2．1.1合情推理[學(xué)習(xí)目標]1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理．2．了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．[知識鏈接]1．歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？答歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確．類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠．2．由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？答一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．歸納推理和類比推理(1)歸納推理：根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出該類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，歸納是從特殊到一般的過程．(2)類比推理：根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質(zhì)的推理，叫做類比推理(簡稱類比)，類比推理是由特殊到特殊的推理．2．合情推理(1)定義前提為真時，結(jié)論可能為真的推理，叫做合情推理．歸納推理和類比推理是數(shù)學(xué)中常用的合情推理．(2)合情推理的過程eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想)要點一歸納推理的應(yīng)用例1觀察如圖所示的“三角數(shù)陣”1…………第1行22…………第2行343…………第3行4774…………第4行…………第5行…………記第n(n＞1)行的第2個數(shù)為an(n≥2，n∈N*)，請仔細觀察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題：(1)第6行的6個數(shù)依次為________、________、________、________、________、________；(2)依次寫出a2、a3、a4、a5；(3)歸納出an＋1與an的關(guān)系式．解由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù)．(1)6162525166(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11.(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，由此歸納：an＋1＝an＋n.規(guī)律方法對于數(shù)陣問題的解決方法，既要清楚每行、每列數(shù)的特征，又要對上、下行，左、右列間的關(guān)系進行研究，找到規(guī)律，問題即可迎刃而解．跟蹤演練1根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項，并歸納猜想它的通項公式．(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；(2)a1＝a，an＋1＝eq\f(1,2－an)；(3)對一切的n∈N*，an>0，且2eq\r(Sn)＝an＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.(2)由已知可得a1＝a，a2＝eq\f(1,2－a1)＝eq\f(1,2－a)，a3＝eq\f(1,2－a2)＝eq\f(2－a,3－2a)，a4＝eq\f(1,2－a3)＝eq\f(3－2a,4－3a).猜想an＝eq\f(n－1－n－2a,n－n－1a)(n∈N*)．(3)∵2eq\r(Sn)＝an＋1，∴2eq\r(S1)＝a1＋1，即2eq\r(a1)＝a1＋1，∴a1＝1.又2eq\r(S2)＝a2＋1，∴2eq\r(a1＋a2)＝a2＋1，∴aeq\o\al(2,2)－2a2－3＝0.∵對一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3.同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出an＝2n－1(n∈N*)．要點二類比推理的應(yīng)用例2如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊．類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．解如右圖所示，在四面體P－ABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。覀儾孪肷溆岸ɡ眍惐韧评淼饺S空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.規(guī)律方法(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當前問題的需要，選擇適當?shù)念惐葘ο?，可以從幾何元素的?shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手．由平面中的相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論．(2)平面圖形與空間圖形類比平面圖形空間圖形點線線面邊長面積面積體積線線角二面角三角形四面體跟蹤演練2已知P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上的一點，過P點的切線方程的斜率可通過如下方式求得：在y2＝2px兩邊同時對x求導(dǎo)，得2yy′＝2p，則y′＝eq\f(p,y)，所以過P的切線的斜率k＝eq\f(p,y0).類比上述方法求出雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1在P(eq\r(2)，eq\r(2))處的切線方程為________．答案2x－y－eq\r(2)＝0解析將雙曲線方程化為y2＝2(x2－1)，類比上述方法兩邊同時對x求導(dǎo)得2yy′＝4x，則y′＝eq\f(2x,y)，即過P的切線的斜率k＝eq\f(2x0,y0)，由于P(eq\r(2)，eq\r(2))，故切線斜率k＝eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，因此切線方程為y－eq\r(2)＝2(x－eq\r(2))，整理得2x－y－eq\r(2)＝0.要點三平面圖形與空間圖形的類比例3三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形．(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形．通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)填寫下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心解三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊四面體的中截面(以任意三條棱的中點為頂點的三角形)的面積等于第四個面的面積的eq\f(1,4)，且平行于第四個面三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內(nèi)切球的球心規(guī)律方法將平面幾何中的三角形、長方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、長方體、球、體積等進行類比，是解決和處理立體幾何問題的重要方法．跟蹤演練3類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認為比較恰當?shù)氖?)①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫類比推理，上述三個結(jié)論均符合推理特征，故均正確.1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤答案B解析根據(jù)合情推理定義可知，合情推理必須有前提有結(jié)論．2．下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大答案A解析由圖知：三白二黑周而復(fù)始相繼排列，36÷5＝7余1.∴第36顆珠子的顏色為白色．3．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：123456789101112131415……按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為________．答案eq\f(n2－n＋6,2)解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)個，即eq\f(n2－n,2)個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2)＋3個，即為eq\f(n2－n＋6,2).4．觀察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示為________．答案(n＋2)2－n2＝4n＋4解析由已知四個式子可分析規(guī)律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．合情推理的過程概括為：eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想).一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是