第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對(duì)應(yīng)的位置上。1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，比2小的數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．﹣12．（3分）如圖，將直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是（）A． B． C． D．3．（3分）據(jù)人民網(wǎng)消息，2025年第一季度，蘇州市貨物貿(mào)易進(jìn)出口總值達(dá)63252000萬(wàn)元，其中，出口40317000萬(wàn)元，創(chuàng)歷史同期新高，同比增長(zhǎng)11.5%．?dāng)?shù)據(jù)40317000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．0.40317×108 B．4.0317×107 C．40.317×106 D．40317×1034．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)?a3＝a3 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a55．（3分）如圖，在A，B兩地間修一條筆直的公路，從A地測(cè)得公路的走向?yàn)楸逼珫|70°．若A，B兩地同時(shí)開(kāi)工，要使公路準(zhǔn)確接通，則∠α的度數(shù)應(yīng)為（）A．100° B．105° C．110° D．115°6．（3分）一只不透明的袋子中，裝有3個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為，則紅球的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）聲音在空氣中傳播的速度隨溫度的變化而變化，科學(xué)家測(cè)得一定溫度下聲音傳播的速度v（m/s）與溫度t（℃）部分對(duì)應(yīng)數(shù)值如表：溫度t（℃）﹣1001030聲音傳播的速度v（m/s）324330336348研究發(fā)現(xiàn)v，t滿(mǎn)足公式v＝at+b（a，b為常數(shù)，且a≠0），當(dāng)溫度t為15℃時(shí)，聲音傳播的速度v為（）A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s8．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，連接A′C，A′D，則下列結(jié)論不正確的是（）A．A′D∥BE B．A'C'D C．△A′CD的面積＝△A′DE的面積 D．四邊形A′BED的面積＝△A′BC的面積二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填在答題卡相對(duì)應(yīng)的位置上。9．（3分）因式分解：x2﹣9＝．10．（3分）某籃球隊(duì)在一次聯(lián)賽中共進(jìn)行了6場(chǎng)比賽，得分依次為：71，71，65，71，64，66．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為．11．（3分）若y＝x+1，則代數(shù)式2y﹣2x+3的值為．12．（3分）過(guò)A，B兩點(diǎn)畫(huà)一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)可以為（填一個(gè)符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo)即可）．13．（3分）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中x1＝1，則x2＝．14．（3分）“蘇州之眼”摩天輪是亞洲最大的水上摩天輪，共設(shè)有28個(gè)回轉(zhuǎn)式太空艙全景轎廂，其示意圖如圖所示．該摩天輪高128m（即最高點(diǎn)離水面平臺(tái)MN的距離），圓心O到MN的距離為68m，摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一圈用時(shí)30min．某轎廂從點(diǎn)A出發(fā)，10min后到達(dá)點(diǎn)B，此過(guò)程中，該轎廂所經(jīng)過(guò)的路徑（即）長(zhǎng)度為m．（結(jié)果保留π）15．（3分）如圖，∠MON＝60°，以O(shè)為圓心，2為半徑畫(huà)弧，分別交OM，ON于A，B兩點(diǎn)，再分別以A，B為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠MON內(nèi)部相交于點(diǎn)C，作射線OC，連接AC，BC，則tan∠BCO＝.（結(jié)果保留根號(hào)）16．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是線段BC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，C重合），連接AD，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE，線段DE與線段AC交于點(diǎn)F，則線段CF長(zhǎng)度的最大值為．三、解答題：本大題共11小題，共82分.把解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡相對(duì)應(yīng)的位置上，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程、推演步驟或文字說(shuō)明.作圖時(shí)用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆。17．（5分）計(jì)算：|﹣5|+32．18．（5分）解不等式組：．19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1）?，其中x＝﹣2．20．（6分）為了弘揚(yáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀，學(xué)校決定組織”立鴻鵠之志，做有為少年”主題觀影活動(dòng)，建議同學(xué)們利用周末時(shí)間自主觀看．現(xiàn)有A，B，C共3部電影，甲、乙2位同學(xué)分別從中任意選擇1部電影觀看．（1）甲同學(xué)選擇A電影的概率為；（2）求甲、乙2位同學(xué)選擇不同電影的概率（請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）．21．（6分）如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，∠A＝∠ECB，CD∥BE．（1）求證：△DAC≌△ECB；（2）連接DE，若AB＝16，求DE的長(zhǎng)．22．（8分）隨著人工智能的快速發(fā)展，初中生使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)快速普及，并呈現(xiàn)出多樣化趨勢(shì)．某研究性學(xué)習(xí)小組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)本校九年級(jí)學(xué)生一周使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)的時(shí)間（用x表示，單位：min）進(jìn)行了抽樣調(diào)查，把所得的數(shù)據(jù)分組整理，并繪制成頻數(shù)分布直方圖：抽取的學(xué)生一周使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)時(shí)間頻率分布表組別時(shí)間x（min）頻率A20≤x＜400.16B40≤x＜600.24C60≤x＜800.30D80≤x＜1000.20E100≤x≤1200.10合計(jì)1根據(jù)提供的信息回答問(wèn)題：（1）請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整（畫(huà)圖后標(biāo)注相應(yīng)數(shù)據(jù)）；（2）調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在組（填組別）；（3）該校九年級(jí)共有750名學(xué)生，根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生一周使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)的時(shí)間不少于60min的學(xué)生人數(shù)．23．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y（k≠0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線與反比例函數(shù)y（k≠0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)D．連接CD．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若△BCD是以BD為底邊的等腰三角形，求k的值．24．（8分）綜合與實(shí)踐小明同學(xué)用一副三角板進(jìn)行自主探究．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【觀察感知】（1）如圖①，將這副三角板的直角頂點(diǎn)和兩條直角邊分別重合，AB，DE交于點(diǎn)F，求∠AFD的度數(shù)和線段AD的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在圖①的基礎(chǔ)上，保持△CDE不動(dòng)，把△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，使得點(diǎn)A落在邊DE上（如圖②）．①求線段AD的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）②判斷AB與DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．25．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與邊CD交于點(diǎn)E，連接AE，BE．（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）若AB，sin∠AED，求BE的長(zhǎng)．26．（10分）兩個(gè)智能機(jī)器人在如圖所示的Rt△ABC區(qū)域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直線BD為生產(chǎn)流水線，且BD平分△ABC的面積（即D為AC中點(diǎn)）．機(jī)器人甲從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度勻速運(yùn)動(dòng)，其所在位置用點(diǎn)P表示，機(jī)器人乙從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度勻速運(yùn)動(dòng)，其所在位置用點(diǎn)Q表示．兩個(gè)機(jī)器人同時(shí)出發(fā)，設(shè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（min），記點(diǎn)P到BD的距離（即垂線段PP′的長(zhǎng)）為d1（m），點(diǎn)Q到BD的距離（即垂線段QQ′的長(zhǎng)）為d2（m）．當(dāng)機(jī)器人乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)機(jī)器人立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)d1＝7.5m．d2與t的部分對(duì)應(yīng)數(shù)值如表（t1＜t2）：t（min）0t1t25.5d2（m）016160（1）機(jī)器人乙運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為m；（2）求t2﹣t1的值；（3）當(dāng)機(jī)器人甲、乙到生產(chǎn)流水線BD的距離相等（即d1＝d2）時(shí)，求t的值．27．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，M（m，y1），N（m+2，y2）為二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象上兩點(diǎn)．（1）求直線BC對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；（2）試判斷是否存在實(shí)數(shù)m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）已知P是二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象上一點(diǎn)（不與點(diǎn)M，N重合），且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1﹣m，作△MNP．若直線BC與線段MN，MP分別交于點(diǎn)D，E，且△MDE與△MNP的面積的比為1：4，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的m的值．

2025年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案D．AB．CCBBD一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對(duì)應(yīng)的位置上。1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，比2小的數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．﹣1【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．3、兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小．按照從小到大的順序排列找出結(jié)論即可．【解答】解：A．5＞2，故不符合題意；B．4＞2，故不符合題意；C．3＞2，故不符合題意；D．﹣1＜2，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零；負(fù)數(shù)都小于零；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小是解答本題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖，將直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)是圓錐，可得答案．【解答】解：將直角三角形繞其一條直角邊所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是圓錐，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)、線、面、體，熟記各種平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的立體圖形是解題的關(guān)鍵．3．（3分）據(jù)人民網(wǎng)消息，2025年第一季度，蘇州市貨物貿(mào)易進(jìn)出口總值達(dá)63252000萬(wàn)元，其中，出口40317000萬(wàn)元，創(chuàng)歷史同期新高，同比增長(zhǎng)11.5%．?dāng)?shù)據(jù)40317000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．0.40317×108 B．4.0317×107 C．40.317×106 D．40317×103【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：40317000＝4.0317×107．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)?a3＝a3 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5【分析】利用同底數(shù)冪乘法及除法，冪的乘方與積的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：a?a3＝a4，則A不符合題意，a6÷a2＝a4，則B不符合題意，（ab）2＝a2b2，則C符合題意，（a3）2＝a6，則D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪乘法及除法，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，在A，B兩地間修一條筆直的公路，從A地測(cè)得公路的走向?yàn)楸逼珫|70°．若A，B兩地同時(shí)開(kāi)工，要使公路準(zhǔn)確接通，則∠α的度數(shù)應(yīng)為（）A．100° B．105° C．110° D．115°【分析】利用平行線的性質(zhì)得出∠A+∠B＝180°，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵使公路準(zhǔn)確接通，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝70°，∴∠B＝110°．即∠α的度數(shù)應(yīng)為110°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方向角，靈活利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）一只不透明的袋子中，裝有3個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為，則紅球的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)概率公式列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，由題意得：，解得：x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原方程的解，且符合題意，即紅球的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關(guān)鍵．7．（3分）聲音在空氣中傳播的速度隨溫度的變化而變化，科學(xué)家測(cè)得一定溫度下聲音傳播的速度v（m/s）與溫度t（℃）部分對(duì)應(yīng)數(shù)值如表：溫度t（℃）﹣1001030聲音傳播的速度v（m/s）324330336348研究發(fā)現(xiàn)v，t滿(mǎn)足公式v＝at+b（a，b為常數(shù)，且a≠0），當(dāng)溫度t為15℃時(shí)，聲音傳播的速度v為（）A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s【分析】利用待定系數(shù)法求出v與t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t＝15時(shí)，求出對(duì)應(yīng)v的值即可．【解答】解：將t＝0，v＝330和t＝10，v＝336分別代入v＝at+b，得，解得，∴v與t之間的函數(shù)關(guān)系式為v＝0.6t+330，當(dāng)t＝15時(shí)，v＝0.6×15+330＝339，∴當(dāng)溫度t為15℃時(shí)，聲音傳播的速度v為339m/s．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，連接A′C，A′D，則下列結(jié)論不正確的是（）A．A′D∥BE B．A'C'D C．△A′CD的面積＝△A′DE的面積 D．四邊形A′BED的面積＝△A′BC的面積【分析】連接AA′交BE于點(diǎn)L，由正方形的性質(zhì)得∠BAD＝∠ADC＝90°，因?yàn)镋為邊AD的中點(diǎn)，所以AE＝DE，由翻折得A′E＝AE＝DE，BE垂直平分AA′，則∠ALE＝90°，可證明∠AA′D＝90°，則A′D∥BE，可判斷A正確；作A′H⊥CD于點(diǎn)H，設(shè)A′H＝m，由A′H∥AD，得∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，則tan∠DA′H＝tan∠ADA′tan∠AEB2，則DH＝2A′H＝2m，求得A′Dm，AB＝CD＝AD＝5m，則CH＝3m，所以A′Cm，則A′CA′D，可判斷B正確；求得AA′＝2m，則S△A′AD＝5m2，所以S△A′DEm2，而S△A′CDm2，則S△A′CD＝S△A′DE，可判斷C正確；因?yàn)锳Em，所以S△A′BE＝S△ABEm2，求得S四邊形A′BEDm2，由S正方形ABCD＝25m2，求得S△A′BCm2，所以S四邊形A′BED≠S△A′BC，可判斷D不正確，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：連接AA′交BE于點(diǎn)L，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵E為邊AD的中點(diǎn)，∴AE＝DEADAB，∵將△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，∴A′E＝AE＝DE，點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線BE對(duì)稱(chēng)，∴BE垂直平分AA′，∴∠ALE＝90°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′，∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′180°＝90°，∴∠AA′D＝∠ALE，∴A′D∥BE，故A正確；作A′H⊥CD于點(diǎn)H，設(shè)A′H＝m，則∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°，∴A′H∥AD，∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，∴tan∠DA′H＝tan∠ADA′tan∠AEB2，∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE，∴A′Dm，ADA′D，∴AB＝CD＝ADm＝5m，∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m，∴A′Cm，∴，∴A′CA′D，故B正確；∵AA′＝2A′D＝2m，∴S△A′ADm×2m＝5m2，∴S△A′DE＝S△A′AES△A′ADm2，∵S△A′CD5m2m2，∴S△A′CD＝S△A′DE，故C正確；∵AEADm，∴S△A′BE＝S△ABE5mmm2，∴S四邊形A′BEDm2m2m2，∵S正方形ABCD＝（5m）2＝25m2，∴S△A′BC＝25m2﹣2m2﹣2m2m2，∴S四邊形A′BED≠S△A′BC，故D不正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、同角的余角相等、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、三角形的面積公式等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填在答題卡相對(duì)應(yīng)的位置上。9．（3分）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案為：（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．10．（3分）某籃球隊(duì)在一次聯(lián)賽中共進(jìn)行了6場(chǎng)比賽，得分依次為：71，71，65，71，64，66．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為71．【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義直接求解即可．【解答】解：∵71出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是71；故答案為：71．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了眾數(shù)，掌握眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．11．（3分）若y＝x+1，則代數(shù)式2y﹣2x+3的值為5．【分析】根據(jù)已知條件將要求代數(shù)式變形，然后整體代入求值即可．【解答】解：∵2y﹣2x+3＝﹣2x+2y+3，∵y＝x+1，∴y﹣x＝1，∴當(dāng)y﹣x＝1時(shí)，原式＝﹣2x+2y+3＝2（y﹣x）+3＝2×1+3＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求值，按照代數(shù)式規(guī)定的運(yùn)算，計(jì)算的結(jié)果就是代數(shù)式的值．12．（3分）過(guò)A，B兩點(diǎn)畫(huà)一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)可以為（1，1）（答案不唯一）（填一個(gè)符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo)即可）．【分析】代入x＝1，求出y的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)可以為（1，1）．【解答】解：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1×1+2＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)可以為（1，1）．故答案為：（1，1）（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及一次函數(shù)的圖象，牢記“直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b”是解題的關(guān)鍵．13．（3分）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中x1＝1，則x2＝﹣3．【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝﹣2，結(jié)合x(chóng)1＝1，即可求出x2的值．【解答】解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣2，又∵x1＝1，∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和等于”是解題的關(guān)鍵．14．（3分）“蘇州之眼”摩天輪是亞洲最大的水上摩天輪，共設(shè)有28個(gè)回轉(zhuǎn)式太空艙全景轎廂，其示意圖如圖所示．該摩天輪高128m（即最高點(diǎn)離水面平臺(tái)MN的距離），圓心O到MN的距離為68m，摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一圈用時(shí)30min．某轎廂從點(diǎn)A出發(fā)，10min后到達(dá)點(diǎn)B，此過(guò)程中，該轎廂所經(jīng)過(guò)的路徑（即）長(zhǎng)度為40πm．（結(jié)果保留π）【分析】先根據(jù)題意求出∠AOB的度數(shù)，再求出圓O的半徑，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；【解答】解：由題意得∠AOB＝360°120°，圓O的半徑為128﹣68＝60（m），∴該轎廂所經(jīng)過(guò)的路徑（即）長(zhǎng)度為40π（m），故答案為：40π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，∠MON＝60°，以O(shè)為圓心，2為半徑畫(huà)弧，分別交OM，ON于A，B兩點(diǎn)，再分別以A，B為圓心，為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠MON內(nèi)部相交于點(diǎn)C，作射線OC，連接AC，BC，則tan∠BCO＝.（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OC于點(diǎn)D，由作圖過(guò)程得OC平分MON，得∠BODMON＝30°，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出BD，根據(jù)勾股定理求出CD，然后利用銳角三角函數(shù)定義即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OC于點(diǎn)D，由作圖過(guò)程可知：OC平分MON，∴∠BODMON＝30°，∴BDOB2＝1，∵BC，∴CD，∴tan∠BCO，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—基本作圖，解直角三角形，勾股定理，掌握基本作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是線段BC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，C重合），連接AD，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE，線段DE與線段AC交于點(diǎn)F，則線段CF長(zhǎng)度的最大值為．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，解Rt△AHC得到，證明△DAC∽△FAD，可得，根據(jù)CF＝AC﹣AF可知，當(dāng)AF有最小值時(shí)，CF有最大值，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD有最小值，即AF有最小值，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，可求出AF的最小值為，則CF的最大值為．【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3，∴AH＝AC?sinC，∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°＝∠C，又∵∠DAC＝∠FAD，∴△DAC∽△FAD，∴，∴，∵CF＝AC﹣AF，∴當(dāng)AF有最小值時(shí)，CF有最大值，∴當(dāng)AD有最小值時(shí)，AF有最小值，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD有最小值，即AF有最小值，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，∴AD的最小值為，∴AF的最小值為，∴CF的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共11小題，共82分.把解答過(guò)程寫(xiě)在答題卡相對(duì)應(yīng)的位置上，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程、推演步驟或文字說(shuō)明.作圖時(shí)用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆。17．（5分）計(jì)算：|﹣5|+32．【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)，有理數(shù)的乘方法則，算術(shù)平方根的定義計(jì)算后再算加減即可．【解答】解：原式＝5+9﹣4＝14﹣4＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（5分）解不等式組：．【分析】先根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，求出各個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)判斷不等式組解集的口訣“同大取大”，判斷不等式組的解集即可．【解答】解：，由①得：3x﹣x＞﹣3﹣1，2x＞﹣4，x＞﹣2．由②得：3（x﹣1）＞2x，3x﹣3＞2x，3x﹣2x＞3，x＞3，∴不等式組的解集是x＞3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的一般步驟．19．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1）?，其中x＝﹣2．【分析】將括號(hào)內(nèi)的分式通分并計(jì)算，然后算乘法并約分，最后將已知數(shù)值代入化簡(jiǎn)結(jié)果中計(jì)算即可．【解答】解：（1）??；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（6分）為了弘揚(yáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀，學(xué)校決定組織”立鴻鵠之志，做有為少年”主題觀影活動(dòng)，建議同學(xué)們利用周末時(shí)間自主觀看．現(xiàn)有A，B，C共3部電影，甲、乙2位同學(xué)分別從中任意選擇1部電影觀看．（1）甲同學(xué)選擇A電影的概率為；（2）求甲、乙2位同學(xué)選擇不同電影的概率（請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙2位同學(xué)選擇不同電影的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵現(xiàn)有A，B，C共3部電影，∴甲同學(xué)選擇A電影的概率為，故答案為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙2位同學(xué)選擇不同電影的結(jié)果有6種，∴甲、乙2位同學(xué)選擇不同電影的概率為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（6分）如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，∠A＝∠ECB，CD∥BE．（1）求證：△DAC≌△ECB；（2）連接DE，若AB＝16，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)CD∥BE得∠DCA＝∠B，根據(jù)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)得AC＝CBAB，由此可依據(jù)“ASA”判定△DAC和△ECB全等，（2）根據(jù)AB＝16得AC＝CBAB＝8．根據(jù)全等三角形性質(zhì)得CD＝BE，再根據(jù)CD∥BE得四邊形BCDE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠B，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝CBAB，在△DAC和△ECB中，，∴△DAC≌△ECB（ASA）；（2）解：∵AB＝16，∴AC＝CBAB＝8，由（1）可知：△DAC≌△ECB，∴CD＝BE，又∵CD∥BE，∴四邊形BCDE是平行四邊形．∴DE＝BC＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（8分）隨著人工智能的快速發(fā)展，初中生使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)快速普及，并呈現(xiàn)出多樣化趨勢(shì)．某研究性學(xué)習(xí)小組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)本校九年級(jí)學(xué)生一周使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)的時(shí)間（用x表示，單位：min）進(jìn)行了抽樣調(diào)查，把所得的數(shù)據(jù)分組整理，并繪制成頻數(shù)分布直方圖：抽取的學(xué)生一周使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)時(shí)間頻率分布表組別時(shí)間x（min）頻率A20≤x＜400.16B40≤x＜600.24C60≤x＜800.30D80≤x＜1000.20E100≤x≤1200.10合計(jì)1根據(jù)提供的信息回答問(wèn)題：（1）請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整（畫(huà)圖后標(biāo)注相應(yīng)數(shù)據(jù)）；（2）調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組（填組別）；（3）該校九年級(jí)共有750名學(xué)生，根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生一周使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)的時(shí)間不少于60min的學(xué)生人數(shù)．【分析】（1）用“20≤x＜40”的頻數(shù)除以其頻率可得樣本容量，進(jìn)而得出“80≤x＜100”的頻數(shù)，再把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可；（3）利用樣本估計(jì)總體即可．【解答】解：（1）樣本容量為：8÷0.16＝50，“80≤x＜100”的頻數(shù)為：50﹣8﹣12﹣15﹣5＝10，把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整如下：（2）由統(tǒng)計(jì)圖可知，把50個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，排在第25和26個(gè)數(shù)均落在C組，所以調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組，故答案為：C；（3）0.30+0.20+0.10＝0.60，750×0.60＝450（人）．答：該校九年級(jí)學(xué)生一周使用AI大模型輔助學(xué)習(xí)的時(shí)間不少于60min的學(xué)生人數(shù)約為450人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，頻數(shù)分布表以及中位數(shù)；利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問(wèn)題．23．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y（k≠0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線與反比例函數(shù)y（k≠0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)D．連接CD．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若△BCD是以BD為底邊的等腰三角形，求k的值．【分析】（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），令x＝0得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E，由△BCD是以BD為底邊的等腰三角形可得BE＝DE，從而C（，8），根據(jù)點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝2x+4的圖象上，有8＝24，即可解得k＝16．【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E，如圖：∵△BCD是以BD為底邊的等腰三角形，∴CB＝CD，∵CE⊥BD，∴BE＝DE，在y中，令y＝4得x，∴D（，4），∴BE＝DE，在y中，令x得y＝8，∴C（，8），∵點(diǎn)C在一次函數(shù)y＝2x+4的圖象上，∴8＝24，解得k＝16，∴k的值為16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是用方字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．24．（8分）綜合與實(shí)踐小明同學(xué)用一副三角板進(jìn)行自主探究．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【觀察感知】（1）如圖①，將這副三角板的直角頂點(diǎn)和兩條直角邊分別重合，AB，DE交于點(diǎn)F，求∠AFD的度數(shù)和線段AD的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在圖①的基礎(chǔ)上，保持△CDE不動(dòng)，把△ABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度，使得點(diǎn)A落在邊DE上（如圖②）．①求線段AD的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）②判斷AB與DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ABC＝45°，再求出∠CDE＝60°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得∠AFD＝15°，最后根據(jù)解直角三角形可得AC，CD的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差即可得；（2）①過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE，垂足為G，先解直角三角形可得CG，DG的長(zhǎng)，再利用勾股定理可得AG的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段的和差即可得；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAG＝∠ACG＝45°，則可得∠DAB＝90°，由此即可得．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°，∴∠AFD＝∠CDE﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，在Rt△ABC中，，在Rt△CDE中，，∴；（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE，垂足為G，∵△CDG中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，，∴，CG＝CD?sin∠CDE＝6cm，∵△CGA中，∠CGA＝90°，，CG＝6cm，∴，∴；②AB⊥DE，理由如下：∵在Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6cm，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AB⊥DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．25．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與邊CD交于點(diǎn)E，連接AE，BE．（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）若AB，sin∠AED，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，得∠ADB＝90°，由BD＝CD，得∠C＝∠DBC，而∠C＝∠BAD，則∠DBC＝∠BAD，所以∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，即可證明BC為⊙O的切線；（2）作DF⊥BC于點(diǎn)F，則BF＝CF，DF∥AB，由∠ABD＝∠AED，AB，得sin∠ABD＝sin∠AED，求得AD＝1，則BD3，由∠BDF＝∠ABD，得sin∠BDF＝sin∠ABD，則BFBD，再證明∠BEC＝∠C，則BE＝BC＝2BF．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∵∠C＝∠BAD，∴∠DBC＝∠BAD，∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，∵OB是⊙O的半徑，且BC⊥OB，∴BC為⊙O的切線．（2）解：作DF⊥BC于點(diǎn)F，則∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF，∴DF∥AB，∵∠ABD＝∠AED，AB，∴sin∠ABD＝sin∠AED，∴ADAB1，∴BD3，∵∠BDF＝∠ABD，∴sin∠BDF＝sin∠ABD，∴BFBD3，∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD，∴∠BEC＝∠C，∴BE＝BC＝2BF＝2，∴BE的長(zhǎng)是．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．26．（10分）兩個(gè)智能機(jī)器人在如圖所示的Rt△ABC區(qū)域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直線BD為生產(chǎn)流水線，且BD平分△ABC的面積（即D為AC中點(diǎn)）．機(jī)器人甲從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度勻速運(yùn)動(dòng)，其所在位置用點(diǎn)P表示，機(jī)器人乙從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度勻速運(yùn)動(dòng)，其所在位置用點(diǎn)Q表示．兩個(gè)機(jī)器人同時(shí)出發(fā)，設(shè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（min），記點(diǎn)P到BD的距離（即垂線段PP′的長(zhǎng)）為d1（m），點(diǎn)Q到BD的距離（即垂線段QQ′的長(zhǎng)）為d2（m）．當(dāng)機(jī)器人乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)機(jī)器人立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)d1＝7.5m．d2與t的部分對(duì)應(yīng)數(shù)值如表（t1＜t2）：t（min）0t1t25.5d2（m）016160（1）機(jī)器人乙運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為55m；（2）求t2﹣t1的值；（3）當(dāng)機(jī)器人甲、乙到生產(chǎn)流水線BD的距離相等（即d1＝d2）時(shí)，求t的值．【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得BD＝CD＝AD＝25，得到∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，推出，，分當(dāng)點(diǎn)Q在BC上和點(diǎn)Q在CD上時(shí)，兩種情況討論，分別求得t1＝2，，據(jù)此求解即可；（3）根據(jù)題意求得d1＝24﹣3t，分當(dāng)點(diǎn)Q在BC上和點(diǎn)Q在CD上時(shí)兩種情況討論，列式一元一次方程方程，求解即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，∴AC50m，∵D為AC中點(diǎn)，∴CD25m，∵BC+CD＝30+25＝55m，∴機(jī)器人乙運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為55m，故答案為：55；（2）根據(jù)題意，得v210，∵△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC中點(diǎn)，∴BD＝CD＝AD＝25，∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，∴sin∠ABD＝sin∠BAC＝53，，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，，∴8t1＝16，解得t1＝2，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，作AH⊥BD，垂足為H（如圖），則，∵∠CDB＝∠ADH，∴sin∠CDB＝sin∠ADH，∴，∴，解得，∴；（3）當(dāng)t＝5.5時(shí)，d1＝7.5，此時(shí)，，∴AP＝AB﹣BP＝40﹣12.5＝27.5，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，由d1＝d2，得24﹣3t＝8t，解得，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，由d1＝d2，得，解得，∴或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，一元一次