第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年寧夏吳忠中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=2+ii，則|z|=(

)A.1 B.2 C.5 D.2.如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，下列命題正確的是(

)A.AB與HG相交B.AB與EF平行

C.AB與CD相交D.EF與CD異面3.正方形O′A′B′C′的邊長為2，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖(如圖)，則原圖形的面積是(

)A.2

B.4

C.424.在△ABC中，點M是邊AC上靠近點A的三等分點，點N是BC的中點.若MN=xAB+yBC，則A.1 B.12 C.?135.已知正三棱錐的底面邊長為6，高為3，則該三棱錐的表面積是(

)A.543 B.273 C.6.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓直徑為(????)．A.45 B.5 C.57.宋代瓷器的燒制水平極高，青白釉出自宋代，又稱影青瓷.宋蔣祁《陶記》中“江、湖、川、廣器尚青白，出于鎮(zhèn)之窯者也”，印證了宋人把所說的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史實.圖1為宋代的影青瓷花口盞及盞托，我們不妨將該花口盞及盞托看作是兩個圓臺與一個圓柱的組合體，三個部分的高相同均為6cm，上面的花口盞是底面直徑分別為8cm和10cm的圓臺，下面的盞托由底面直徑8cm的圓柱和底面直徑分別為12cm和8cm的圓臺組合構(gòu)成，示意圖如圖2，則該花口盞及盞托構(gòu)成的組合體的體積為(

)

A.248πcm3 B.274πcm3 C.8.已知Rt△ABO的面積為4，O為直角頂點，設(shè)向量a=OA|OA|、向量b=OB|A.?4 B.?3 C.3 D.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列命題為真命題的是(

)A.復(fù)數(shù)2?2i的虛部為?2i

B.若i為虛數(shù)單位，則i2023=?i

C.在復(fù)數(shù)集C中，方程x2+x+1=0有兩個解，依次為?12+3210.已知OA表示向量a，OB表示向量b，向量a=(1,2)，b=(3,1)，O為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若向量a+tb與a垂直，則實數(shù)t的值為?1

B.已知點C(4,k)，若A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值為?2

C.a在b方向上的投影向量的模為102

D.若c=(?1,m)，a+11.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中錯誤的是(

)

A.若sin2A=sin2B，則△ABC定為等腰三角形

B.若a2+b2?c2>0，則△ABC一定是銳角三角形

C.若點M是邊BC上的點，且AM=23AB+13AC，則△AMC的面積是△ABC面積的三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a=(1,1)，b為單位向量，且|a?2b|=213.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2,b=3,cosB=74，則A=14.已知三棱錐P?ABC，PA⊥底面ABC，且△ABC是邊長為3的正三角形，PA=2，則該三棱錐的外接球表面積是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a，b滿足a=(?3,4)，|b|=10．

(1)若a//b，求向量b的坐標；

(2)若向量a，b的夾角為2π16.(本小題15分)

已知a=(3cosx,1)，b=(sinx,?1)，f(x)=(a+b)?a?12．

(1)若a//b，求17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，在①asinC=ccos(A?π6)；②(a+b+c)(b+c?a)=3bc.兩個條件中任選一個，補充在下面問題中(將選的序號填在橫線處)，

已知a=362，_____．

(1)若∠B=π4，求b；

(2)18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=1，acosA=2b?ccosC．

(1)求角A；

(2)若D是線段BC的中點，且AD=1，求S△ABC；

(3)19.(本小題17分)

重慶是我國著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準備在門前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知∠AOB=π6，弓形花園的弦長|AB|=23，記弓形花園的項點為M，∠MAB=∠MBA=π(Ⅰ)將|OA|，|OB|用含有θ的關(guān)系式表示出來；

(Ⅱ)該山莊準備在M點處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計OA、OB的長度，才使得噴泉M與山莊O的距離的值最大？

參考答案1.C

2.D

3.D

4.B

5.B

6.C

7.D

8.B

9.BCD

10.AC

11.ABC

12.π413.π614.8π

15.(1)設(shè)b=λa=(?3λ,4λ)，

所以|b|=(?3λ)2+(4λ)2=5|λ|=10，解得λ=±2，

向量b的坐標為(?6,8)或(6,?8)；

(2)|a|=16.解：(1)因為a=(3cosx,1)，b=(sinx,?1)，

由a//b，可得3cosx×(?1)=sinx，即tanx=?3，

所以cos2x=cos2x?sin2xcos2x+sin2x=1?tan2x1+tan2x=?12；

(2)因為f(x)=(a+b)?a?12=(3cosx+sinx,0)?(3cosx,1)?12

=(3cosx+sinx)?3cosx?12=3cos2x+317.(1)若選①：asinC=ccos(A?π6)，

則asinC=c(32cosA+12sinA)，

所以sinAsinC=sinC(32cosA+12sinA)，即12sinAsinC=32sinCcosA，

由sinC>0可得sinA=3cosA，

可得tanA=3，所以A=π3，

由正弦定理326sinπ3=bsinπ4，可得b=362×2232=3；

若選②(a+b+c)(b+c?a)=3bc，則b2+c2?a2=bc，

所以cosA=b2+c2?a22bc=12，由A∈(0,π)，得A=π3，

由正弦定理326sinπ3=bsinπ4，可得b=362×2232=3．

(2)△ABC中，a2=b2+c2?2bccosA，

所以(362)2=b2+c2?2bc×12，

即b2+c2=bc+19.解：(Ⅰ)在△OAB中，

由正弦定理可知|OA|sinθ=|AB|sinπ6，

則|O