2．分別以B，C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A；【即時訓(xùn)練】分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫()2．已知一個等腰三角形的兩條邊長分別是2和4，則這個等腰三角形的周長是()3．如果一個等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則此等腰三角形的周長為．③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，:BD=CD②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，:AD⊥BC③已知角平分線：∵AB=AC，<BAD=<CAD，:A如下中圖所示，已知AD是<BAC的平分線，D是BC中點(diǎn)，則△ABC是等已知等腰△ABC，過腰或底上作腰或底的平行線【即時訓(xùn)練】(1)求DDBC的度數(shù)；5．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且(1)求證：DB=DE．(2)設(shè)△BCD的面積為S1，△CDE的面積為S2，求S1:S2的值．@有兩個角相等的三角形是等腰三角形簡稱“【即時訓(xùn)練】7．如圖，在△ABC中，AB=AC，ED∥AB，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在BC的延長線上，且CF=DE，(2)連接AD，當(dāng)ADTBC，BC=8．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC9．在△ABC中，BD和CD分別平分7ABC和7ACB，過點(diǎn)D作EFⅡBC，分別交AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．(2)若△ABC的周長為18，BC=6，求△AEF的周長．10．如圖，在方格紙上，A，B是格點(diǎn)，網(wǎng)格中存在格點(diǎn)C等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C的個數(shù)為()11．等腰三角形的一個內(nèi)角是40°,則它的底角是()A．70°B．40°C．40°或70°D．30°或75°(2)若其中一邊的長為7cm，求這個等腰三角形其余兩邊的長．16．如圖：在△ABC中，AB=AC，BD平分DABC，交AC于點(diǎn)D，若BD=BC，則DA等于()A．30°B．36°C．40°17．如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，若上B=50°,則DDAC的度數(shù)為()18．等腰三角形的頂角等于50°,則一個底角的度數(shù)為；等腰三角形的一個底角為50°,則它的頂角為．20．下列說法正確的有()21．如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是7BAC的平分線，點(diǎn)D是AE上的一點(diǎn)，AD=2DE，若△ADC的面積為4，則△ABC的面積是()22．如圖，△ABC中，AB=AC，ADTBC，DETAB，DFTAC，垂足分別下列結(jié)論：①AD平分7BAC；②DA平分上EDF；③AE=AF；④AD上的點(diǎn)到AB，AC兩邊距離相等．其中正確的有()24．如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線MN，交邊AC于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E，連接BD．相交于點(diǎn)P，求證：PD=PE．任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF丄AD交AC于點(diǎn)F，作EGⅡAB交AC于點(diǎn)G．求證：△GEF是28．如圖，在△ABC中，分別以B，C為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，直線MN交邊BC于點(diǎn)F，交邊AB于點(diǎn)E，連接CE．29．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且(1)求BC的長；30．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)，D分別在邊AC，AB，BC上，EF32．如圖，在△ABC中，ED∥BC，DABC沿著AD邊翻折得到△AED，AF平分上EAC，連接EF，若△DEF是等腰三角形，則34．如圖，BD是△ABC的角平分線，E是AB的中點(diǎn)，EFⅡBC，EF交AC于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．頂點(diǎn)，且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個數(shù)為()也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABP是以AB為腰的等腰直角三角形；則點(diǎn)P的個數(shù)是()37．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知線段AB是等腰三角形△ABC(1)在圖1中畫出1個以AB為底的等腰△ABC，要求頂點(diǎn)C是格點(diǎn)．(2)在圖2中畫出1個以AB為直角邊的直角△ABC，要求頂點(diǎn)C是格點(diǎn)．40．如圖，在△ABC中，上A=441．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，請用尺規(guī)作圖法作一個等腰△BEP，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)部，且點(diǎn)P到邊AB、BC的距離相等作出符合題意的一個等腰43．已知：如圖，點(diǎn)M在DAOB的邊OA上．小櫻根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，請你依據(jù)小櫻(1)填空：由作圖可知，射線OP是DAOB的______；(2)以點(diǎn)M為圓心、OM長為半徑畫弧，交射線OP于點(diǎn)N，連接MN，試判斷MN與OB的44．已知：△ABC中，邊BC上一點(diǎn)D．45．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=10，D是BC的中點(diǎn)，EF垂直平分AB，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．在EF上確定一點(diǎn)P，使PB+PD最小，則這個最小值為()的點(diǎn)P處有一個草場，OP=4．現(xiàn)在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧，分別記為M、N，存在M、N使得△PMN的周長最?。畡t△PMN周長的最小值是().(2)在圖②中，連結(jié)PA、PB，使PA=PB；(3)在圖③中，連結(jié)PA、PB，使△PAB為直角三角形．481）觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B￠,連接AB￠,與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．如圖2，在等邊三角形ABC中，AD=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小．方法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就如圖3，在四邊形ABCD中，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，對角線AC與BD交于點(diǎn)O,AO=4，點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，AB=BC=CD=AD=BD，點(diǎn)M是AB的中49．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E在AB，AC上，DE∥BC，請僅用）．(2)如圖2，F(xiàn)為線段BD上一點(diǎn)，請在等腰三角形ABC的對稱軸上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到F，B兩點(diǎn)的距離之和最?。?0．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE丄AC于點(diǎn)E，AD與BE相(2)若CE=EF，求證：AF=2BD．與CE之間的數(shù)量關(guān)系：．______連結(jié)BD、CE，試說明（1）中BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，上ACB=上DCE=90°,點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CN為△CDE的高，連結(jié)BE，請直接寫出線段CN，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系：．52．某班數(shù)學(xué)活動課上，老師提出以下問題：如圖①,在銳角△ABC中，AB<AC，AD是DBAC的平分線，DM，DN分別是△ABD，△ACD的高，點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，且），【問題提出】（1）填空：DM______DN填“>”“=”或“<”）【問題探究】活動2用全等三角形研究“箏形”如圖，四邊形ABCD中，一個箏形，用測量、折紙等方法猜想箏形的角、對角線有【概念理解】(1)如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C是網(wǎng)格線交點(diǎn)，請在網(wǎng)格中畫出箏形ABCD；【性質(zhì)探究】性質(zhì)“箏形有一組對角相等”，判定這兩個三角形全等的依【拓展應(yīng)用】當(dāng)四邊形AEDC為箏形時，請直接寫出上BDE的度數(shù)：______；②如圖4，在箏形ABCD中，過點(diǎn)D作DEⅡAB交BC于點(diǎn)E，若DE=5，CE=3，求AB角形互為“均等三角形”另一個與原來三角形是“均等三角形”，我們把這條線段叫【概念理解】【應(yīng)用拓展】【發(fā)現(xiàn)問題】BP=4．Q為CD上一動點(diǎn)，連接PQ．【探究發(fā)現(xiàn)】（2）小華將小明的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了改動，將原來的長方形ABC與PQ相等嗎？請說明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的條件下，如圖3．小林連接了AQ，交CD于點(diǎn)F，連接PF．試判斷BP、PF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，只寫結(jié)論，不需要證明．56．如圖：△ABC是邊長為8cm的等邊三角形，P是AC邊上一動點(diǎn)，由點(diǎn)A以2cm/s速度（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t(s)．過點(diǎn)P作PE丄AB于點(diǎn)E，連接PQ交AB于點(diǎn)D．(2)點(diǎn)P，Q在運(yùn)動過程中，線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如點(diǎn)E沿BA方向運(yùn)動，且AD=BE．連接CD，作直線AF丄CD，垂足為F，交BC于點(diǎn)G，直線GE交CD（或CD延長線）于點(diǎn)H．；（③猜想HD與HE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E在直線AB上時，其他條件不變1）③中你猜想的結(jié)論是否還成合過B作BE丄AD于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F，連接CE．59．在Rt△ABC中，上CAB=90o，AB=AC，點(diǎn)O點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O、B重合過點(diǎn)C作CE丄AP于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF丄AP于點(diǎn)F，連接EO并延長，交直線BF于點(diǎn)G．位置出發(fā)，沿射線CA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，DF，DE分別與AB交于點(diǎn)M，N(1)當(dāng)DF垂直平分AC時，求t的值；(4)連接BF，在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使△BCF為等腰三角形，若存在，請直時，BD=CE．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是()62．如圖，AB=AC，上BAC=36°,以點(diǎn)B圓心任意長為半徑畫弧交AB，BC分別于點(diǎn)M，N，再以點(diǎn)M,N為圓心，大于MN的長度為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線BP，D為射線BP上一點(diǎn)，若△ABD為等腰三角形，則上BDC的度數(shù)為．BD翻折后得到△BDE，邊BE交AC于點(diǎn)F．若△DEF是等腰三角形，則DABD的度數(shù)為-°.兩個角中，有一個是直角，我們稱這樣的四18，求△AEF的面積．DABC，我們稱這種四邊形為“分角對補(bǔ)四邊形”．如圖①,線段BD，CE把△ABC分成三個等腰三角形，則線段BD，CE叫做△ABC的三分(2)如圖③,在△ABC中，上B=30°,線段AD，DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且AD=BD，DE=CE．求DC的度數(shù)．(2)如果一個等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是_____線段CO、OE是△ACD的“三等腰線”．70．等腰三角形中，若一個角度數(shù)為80°,則底角度數(shù)是()A．80°B．50°或80°C．80°或20°D．50°71．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD丄BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)是AD上的兩72．如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分DACB，BE丄C點(diǎn)E，OF丄AC于點(diǎn)F，若該等腰三角形的面積為15，則OE+OF的值為()74．如圖是樹枝的一部分，一只螞蟻M以2cm/s的速度從樹枝的A點(diǎn)處出發(fā)沿樹枝AB方只螞蟻與點(diǎn)O恰好構(gòu)成等腰三角形時，t的值是()C．4s或12s交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則DCEF的度數(shù)是()于點(diǎn)E，F(xiàn)．P為線段EF上一動點(diǎn)，D為邊BC上的一動點(diǎn)，則DP+CP的最小值是作弧，兩弧交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；再以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作弧，交直線EF于點(diǎn)P，連接BP，則上BPA的度數(shù)是．81．如圖，在△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，且BD平分DABC，過A作AE丄BD于點(diǎn)上AED=90°,且可繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，邊AE、AD分別交線段BC于Q、P兩點(diǎn)；當(dāng)上PAC=證明：連結(jié)AC．:BC=DC．85．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連接AD，BE平分DABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EFⅡBC交AB于點(diǎn)F．(2)求證：FB=FE．案.(2)請在第一小組或第三小組中選擇一個方87．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，ADPBE,AC=BE,AD=BC．88．如圖，在△ABC中，BE平分DABC，DEⅡBC．(2)若BD=AE,上DBE=20°,求DC的度數(shù)．(2)當(dāng)DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；AB為腰得出符合題意的圖形即可．:這樣的直線最多可畫4條．:這個等腰三角形的周長是22．【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角:上DBA=45°.（2）證明：Q△ABD和△ACE均為等腰直角又QAB=AC，:△ABD≌△ACE(SAS)．:BD=CE．:△BDP≌△CEP(AAS)；:△BDP≌△CEP(AAS)，（1）根據(jù)等邊三角形中三線合一可得上DBC=上ABC=30°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等明DB=DE．:BD=DE．（2）解：如圖，過點(diǎn)D作DM丄BC則S1=BC×DM:DE=EC，:CE=CF，:△CEF是等腰三角形．:DE=FE，:DBDE+DBED=180°-DB=180°-70°=110°,9．(1)△AEF是等腰三角形，理由見解析:AE=AF:△AEF是等腰三角形；∵BD平分DABC，:BE=ED，:△AEF的周長為：:它的一個底角的度數(shù)是40°或70°,:不能構(gòu)成等腰三角形；:符合等腰三角形的定義，:這個等腰三角形的周長為4+10+10=24，設(shè)該等腰三角形的較短邊長為xcm(x>0)，則較長邊長為4xcm，分①xcm為腰；②4xcm【詳解】解：設(shè)該等腰三角形的較短邊長為xcm(x>0)，則較長邊長為4xcm.①當(dāng)xcm為腰時，Qx+x<4x，:x,x,4x不能組成三角形；②當(dāng)4xcm為腰時，4x,4x,x能夠組成三角形，Q4x+4x+x=18，:x=2，:該等腰三角形底邊長為2cm．14．(1)10cm,10cm,5cm(2)7cm與11cm，或9cm與9cm（1）設(shè)等腰三角形的底邊長為xcm，則腰長為2xcm，根據(jù)“周長是25cm”列方程求解即可；即各邊長分別是10cm,10cm,5cm；:其余兩邊分別為7cm,11cm，此時能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)诪?cm時，腰長為，:其余兩邊分別為9cm,9cm，此時能構(gòu)成三角形；綜上所述：其余兩邊分別為7cm與11cm，或9cm與9cm．由三角形內(nèi)角和定理列出方程可求得x，可求得DA．又∵BD=BC，質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由作圖過程可得，直線MN為線段AB的垂直平分線，則AD=BD，:AD=BD，【詳解】解：Q等腰三角形的頂角等于50°,兩底角相等，:一個底角等于Q等腰三角形的底角等于50°,兩底角相等，故答案為：65°；80°.QAB=AC，AE是中線，:AE丄BC，即上AEB=90°.:上CBF=35°.識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和等腰三角形的綜上，正確的說法是①④,有2個．∵AD=2DE，:AD平分DBAC，:AD上的點(diǎn)到AB，AC兩邊距離相等，:△AED≌△AFD(AAS)，:AE=AF，上ADE=上ADF，:DA平分上EDF【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)三線合一得到DBDC=90°,利用等邊對對:上CDE=上E=20°,(2)100°（2）根據(jù)對頂角相等可得上CDN=60°,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一性∵△ABD的周長為10，:△ABC的周長為18；∵M(jìn)N垂直平分BC，:DA的度數(shù)為100°.【詳解】證明：過點(diǎn)D作DG∥AE于點(diǎn)G，:△GDF≌△CEF(ASA)，:DG=CE又:BD=CE，:BD=DG，:DG∥AE，:AB=AC，:△ABC是等腰三角形．【詳解】證明：:在△ABC中，BC=BA，又:AE=CD，AC=CA,:△ACE≌△CAD，:CP=AP，即PD=PE．【詳解】證明：:AD平分DBAC，:EGⅡAB，:EF丄AD，:△GEF為等腰三角形．28．(1)MN垂直平分BC；BE=CE（答案不唯一）:點(diǎn)M、點(diǎn)N都在線段BC的垂直平分線上，即直線MN垂直平分線段BC；Q直線MN交邊AB于點(diǎn)E，:BE=CE．故答案為：MN垂直平分BC；BE=CE（答案不唯一:EC=EA，:△ACE為等腰三角形．:AE=BE，:BC=25-15=10cm．由（1）得，AE=BE，:上BEC=上C，:BC=BE．定可得DF=DB,EF=EC，由此即可得．QEFⅡAB，DFⅡAC，:DF=DB,EF=EC，:△ABD是等腰直角三角形，:AD=BD，??:△ADF≌△BDC(ASA)，:DF=CD，【詳解】解：∵ED∥BC，:BE=EG，CD=DF，:FG=2，角形，從而求得BD的長．:AE=AC，在△AEF和△ACF中，?ìAE=AC?:△AEF≌△ACF(SAS)，:△DEF是等邊三角形，:DE=EF=DF，:BC=DE+DF+EF，:BD=4，:上ABC=180°-上A-上C=70°,QBD平分DABC，:上EGB=35°, 分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點(diǎn)C的個數(shù)．【分析】本題考查了在格點(diǎn)圖中畫等腰三角形，根據(jù)△ABP是以AB為腰的等腰直角三角形，【詳解】解：∵△ABP是以AB為腰的等腰直角三角形，:當(dāng)AB=AP時，結(jié)合正方形小網(wǎng)格的特征，AP1=AB,或AP2=AB,:當(dāng)AB=BP時，結(jié)合正方形小網(wǎng)格的特征，BP3=AB,或BP4=AB,綜上：滿足△ABP是以AB為腰的等腰直角三角形的點(diǎn)P有4個，【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分別找到以AB為底和以AB為腰時，符合題意的【分析】此題考查等腰三角形的判定．由已知條件，分別AB為腰找等腰三角形和AB為底【詳解】解：如圖，分別AB為腰畫出等腰三角形和AB【分析】本題考查了作一個角等于已知角，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，【分析】此題考查了尺規(guī)作等腰三角形，角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握以點(diǎn)B為圓心，BE為半徑畫弧交AB于點(diǎn)F，然后作出DABC的平分線交于點(diǎn)P，連接BP，PE，△BEP即為所求．根據(jù)題意得，BP=BE，且點(diǎn)P到AB，BC的距離相等:等腰△BEP即為所求．再連接AC、CB，△ABC即為所求．【分析】本題考查尺規(guī)作圖--作角平分線，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定．（1）根據(jù)作圖可知：射線OP是DAOB的角平分線；:OP是DAOB的角平分線，:MN∥OB．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，解題關(guān)鍵是明確垂直平分線和角平分線質(zhì)，根據(jù)題意得到AD的長度=PB+PD的最小值是解題的關(guān)鍵．由EF垂直平分AB，得到點(diǎn)A,B關(guān)于直線EF對稱，于是得到AD的長度=PB+PD的最小值，即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∵EF垂直平分AB，:PA=PB,PB+PD=PA+PD，如圖，當(dāng)P為EF與AD的交點(diǎn)時，PB+PD取最小值，此時PA+PD=AD=10，:PB+PD的最小值為10，OA的對稱點(diǎn)F，作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)G，連接FG，分別交OA、OB于M、N，得到△PMN的周長的最小值為FG，再證得△FOG為邊長為4的等邊三角形即可得出答案．【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)F，作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)G，連接FG，分別交OA、OB于M、N，如圖：:MP=MF，NP=NG，:△PMN的周長的最小值為FG，:FG=4，:△PMN的周長的最小值為4．【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決（2）作線段AB的垂直平分線，與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；【詳解】（1）解：如圖①,在線段CD上取格點(diǎn)P，（2）解：如圖②,作線段AB的垂直平分線，（3）解：如圖③,在線段CD上取格點(diǎn)P，481）22）43）見解析（2）由題意可知AC所在直線是BD的對稱軸，連接MD交AC于點(diǎn)P，連接PB，此時PM+PB的值最小，PM+PB=MD，由M，O為AB,BD的中點(diǎn)，得到BM=BO，（3）如圖所示，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DE并延長交AC于點(diǎn)P，可證【詳解】解1）∵△ABC是等邊三角形，AD是高，:作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，BP+PE的最小值為CE的值，（2）由題意可知AC所在直線是BD的對稱軸，連接MD交AC于點(diǎn)P，連接PB，:PD=PB，此時PM+PB的值最小，PM+PB=MD，∵M(jìn)，O為AB,BD的中點(diǎn)，∵AB=BD，:BM=BO，:△BMD≌△BOA(SAS)，:MD=AO=4，:PM+PB的最小值為4；（3）如圖所示，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DE并延長交AC于點(diǎn)P，:BF=EF,PB=PE,PF=PF，:△PBF≌△PEF(SSS)，:DAPB=DAPD，:點(diǎn)P即為所求點(diǎn)的位置．（2）如圖，連接CF，則CF與直線AM的交點(diǎn)即為所求．QAB=AC，:DABC=DACB，:DADE=DABC，DAED=DACB，:DADE=DAED，:AD=AE，由等腰三角形的對稱性可知：點(diǎn)B與點(diǎn)C、點(diǎn)D與點(diǎn)E都關(guān)于△ABC的對稱軸對稱，:連接CD，BE，交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M在等腰△ABC的對稱軸上，:直線AM即為等腰△ABC的對稱軸；（2）解：如圖，連接CF，則CF與直線AM的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．:PB=PC，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：當(dāng)點(diǎn)P在CF與對稱軸AM的交點(diǎn)處時，點(diǎn)P到F、B兩點(diǎn):DCAD=DBAD，ADTBC，:7CBE=7BAD．??:AF=BC，QAD是BC邊上的中線:BC=2BD，:AF=2BD．(3)AE-BE=2CN（1）通過△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，得出上BAC=上DAE，AB=AC，（2）通過△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，得出上BAC=上DAE，AB=AC，（3）通過已知條件，證明△ACD≌△BCE(SAS)，得出AD=BE，:上BAC=上DAE，AB=AC，AD=A:BD=CE，:上BAC=上DAE，AB=AC，AD=A:BD=CE；:DACD=DBCE，:△ACD≌△BCE(SAS)，:AD=BE；:N為DE的中點(diǎn)，:DE=2CN，:AE-BE=2CN．521）=2）證明見解析3）理由見解析；或【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)定理可得（2）過點(diǎn)D作DH丄EF于點(diǎn)H，證明△BDM≌△EDH，再證明Rt△DNF≌Rt△DHF，（3）延長MD交FE的延長線于點(diǎn)Q，證明△BDM≌△EDH得DM=DQ，從而得又∵AD平分DBAC，:DM=DN，（2）證明：如圖1，過點(diǎn)D作DH丄在△BDM和△EDH中，:DM=DH，又由（1）知：DM=DN，:DN=DH，在Rt△DNF和Rt△DHF中，:Rt△DNF≌Rt△DHF(HL)，:DNFD=DHFD，（3）解：如圖2，延長MD交FE的延長線于點(diǎn)Q，:BMⅡEF，即BMⅡEQ，在△BDM和△EDQ中，:△BDM≌△EDQ(ASA)，:DM=DN，:DN=DQ，:DF平分上AFQ，:點(diǎn)E關(guān)于DF的對稱點(diǎn)E￠落在邊AC上，AB=5，BM=1，DM=3，過點(diǎn)D作DH丄EF于點(diǎn)H，:EH=BM=1，NF=HF，在Rt△ADM和Rt△ADN中，:Rt△ADM≌Rt△ADN(HL)，:AM=AN，:AN=AM=AB-BM=5-1=4，又:DN=DM=3，:點(diǎn)E關(guān)于DF的對稱點(diǎn)E￠落在邊AC上，AB=5，BM=1，DM=3，:EQ=BM=1，:DF平分上NDQ，:FN=FQ，又:DN=DM=3，AN=AM=4，又:DN=DM=3，(2)①SSS；@兩條對角線互相垂直（答案不唯一）判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定，理解箏形的定義及上BDE的度數(shù)即可；@根據(jù)箏形的性質(zhì)得到AB=BC，AC丄BD，:△ABC≌△ADC(SSS)．故答案為：SSS；@QAB=AD，BC=DC，:AC是BD的垂直平分線，:AC丄BD，:箏形的兩條對角線互相垂直（答案不唯一:@Q箏形ABCD，:AB=BC，ACTBD，:上ABD=上CBD，:上EDB=上CBD，:BE=DE=5，:AB=BC=8．:△BCD和△ACD是均等三角形.:△ACD與△ABC為均等三角形，:△BCD為等腰三角形，:CD為△ABC的“均等分割線”．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、“均等三角551）見解析2）AP與PQ相等，理由見解析3）BP+FD=PF（3）由（2）可得：AP=PQ，則△APQ為等腰直角三角形，延長CD至G，使得:AP=PQ；:CQ平分DDCE，:AB-BM=BC-BP，:AM=PC，:DB=90°,:PQ丄AP，:AP=PQ；:△APQ為等腰直角三角形，如圖，延長CD至G，使得DG=BP，連接AG，,:AF=AF，:PF=FG，（2）過點(diǎn)P作BC的平行線交AB于M，證得△PDM≌△QDB(AAS)，得到BD=DM，進(jìn):AB=BC=AC=8cm，:P是AC邊上一動點(diǎn)，由點(diǎn)A以2cm/s速度向點(diǎn)C運(yùn)動（P與點(diǎn)A、C不重合同時，點(diǎn)Q 以相同的速度由點(diǎn)B向CB延長線方向運(yùn)動（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，P，:AP=BQ=2tcm，（2）解：點(diǎn)P，Q在運(yùn)動過程中，線段ED的長不發(fā)生變化，DE=4cm，理過點(diǎn)P作BC的平行線交AB于M，如圖所示：∵PMⅡBC，:△AMP是等邊三角形，:MP=AP=AM=2t，:AE=ME，:QB=MP，:BD=DM，:點(diǎn)P，Q在運(yùn)動過程中，線段ED的長不發(fā)生變化，DE=4cm．三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，合理添加輔助線，構(gòu)造全等57．(1)①圖見解析；②見解析；③猜想：H平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助（2）如圖，過點(diǎn)B作BP∥AC交AG的延長線于點(diǎn)P．先證明△ACD≌△ABP(ASA)得出:上AFH=90°.③猜想：HD=HE．:△ABC≌△EFG(AAS)．:BP=AD=BE．:△EBG≌△PBG(SAS)．:上HED=上HDE．:HD=HE．（2）解1）③中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖，過點(diǎn)B作BP∥AC交AG的延長線于點(diǎn)P．在△ACD和△ABP中:△ACD≌△ABP(ASA)．:△BPG≌△BEG(SAS)．:上E=上D．:HD=HE．(2)為定值，定值為45°（2）過點(diǎn)C作CG丄CE交AE于點(diǎn)G，可證△AC本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，:△ACD≌△BCF(ASA)；過點(diǎn)C作CG丄CE交AE于點(diǎn)G，:△ACG≌△ABCE(ASA)，:CE=CG，:DCEF的大小為定值，定值為45°.(2)滿足條件的△OEF的面積為或．:△AEC≌△BFA(AAS)；:CE=AF，AE=BF，:CEⅡBG，∵O是BC的中點(diǎn)，:AF=BG，:EF=FG，:EF=FG=5-2=3，綜上所述，滿足條件的△OEF的面積為或．性質(zhì)與判定，平移的性質(zhì)等知識內(nèi)容，利用分類討論（3）連接BE，由平移的性質(zhì)可得DEⅡBC，可證明DE垂直平分AB，則AE=BE，導(dǎo)角∵DF垂直平分AC，（2）解：如圖所示，連接CM，:∠MCF=∠MCB，由平移的性質(zhì)可得DEⅡBC，:DE丄AB，:DE垂直平分AB，:AE=BE，:BE=CE，:BF丄AC，:BG=DF；:DE=BF，:Rt△BGF≌Rt△DFE(HL)，:FG=EF，:點(diǎn)E與點(diǎn)G重合，則點(diǎn)F在BC的垂直平分線上，:同理可得②∵D為BC中點(diǎn)，AB=AC，:DETAC，:當(dāng)AE=DE時，當(dāng)AD=DE時，:CD=AC，:BD=CE，62．18°或36°或72°三角形的外角，根據(jù)等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理以及三角由作圖可知：BP平分DABC，=36°,此時點(diǎn)D1為BP與AC的交點(diǎn)，D22B，:AD1=AD2，:AC-AD1=BD2-BD1，即：CD1=D1D2，D2C，上AD3CD2-當(dāng)DF=EF時，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：:在△ABC中，上ABC=80°,綜上所述，DABD度數(shù)為16.5°或33°.故答案為：16.5°或33°.:OC=DC，故答案為：65°;:上ABD=90°-上A=90°-45°=45°,\7CDE=90°,:上ADE=上BDC，:△ADE≌△BDC(ASA)，:DE=DC=5．等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全:△ABC和△ADE都是等腰三角形，:AB=AC，AD=AE，上BAC=上DAE，:BD=CE；（2）理由如下：如圖2，延長DC至點(diǎn)P，使DP=AD，:△ADP為等邊三角形，:上ACB=45°,:△FDC和△ADE互為“兄弟三角形”，:上CDF=90°,:上ADE=90°,??:CEⅡAB，:S△ACE=S△ECB，:S△AEF=S△BCF=18．671）③2）DA=DC，證明見解析3）見解析:DA=DC，:BD平分上EBF，DE丄BE，DF丄BF，:DE=DF，:DA=DC；（3）證明：如圖3，在BC上截取BG=BD，連接DG，∵BD平分DABC，:AD=DG=CG，(2)20°或40°又∵線段AD，DE是△ABC的三分線，綜上，DC的度數(shù)為20°或40°.72°或36°或45°或（2）設(shè)底角度數(shù)為x，分三種情況利用等腰三角形的性質(zhì)和三:△ADC和△BCD是等腰三角形；相等的線段為AD=CD=BC；如圖，作AB的垂直平分線DE，交AC于D，交AB于E，連接BD，:AD=BD，:CD=BC，:△ADB和△BCD是等腰三角形；相等的線段為AD=BD，CD=BC；（2）解：①設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的銳角三角形，BD為“雙等腰線”，如圖，②設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的鈍角三角形，AD為“雙等腰線”，如圖，:上ADB=2y°,:y°+2y°+2y°=180°,:y=36°,③設(shè)△ABC是以AB、AC為腰的直角三角形，AD為“雙等腰線”，如圖，當(dāng)AB=BD，AD=CD時，AD為BC的垂:z=45°, 故答案為：72°或36°或45°或:△AOC是等腰三角形，:點(diǎn)E在OD的垂直平分線上，:ED=EO，:線段CO、OE是△ACD的“三等腰線”．:其底角為:其底角為80°.先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD是BC的垂直平分線，從而可得:AD是BC的垂直平分線，在△EBF和△ECF中，:△EBF≌△ECF(SSS)，:△EBF的面積=△ECF的面積，:△ABD的面積△BDC≌△EDC，得到DB=DE，BC=EC；根據(jù)等角對等邊:DB=DE，BC=EC，:AE=BE，:AE=4，:DB=2．【分析】分別計算△AOC和△AOB的面積，再根據(jù)等腰三角形的面積直接【詳解】解：連接AO，QSAOC+SQAB=AC，:OE+OF=5，【詳解】:當(dāng)OM=ON時，:12-2t=t，解得t=4，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A上方時，:OM=ON，:2t-12=t，:t=4或12，【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程，運(yùn)用分類【詳解】解：如圖，連接OB，又AB=AC，:OA=OB，:上ABO=上BAO=20°,:上OBC=上ABC-上ABO