第11講用頻率估計(jì)概率題型梳理題型梳理題型方法題型一用頻率估計(jì)概率題型二設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)估計(jì)事件發(fā)生的概率知識(shí)清單知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)一、頻率與概率的定義：頻率：在相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，即頻率=。概率：事件A的頻率接近某個(gè)常數(shù)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)。知識(shí)點(diǎn)二、頻率與概率的關(guān)系：事件的概率是一個(gè)確定的常數(shù)，而頻率是不確定的。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的大小搖擺不定；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增大時(shí)，頻率的大小波動(dòng)變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近。概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值。頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，無(wú)法從根本上來(lái)刻畫事件發(fā)生的可能性的大小，只有在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下才可以近似地作為這個(gè)事件的概率。頻率和概率在試驗(yàn)中可以非常接近，但不一定相等，兩者存在一定的偏差是正常的。知識(shí)點(diǎn)三、利用頻率估計(jì)概率：當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來(lái)估計(jì)概率。用試驗(yàn)去估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗(yàn)次數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，結(jié)果將較為精確。題型方法題型方法【題型一】用頻率估計(jì)概率【例1】（2425九年級(jí)上·貴州六盤水·期末）在一個(gè)不透明的布袋中裝有20個(gè)黃、白兩種顏色的球，它們除顏色外其他都相同，歡歡通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有（）A．6個(gè) B．10個(gè) C．14個(gè) D．18個(gè)【舉一反三】【變式1】（2324九年級(jí)上·廣東梅州·期中）盒子中有黃色小球和橙色小球若干個(gè)，小明同學(xué)進(jìn)行了如下試驗(yàn)：每次摸出一個(gè)小球記下它的顏色并放回盒中，如此反復(fù)1500次，摸出橙色小球300次，由此可估計(jì)摸出橙色小球的概率為（

）A． B． C． D．【變式2】（2425九年級(jí)上·陜西渭南·期中）在一個(gè)不透明的箱子中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)綠球，這些球除顏色外全一樣，攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回，不斷重復(fù)這一過(guò)程，共摸了400次，發(fā)現(xiàn)有80次摸到紅球，由此可估計(jì)箱子中有個(gè)綠球．【變式3】（2425九年級(jí)下·陜西西安·期中）在一個(gè)不透明的箱子中裝有張白色的卡片和若干張紅色的卡片，這些卡片除顏色外，大小、形狀、厚度等均相同．我校動(dòng)感社團(tuán)的同學(xué)們做試驗(yàn)：將卡片攪勻后從中任意摸出張，記下顏色后放回，記為一次試驗(yàn)．(1)若多次進(jìn)行上述試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到白色卡片的頻率為，則箱子中的紅色卡片約有___________張；(2)在（）的條件下，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求兩次試驗(yàn)摸出的卡片顏色恰好相同的概率．【題型二】設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)估計(jì)事件發(fā)生的概率

下面有四個(gè)推斷：①當(dāng)投擲次數(shù)是600時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是400，所以“釘尖向上”的概率是0.667；②隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618；③若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的概率一定是0.620；④若再次用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的情況一定高于500次．其中合理的是（）A．① B．② C．③ D．④【變式2】（2425九年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”．?dāng)?shù)學(xué)小組為了探究隨機(jī)投放一個(gè)點(diǎn)恰好落在“心形線”內(nèi)部的概率，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：試驗(yàn)總次數(shù)100200300500150020003000落在心形線內(nèi)部次數(shù)61931652467599961503落在心形線內(nèi)部頻率0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)的概率為（精確到0.1）【變式3】（2425九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀下列材料：模擬試驗(yàn)是利用替代物模擬實(shí)際事物而進(jìn)行的試驗(yàn)．例如我們?cè)诠烙?jì)6個(gè)人中有2個(gè)人生肖相同的概率時(shí)，可以用12個(gè)編有號(hào)碼、大小相同的球代替12種不同的生肖，這樣每個(gè)人的生肖都對(duì)應(yīng)著一個(gè)球，6個(gè)人中有2個(gè)人生肖相同，就意味著6個(gè)球中有2個(gè)球的號(hào)碼相同．因此可在口袋中放入這樣的12個(gè)球，從中摸出1個(gè)球，記下它的號(hào)碼，放回去；再?gòu)闹忻?個(gè)球，記下它的號(hào)碼，放回去，……，直至摸到第6個(gè)球，記下第6個(gè)號(hào)碼，到此為一次模擬試驗(yàn)．重復(fù)多次這樣的試驗(yàn)，即可估計(jì)6人中2人生肖相同的概率……；小明所在的數(shù)學(xué)興趣小組按照材料中所述的方法進(jìn)行了模擬試驗(yàn)，他們重復(fù)了多次這樣的模擬實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果制成的統(tǒng)計(jì)表如下：實(shí)驗(yàn)總次數(shù)5010020030050010001500“有2個(gè)小球號(hào)碼相同”的次數(shù)38751602343958101185“有2個(gè)小球號(hào)碼相同”的頻率00.750.800.780.79k(1)表格中的值為_____．(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可估算6個(gè)人中有2個(gè)人生肖相同的概率大約是______．（精確到0.1）(3)若要估計(jì)“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模擬試驗(yàn)方法，則需要準(zhǔn)備__________個(gè)球，一次模擬試驗(yàn)需要記錄__________個(gè)號(hào)碼．好題必刷好題必刷一、單選題1．（2425七年級(jí)下·河南鄭州·期中）一個(gè)不透明的盒子里有8個(gè)紅球和若干個(gè)白球，紅球和白球除顏色外其他完全相同，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子，通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4，那么估計(jì)盒子中白球的個(gè)數(shù)為（

）A．12 B．15 C．20 D．82．（2425九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）臨潼石榴集中國(guó)石榴之優(yōu)，名居中國(guó)五大名榴之冠，被列為果中珍品．某研究院跟蹤調(diào)查了一批石榴樹的移栽成活情況，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，由此可估計(jì)這批石榴樹移栽成活的概率約為（

）A．0.85 B．0.90 C．0.95 D．0.983．（2324九年級(jí)上·遼寧大連·期末）在學(xué)習(xí)了“用頻率估計(jì)概率”這一節(jié)內(nèi)容后，某課外興趣小組利用計(jì)算器進(jìn)行模擬試驗(yàn)來(lái)探究“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日的概率”，他們將試驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)100300500100016002000“有2個(gè)人同月過(guò)生日”的次數(shù)8022939277912511562“有2個(gè)人同月過(guò)生日”的頻率0.80.7630.7840.7790.7820.781通過(guò)試驗(yàn)，該小組估計(jì)“6個(gè)人中有2個(gè)人同月過(guò)生日”的概率（精確到0.01）大約是（

）A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.764．（2425九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）不透明袋子中有4個(gè)白球、3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)黑球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)球，某一顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該種球的顏色最有可能是（

）A．黑球 B．紅球 C．黃球 D．白球5．（2425八年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）某小組做“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，表格如下，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能是（

）次數(shù)1002003004005006007008009001000頻率0.640.590.630.630.620.600.620.610.610.61A．拋擲圖釘，頂尖不著地B．?dāng)S一枚一元的硬幣，正面朝上C．不透明的袋子里有2個(gè)紅球和3個(gè)黃球，除顏色外都相同，從中任取一球是紅球D．?dāng)S一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是“6”二、填空題8．（2425九年級(jí)下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）體育課籃球項(xiàng)目中，“投籃命中率”是一項(xiàng)重要的考核指標(biāo)．如圖是小強(qiáng)在平時(shí)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的投籃記錄，請(qǐng)結(jié)合圖示，估計(jì)現(xiàn)階段小強(qiáng)隨機(jī)投籃一次正好命中的概率約為．（結(jié)果精確到）三、解答題10．（2425九年級(jí)上·江西新余·階段練習(xí)）某校生物興趣小組在相同的試驗(yàn)條件下，對(duì)某植物種子發(fā)芽率進(jìn)行試驗(yàn)研究，收集的試驗(yàn)結(jié)果如下表所示：試驗(yàn)的種子粒數(shù)（n）50010001500200030004000發(fā)芽的種子粒數(shù)（m）4719461425189828533812發(fā)芽頻率0.9420.9460.9500.9490.9510.953(1)任取一粒這種植物的種子，估計(jì)它能發(fā)芽的概率為______（精確到0.01）．(2)若該學(xué)校勞動(dòng)基地需要這種植物幼苗5700株，試估算該小組需要準(zhǔn)備這種植物種子的粒數(shù)．11．（2425九年級(jí)上·廣東汕尾·期末）學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外其余均完全相同的黑、白兩種顏色的球，攪勻后，從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后，再把球放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是試驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n10020030050080010003000摸到黑球的次數(shù)m265174127199250753摸到黑球的頻率0.2600.2550.2470.2540.2490.2500.251(2)若盒子里裝有4個(gè)球，則根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知黑球有______個(gè)；若從盒子里一次性隨機(jī)摸出兩個(gè)球，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求摸出的兩個(gè)球同色的概率．12．（2425九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）在一個(gè)不透明的口袋里裝有紅色、藍(lán)色、白色三種小球，這些小球除顏色外都相同，其中紅球有1個(gè)，藍(lán)球有2個(gè)．從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后放回，大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)藍(lán)球出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在附近．(1)口袋中白球的數(shù)量為______個(gè)；(2)小明和小穎玩摸球游戲，規(guī)則如下：兩人同時(shí)從口袋中各摸出1個(gè)小球，若兩人摸出的小球顏色相同，則小明獲勝；若兩人摸出的小球顏色可配成紫色（紅色和藍(lán)色可配成紫色），則小穎獲勝．請(qǐng)用表格或樹狀圖分析游戲是否公平，若不公平，規(guī)則對(duì)誰(shuí)更加有利？13．（2425九年級(jí)下·江蘇南京·期中）一個(gè)不透明的盒中裝有除顏色外均相同的黑球和白球若干個(gè)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組做摸球?qū)嶒?yàn)，將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程，下表是實(shí)驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)摸到白球的次數(shù)摸到白球的頻率(1)___________，___________；(2)估計(jì)摸出一個(gè)球恰好是白球的概率約為___________（結(jié)果精確到）14．（2425九年級(jí)上·廣東云浮·期末）在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色不同外其他完全相同的紅、白兩種球共60個(gè)．做摸球試驗(yàn)：將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過(guò)程．下圖是“摸到白色球”的頻率折線圖．(2)如果要使摸到白球的概率為，那么需要往盒子里再放入多少個(gè)白球？15．（2425九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）在不透明的口袋中裝有1個(gè)白色、1個(gè)紅色和若干個(gè)黃色的乒乓球（除顏色外其余都相同），小明為了弄清黃色乒乓球的個(gè)數(shù)，進(jìn)行了摸球的試驗(yàn)（每次只摸一個(gè)，記錄顏色后放回，攪勻后重復(fù)上述步驟），下表是試驗(yàn)的部分?jǐn)?shù)據(jù)：摸球次數(shù)8018060010001500摸到白球次數(shù)2146149251373摸到白球的概率0.26250.2560.24830.2510.249(1)請(qǐng)你估計(jì)：摸出一個(gè)球恰好是白球的概率大約是_______（精確到0.01），黃球有_______個(gè)；(2)如果從上述口袋中，同時(shí)摸出2個(gè)球，求結(jié)果是一紅一黃的概率．16．（2223九年級(jí)上·北京西城·期末）在學(xué)習(xí)《用頻率估計(jì)概率》時(shí)，小明和他的伙伴們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)摸球試驗(yàn)：在一個(gè)