2024-2025學年廣東省實驗中學越秀學校九年級（上）期末數(shù)學模擬試

卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）

2.將拋物線夕=/先向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度得到新的物解析式為（）

A.g=（立+2）2+4B.沙=（2+2）2—4C.y—（x-2）2+4D.y=（工—2）2—4

3.用配方法解方程/+6/+7=0，則配方正確的是（）

A.（2+3）2=2B.（x-3）2=2C.（2-6）2=16D.3+6）2=57

4.如圖，CD為?O的直徑，弦垂足為點E,OA=13>CE=L

則的長為（）

A.5

16

B.——

3

C.8

D.10

5.如圖，在△ABC中，ABAC=130。，將△4BC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到B

ADEC,點、A,5的對應點分別為。,E,連接AD.當點/,D,E在同一條

直線上時，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）

A.50°

B.60°EC

C.70°

D.80°

6.如圖，00中，/。為直徑，m4,上0分別切。0于點力,2,NBA。=25°，C

則乙的大小為（）

A.25°

A

第1頁，共28頁

B.30°

C.45°

D.50°

7.已知Q,U是方程2力—2024=0的兩個實數(shù)根，則M—4a—20—2的值是（）

A.2016B.2018C.2022D.2024

8.小明隨機地在如圖所示的圓及其內(nèi)部區(qū)域投針，則針扎到其內(nèi)接等邊三角形（陰影

）區(qū)域的概率為（）

-I

B.

u7r

3V3

47r

D.&

7T

9.如圖，已知口/BCD中，E是邊4D的中點，BE交對角線/。于點尸，那么

S/\AFE:S四邊形下。。￡為（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：6

10.如圖，二次函數(shù)4=a?+M+c（a豐0）的圖象經(jīng)過點（一1,2）,且與x軸交點

的橫坐標分別為3,電，其中—2<的<—1,0<政<1,頂點縱坐標大于2.

下列結(jié)論：①abc>0；②y+8a>4ac;③a+c<l；④若加，n（m<n）是

方程a/+（6+2）工=2-c的兩個根，則m<-1,冗>0.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：本題共7小題，每小題3分，共21分。

11.小明與同學做“拋擲圖釘試驗”，獲得數(shù)據(jù)如下:

拋擲次數(shù)n1003005007008009001000

釘尖著地的頻數(shù)m36111190266312351391

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可以估計“釘尖著地”的概率為.（結(jié)果精確到0.01）

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12.已知關(guān)于x的一元二次方程癡2-4/+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則左的取值范圍是.

13.在認識圓錐主題活動課上，芳芳用半徑9cm,圓心角120°的扇形紙

板，做了一個圓錐形的生日帽，如圖所示.在不考慮接縫的情況下，這

個圓錐形生日帽的高是cm.

14.如圖，點E(—4,2),F(-2,—2),以。為位似中心，將△EF。放

大2倍，則點E的對應點?的坐標是.

15.若平面直角坐標系內(nèi)的點滿足橫，縱坐標都為整數(shù)，則把這樣的點叫做“整點”.例如：4(1,0)、8(2,-2)

都是“整點”.拋物線沙=板2一4加+4%+2(力＜0)與x軸交于點M、N兩點，若該拋物線在M、N之間的

部分與線段所圍成的區(qū)域(包括邊界)恰有七個整點，貝”的取值范圍是.

16.如圖，已知A3=5,的半徑為2,點C在。B上，連接/C,并將線段NC

繞點/順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段40.當點C在。B上運動時，點。到直線距離

的最大值是.

17.定義:在平面直角坐標系中,如果一個點的縱坐標是這個點的橫坐標的2倍,我們稱這個點為“友好點”，

例如4(a,2a)就是“友好點”；若二次函數(shù)圖象的頂點為“友好點”，則我們稱這個二次函數(shù)為“友好二次

函數(shù)”，例如二次函數(shù)沙=(2―1K+2就是“友好二次函數(shù)”.

(1)直線沙=4c—1上的“友好點”坐標為；

⑵若“友好二次函數(shù)"沙=-/+法+c的圖象與〉軸的交點是“友好點”，求這個“友好二次函數(shù)”的

表達式；

⑶若“友好二次函數(shù)"？/=，2+版+。的圖象過點(_2,8),且頂點在第一象限.

①當m―時，這個“友好二次函數(shù)”的最小值為6,求加的值；

②已知點》\5,4),N(l,n),當線段"N與這個“友好二次函數(shù)”的圖象有且只有一個公共點時，直接寫

出〃的取值范圍.

三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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18.(本小題8分)

解方程：4/?_3)-(立-3)=0.

19.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為2(—2,3),B(-4,1),C(-l,2).

(1)畫出以點。為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A8'。'；

(2)求點C在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑的長.

20.(本小題8分)

如圖,是一個照相機成像的示意圖，像高景物高度/瓦CD為水平視線,根據(jù)物體成像原理知：AB//MN,

CDLMN.

(1)如果像高血W是35加加，焦距CZ是50〃〃〃，拍攝的景物高度是4.9m，拍攝點離景物的距離工。是多

少？

(2)如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m,像高不變,則相機的焦距應調(diào)整為多少毫米?

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21.(本小題8分)

如圖，已知拋物線g=/—m/+律過點/與3(2,0),與了軸交于點。(0,—2).點。在拋物線上，且與點C

關(guān)于對稱軸/對稱.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式和對稱軸；

(2)求△B。。的面積.

22.(本小題8分)

第八屆絲博會于2024年9月20日至24日在西安國際會展中心舉辦.本屆絲博會以“深化互聯(lián)互通?拓展經(jīng)

貿(mào)合作”為主題.在絲博會舉辦之際，某機構(gòu)計劃向全市中小學生招募“絲博小記者”.某?，F(xiàn)有甲、乙兩位

男生和丙、丁兩位女生參加小記者競選.

(1)若先從這四位競選者中隨機選出一位小記者，則選到男生的概率是；

(2)若從這四位競選者中隨機選出兩位小記者，請用列表或畫樹狀圖的方法求出一男一女當選的概率.

23.(本小題8分)

某商城在2024年元旦節(jié)期間舉行促銷活動，一種熱銷商品進貨價為每個14元，標價為每個20元.

(1)商城舉行了“感恩老客戶”活動，對于老客戶，商城連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每

個16.2元的價格售出，求商城每次降價的百分率；

(2)市場調(diào)研表明：當每個售價20元時，平均每天能夠售出40個，當每個售價每降2元時，平均每天就能

多售出20個，在保證每個商品的售價不低于進價的前提下，商城想要獲得最大利潤，每個商品的定價應為

多少元？最大利潤是多少？

24.(本小題8分)

如圖，在△48。中，AB=AC,以為直徑的OO交2C于點。，交4C于點E,過。作。尸，4。于點

F.

(1)求證：。尸是OO的切線；

⑵若魯=；,DF=2,求。。的半徑.

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25.(本小題8分)

如圖，在△45。中，/84?=90°，以48為一邊向外作正方形NBDE,點尸為直線2c上的一點，連接

DF,作FGrDR交直線于點G.

(1)如圖1,若48=4。，點廠在線段3C上，請直接寫出線段。尸與FG的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若。，點/在線段BC上，試探究線段瓦力BF,8G三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論；

(3)若48=通4。，若48=6，DF=4瓜請直接寫出/G的長.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：根據(jù)中心對稱圖形的定義可知:

A,不是中心對稱圖形,不合題意;

不是中心對稱圖形，不合題意;

C,是中心對稱圖形,符合題意;

D,不是中心對稱圖形,不合題意;

故選：C.

根據(jù)定義“如果一個圖形繞一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，這個圖形叫做中心對稱圖形”逐項判斷即可.

本題考查中心對稱圖形的識別，熟練掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：拋物線g=?向右平個單位長度得沙=（2—2）2；

再向平移4個單位長度得：沙=（2—2戶+4.

故選C

根據(jù)二次函圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解.

主要考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解

析式.

3.【答案】A

【解析】解：?+62；+7=0，

移項得：/+6尤=—7，

配方得：?+67+9=—7+9，

（立+3）2=2,

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即配方正確的是(2+3)2=2,

故選：A.

先把常數(shù)項移到等式的右邊，再同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方式，據(jù)此即可作答.

本題考查了配方法解一元二次方程，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】D

【解析】解：1?CD為。。的直徑，且弦

：.AE=BE,乙4EO=90°，

/0C=0A=13,

0E=0C—CE=13—1=12,

在RtZ^lEO中，根據(jù)勾股定理可得：

AE=x/OA2-0E2=/132—122=5，

BE=AE=5，

/.AB=AE+BE=5+5=10,

故選：D.

根據(jù)垂徑定理可得AE=BE，N4E0=90°，由線段的和與差可得OE=0?！狢E=12,根據(jù)勾股定理

可得4E=，OA2—0爐=5,進而可得BE=4E=5,然后根據(jù)AB=AE+BE即可得解.

本題主要考查了垂徑定理，垂線的性質(zhì)，線段的和與差，勾股定理等知識點，熟練掌握垂徑定理是解題的

關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】解：?.?將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△0E。，

：,AC=CD,/a4。=NCDE=130°，

ACDA=ACAD=NE+EDC=+AACB=50°,

:"BAD=180°-ZCDA—ACAD=180°-50°—50°=80°，

故選：D.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4。=。。，ABAC=ACDE=130%由等腰三角形的性質(zhì)可求

ACDA=ACAD=50%即可求解.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

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【解析】【分析】

此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理以及三角形內(nèi)角和定理，熟

練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

由與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到垂直于/C,可得出為直角，再由NBA。的度數(shù)，用

乙MAC—484。求出NM4B的度數(shù)，又MA,A"為圓。的切線，根據(jù)切線長定理得到“4=利

用等邊對等角可得出=由底角的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出乙4MB的度

數(shù).

【解答】

解：切0。于點/，

AMAC=90°）又NBA。=25°，

AMAB=/.MAC-ABAC=65°,

■：MA.MS分別切OO于點/、B,

：,AMAB=AMBA,

：.AAMB=180°-（ZMAB+/MBA）=50°,

故選：D.

7.【答案】B

【解析】解：由題意可知：a2-2a-2024=0-a+f3=2,

a;2—2a=2024，

a2—4a—2/3—2

—o?—2a—2a—2/3—2

=（a2-2a）-2（a+。）一2

=2024-2x2-2

=2018-

故選：B.

利用一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟記一元二次方程

?bc

^w;2+近+c=0（a壬0）的兩個根為的，X,則21+?=—-，xlx2=--

2aa

8.【答案】C

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【解析】解：設扎到陰影區(qū)域的正三角形的概率為尸，圓的半徑為R,

記圓的圓心為點O,過O作。。，口。與。，連接。/,OB,OC,

?「△A3。是正三角形，

,-,AB=BC=AC，

：,AAOB=ABOC=ACOA,

.?.26。。=華=120°,

;OB=OC，

ABOD=1x120°=60°,

ZOBP=30°>

-：OB=R,

R/Q

：.OD=-,BD=OBcos30°=—R>

22

：.BC=2BD=MR，

..b^BOC=/C?(JD=---，

^：OA=OB=OC,AAOB=ABOC=AAOC,

AAOB也ABOC也△COA(SAS),

「?S叢AOB=S/XBOC=S^cOAf

.q43遮配

??b4ABC—3bABOC-，

S圓—7TR2，

3G2

,丁岳3通

TVR247r

故選：C.

求扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率就是正三角形面積與圓的面積的比.

本題主要考查了幾何概率，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓，熟練掌握概率的概念是解決問題的關(guān)鍵.

9.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過線段的比得到三角形面積

的關(guān)系.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=3C，ADI/BC,進而得到利用相似三角

形的性質(zhì)再結(jié)合￡是4D的中點可得/尸與尸C的比，進而得到△4EF面積與△FCE面積的比，設AAEF

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的面積為X,再用X分別表示出△AEC,△0EO的面積，則可推出四邊形/cr>￡面積，進而得到四邊形

FCDE面積與△4EF面積之間的關(guān)系.

【解答】

解：連接CE,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：,AD=BC，ADfIBC,

:.dAEFsACBF,

AE_AF

'^C^FC'

?：E為4D中點,

：,AE=DE=^AD=^BC,

AF

-FC=2'

△FE。的面積是△AEF的面積的2倍.

設△AEF的面積為x,則△AE。的面積為3x,

?;E為AD中點，

△OE。的面積=LAEC的面積=3r.

二四邊形FCDE的面積為5x,

:?S/\AFE：S四邊形FCDE=1：5.

故選：C.

10.【答案】D

【解析】解：?.?拋物線開口向下，

/.a<0,

?.?對稱軸為直線立=—g<0,

2a

：.b<0,

?.?拋物線與y軸的交點在y軸正半軸，

c>0,

第11頁，共28頁

abc>0,故①正確；

?.?拋物線的頂點縱坐標大于2,

:Q<0，

/.4QC—/<8Q，

/.b2+8a>4QC，故②正確;

當i=—1時，a—b+c=2,

當力=1時，a+6+c<0,

/.a—b+c+a+b+c<2,

：.a+c<1,故③正確；

m,n[m<九）是方程Q/十佐+2）6=x-c的兩個根，

/.m，n（m<九）是直線g=—i與拋物線g=ax2+bx+c兩個交點的橫坐標，

m<-1,n>0,故④正確，

故選：D.

由拋物線的開口方向判斷[與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷。與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸判定b

與0的關(guān)系即可判斷①；由題意可知4ac—”>2,進而得y+8a〉4ac，即可判斷②；由當x=—1得

4a

a—b+c=2,由7=1得a+6+c<0,進而得a+c的取值范圍，即可判斷③；根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系

即可判斷④.

本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)g=a/+比+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱

軸、拋物線與j軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.

11.【答案】0.39

【解析】解：根據(jù)表格計算釘尖著地的頻率為：0.36-0.37，0.38-0.38-0.39，0.39-0.39，

觀察發(fā)現(xiàn)：隨著實驗次數(shù)的增多，釘尖著地的頻率逐漸穩(wěn)定到0.39附近，

所以可估計“釘尖不著地”的概率為0.39.

故答案為：0.39.

根據(jù)大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻

率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率解答即可.

本題考查了利用頻率估計概率，當實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生

的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率.

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12.【答案】k〈4且卜刈

【解析】解：由題意知卜#0且△>(),即(一4『—4xkx1>0,

解得：卜<4且

故答案為：人<4且4壬0.

根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式求解即可.

本題主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題關(guān)鍵，當△〉()，方程有兩

個不相等的實數(shù)根；當△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當△<(),方程沒有實數(shù)根.

13.【答案】6\/2

【解析】解：扇形的弧長為12?！鉿"x9=67r(°一),

180°i)

設圓錐的底面圓半徑為r,

/.2TTT=67r，

解得r=3(cm),

故圓錐的IWJ為：-\/92-32=6A/^(CT72)，

故答案為：6V^.

7r

先利用弧長公式得到圓心角為120°，半徑為9cm的扇形的弧長為120°*-9=67r(慚),根據(jù)圓錐的側(cè)面

展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，則可計算出圓錐的底面圓的半徑為3cm,然后根據(jù)

勾股定理可計算出圓錐的高.

本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑等

于圓錐的母線長.也考查了弧長公式和勾股定理.

14.【答案】(—8,4)或(8,—4)

【解析】解：?.?點磯一4,2),以。為位似中心，將△EFO放大2倍，則:

Ei(-4x2,2x2)或(一4x(-2),2x(-2)),

二點瓦的坐標為(一8,4)或(8,-4),

故答案為：(-8,4)或(8,-4).

關(guān)于原點成位似的兩個圖形，若位似比是廣則原圖形上的點儂,切，經(jīng)過位似變化得到的對應點的坐標是

(kx,ky)或(—物，一飩).以。為位似中心，將LEFO放大2倍，則點E的對應點用的坐標是E(-4,2)的坐

標同時乘以±2計算即可.

本題考查了位似變換，坐標與圖形性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握位似變換的性質(zhì).

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15.【答案】0<%W1

【解析】解：拋物線y=加解：拋物線沙=加2—4板+4力+2(力<0),

y=t(工~—42?+4)+2=—2)2+2(力<0),

二.拋物線的圖象開口向下，頂點坐標為(2,2),對稱軸直線為c=2，

設拋物線在M、N之間的部分與線段所圍成的區(qū)域(包括邊界)為W,

點⑵0),(2,1),(2,2)在沙區(qū)域內(nèi),

?.?該拋物線在M、N之間的部分與線段所圍成的區(qū)域(包括邊界)恰有七個整點,

.?.當拋物線經(jīng)過點(1,1),(3,1)時,

.,.力一4力+4力+2=1,

解得，力=—1,

.?.拋物線解析式為沙=—/+4/一2,

如圖所示，

令沙=。時，一/+4c—2=0，

解得工=2土四，

即尤的值約為0.6或3.4,

二.此時沙區(qū)域內(nèi)的整點有：(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1),(3,1),(2,2),共七個整點,符合題

思；

?.■用的值越大，二次函數(shù)圖象開口越小，用的值越小，二次函數(shù)圖象開口越大，

1;

.?.當拋物線經(jīng)過點(0,1),(4,1)時,

4i+2=1,

第14頁，共28頁

解得，t=J,

故拋物線解析式為y=—$2+2+1,

令沙=0時，則立=2±20，

則x的值約為0.8或4.8,

,此時％區(qū)域內(nèi)的整點有：(0,0),(1,0),(2,0),(3,0).(4,0),(0,1),(1,1),(2,1).(3,1),(4,1),

(2,2),共11個整點，不符合題意；

綜上所述，f的取值范圍是0<力41,

故答案為：0〈力W1.

根據(jù)題意可得拋物線的圖象開口向下，頂點坐標為(2,2),對稱軸直線為2=2,則點(2,0),(2,1),(2,2)

在沙區(qū)域內(nèi)，當拋物線經(jīng)過點(1,1),(3,1)時，結(jié)合圖形找出整點；當拋物線經(jīng)過點(0,1),(4,1)時，結(jié)

合圖形找出整點；結(jié)合題意即可求解.

本題二次函數(shù)綜合運用，主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點.畫出圖象，數(shù)形

結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】九2

2

【解析】解：將48繞/旋轉(zhuǎn)60°得/￡連接BC、BE、DE,如圖.

■：ACAD=^BAE=^°>

：,ACAD—ABAD=ZBAE—ABAD.

：.ACAB=/DAE.

又?「C4=D4，AB=AE，

：.ACAB^^DAE{SAS).

CB=ED=2.

二.O在點E為圓心，2為半徑的圓上.

如圖，當?！ㄟ^E垂直于45時，點。到直線N5距離的最大.

第15頁，共28頁

.?.△BAE為等邊三角形.

又,「48=5,

，O到直線48距離的最大值為。H=D'E+EH=^-+2.

故答案為：電1+2.

2

依據(jù)題意，將繞/旋轉(zhuǎn)60°得/E連接3C、BE、DE,然后先證明進而可得

CB=ED=2,則。在點￡為圓心，2為半徑的圓上，從而，當?！ㄟ^￡垂直于時，點。到直線4s

距離的最大，再結(jié)合△34E為等邊三角形，最后計算可以得解.

本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵.

17.【答案】百1)

【解析】解：⑴設直線V=4c—1上的“友好點”的坐標為(b,2b),

.?.25=46-1,

解得：b=g,

,\2b=2x-=lf

..直線沙=4x—1上的“友好點”坐標為

故答案為：

⑵?.?函數(shù)沙=—/+紅+c是“友好二次函數(shù)”，設它的頂點為伍,2防,

:.y=一｛x—/i)2-)-2h?

由題意知，“友好二次函數(shù)"沙=—/+法+。的圖象與y軸的交點是“友好點

.?.與y軸交點為(0,0),

將(0,0)代入沙=一(立一F+2%得：

第16頁，共28頁

0=—/z2+2h，

解得：九i=0,%=2,

當九=0時，y=-x2；

當人=2時，y=一(7-2y+4=—X1+4力，

這個“友好二次函數(shù)”的表達式為y=—/或g=—/+4/；

(3)“友好二次函數(shù)”的圖象過點(-2,8),且頂點在第一象限.設“友好二次函數(shù)”的解析式為

1

y=-(x-hf9+2h,

1

8=—(—2-月9)+2h,

解得hi=2,后=—14,

?.?這個“友好二次函數(shù)”的圖象頂點在第一象限，

/,h>0,

:.h=2,

19

:.y=2)+4.

①?.?“友好二次函數(shù)"g=—2>+4,j>0,圖象開口向上，對稱軸為直線十=2,頂點坐標為(2,4),

當m<2時，m—1W重4wi在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，

二當/=ni時，函數(shù)有最小值6,

1

/.-(m-2)92+4=6,

解得：mi=2+2\/2，m2=2-2\/2,

?/m<2,

：,m=2—2A/2,

當—：(2,即2<篇(3時，函數(shù)的最小值為4,

.,.不存在最小值為6；

當山—1〉2,即?n〉3時，在對稱軸右側(cè)，〉隨x的增大而增大，

.?.當/=以一1時，函數(shù)有最小值6,

/.1[(m—1)—2產(chǎn)+4=6,

解得：61=3+2，^，加2=3—2班，

,/m>3,

第17頁，共28頁

m=3+2V

綜上所述，加的值為2—2松或3+2四；

②.已知點W(5,4),N(l,n),線段兒W與這個“友好二次函數(shù)”的圖象有且只有一個公共點，如圖,

,/NQ,n),

.?.點N在直線7=1上運動，

設直線工=1與“友好二次函數(shù)"沙=—2)2+4交于點。,

117

當十=1時，y=-x(1—2)2+4=—,

44

1

設二次函數(shù)沙=~(x-2產(chǎn)9+4的頂點為/,

.7(2,4),

■/M(5,4),

當點8的坐標為(1,4)時，此時點2、/、M共線且與二次函數(shù)沙=：(c—21+4的圖象只有一個交點,

當點N在點C上方時，線段"N與拋物線有且只有一個交點；

當點N在點8時，線段VN與拋物線有且只有一個交點，

第18頁，共28頁

.?.當線段川V與這個“友好二次函數(shù)”的圖象有且只有一個公共點時，〃的取值范圍為"〉一或九=4.

(1)根據(jù)“友好點”的定義設該坐標為他,2b),再代入g=4z—1,求解即可；

(2)根據(jù)“友好二次函數(shù)”的定義，設頂點為(兒2回，繼而得出該函數(shù)的解析式為沙=-(2-可2+2小再

推出與y軸交點為(0,0),再代入沙=—⑶—乃2+2九求解即可；

(3)設“友好二次函數(shù)”的解析式為沙=；(,—九)2+2/1,且圖象過點(—2,8),確定“友好該二次函數(shù)”的

解析式為y=1(x-2y+4,

①圖象開口向上，對稱軸為直線化=2,頂點坐標為(2,4),當時，6一1<力<m在對稱軸左側(cè)，〉

隨X的增大而減小，當/時，函數(shù)有最小值6,得;(加―2y+4=6,求解即可；當(加一：(2,即

2<mW3時，函數(shù)的最小值為4,不符合題意；當m-1>2,即機〉3時，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增

大而增大，則當2=m—1時，函數(shù)有最小值6,得上(m―1)—2產(chǎn)+4=6,求解即可；

②如圖所示，確定C(l,=),3(1,4),當點N在點。上方時，線段與拋物線有且只有一個交點；當點

N在點3時，線段與拋物線有且只有一個交點，

本題考查“友好點”的新定義，函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)，二次函數(shù)與直線的交點等知識點.掌握新定義是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：?.,4武/—3)-①—3)=0,

(x-3)(42-1)=0,

則2—3=0或4/+1=0,

解得3=3,X2=—0.25.

【解析】利用因式分解法求解即可.

本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配

方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法.

第19頁，共28頁

19.【答案】解：(1)如圖，為所作;

yA

⑵???OC=N+22=瓜

.,.點C在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑的長=90X”義渡=&.

1802

【解析】【分析】

(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點4、B、。的對應點即可；

(2)先計算出OC的長，然后根據(jù)弧長公式計算點C在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑的長.

本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可

以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

20.【答案】解：?.?A8〃WN,

LLMNs4LBA,

MN_AB

"TC=TD,

(1),/MN=35mm,CL=50mm,AB=4.9m,

.糕=黑，解得LD=7,

.?.拍攝點距離景物7米；

(2)?.?拍攝高度是2加的景物，拍攝點離景物有4加，像高不變，

.?.興=：，解得￡。=70，

LC4

相機的焦距應調(diào)整為70mm.

第20頁，共28頁

【解析】(1)利用相似三角形對應邊上的高等于相似比即可列出比例式求解；

(2)和上題一樣，利用物體的高和拍攝點距離物體的距離及像高表示求相機的焦距即可.

本題考查相似三角形的應用.

2

21.【答案】解：(1)?.?拋物線y=x-mx+n過點B(2,0),C(0,-2),

二將(2,0),(0,一2)代入，得｛:二)1明+"，

解得｛口2，

則該拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-x-2,

b__1_1

—一赤=x]=￥

即拋物線的對稱軸/為2=;;

⑵???點。與點C關(guān)于對稱軸/對稱，點。(0,-2),

.?.點。的坐標為(1,—2),

CD=1,且。0〃2軸.

/.S/\BCD=；xlx2=l.

【解析】⑴將(2,0),(0,—2)代入沙=/—機2+n,即可求得二次函數(shù)的解析式，再利用±=—9即可

2a

求出對稱軸；

(2)由拋物線的軸對稱性，先求出點。的坐標，再求得三角形的底邊和高，即可求出面積.

本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的對稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)對稱軸

的求解是解答本題的關(guān)鍵.

22.【答案】|

【解析】解：(1)由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中選到男生的結(jié)果有2種，

21

.?.先從這四位競選者中隨機選出一位小記者，選到男生的概率是：=

42

故答案為：—.

(2)列表如下：

第21頁，共28頁

甲乙丙T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，?。?/p>

丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）

共有12種等可能的結(jié)果，其中一男一女當選的結(jié)果有：（甲，丙），（甲，?。ㄒ?，丙），（乙，?。?，（

丙，甲），（丙，乙），（T,甲），（丁，乙），共8種，

OO

.——男一女當選的概率為磊=

（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中選到男生的結(jié)果有2種，利用概率公式可得答案.

（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及一男一女當選的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：（1）設商城每次降價的百分率為x,

由題意可得：20（1—a;）?=16.2,

解得的=0.1=10%,，2=1.9（不符合題意，舍去），

答：商城每次降價的百分率為10%；

（2）設降價y元，每天的總利潤為w元，則每天可售出（40+￡x20）個，

由題意可得：w=（40+1x20）（20-y-14）=-10（?/-I）2+250,

?.--io<o,

.?.當v=l,W取得最大值，此時V=25O，20—沙=19,

答：每個商品的定價應為19元時，有最大利潤，且最大利潤為250元.

【解析】（1）設商城每次降價的百分率為x,然后根據(jù)題意得20（1-#2=16.2,再求解即可；

（2）根據(jù)題意，可以得到利潤與降價的函數(shù)解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得利潤的最大值及此

時的售價.

本題考查了一元二次方程的應用-平均增長率問題，二次函數(shù)的應用，找準等量關(guān)系，正確構(gòu)造二次函數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

第22頁，共28頁

24.【答案】（1）證明：連接OD,AD,如圖所示,

Z4DB=90°，

：AB=AC,

.??△4C3是等腰三角形，

：,BD=CD,即點。是8C的中點,

?.?點。是的中點，

.?.0。是△AB。的中位線，

:.0D//AC,

■：DFLAC，

：,0DVDF,

?.?0。是半徑，點。在。。上，

二。9是。。的切線；

⑵解:連接BE,如圖所示，

,AAEB=90°,

-DF1AC,

.BE//DF,

△CDFs&JBE,

CD_DF

,好=詼’

12

---------，

2BE

第23頁，共28頁

，BE=4,

AE3

,而=5'

.,.設EC=2①，AE=3x9

：,AB=AC=AE+CE=,

：,AE2+BE2=AB2.

：.(3rr)2+42=(5a;)2,

：力=1，

AB=5%=5,

i5

OA=OB=-AB=—,

0。的半徑是:

【解析】(1)如圖所示，連接OD,AD,利用等腰三角形三線合一得到BD=。。，證明出OD是△ABC的

中位線，得到。?！?7,進而得到ODLDF,即可證明出。尸是。。的切線；

(2)如圖所示，連接8￡,首先證明出△CDFS^CBE,得到或=笑，然后代數(shù)求出BE=4,設

JDUJDE/

AE=3x，EC=2x，表示出40=47=4E+CE=5z,然后在RtZVLBE中利用勾股定理求出刀=1,

得到43=5,=5，進而求解即可.

此題考查了直徑所對的圓周角是直角，切線的判定，三角形中位線的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形

的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線求解.

25.【答案】解：⑴如圖1,連接DG,

即

?.?四邊形4B0E是正方形，

：,AB=BD,ZDBA=9Q°，

-：FG-LDF,

：,ZDFG=90°>

■：AB^AC，

第24頁，共28頁

△4BC是等腰三角形，

ABAC=90°,

△ABC是等腰直角三角形，

.?.NABC=45°，即NG3F=45°，

■：ADBA=9Q°,

：,ZDBG=90%

?.?/DBG—=90°，

:.D、B、F、G四點共圓，

4GBF=NGDF，

NGOF=45°，

?.-ZDFG=90%

△GOF是以點尸為直角頂點的等腰直角三形,

:.DF=FG；

(2)連接DG,過點G作GH_LBC,垂足為點〃，如圖2,

圖2

tanAACB=①，

.?.乙4CB=60°，AABC=30°.

?.?"34=90°，

：,ADBG=9Q°,

?.