3X＋2)＝4C．D(3X＋2)＝4D．D(X)＝4解析：選AB.隨機變量X服從兩點分布，由P(X＝0)＝13，得P(X＝1)＝2E(X)＝0×13D(X)＝0?2在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正確；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×23在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×29在D中，D(X)＝2912．(多選)已知隨機變量X的取值為不大于n(n∈N*)的非負(fù)整數(shù)，它的分布列為X0123…nPp0p1p2p3…pn定義由X生成的函數(shù)f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，g(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，E(X)為隨機變量X的均值．現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體型骰子，四個面分別標(biāo)有1，2，3，4四個點數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點數(shù)之和為X，此時由X生成的函數(shù)為f1(x)，則()A．E(X)＝g(2)B．f1(2)＝15C．E(X)＝g(1)D．f1(2)＝225解析：選CD.因為f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，則g(x)＝f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2＋…＋ipixi-1＋…＋npnxn-1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，當(dāng)x＝1時，E(X)＝g(1)，故A錯誤，C正確；連續(xù)拋擲兩次骰子，向下點數(shù)之和為X，則X的分布列為X2345678P1234321f1(x)＝116x2+21613．(北師大版選擇性必修一P206)已知某離散型隨機變量ξ的均值Eξ＝76，ξξ0123Pa11b則a＝________，b＝________．解析：由Eξ＝76，可得0·a＋1×13+2×16+3×b＝76，即23+3b＝答案：114．一個袋中共有10個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是25；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是79，則白球的個數(shù)為________；從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(解析：設(shè)白球的個數(shù)為y，從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是79，則Cy2+Cy1C10?y1C102＝79，化簡得y2－19y＋70＝0，解得y＝5或y＝14(舍)，由題設(shè)知ξ的所有取值是0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C53C103ξ0123P1551所以E(ξ)＝512答案：5315．(2024·汕頭模擬)某單位有10000名職工，想通過驗血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占5%，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗10000次．統(tǒng)計專家提出了一種化驗方法：隨機地按5人一組分組，然后將各組5個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這5個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次．按照這種化驗方法，平均每個人需要化驗________次．(結(jié)果保留四位有效數(shù)字)(0.955≈0.7738，0.956≈0.735，0.957≈0.6983)解析：設(shè)一組中每個人需要化驗的次數(shù)為X，若混合血樣呈陰性，則X＝15若混合血樣呈陽性，則X＝65因此PX＝15＝0.955，PX＝65＝1－0.955，則E(X)＝15×[0.955＋6×(1－0.955)]≈所以平均每個人需要化驗0.4262次．答案：0.426216．(2024·泰安模擬)某公司為活躍氣氛、提升士氣，年終擬通過抓鬮兌獎的方式對所有員工進(jìn)行獎勵．規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標(biāo)有面值的鬮的袋中一次性隨機摸出2個鬮，鬮上所標(biāo)的面值之和為該員工獲得的獎勵金額．(1)若袋中所裝的4個鬮中有1個所標(biāo)的面值為800元，其余3個均為200元，求：①員工所獲得的獎勵金額為1000元的概率；②員工所獲得的獎勵金額的分布列及均值；(2)公司對獎勵金額的預(yù)算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個鬮只能由標(biāo)有面值200元和800元的兩種鬮或標(biāo)有面值400元和600元的兩種鬮組成．為了使員工得到的獎勵金額盡可能符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵金額相對均衡，請對袋中的4個鬮的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由．解：(1)設(shè)員工所獲得的獎勵金額為X，①P(X＝1000)＝C3∴員工所獲得的獎勵金額為1000元的概率為12②X所有可能的取值為400，1000，P(X＝400)＝C3∴X的分布列為X4001000P11∴員工所獲得的獎勵金額的均值為E(X)＝400×12＋1000×1(2)根據(jù)公司預(yù)算，每個員工的平均獎勵金額為1000元，∴先尋找均值為1000元的可能方案，對于面值由800元和200元組成的情況，如果選擇(200，200，200，800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能為1000元，如果選擇(800，800，800，200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能為1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，記為方案1；同理，對于面值由600元和400元組成的情況，排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，∴可能的方案是(400，400，600，600)，記為方案2.對于方案1，設(shè)員工所獲得的獎勵金額為X1，X1可取400，1000，1600，P(X1＝400)＝C2P(X1＝1000)＝C2P(X1＝1600)＝C2∴E(X1)＝400×16＋1000×23＋1600×D(X1)＝(400－1000)2×16＋