第二章函數(shù)

第一節(jié)函數(shù)及其表示

［備考領(lǐng)航］

課程標準解讀關(guān)聯(lián)考點核心素養(yǎng)

1.通過實例,進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)

系的重要數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫

函數(shù).體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.

2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域1.求函數(shù)的定義域.1.數(shù)學(xué)抽象.

和值域.2.求函數(shù)的解析式.2.數(shù)學(xué)運算.

3.會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列3.分段函數(shù)3.直觀想象

表法、解析法)表示函數(shù).

4.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)

用

知識隧:點交實重點準逐點清結(jié)論要牢記課前自修

［重點準?逐點清］

重點一函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念

函數(shù)

兩集合A,BA,B是兩個韭空教拿

對應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力使對于集合4中的任意一個數(shù)x,

/：Ai在集合B中都有唯一確定的數(shù)/U)與之對應(yīng)

名稱稱-4一-為從集合A到集合B的一個函數(shù)

記法y=f(x)fx^A

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)函數(shù)y=4x)自變量取值的范圍4叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合3正里叫做

函數(shù)的值域；

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)法則完全一致,則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

［提醒］(1)在定義中，集合B不一定是函數(shù)的值域，它包含了函數(shù)的值域，即值域是

集合B的子集；

(2)若兩函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系相同，則兩函數(shù)相同；

（3）若兩函數(shù)的值域與對應(yīng)關(guān)系相同，則兩函數(shù)不一定相同，如：1y=爐（工，0）與了=爐.

［逐點清］

L（必修1第17頁例1改儡）已知,"）=4l+3+*^若八一2）=0,則a的值為.

解析：因為/U）=MX+3+V^，所以期_2）=2_2+3+_；+.=0,解得。=1.

答案：1

2.（易錯恒）已知集合尸={x|0WxW4},0=3OWyW2},下列從尸到。的各對應(yīng)關(guān)系/

不是函數(shù)的是.（填序號）

?f：?f：L_y=/；

2

@f：Xf產(chǎn)產(chǎn)@f：xfy=F?

解析：對于③，因為當(dāng)x=4時，j=jx4=^0,所以③不是函數(shù).

答案：③

3.（易錯題）已知e=X2+5X,則人幻=.

解析：令則x=：（岸0）,即/（￡）=/+*

5x4-1

?工人幻=~手—（X豐0）?

重點二分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的

函數(shù)通常叫做分段函數(shù).

［提醒］分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并

集，值域是各段值域的并集.

［逐點清］

4.（必修1第25頁B組1國政編）函數(shù)）,=4刈的圖象如圖所示，那么，/lx）的定義域是

;值域是;其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的），值的范圍是________.

答案：[一3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5]

（y［x,x，0,

5.（易偌題）設(shè)函數(shù)人外=1.—若人。）+人-1）=2,則。=.

x,xvO,

解析：若。20,則3+1=2,得。=1;

若QVO,則.一a+l=2,得〃=—1.

故a=±l.

答案：士1

［記結(jié)論?提速度］

［記結(jié)論］

1.直線x=a（a是常數(shù)）與函數(shù)y=/lx）的圖象有0個或1個交點.

2.判斷兩個函數(shù)相等的依據(jù)是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致.

［提速度］

1.若函數(shù)），=式幻的定義域為M={x|-2WxW2},值域為N={y|0WyW2},則函數(shù)），=

/U）的圖象可能是（）

frfrfr/

ABCD

解析：選BA中函數(shù)定義域不是C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是

［0,2］.

2.（興修1笫18頁例2改編）下列函數(shù)中，與函數(shù)j=x+l是相等函數(shù)的是（）

A.產(chǎn)（也+1）B.y=y［j?+l

x2

C.J=~?V+1D.

解析：選B對于A,函數(shù)y=（GT7）2的定義域為{x|x2一1},與函數(shù)y=x+l的定

義域不同，不是相等函數(shù)；對于B,定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對于C,函數(shù)

），=9+1的定義域為{工a，。},與函數(shù)y=x+l的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于D,定

義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù).故選H.

理解透規(guī)律明變化究其本課堂講練

II號點”求函數(shù)的定義域

［定向精析突破］

考向1已知函數(shù)解析式求定義域

［例1］（2021?濟南歷緘四中月考）函數(shù)產(chǎn)G的定義域為（）

A.［-2,2］B.［-2,0)U(0,2］

C.(一1,0)U(0,2］D.(-1,2］

x+l>0,

［解析］要使1)+產(chǎn)三有意義,則」g(x+l)W0,得xW(-l,0)U(0,2］.

12-Q0,

［答案］C

［解題技法］

常見函數(shù)定義域的類型

(1)分式型尤j要滿足/a)wo

(2)根式型要滿足/G)NO

(3)募函數(shù)型要滿足/G)/0

“)對數(shù)型Q>0,且a《D要滿足/G>>0

(5)正切型tan［/G)］要滿足/0)*AwZ

考向2求抽象函數(shù)的定義域

［例2］已知函數(shù)人X)的定義域為(-1,1),則函數(shù)第外=痣)+人工-1)的定義域為()

A.(-2,0)B.(-2,2)

C.(0,2)D.(一/0)

—2<x<2f

［解析］由題意得J

0<r<2,

—l<x—1<1,

A0<x<2,

???函數(shù)g(x)=f(9+/U—1)的定義域為(0,2).

［答案］C

［解題技法］

求抽象函數(shù)定義域的方法

［1)巳知函數(shù)/G)的定義(2)巳知復(fù)合函數(shù)/［g(x)］

或為［a,6］,求復(fù)合函數(shù)的定義域為［a,6］,求函

flg(x)］的定義域數(shù)/G)的定義域

由不等式aWgG)Wb解得求出夕=&(%)(xe［a,6］)

，，則》的取值范圍即為復(fù)的值域，即為函數(shù)/(?)

合函數(shù)/［gG)］的定義域的定義城

定義域，是何意，自變量，有意義;

分式分母不為拿，對數(shù)真數(shù)只取正;

F偶次根式要非負，三者結(jié)合生萬物;

和差積商定義城，不等式蛆求交集;

抽象函數(shù)定義域，對應(yīng)法則內(nèi)相同.

考向3已知函數(shù)的定義域求參數(shù)的值(范圍)

［例3］(1)若函數(shù)產(chǎn),八2著；+3的定義域為4則實數(shù)的取值范圍是()

A(0,刃B.(0,3

c［o,I］D.［o,J

(2)若函數(shù)Wx)=daf+Mx+o的定義域為國KW2},則a+8的值為.

mx~1

［解析】⑴???函數(shù))，=〃*+4皿+3的定義域為R,

3W0,

mHO,

A=16/n2-12m<0,

即，〃=0或

-3

???實數(shù)加的取值范圍4

(2廣??函數(shù)人幻=40?+。必+)的定義域為{x|i』xW2},

［解題技法］

己知函數(shù)的定義域求參數(shù)的值或范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式(組)或方程，然

后求解.

［跟蹤訓(xùn)練］

1.如果函數(shù)人X)=加(-2x+a)的定義域為(-8,1),那么實數(shù)a的值為()

A.—2B.-1

C.1D.2

解析：選D因為一2x+〃>0,所以

所以5=1,所以a=2.

2.函數(shù)7=<4—4一住二的定義域為

解析：由題意得

X/

、L2W0,

解得一2Wx<—1或一l<r〈l或l<r<2.

所以原函數(shù)的定義域為［-2,-1)U(-I,1)U(1,2).

答案：［-2,-1)U(-1,1)U(1,2)

15AI求函數(shù)的解析式

[師生共研過關(guān)]

[例4]求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知J(l—sinx)=cos2x,求/(x)的解析式；

⑵已知府+^W+玄，求加)的解析式；

(3)己知人x)是一次函數(shù)且切＞+1)—獷x-l)=2x+17,求人制的解析式；

(4)定義在(-1,1)內(nèi)的函數(shù)/U)滿足2/(x)-/(-x)=lg(x+l),求/U)的解析式.

[解](1)(換元法)設(shè)1-sinx=f,/e[0,2],

22

則sinx=l-tfV/(l-sinx)=cosx=l-sinx,

/./tn=i-(l-02=2f-r2,re[0,2].

即./U)=2x-x2,xG[0f2].

⑵(配湊法)??4+s=G+￡)2-2,

?7/U)=/-2,xG[2,+8).

⑶(待定系數(shù)法)；ftr)是一次函數(shù)，

可設(shè)y(x)=ax+〃m#o),

.*.3[a(x+l)+^]—2[a(x-l)+〃]=2x+17.

即好+(5。+力)=2丫+17,

a=2,仿=2,

?解厚J

[5a+8=17,(b=7.

???大幻的解析式是Jlx)=2x+7.

(4)(消去法)當(dāng)x￡(T,l)時，有獷x)f-x)=lg(x+l).①

以一x代替x得，2/1—X)—/(x)=lg(—x+l).②

由①②消去A-x)得，

21

/(x)=^lg(x+l)+^lg(l—x),x￡(—1,1).

［解題技法］

函數(shù)解析式的求法

(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法；

(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)｛g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；

(3)配湊法：由已知條件慮行))=尸(外，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x

替代g(x),可得|x)的解析式；

(4)消去法：已知道x)與右)或八一刈之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個

等式組成方程組，通過解方程組求出八幻.

［跟蹤訓(xùn)練］

1.已知函數(shù)人x-l)=#p則函數(shù)人工)的解析式為()

^)=^+2B.

x—1

C.fix)=—D.於)中

解析：選A令x—1=/,則x=/+l,

x+1

即"尸巨？故選A

2.若二次函數(shù)g(x)滿足g(l)=l,g(—1)=5,且圖象過原點，則g(x)=.

解析：設(shè)g(x)=ax2++c(a^O),Vg(l)=1,g(—1)=5,且困象過原點，:.

〃+5+。=1,4=3,

a-b+c=5,解得?b=-2,

C=0,6=0,

??g(x)=3x2—2x.

答案：3/-2x

3.已知八x)滿足2/U)+C)=3x,則/U)=.

解析：???？/U)+O=3x,①

把①中的x換成士得痣)+個)=(.②

“x)+廈=3x，

聯(lián)立①②可得<

IXJ+肘『

解此方程組可得人x)=2x-5x#0).

答案：2x-%xK0)

1JA=1分段函數(shù)

［定向精析突破］

考向1分段函數(shù)求值

［例5］(1)已知{x)=［Q>'則>4Q))=:

［log。，x>0,

(—彳丫>

⑵已知危尸r爆-4)；9；<%則笛)=--------------------.

［解析】(1);扃=1蚱3"=-2,

??&6))=4-2)=({)-2=9?

(2)V7<9,

?,?負7)=97+4))=加H))=/U1—3)=48).

X78<9,

???人8)=心12))=49)=9-3=6.

即犬7)=6.

［答案］(1)9(2)6

考向2分段函數(shù)與方程、不等式問題

1+/kW0,

［例6］(1)(2021?六校聯(lián)盟第二次聯(lián)考)已知函數(shù)式x)=［.［八、'若"L4)>QX

1,x>0,

一3),則實數(shù)x的取值范圍是()

A.(―1,+8)B.(一8,-1)

C.(-1,4)D.(一8,1)

log2(3—x),xWO,i

(2)(2021?廣東省七校聯(lián)考)已知函數(shù)八x)=,.、八若加一1)=5，則實數(shù)。

2X—1,x>0,/

l+x2,xWO,

［解析］⑴函數(shù)八x)=I,X>(),在「S,。］上是減函數(shù),在(。，+8)上函數(shù)值

x—4V0,

保持不變，若人工一4）〉八2工一3）,貝6、或x-4V2x-3W0,解得工￡（一1,4）,

2x—37。

故選C.

（2）當(dāng)a—140,即時，Iog2（4—。）=彳，4—。=2不，故。=4—2；,不滿足。<1,舍

去.

fl-,

當(dāng)1>0,即〃>1時，2-1=^,2"一|=,，解得〃=log23,滿足Q>1.綜上可得a

=logj3.

［答案］（DC（2）logz3

［規(guī)律探求］

考向1是求分段函數(shù)的函數(shù)值.

考向2是在考向1的基礎(chǔ)上遷移考查分段函數(shù)中，已知函數(shù)值或不等關(guān)

看個性系求參數(shù)或自變量的值或范圍.解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式，從

而求得自變量或參數(shù)的取值（范圍）時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解；

解得值（范圍）后一定要檢驗其是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍

（1）無論考向1還是考向2都要根據(jù)自變量或參數(shù)所在區(qū)間來解決問題，

搞清參數(shù)或自變量所在區(qū)間是解決問題的先決條件；

找共性

（2）解決分段函數(shù)有關(guān)問題的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于

哪一段范圍，就用哪一段的解析式來解決問題

［跟蹤訓(xùn)練］

1.（多選）如圖①是反映某條公交線路收支差額（即營運所得票價收入與付出成本的差）），

與乘客量X之間關(guān)系的圖象.由于目前該條公交線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整

的建議，如圖②③所示.

則下列說法中，正確的有（）

A.圖②的建議：提高成本，并提高票價

B.圖②的建議：降低成本，并保持票價不變

C.圖③的建議：提高票價，并保持成本不變

D.圖③的建議：提高票價，并降低成本

解析：選BC根據(jù)題意和圖②知，兩直線平行即票價不變，直線向上平移說明當(dāng)乘客

量為0時，收入是0但是支出變少了，即說明此建議是降低成本而保持票價不變，故B正

確；由圖③可以看出，當(dāng)乘客量為0時，支出不變，但是直線的傾斜角變大，即相同的乘

客量時收入變大，即票價提高了，即說明此建議是提高票價而保持成本不變，故C正確.

2葉1,x<L

2.已知函數(shù)人x)=-且M()))=4a,則人一2)=,實數(shù)。=

jr-rax,

?

2

解析i依題意八一2)=2-2+1奇，10)=20+1=2,f(2)=2-^-2a=4at解得a=2.

答案：|2

微專題(三)思想方法

待定系數(shù)法的應(yīng)用

待定系數(shù)法就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為

解方程(組)問題來解決.待定系數(shù)法主要用來解決所求解的數(shù)學(xué)問題涉及某種確定的數(shù)學(xué)表

達式的情況，例如求函數(shù)解析式、求曲線的方程等問題.

［典例］若八x)為有理函數(shù)，且八x+l)+/(x—1)=2必一4x,則4x)=(注：有

理函數(shù)是通過多項式的加減乘除得到的函數(shù)).

［解析］V/(x4-1),/^一1)與八》)有相同的次數(shù)，

且人工+1)+人工-1)=2F一4占人幻為有理函數(shù)，??第x)為二次函數(shù).

設(shè)八劃二標+融+儀。。。)，

則八x+l)=a(x+1)2+》(x+l)+c,

2

fix-l)=a(x-l)+b(x-l)+ct

?7/U+l)+yU-l)=2ax2+2bx+2(a+c)=2x2-4x,

2a=2,(a=lf

2力=-4,解得《力=一2,：.f(x)=x2-2x-L

2(a+c)=0,c=—1.

［答1案］

［跟蹤訓(xùn)練］

1.已知函數(shù)/lr)=x2+ax+)的圖象過坐標原點，且滿足人一外=人-1+x),則函數(shù)/U)

在［-1,刃上的值域為()

A.［0,12］n］

C(-|>n］D.［Ill］

解析：選B因為函數(shù)人%)=/+行+》的圖象過坐標原點，所以五0)=0,則8=0.

由八一X)=八一i+x),可知函數(shù)的圖象的對稱軸為直線戶一；，所以。=1,

則大制"+工=［+，2—：，

所以當(dāng)X=一；時，人工)取得最小值，且最小值為一；.

又大-1)=0,<3)=12,

所以人x)在［-1,31上的值域為［一？12］.

2.己知角“，“滿足一4<“一戶40Va+/V7t,則3〃一小的取值范圍是________

(6+〃=3,

解析：由題意可設(shè)3〃一夕=加(。一/?)+〃(〃+//)=(〃?+〃)〃+(〃一機)/?,則J

［〃一〃?=-1,

.7t7T

解得，因為一jVa—/?V不，0<a+/?<7r,所以一:rV2(a—/?)<江，故一不〈3"一”V27r.

n=l.//

所以3。一/?的取值范圍是(一7t,2n).

答案：(一江，2?r)

［課時過關(guān)檢測］

A級---基礎(chǔ)達標

1.函數(shù)y=log2(2x-4)+二m的定義域是(

?V。

A.(2,3)B.(2,

C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+8)

2x—4>0,

解析：選D由題意，得一解得x>2且xW3,所以函數(shù)>,=log2(2x_4)4-

X—3=5=0,?VJ

的定義域為(2,3)U(3,4-00),故選D.

2.已知函數(shù)凡r+1)的定義域為(-2,0),則大2丫-1)的定義域為()

A.(—1,0)B.(-2,0)

C.(0,1)D.(~1,0)

解析：選C由題意，知一IVx+lVl,則4x)的定義域為(一1,1).令一1V2X-1V1,

得0VxVl.???八2彳-1)的定義域為(0,1).

3.已知/Qx—l)=2r—5,且大4)=6,則。等于()

44

C-D-

33

解析：選A令，=5—1,則x=2f+2,人。=2（2，+2）—5=射一1,故人工）=4工一1,則

7

八。）=4”-1=6,解得”=彳.故選A.

4.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族

函數(shù)”，則函數(shù)解析式為），=X2+1,值域為{1,3}的同族函數(shù)有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選C由好+1=1得3=0,由/+1=3得％=±75,所以函數(shù)的定義域可以是

{0,^2},{0,一啦},{0,巾,-72},故值域為{1,3}的同族函數(shù)共有3個.

5.如圖，△AOQ是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形O5DoQ

是四分之一圓的扇形，點?在線段上，PQA.AB,且尸。交AO或交/\

弧03于點。，設(shè)AP=x（0a〈2）,圖中陰影部分表示的平面圖形APQ（或乙一J---

/ICzr

AP0O）的面積為“則函數(shù)y=Rr）的大致圖象是（）

解析：選A觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：（1）當(dāng)OvxWl時，y隨x的增

大而增大，而且增加的速度越來越快.（2）當(dāng)1〃<2時，y隨x的增大而增大，而且增加的

速度越來越慢.分析四個答案中的圖象，只有選項A符合條件.

6.（多選）函數(shù)人用=看手，X￡（-8,0）U（0,+8）,則下列等式成立的是（）

A?Ax)=70)B._/(幻=娟

D.J1-x)=-f(x)

喘M3

1

溫,所以43=前；=擊,所以人幻=（3；

解析：選AD根據(jù)題意得人幻=

7一幻=]+（_好2=一/X）,所以八-x）=—故選A、D.

7.（多選）如圖所示是函數(shù)y=/（x）的圖象，圖中工正半軸曲線與虛線無限接近但是永不

相交，則以下描述正確的是()

A.函數(shù)/(x)的定義域為［-4,4)

B.函數(shù)人x)的值域為［0,+8)

C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)

D.對于任意的yC(5,4-oo),都有唯一的自變量*與之對應(yīng)

解析：選BD對于A,由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的定義域為［-4,0］U［l,4),故A錯誤；

對于B,由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域為［0,+8),故B正確；

對于C,函數(shù)在［-4,0］,［1,4)是增函數(shù)，結(jié)合國象可知，此函數(shù)在定義域內(nèi)不是增函

數(shù)，故C錯誤；

對于D,由函數(shù)的圖象可知，對于任意的丁6(5,+=),都有唯一的自變量x與之對應(yīng)，

故D正確.

故選B、D.

8.侈選)(2021?河北酊水調(diào)研)下列函數(shù)中，滿足川8x)=1"U)的是()

A.f(x)=\x\B.4x)=x-|x|

C./U)=x+2D.jlx)=-2x

解析：選ABD若/U)=|x|,則_/U8x)=|18x|=18|x|=l騏x);若人x)=x-|x|,則<18幻

=18x-|18x|=18(x-|x|)=l歲㈤；若/工)=工+2,則以18x)=18x+2,而18/(x)=18x+18X2,

故/U)=x+2不滿足/U8x)=lVU);若人x)=-2x,則#18x)=-2X18x=18X(-2x)=

18Ax).

9.已知函數(shù)人x)=f+2x+3,則函數(shù)人3%一2)的定義域為.

解析：由-解得一lWx《3,

即貝x)的定義域為［-1,3］.

由一l《3x—2W3,解得;

則函數(shù)43x—2)的定義域為［g,I］.

答案電，fl

10.已知函數(shù)人X)=GX一伙心0),且/l/lx))=4x-3,則人x)=.

解析：易知人/(x))=a(ar—力)一力=。2*—。辦一心

/.。2工——?！ㄒ蝗f=4工——3(4>0),

?2=4,。=2,

k+b=3,解得*

b=l.

答案：2x-l

11.設(shè)函數(shù)Ar)=[G)'—7,“<°，若人?〈I,求實數(shù)。的取值范圍.

[y[xfx^(h

解：若KO,則大。)<10縱一7<10磯“<8,解得。>一3,故一3<。<0;

若。20,則f(a)<l^\[a<l,

解得avl,故0近“vl.

綜上可得一3v〃vl.

[2~x,x^—1,

12?(2021?海南調(diào)研)三知函數(shù)人制=「

x+Lx>—1,

(1)求加一2))的值；

(2)求不等式八x)22的解集.

(2~x,x^—l,

解：(1)根據(jù)函數(shù)"x)=J

x+1,X>-1,

可得八一2)=2?=4,則心一2))=犬4)=4+1=5.

xW-1fx>一1

(2)由不等式八x)22,可得①或②

解①得xW-l,解②得

故不等式的解集為(一8,—1JL)[1,4-°°).

B級——綜合應(yīng)用

13.如下折線圖統(tǒng)計了2020年2月27日至2020在3月11日共14天全國(不含湖北)

新冠肺炎新增確診人數(shù)和新增疑似人數(shù).

記2020年2月27日至2020年3月11日的日期為f(f￡N*)，，的取值如下表:

日期2.272.282.293.013.023.033.043.053.063.073.083.093.103.11

t1234567891011121314

新增確診人數(shù)記為人以圖中粗線)，新增疑似人數(shù)記為g(0(圖中細線)，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.八。與g⑺的值域相同

B.a）>g（io）

C.3/OEN%使人加=g（⑹

D.

解析：選D由題圖縱軸可知人。與g⑺的值域不相同；49）=30vg（10）;函數(shù)的圖

象在函數(shù)q"）的圖象的下方，所以不存在力,使40）=火”0）；由題圖可以看出Vf￡N",./U）<K（E）.

14.（多選）（2021?山東特澤一中月考）設(shè)函數(shù)個）的定義域為O,VxGD,3j￡￡>,使得

川）=一力幻成立，則稱;U）為“美麗函數(shù)”.下列所給出的函數(shù)中，是“美麗函數(shù)”的是

（）

A.J=x2B.產(chǎn)占

C.j=ln（2x+3）D.y=2x+3

解析：選BCD函數(shù)wx）的定義域為O,VxGD,3>eZ）,使得大刃=一人幻成立，所

以函數(shù)八X）的值域關(guān)于原點對稱.

對于選項A,函數(shù)），=爐的值域為[0,4-00）,不關(guān)于原點對稱，不符合題意；

對于選項B,函數(shù)y=占的值域為（一8,0）U（0,+~）,關(guān)于原點對稱，符合題意；

對于選項C,函數(shù)y=ln（2x+3）的值域為R,關(guān)于原點對稱，符合題意；

對于選項D,函數(shù)y=2x+3的值域為R,關(guān)于原點對稱，符合題意.故選B、C、D.

15.（2021?河南鄭州第二次質(zhì)??檢測）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，

享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為設(shè)xWR,用因表示不超過工的

2葉3

最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù).例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函數(shù)人工）=用,

求函數(shù)y=[/（x）]的值域.

2工+32、+1+2,2

解：-=2*+1=2*+]=1+2*+1'

V2x>0,A1+2X>1,

**,0<2x+iV1，

則0V島"VZ,

即1V/U)V3,

當(dāng)lV<x)V2時,[ftx)]=l,

當(dāng)2學(xué)工）＜3時，［f（x）］=2.

綜上，函數(shù)），=由幻］的值域為{1,2}.

C級——遷移創(chuàng)新

16.（多選）（2021?山東模擬）函數(shù)/U）的定義域為。，對給定的正數(shù)A,若存在閉區(qū)間口，

b］QDf使得函數(shù)/U）滿足：①/U）在g,句內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②/to在g,切上的值域為長口,

班,則稱區(qū)間n,句為尸加）的上級“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)人不）=/存在1級“理想?yún)^(qū)間”

B.函數(shù)/（x）=ex不存在2級“理想?yún)^(qū)間”

C.函數(shù)人刈=帚（》20）存在3級“理想?yún)^(qū)間”

D.函數(shù)人x）=tanx,?不存在4級“理想?yún)^(qū)間”

解析：選ABC易知［0,1］是,/U）=x2的1級“理想?yún)^(qū)間”，故A項正確；由于雙x）=

e-2x無零點，因此＜x）=e*不存在2級“理想?yún)^(qū)間”，故B項正確；由〃（用=毋］一3x

=0（x20）,得工=0或工=坐，則［。，乎］是/（x）=^^y（x20）的一個3級“理想?yún)^(qū)間”，C

項正確；易知j=tanx的國象與直線y=4x在（一/，習(xí)內(nèi)有三個交點，因此/（x）=tan

］））有4級“理想?yún)^(qū)間”，故D項錯誤.故選A、B、C.

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

［備考領(lǐng)航］

課程標準解讀關(guān)聯(lián)考點核心素養(yǎng)

1.通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的1.確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）.1.數(shù)學(xué)抽象.

單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義.2.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.2.邏輯推理.

2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)3.函數(shù)的值域（最值）3.數(shù)學(xué)運算

知識重點準逐點清結(jié)論要牢記課前門修

［重點準?逐點清］

重點一函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)和減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)

要求一般地，設(shè)函數(shù)共幻的定義域為1,區(qū)間OUL如果對于任意

XI，X2XifXi^Df且?<X2

要求

定義

八川與都有"xQv/U?)都有"］)>外通)

於2)

結(jié)論函數(shù),危:)在區(qū)間。上是增函數(shù)函數(shù)人x)在區(qū)間。上是減函數(shù)

y\/河3

圖象描述_J_^W

6)*1^2X

自左向右看圖象是下降的

自左向右看圖象是上升的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/U)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有

(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)v=/U)的單調(diào)區(qū)間.

［提醒］(1)增(減)函數(shù)定義中的xi,刈的三個特征

一是任意性；二是有大小，即X1〈X2(X］>X2)；三是同屬于一個單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可；

(2)有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用符號“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用

“逗號”或“和”聯(lián)結(jié).

［逐點清］

1.(多選)下列函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=~~B?y=x

C.y=x2D.

解析：選ABC對于A項，y=一：在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以A項符合題意；對于

B項，j=x在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以B項符合題意；對于C項，y=x2在(0,+?>)上

單調(diào)遞增，所以C項符合題意；對于D項，），=G>在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以D項不

符合題意，故選A、B、C.

2.（必修1第39頁習(xí)題A組1題改編涵數(shù)），=12—5］一6在區(qū)間［2,4］上是（）

A.遞減函數(shù)B.遞增函數(shù)

C.先遞減再遞增函數(shù)D.先遞增再遞減函數(shù)

解析：選C作出函數(shù)），=工2—5x—6的圖象（圖略）知開口向上，且對稱軸為x=;,在

［2,4］上先減后增.故選C

3.（必修1第29頁例1改編）設(shè)定義在［-1,7］上的函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，則函

數(shù)y=/lx）的增區(qū)間為.

解析：由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-L1］和［5,7］.

答案：［一L1］，［5,7］

4.（易常題）已知函數(shù)人幻是定義在區(qū)間［0,+8）上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，

則滿足八2*—1）勺0）的x的取值范圍是_______.

解析：因為函數(shù),"）是定義在區(qū)間［0,+8）上的增函數(shù)，滿足八2工一1）勺&,所以0W2x

—1<1,解得;這x<1.

答案：D，|）

重點二函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)j=/m）的定義域為/,如果存在

①對于任意的x￡/,都有①對于任意的x￡/,都有/U）2M；

條件

②存在孫￡/，使得"o）=M②存在K）e/，使得/Uo）=M

結(jié)論M是凡r）的蜃大值M是Ax）的最小值

［逐點清］

5.（必修1第31頁例4改編）函數(shù)y=±■在［2,3］上的最小值為（）

A.2B.1

號D.V

解析：選B因為)，=士在［2,3］上單調(diào)遞減，所以ymin=±=5?故選B.

AT13

6.(易錯題)函數(shù)y=52一〃+3有()

A.最小值2B.最小值啦

C.最大值2D.最大值市

解析：選B易知y=y(x-iy+2,因為(X-1)2+222,所以故選B.

［記結(jié)論?提速度］

［記結(jié)論］

1.若/U),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則/u)+g(x)也是區(qū)間4上的增(減)函數(shù).

2.函數(shù)y=/U)(/U)X)或｛x)VO)在公共定義域內(nèi)與)，=-/(X),產(chǎn)=府的單調(diào)性相反.

3.“對勾函數(shù)")，=r+3a＞0)的單調(diào)增區(qū)間為(一8,—g),(g,+8)；單調(diào)減區(qū)

間是［-W，0),(0,yfa］.

4.增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價變形：且X|WX2,則(xi—X2)［/tri)—/*2)］＞0

率平三等＞0Q/U)在［%上是增函數(shù)；芋vO＜=Mx)在⑶

兀1X2兀1-*2

加上是減函數(shù).

［提速度］

1.下列函數(shù)中，滿足“7月,4￡(0,+8)且占。必，(心一4)?伏?)—4刈)］＜0"的是()

A.凡。=2、B./(x)=|x-l|

C.1Ax)=:—xD./(x)=ln(r+l)

解析：選C由(XLX2＞［/IXI)一人必)］＜。可知，/lx)在(0,+8)上是減函數(shù)，A、D選項

中，力工)為增函數(shù)；B中，爪幻=僅一1|在(0,+8)上不單調(diào)；對于人幻=；一工，因為與

),=-x在(0,+8)上單調(diào)遞減，因此y(x)在(0,+8)上是減函數(shù).

2.下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是()

A.若〃X)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則人x)+g(x)為增函數(shù)

B.若《幻為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則人r)+g(x)為減函數(shù)

C.若/(X)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則人x)+g(x)為增函數(shù)

D.若｛x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則4r)-g(x)為減函數(shù)

解析：選C由結(jié)論1可知選項C的說法不正確.

考點:分:類換城理解透規(guī)律明變化究其本課堂講練

2d_________________.確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

［定向精析突破］

考向1確定不含參函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

［例1］⑴函數(shù)大幻=匕-3工+2|的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A￡,+°°）B［l,郭0［2,+8）

C.（-8,1］和悖2］D.（-8,引和⑵+8）

（2）函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為..單調(diào)遞減區(qū)間為

［解析］（1）），=