高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺(tái)州市臺(tái)州六校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.選擇題部分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分）1.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A. B.3 C.4 D.8【答案】D【解析】由于處的切線方程為，故，當(dāng)時(shí)，，故，故，故選：D2.在（x－）10展開式中，含x6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A.－ B.C.－4 D.4【答案】B【解析】含x6項(xiàng)為展開式中第五項(xiàng)，所以二項(xiàng)式系數(shù)為C.3.已知隨機(jī)變量的分布列如圖，則（）123A. B. C. D.【答案】D【解析】由表可得，故，故，故選：D4.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為且的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的（）A.在上單調(diào)遞增 B.有極大值C.有3個(gè)極值點(diǎn) D.在處取得最大值【答案】C【解析】由題圖知，在上，則在上單調(diào)遞減，在上，則在上單調(diào)遞增，所以在上不單調(diào)，為極小值，且共有3個(gè)極值點(diǎn)，處不是最大值.故選：C5.某物流公司需要安排四個(gè)區(qū)域的快遞運(yùn)送，公司現(xiàn)有甲、乙、丙三位快遞員可選派，要求每個(gè)區(qū)域只能有一個(gè)快遞員負(fù)責(zé)，每位快遞員至多負(fù)責(zé)兩個(gè)區(qū)域，則不同的安排方案共有（）A.60種 B.54種 C.48種 D.36種【答案】B【解析】第一：選派2名快遞員的時(shí)候：首先，快遞員的選法有種不同選法，其中一名快遞員從四個(gè)區(qū)域中選2個(gè)區(qū)域，有種選法，剩余快遞員的選法只有1種，所以不同安排方案有：種；第二：選派3名快遞員的時(shí)候：先從四個(gè)區(qū)域中選2個(gè)區(qū)域，有種選法，將其看做一個(gè)區(qū)域，現(xiàn)在3個(gè)區(qū)域安排給三個(gè)人有種方法，所以不同安排方案有：種.綜上，不同安排方案有：種.故選：B6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，則，因函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故，即實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：B7.已知隨機(jī)事件滿足：，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.若，則與相互獨(dú)立 B.若與相互獨(dú)立，則C.若與互斥，則 D.若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，，故與相互獨(dú)立，命題正確，即A不符合條件；對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，則，命題正確，即B不符合條件；對(duì)于C，若與互斥，則，，命題錯(cuò)誤，故C符合題意；對(duì)于D，因?yàn)?，由全概率公式可得，即，所以，所以，命題正確，即D不符合條件.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，若，則最小值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】可看作，在定義域內(nèi)二者均單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)同正，因此只需函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)重合，如圖所示：令，得，所以，所以，令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，所以的最小值為2，故選：D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中至少有一個(gè)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳析九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（）A.由“第行所有數(shù)之和為”猜想：B.由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)和”猜想：C.D.第29行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)相等【答案】ABC【解析】對(duì)于A,，故A正確，對(duì)于B,由組合數(shù)的性質(zhì)可得，B正確，對(duì)于C,,C正確，對(duì)于D,第29行中從左到右第14個(gè)數(shù)為,第15個(gè)數(shù)為，兩者不相等，D錯(cuò)誤，故選：ABC10.甲罐中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球．整個(gè)取球過(guò)程分為兩步：（1）先從甲罐中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙罐，記事件為“取出的是紅球”，事件為“取出的是白球”；（2）再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出兩個(gè)球，記事件為“取出的兩球都是紅球”，事件為“取出的兩球?yàn)橐患t一白”，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由題意知，，，，，，所以，，.故選：AD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是函數(shù)定義域內(nèi)的極小值點(diǎn) B.的單調(diào)減區(qū)間是C.在定義域內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值 D.若有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，函數(shù)定義域滿足，解得，由，令可得和，當(dāng)或時(shí)，所以在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí).所以在上單調(diào)遞增，這表明是的極小值點(diǎn)，A正確；對(duì)B，的單調(diào)減區(qū)間是，，故B不正確；對(duì)C，由A可得當(dāng)和時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，且，作出簡(jiǎn)圖，可得的值域是，故C正確；對(duì)D，由圖象可得，與有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則，故D正確；故選：ACD非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.如果隨機(jī)變量，且，則_____．【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以，則.故答案為：13.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_____．【答案】25【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，因此項(xiàng)為，所以項(xiàng)的系數(shù)為25.故選：2514.曲線與和分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)曲線在處的切線斜率為，在處的切線斜率為，若，則_____．【答案】【解析】因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且反比例函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，可知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，設(shè)，則，由題意可得：，解得或（舍去），可得，則，所以.故答案為：.四、解答題（本題共7小題；其中第15小題12分，第16小題14分，第17小題15分，第18小題17分，第19小題19分；共77分）15.某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過(guò)、、、、共5道工序．（1）如果工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？（2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少種加工順序？（3）如果和工序相鄰，和不能相鄰，那么有多少種加工順序？解：（1）因?yàn)楣ば虿荒芊旁谧詈?，首先排工序，有種排法，其余工序全排列即可，有種排法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得一共有種加工順序；（2）因?yàn)楣ば蚝凸ば蚣炔荒芊旁谧钋?，也不能放在最后，首先排工序和工序，有種排法，其余工序全排列即可，有種排法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得一共有種加工順序；（3）如果和工序相鄰，和不能相鄰，把和工序捆綁作為一組，與工序排列，有種排法，再將和插入所形成的個(gè)空中的個(gè)空，有種排法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可得一共有種加工順序；16.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極小值．（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．解：（1），,當(dāng)時(shí)，取得極小值，，得到，，當(dāng)時(shí)，，由，解得或；由解得，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，符合題意，故，當(dāng)時(shí)，，由，解得或；由解得；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，不符合題意，舍去．綜上，．（2）由（1）可知，，且在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在上極大值為，極小值為；又，，在上的最大值是，最小值是．17.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，且．（1）求和的值；（2）若，且被6整除，求．解：（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和為512知，，所以，，令，，令，，；（2）由（1）知，則，，被6整除，能被6整除，能被6整除，能被6整除，，，.18.高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將一個(gè)小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子從左到右分別編號(hào)為，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼．（1）求的分布列；（2）小州同學(xué)在研究了高爾頓板后，想利用該圖中的高爾頓板在學(xué)校社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)．若2元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入號(hào)格子得到的獎(jiǎng)金為元，其中，你覺得小州同學(xué)能盈利嗎？解：（1）由題知，的取值為1，2，3，4，5，6，7．，，，，則的分布列為：1234567P（2）由（1）得，，的分布列為：Y01510P則，小州同學(xué)能盈利．19.定義函數(shù)滿足，且的定