4/43.1.4空間向量的直角坐標運算一、學習重點1.向量的直角坐標運算；2.空間向量平行和垂直的條件；3.兩個向量夾角與向量長度的坐標計算公式。二、學習難點向量坐標的確定及坐標計算公式應用三、知識梳理1.空間直角坐標系及空間向量的坐標(1)建立空間直角坐標系Oxyz，分別沿x軸、y軸、z軸的正方向引單位向量，這三個互相垂直的單位向量構成空間向量的一個基底{}，這個基底叫做_______；單位向量都叫做_________。(2)空間向量的坐標：已知任一向量，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實數(shù)組（a1，a2，a3），使分別為向量在方向上的分向量，有序實數(shù)組（a1，a2，a3）叫做向量在此直角坐標系中的_______，上式可簡記作＝________。2.空間向量的坐標運算法則設＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）則向量運算坐標表示加法＝_____________減法＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘＝（）數(shù)量積·＝a1b1+a2b2+a3b33.空間向量平行和垂直的條件：設＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）(1)∥（）____________當與三個坐標平面都不平行時∥______________(2)⊥________________________（且）。4.兩向量夾角與向量長度的坐標計算公式：(1)設＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），則｜｜＝_______________＝_____________，｜｜＝_________________＝____________________，cos<，>______________________＝_____________________。(2)設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則＝_________________＝___________________，｜｜＝__________________.四、典型例題類型一空間向量的坐標運算在運算中注意相關公式的靈活運用，如（）·（）＝＝｜｜2－｜｜2；（）·（）＝（）2等。例1.已知＝（2，－3，5），＝（－3，1，－4）。求2－3，｜｜，（2+3）·（－2），cos（，）。變式訓練：已知＝（－3，2，5），＝（1，5，－1），求：(1)+3；(2)·（+3).類型二空間向量的平行與垂直問題例2.已知空間三點A（－2，0，2）、B（－1，1，2）、C（－3，0，4），設＝，＝。(1)設｜｜＝3，∥，求；(2)若k+與k－2互相垂直，求k。變式訓練：（1）已知向量＝（2，4，5），＝（3，x，y），若∥，求x，y的值。(3)已知：＝（2，4，x），＝（2，y，2），若｜｜＝6，且⊥，求x+y的值。類型三利用向量法解決夾角和距離問題例3.如圖棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1的中點。(1)求證：EF⊥CF；(2)求與所成角的余弦；(3)求CE的長。變式訓練：如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點E是正方形BCC1B1