第一章習(xí)題答案1.判斷下列語句哪些是命題并給出命題的真值。(1)20是偶數(shù)。(2)今天是晴天嗎？(3)平行四邊形兩對(duì)邊分別平行。(4)直角三角形其中兩邊相互垂直。(5)16既能被2整除，又能被8整除。(6)請(qǐng)尊老愛幼！(7)4是2的倍數(shù)。(8)我們?nèi)ソ加萎?dāng)且僅當(dāng)今天不下雨。(9)我和李霞是朋友。(10)人只要肯努力就一定能成功。答：（1）、（2）、（4）、（5）、（7）、（8）、（9）、（10）是命題，其中（1）、（2）、（4）、（7）、（9）是簡(jiǎn)單命題，（5）、（8）、（10）是復(fù)合命題。簡(jiǎn)單命題（1）、（2）、（4）、（7）是真命題，（9）可為真命題，也可為假命題，故是命題變項(xiàng)。（5）因?yàn)槭呛?jiǎn)單命題“16能被2整除”和“16能被8整除”的合取，且兩個(gè)簡(jiǎn)單命題為真命題，故（5）的真值為真，而（8）、（10）的真值即可為真也可為假。2.給出下列命題的否定命題。(1)杭州的每條街道都有綠化。(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是偶數(shù)。答：(1)的否定命題為：杭州的每條街道都沒有綠化。(2)的否定命題為：每一個(gè)素?cái)?shù)都不是偶數(shù)。3.將下列命題符號(hào)化。(1)如果天晴，我將去公園。(2)僅當(dāng)你去我才離開。(3)2既能整除4又能整除8。(4)張亮和趙鵬是同班同學(xué)。(5)兩個(gè)三角形全等當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的兩條邊相等且由這兩條邊構(gòu)成的夾角相等。(6)周六沒有英語課或離散數(shù)學(xué)課。(7)張磊和李楠只有一人能參加這次英語競(jìng)賽。(8)只要我們肯想辦法，總能克服這些困難。(9)星期天天晴或下雨。(10)只有年齡滿14歲或身高超過1.4米才能坐過山車。答：(1)令p：天晴，q：我去公園。命題符號(hào)化為：(2)令p：你去q，：我離開。命題符號(hào)化為：(3)令p：2能整除，q：4能整除8。命題符號(hào)化為：(4)令p：張亮和趙鵬是同班同學(xué)命題符號(hào)化為：p。(5)令p：兩個(gè)三角形全等，q：對(duì)應(yīng)的兩條邊相等，r：兩條邊構(gòu)成的夾角相等。命題符號(hào)化為：(6)令p：周六有英語課，q：周六有離散數(shù)學(xué)課。命題符號(hào)化為：(7)令p：張磊參加這次英語競(jìng)賽，q：李楠參加這次英語競(jìng)賽。命題符號(hào)化為：(8)令p：我們肯想辦法，q：我們能克服這些困難。命題符號(hào)化為：(9)令p：星期天天晴，q：星期天下雨。命題符號(hào)化為：(10)令p：年齡滿14歲，q：身高超過1.4米，r：能坐過山車。命題符號(hào)化為：4.令p表示命題“蘋果是添的”，q表示命題“蘋果是紅的”，r表示命題“我買蘋果”。試將下列命題符號(hào)化：(1)如果蘋果甜而紅，那么我買蘋果。(2)蘋果不是甜的。(3)我沒買蘋果，因?yàn)樘O果不紅也不甜。答：(1)命題符號(hào)化為：(2)命題符號(hào)化為：(3)命題符號(hào)化為：5.設(shè)p表示“該地區(qū)曾出現(xiàn)過灰熊”，q表示“在路上遠(yuǎn)足很安全”，r表示“沿途蘋果成熟了”，給出描述下列命題公式的語句。(1)答：該地區(qū)未曾出現(xiàn)過灰熊。(2)答：該地區(qū)曾出現(xiàn)過灰熊或者在路上遠(yuǎn)足很安全。(3)答：如果該地區(qū)曾出現(xiàn)過灰熊，那么在路上遠(yuǎn)足就不安全。(4)答：該地區(qū)曾出現(xiàn)過灰熊且在路上遠(yuǎn)足不安全。(5)答：該地區(qū)曾出現(xiàn)過灰熊或者在路上遠(yuǎn)足很安全。(6)答：若沿途蘋果成熟了則在路上遠(yuǎn)足是安全的，當(dāng)且僅當(dāng)該地區(qū)未出現(xiàn)過灰熊。6.構(gòu)成下列公式的真值表，寫出成真賦值和成假賦值。(1)pq0011010110111101成真賦值為：00,01,10,11。(2)pq00110010111011011011成真賦值為：01,11；成假賦值為：00,10。(3)pq00001011001010011111成真賦值為：00,11；成假賦值為：01,10。(4)pq0011111011011110010011100111成真賦值為：00,01,10,11。(5)pq00101011101000111111成真賦值為：00,10,11；成假賦值為：01。(6)pqr0000001000101001010100010111110010011100101111001101110011111100成真賦值為：001,010；成假賦值為：000,011,100,101,110,111。7設(shè)p、q的真值為0，r、s的真值為1，求下列命題的真值。(1)答：當(dāng)p、q的真值為0，r的真值為1，該命題真值為1。(2)答：當(dāng)p、q的真值為0，r、s的真值為1，該命題真值為1。(3)答：當(dāng)p、q的真值為0，r、s的真值為1，該命題真值為0。(4)答：當(dāng)p、q的真值為0，r、s的真值為1，該命題真值為1。(5)答：當(dāng)p、q的真值為0，r、s的真值為1，該命題真值為1。8.通過真值表方法判斷下列命題公式的類型。(1)p011011100100答：根據(jù)真值表可知公式真值可真可假，所以該公式是可滿足式。(2)pqr0000000101010110111110011101111101111111答：根據(jù)真值表可知公式真值可真可假，所以該公式是可滿足式。(3)pq0000011010111110答：根據(jù)真值表可知公式真值可真可假，所以該公式是可滿足式。(4)pq00001011111011111111答：根據(jù)真值表可知公式真值都為真，所以該公式是永真式。(5)pqr0001111100111111010101010111111110001001101011011101000111111111答：根據(jù)真值表可知公式真值都為真，所以該公式是永真式。(6)pq001101010011101011110101答：根據(jù)真值表可知公式真值都為真，所以該公式是永真式。9.寫出與下面給出的公式等價(jià)并且僅含有聯(lián)接詞與的最簡(jiǎn)公式。(1)答：(2)答：(3)答：(4)答：(5)答：10.寫出與下面的公式等價(jià)并且僅含聯(lián)結(jié)詞和的最簡(jiǎn)公式。(1)答：(2)答：(3)答：11.用等值演算法判斷下列命題公式的類型。(1)答：此公式為永真式。(2)答：此公式為永真式。(3)答：此公式為可滿足式。12.用真值表法和等值演算法證明下列等值式。(1)真值表如下：pq00011011001010011011根據(jù)真值表，和有相同真值，故等式成立。等值演算法： 所以，等式成立。(2)真值表如下：pqr0001101100110100010011000110010010011011101111111101111111111111根據(jù)真值表，和有相同真值，故等式成立。 所以，等式成立。(3)pqac00001111000111110010100000111111010011110101111101100000011111111000111110011111101011111011111111001111110111111110010011111111根據(jù)真值表，和有相同真值，故等式成立。等值演算法： 所以，等式成立。(4)pq001111011111100100110010根據(jù)真值表，和有相同真值，故等式成立。等值演算法：所以，等式成立。(5)pq001101011011010011100000000110000111根據(jù)真值表，和有相同真值，故等式成立。等值演算法： 所以，等式成立。(6)pq0011000011000010001111100101根據(jù)真值表，和p有相同真值，故等式成立。等值演算法：所以，等式成立。(7)pq001100100011001100100011000110011000根據(jù)真值表，和有相同真值，故等式成立。等值演算法：所以，等式成立。13.化簡(jiǎn)下列公式。(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：14.用真值表法求下列各式的主析取和主合取范式。(1)pqr000111001101010111011101100011101011110111111111原式的主析取范式為：原式的主合取范式為：F(2)pqr000111001111010100011111100011101111110001111111原式的主析取范式為： 原式的主合取范式為：15.分別等值演算法求下列各式的主析取和主合取范式。(1) 原式的主合取范式為： (2) 原式的主合取范式為：(3)原式的主析取范式為：16.用主析取范式判斷下列各組命題公式是否等值。(1)；解：是第一個(gè)公式的主合取范式，故第一個(gè)公式的主析取范式為：；第二個(gè)公式經(jīng)等值演算的主析取范式為：，故兩公式相等。(2)；第一個(gè)公式的主析取范式為：第二個(gè)公式本身就是主析取范式，故兩公式相等。(3)；第一個(gè)公式的主析取范式為：第二個(gè)公式的主析取范式為：故兩式相等。17.證明下列蘊(yùn)含式成立。(1)故有：(2)故有：(3)故有：。18.證明和是邏輯等價(jià)的。故兩式邏輯等價(jià)。19.化簡(jiǎn)邏輯式，并設(shè)計(jì)該邏輯式的電路圖。20.使用非門，或門和與門構(gòu)建組合電路，該組合電路從輸入位p，q和r產(chǎn)生輸出。第二章習(xí)題答案1.令表示“x是偶數(shù)”，判斷下列各式的真值是什么？(1)(2)(3)解：(1)假，(2)真，(3)真2.令P(x)表示“”。個(gè)體域是整數(shù)，判斷下列各式的真值是什么？(1)P(0)(2)P(1)(3)P(2)(4)P(-1)(5)(6)解：(1)真，(2)真，(3)假，(4)假，(5)真，(6)假3.若個(gè)體域是正整數(shù)集合，令表示，下列公式中哪些公式的值為真值？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)解：(1)假，(2)假，(3)真，(4)真，(5)假，(6)假，(7)真，(8)真4.將下列命題用謂詞邏輯符號(hào)化。解：令P(x)：x會(huì)說俄語；Q(x)：x會(huì)phython編程語言；R(x)：x在這所學(xué)校。(1)在這所學(xué)校有個(gè)能說俄語且會(huì)phython編程語言的學(xué)生。(2)在這所學(xué)校有個(gè)能說俄語但不會(huì)phython編程語言的學(xué)生。(3)在這所學(xué)校每個(gè)學(xué)生都會(huì)說俄語且會(huì)phython編程語言。(4)在這所學(xué)校沒有一個(gè)學(xué)生會(huì)說俄語或會(huì)phython編程語言。5.將下列命題用謂詞邏輯符號(hào)化。(1)在這個(gè)班里有個(gè)學(xué)生家里有一只貓和一條狗。解：令P(x)：x是這個(gè)班里的學(xué)生；Q(x,y)：x家里有只y；a：狗；b：貓。(2)趙勛既努力又聰明。解：令P(x)：x努力；Q(x)：x聰明；a：趙勛?；蚍?hào)化為：令p：趙勛努力；q：趙勛聰明。(3)并不是所有的女人都喜歡追劇。解：令P(x)：x是女人；Q(x)：x喜歡追劇。(4)如果你不努力，就一定不能取得成功。解：令P(x)：x努力；Q(x)：x能取得成功。(5)有些人喜歡小動(dòng)物，但不是所有的人都喜歡小動(dòng)物。解：令P(x)：x喜歡小動(dòng)物；Q(x)：x能取得成功。(6)這個(gè)班里所有學(xué)生都選修了人工智能專業(yè)的課程。解：令P(x)：x是這個(gè)班里的學(xué)生；Q(x)：x選修了人工智能專業(yè)的課程。(7)任何偶數(shù)都能被2整除。解：令P(x)：x是偶數(shù)；Q(x)：x能被2整除。(8)這個(gè)班里的男生都喜歡打籃球。解：令P(x)：x是這個(gè)班里的男生；Q(x)：x喜歡打籃球。(9)如果今天是星期六，明天就是星期日。解：令P(x)：x是星期六，a：今天；Q(x)：x是星期天，b：明天。令p：今天是興趣六；q：命題是星期日。(10)天氣好我們就去郊游。解：令p：天氣好；q：我們?nèi)ソ加巍?.在一階邏輯中將下面命題符號(hào)化。(1)每個(gè)用戶只能注冊(cè)一個(gè)賬號(hào)。解：令P(x)：x只能注冊(cè)一個(gè)賬號(hào)。(2)有些女生喜歡甜食。解：令P(x)：x喜歡甜食。(3)在杭州定居的人未必都是杭州人。解：令P(x)：x是在杭州定居的人；Q(x)：x是杭州人。(4)所有女人都愛看電視劇。解：令P(x)：x是女人；Q(x)：x愛看電視劇。(5)班上每個(gè)學(xué)生都報(bào)考了研究生考試。解：令P(x)：x是班上學(xué)生；Q(x)：x報(bào)考研究生考試。7.設(shè)個(gè)體域D={-2,-1,0}。消去下列各公式中的量詞。(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)(8) (9) (10)8.設(shè)個(gè)體域D={-1,1,2}，用析取和合取聯(lián)結(jié)詞表示下列命題。(1)(2) (3)(4)(5)9.給定解釋I如下：i.個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集N；ii.元素a=1；iii.iv.N中的特定謂詞表示：x-y=0，：x>y。在解釋I下，求下列各式的真值。(1)(2)(3) (4) 10.給定解釋I如下：i.個(gè)體域?yàn)樽匀粩?shù)集N；ii.元素a=1；iii.iv.N中的特定函數(shù)；v.N中的特定謂詞表示：x<y，：x>y。在解釋I下，求下列各式的真值。(1)(2) (3) (4)11.指出下列各公式中每個(gè)量詞的作用域，并指出個(gè)體變?cè)羌s束出現(xiàn)還是自由出現(xiàn)。(1)解：的作用域?yàn)?，的作用域也為，個(gè)體變?cè)獮閤和y為約束出現(xiàn)。(2)解：的作用域也為，約束出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)獮橹械膞，中的y和中的x和y為自由出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)?3)解：第一個(gè)的作用域也為，第二個(gè)的作用域也為，第一個(gè)公式和中的x為約束出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)?，第一個(gè)公式和中的y為自由出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)?，第二個(gè)公式中的y為約束出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)?，而第二個(gè)公式的x為自由出現(xiàn)的個(gè)體變?cè)?4)解：的作用域?yàn)?，的作用域也為，個(gè)體變?cè)獮閤和y為約束出現(xiàn)。12.求下列公式的前束范式。(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：13.求下列公式的前束范式。(1)解：(2)解：(3)解：14.化簡(jiǎn)下列各式。(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：15.指出下列推導(dǎo)中的錯(cuò)誤，并加以改正。(1)前提引入(2)(1)UI(3)前提引入(4)(3)EI(5)(4)化簡(jiǎn)律(6)(2)(5)假言推理(7)(6)EG解：第一步和第三步的順序錯(cuò)誤，應(yīng)該先存在量詞消去，后全稱量詞消去。改正序列：(1)前提引入(2)(1)EI(3)前提引入(4)(3)UI(5)(2)化簡(jiǎn)律(6)(4)(5)假言推理(7)(6)EG16.構(gòu)造下面的推理的證明。(1)前提：，，結(jié)論：q證明：(1) 前提引入(2)前提引入(3)(1)(2)析取三段論(4)前提引入I(5)q(2)(5)假言推理(2)前提：，，結(jié)論：證明：(1) 前提引入(2)前提引入(3)(1)(2)假言推理(4)前提引入I(5)(3)(4)假言推理(6)(5)雙重否定律(7)(6)蘊(yùn)涵等值式(3)前提：，，結(jié)論：證明：(1) 前提引入(2)(5)雙重否定律(3)(2)蘊(yùn)含式(4)前提引入(5)(2)(3)假言三段論(6)(5)假言推理(7)前提引入(8)(6)(7)假言三段論(4)前提：，，結(jié)論：證明：(1) 前提引入(2)(1)蘊(yùn)含式(3)前提引入(4)(3)假言易位(5)(2)(4)假言三段論(6)前提引入(7)(5)(6)假言三段論(5)前提：q，，，結(jié)論：證明：(1)附加前提(2)前提引入(3)p(2)(3)析取三段論(4)前提引入(5)(3)(4)假言推理(6)q前提引入(7)s(5)(6)假言推理17.構(gòu)造下列推理的證明。(1)前提：結(jié)論：證明：(1)前提引入(2)(1)EI(3)前提引入(4)(3)EI(5)(4)UI(6)(2)(5)假言推理(7)附加(8)(6)(7)假言推理(9)(8)EU(2)前提：結(jié)論：證明：(1)前提引入(2)(1)EI(3)前提引入(4)(3)EI(5)(4)UI(6)(2)(5)假言推理(7)附加(8)(6)(7)假言推理(9)(8)EU(3)前提：結(jié)論：(4)前提：結(jié)論：(5)前提：結(jié)論：(6)前提：結(jié)論：(7)前提：結(jié)論：18.證明前提：(1)若A隊(duì)得第一，則B隊(duì)或C隊(duì)獲亞軍;（2）若C隊(duì)獲亞軍，則A隊(duì)不能獲冠軍;（3）若D隊(duì)獲亞軍，則B隊(duì)不能獲亞軍;（4）A隊(duì)獲第一?？梢酝瞥鼋Y(jié)論：D隊(duì)不是亞軍。19.符號(hào)化下面的論斷，并給出相應(yīng)的推理證明。(1)如果今天天氣晴，我們就去放風(fēng)箏或劃船；如果刮風(fēng)，我們就不去劃船。今天天氣晴但有風(fēng)，所以我們就去放風(fēng)箏。(2)如果期末復(fù)習(xí)肯努力，就一定能通過離散數(shù)學(xué)考試。身體不好且考試科目多。沒有通過離散數(shù)學(xué)考試。所以，期末復(fù)習(xí)沒努力且考試科目多。20.符號(hào)化下列命題，并給出推理證明。(1)如果李楠是理科學(xué)生，她必須學(xué)習(xí)微積分。如果她不是文科學(xué)生，那么她必須是理科學(xué)生。她沒有學(xué)微積分。所以她是一個(gè)文科生。(2)王敏學(xué)習(xí)英語或日語。如果王敏學(xué)習(xí)過英語，那么她就去了英國(guó)。如果去過英國(guó)，那么她去過日本。于是王敏學(xué)習(xí)日語或去了日本。(3)這個(gè)班的學(xué)生李格知道如何用JAVA編寫程序。每個(gè)知道如何用JAVA編寫程序的人都可以得到一份高薪工作。因此，這個(gè)班的學(xué)生都可以得到一份高薪工作。(4)這個(gè)班的人都喜歡觀看鯨魚表演。每個(gè)喜歡觀看鯨魚表演的人都關(guān)心海洋污染。因此，這個(gè)班上每個(gè)人都關(guān)心海洋污染。(5)這個(gè)班的每位都擁有一臺(tái)個(gè)人計(jì)算機(jī)。擁有個(gè)人計(jì)算機(jī)的每個(gè)學(xué)生都可以使用文字處理程序。因此，這個(gè)班的李爽可以使用文字處理程序。”第三章習(xí)題答案1.判斷下列集合是否相等。(1){1,2,3}和{1,1,3,2,2}(2){}和(3){}和{{},}2.設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6}和集合B={0,3,6}。試計(jì)算下列各式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)3.判斷下列各式是否正確。(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)4.求下列集合的冪集。(1)(2){1,{a,b}}(3){,{}}(4){2,2,2,3}5.設(shè)A={}，B={1,2}，試計(jì)算。6.請(qǐng)用文氏圖表示以下集合。(1)(2)(3)(4)(5)7.設(shè)A和B是任意集合，證明下列恒等式。(1).(2).(3)(4)(5)(6)8.已知A、B、C是三個(gè)集合，證明：(1)(2)(3)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)9.已知A、B、C是三個(gè)集合，證明：(1)(2)10.假設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。如果i在集合中，則字符串中第i位為1，否則為0。請(qǐng)按上述規(guī)則的位字符串表示下列集合。(1){3,4,5}(2){1,3,6,10}(3){2,3,4,7,8,9}11.設(shè)矩陣，計(jì)算下列各式：(1)，(2)，(3)12.設(shè)矩陣，計(jì)算下列各式：(1)，(2)13.設(shè)矩陣和。計(jì)算下列各式：(1)，(2)AT，(3)BT14.設(shè)矩陣和。計(jì)算下列各式：(1)，(2)，(2)，15.設(shè)矩陣和。計(jì)算下列各式：(1)，(2)，(3)第四章習(xí)題答案1.設(shè)集合A={a,b,c}，試求。2.設(shè)關(guān)系，試求(1)(2)ranR(3)domR3.設(shè)是集合A=上的二元關(guān)系，,。試求：(1)(2)(3)(4)4.設(shè)關(guān)系R是人類集合上的二元關(guān)系，試判斷關(guān)系是否是自反的，對(duì)稱的，反對(duì)稱的或傳遞的？(1)田蕾比趙艷漂亮。(2)田蕾和趙艷是同班同學(xué)。(3)田蕾比趙艷高。(4)田明和田蕾是兄妹。5.設(shè)R1和R2是關(guān)系，且矩陣分別表示為：和試計(jì)算下列各式：(1)(2)(3)(4)(5)(5)(6)6.畫出下面關(guān)系的關(guān)系圖。7.設(shè)集合A={1,2,3,4},R是集合A上的二元關(guān)系。試給出關(guān)系R的自反閉包