2024-2025學年八年級數(shù)學下學期期末模擬卷

（培優(yōu)卷）【滬科版】

參考答案與試題解析

第I卷

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（24-25八年級?湖北隨州?期中）下列計算結果為2舊的是（）

A.V8+V2B.VT8-V12C.V6XV3D.V24-V2

【答案】D

【分析】本題主要考查二次根式的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.根據(jù)運算法則進行計算即可.

【詳解】解：V8+V2=2V2+V2=3V2,故選項A不符合題意；

V18-V12=3V2-2V3,故選項B不符合題意；

V6XV3=V18=3V2,故選項C不符合題意；

V24-V2=V12=2V3,故選項D符合題意；

故選D.

2.（3分）（24-25八年級?陜西渭南?期中）已知a是一元二次方程好一2x=0的一個實數(shù)根，貝必的值為

（）

A.0B.0或2C.2D.0或一2

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程等知識點，掌握方程的解是滿足方程的未知

數(shù)的值成為解題的關鍵.

把x=a代入一元二次方程/-2x=0關于a的方程求解即可.

【詳解】解：?.也是一元二次方程#-2%=0的一個實數(shù)根，

.-.a2—2a-0,解得：a=0或2.

故選：B.

3.（3分）（24-25八年級?浙江寧波?期末）如圖，在△4BC中，AC=2,AB=4,分別以AC,BC為邊向

外作正△4CD和正aBCE,連結4E,在△ABC的邊BC變化過程中，當4E取最長時，貝"BC的長為（）

E

A.2V7B.V29C.V19D.2V5

【答案】A

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理，

根據(jù)等邊三角形的性質證明△BCD三△《&!,可得再根據(jù)當點/,B,。共線時，BD最大,即4E

最大，然后作出圖形，并作CF14D,根據(jù)勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖所示，連接8。，

■.-AACD,aBCE是等邊三角形，

.-.AC=CD,BC=CE.^ACD=乙BCE=60°,

：.Z-ACD+乙ACB=乙BCE+乙ACB,

即ZBCO=Z.ACE,

△BCD=△ECA,

.t.BD=AE.

?：BD<AD+AB,

二當點/,B,。共線時，BD最大,即4E最大.

過點C作CF14D,交于點尸，

???△4CD是等邊三角形，

.1.AC—AD—2,

：.AF=\AD=1,

則BF=4B+4F=5.

根據(jù)勾股定理，得CF=7AC2一月尸2=瓜

在RtzXBCF中，BC=s/CF2+BF2=2y[7.

故選：A.

E

4.（3分）（24-25八年級?安徽安慶?專題練習）如圖，矩形ABCO的對角線AC和相交于點。，4E平分乙-4。

交于點E,如果3。=BE,那么的度數(shù)為（）

C.75°D.67.5°

【答案】C

【分析】本題主要考查了矩形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形

內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質.

根據(jù)矩形性質得出NBA。=乙4BC=90°,AC=BD,AO=CO=^AC,BO=DO=^BD,根據(jù)等腰三角形

的判定得出48=8E,證明△ZB。為等邊三角形，得出乙48。=60。，根據(jù)等腰三角形的性質得出

1800-30°

乙BOE=乙BEO==75。即可.

2

【詳解】解：???四邊形48CD是矩形,

：./LBAD=/.ABC=90°,AC=BD,AO=CO=BO=DO=^BD

：.AO=BO=CO=DO,

???/E平分

：./.BAE=Z.DAE=45°,

：^BAE=^LBEA=45°,

.,.AB=BE,

'：BO=BE,

.,.AB=BO,

：.AB—AO—BO,

為等邊三角形,

??."3。=60°,

"OBE=90°-60°=30°,

,：BO=BE,

"BOE=乙BEO=*3。。=75。,

故選：C.

5.（3分）（24-25八年級?山西太原?期末）山西地處黃河中游，是中國面食文化的發(fā)祥地，被稱為“世界

面食之根”.為弘揚山西面食文化，學校開展“面食制作大比拼”活動.下面是甲、乙、丙、丁四個小組面食

作品的評分表（單位：分），若將色、形、味三項得分按1：2：2的比例確定各組的最終得分，則獲得最高

分的是（）

小組

甲乙丙T

項目

色7798

形8888

味8977

A.甲組B.乙組C.丙組D.丁組

【答案】B

【分析】本題主要考查加權平均數(shù)，解題的關鍵是掌握加權平均數(shù)的定義.根據(jù)加權平均數(shù)的概念分別計

算出四人的平均得分，從而得出答案.

【詳解】解：甲組的平均得分為筆|薩=7.8（分），

乙組的平均得分為=8.2（分）,

丙組的平均得分為9+篇誓2=7.8（分）,

丁組的平均得分為田霜售2=7.6（分）,

???獲得最高分的是乙組.

故選:B.

6.（3分）（24-25八年級?浙江臺州?期末）如圖所示為“趙爽弦圖”，其中△2BE、△CBF、△CDG、AADH

是四個全等的直角三角形，且兩條直角邊之比為1：2,連接BG、DE,分別交ZE、CG于點M、M則四邊形GBED

和四邊形GMEN的面積比為（）

A.5：2B.2：1C.V2：lD.V3：l

【答案】B

【分析】先求出“G=EB,證明△77GM三得到BAAGB,再根據(jù)兩個平行四邊形的底與高的關系即

可求解.

【詳解】???△ABE、ACBF、△CDG、△4D”是四個全等的直角三角形，

：.AB=BC=CD=AD,UBE+乙FBC=UBE+4BAE=9Q°

???四邊形N8CD是正方形

■.■BE：AE=l:2

■.BE=HE=DG

■■■Z.GHM=/.BME=90°,/.HMG=Z.EMB

■.AHGM=AEBM

：.BM=GB,故3G：MG=2:\

又BF"DH,BE=DG

二四邊形GBED是平行四邊形

：.BG//DE

■：AE//CG

???四邊形GMEN是平行四邊形

???平行四邊形GBED與平行四邊形GMEN的高相等

二四邊形GBED和四邊形GMEN的面積比為BG：MG=2:\

故選B.

【點睛】此題主要考查正方形的判定與性質，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質、平行四邊形的

判定與性質.

7.（3分）（24-25八年級?安徽安慶?專題練習）已知加是關于x的一元二次方程式2一3%+。+2=0的一

個實數(shù)根，且滿足（爪2-3m+l）（a+1）=-4,則a的值為（）

A.-3B.1C.-3或-1D.-3或1

【答案】A

【分析】該題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判別式，解一元二次方程等知識點，根據(jù)方程

解的定義判斷出爪2-3m+l=-a-l,構建關于a的方程求解即可.

【詳解】解：??山是關于x的一元二次方程/-3%+a+2=。的一個實數(shù)根，

???m2—3m+a+2=0,

???m2—3m+1=—a—1,

"（m2—3m+l）（a+1）=—4,

（a+l）2=4,

■■■a=1或—3,

當a=l時，一元二次方程為*2—3久+3=o,此時△=9—4x3=—3<0方程無解，舍去.

CL——3.

故選：A.

8.（3分）（24-25八年級?重慶北倍?期末）如圖，在/ZMBCD中，AB=BC,Z,BCA=50°,對角線AC、BD

交于點。，aABE為直角三角形，F(xiàn)是斜邊4B的中點，^ABE=30°,貝吐40E的度數(shù)為（）

A.30°B.30.5°C.25°D.20°

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，

熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵.先得出口43（?。是菱形，從而得到乙4OB=90。，由乙4cB=50。

得出N4BO=40。，再證明8F=。尸=EF=4尸=，B,從而得到乙40F=N凡4。=50。，AAFO=80°,又

由乙48E=30。推導N&FE=60°,從而求出NOFE=140°,4EOF=4OEF=20°,最后利用

/.AOE=Z.AOF-NEOF即可得至I］結論.

【詳解】解：在口力BCD中，AB=BC,

.,.n48co是菱形，

?.BD1ACf

???AAOB=90°,

???乙ACB=50°,

???ABAC=乙BCA=50°,

???/.ABO=90°-50°=40°,

v^AEB=90°,F是斜邊ZB的中點，

...BF=OF=EF=AF=^AB,

???^AOF=乙FAO=50°,Z.BOF=乙OBF=40°,

??.Z.AFO=Z-OBF+Z-BOF=80°,

v/-ABE=30°,

???乙BEF=乙EBF=30°,

^AFE=/.ABE+乙BEF=60°,

???Z,OFE=80°+60°=140°,

???乙EOF=（OEF=20°,

???Z.AOE=AAOF-乙EOF=50°-20°=30°,

故選：A.

9.（3分）（24-25八年級?河南開封?期末）如圖，在四邊形ABC。中，力B=3,BC=VLCD=1,

AD=V12,且N8CD=90。，則四邊形ABC。的面積為（）

D

B

A.3*72B.罷c.2+2V2TD.3+Vn

【答案】A

【分析】本題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢記勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

先由勾股定理求出=貝=4。2,再通過勾股定理逆定理得乙4B。=90。，最后由

S四邊形4BCD—^AABD+S^BCD即可求解?

【詳解】解："BCD=90°,

■■■BD=7BC2+CD2=J（V2）2+12=V3,

'.'AB=3,AD=V12?

?，AB2+8"=AD2,

"ABD=90°,

???S四邊形/Bco=^AABD+S^BCD=2xBDxAB+-xBCxCD

11

=—xV3x3+—xV2x1

3V3V2

=----F—

22

_3。+魚

-2，

故選：A.

10.（3分）（24-25八年級?河南平頂山?期末）如圖，在平行四邊形ZBCD中，對角線AC,8。交于點0,

BD=2AD,點E,F,G分別是。4OB,CD的中點，EG交FD于點、H,則①ED1CA；@FH=^FD；@SAEFD

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形ZBCD的性質和8。=24。，可以確定等腰三角形。4D,再應用等腰三角形三線合

一的性質可判斷①正確；根據(jù)三角形04B的中位線和平行四邊形4BCD的性質可以確定EF=DG,且EF||DG,

進而得到平行四邊形EFGD,再應用其對角線互相平分的性質確定②正確；根據(jù)三角形底和高之間的關系和

平行四邊形4BCD的性質確定S^OEF=/△4CD和S/XDOE=/△4CD，進而得到S^EFD=可判斷③不正

確.

【詳解】解：①???四邊形4BCD是平行四邊形，

.-.BD=2D0.

■：BD=2AD,

：.D0=AD.

???E為。力中點，

.■.ED1.CA.故①正確.

②如下圖所示，連接尸G,BE,

???G是CD中點，

：.DG=CG=#D.

?:E、F分別是。力、0B中點，

:.EF^^AB.EF||AB

???四邊形4BCD是平行四邊形，

.-.AB||CD,AB=CD.

.-.EF=DG.EF||CD,

???四邊形EFGD是平行四邊形，

：.FH=故②正確.

③如上圖所示：:F是。B中點,

_i

c尸二c

???E是。/中點,

X

"'?^AOEF—5s△BOE=25s△80/=-S^B0A,

???平行四邊形ZBCD的對角線相、BD交于點0,

.,?。是24c中點，SMCD—S&4BC.

11111

,■,S^OEF=^ABOA=1X-S^ABC==g^AACD-

???E是4。中點，。是4c中點，

■'-^ADOE=5s△40D=5X5sA4CD=/\ACD?

■'■^AEFD=S&OEF+S&DOE=Q^AACD+^AACD=g^AACD■故③不正確.

故選：A.

【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質，三角形中位線，平行四邊形的性質與判定定理以及三角

形面積與底和高之間的關系，綜合應用這些知識點是解題關鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（24-25八年級?甘肅蘭州?期末）為了解某校八年級學生參加消防知識競賽的成績（均為整

數(shù)），從中抽取了1%的學生的競賽成績，整理后繪制了如圖所示的頻數(shù)直方圖（各組只含最小值，不含最

大值）.若競賽成績在90分及以上的學生可以獲得獎勵，則估計該校獲得獎勵的八年級學生有人.

【分析】本題考查頻數(shù)分布直方圖，樣本估計總體，根據(jù)頻數(shù)分布直方圖求出調查人數(shù)，進而求出八年級

學生總人數(shù)，最后再求出成績在90分以上的學生人數(shù)即可.

【詳解】解：參加競賽的總人數(shù)為：4+7+10+13+16=50（A）

則八年級學生總人數(shù)為：50+1%=5000,

.??該校獲得獎勵的八年級學生有：5000x^=2000（人）

故答案為：2000

12.（3分）（24-25八年級?福建廈門?期末）圖是鼓浪嶼八卦樓的航拍圖，八卦樓的名稱源于其屋頂逐層

凸起的八邊形造型和八棱紅色穹頂，則八邊形的內角和為.

【答案】1080。

【分析】本題主要考查了多邊形的內角和公式，解答本題的關鍵是熟練掌握多邊形的內角和公式.

根據(jù)多邊形的內角和公式計算即可.

【詳解】解：八邊形的內角和為：（8-2）x180°=1080°,

故選：1080°.

13.（3分）（24-25八年級?四川涼山?期末）已知y=S=4+VT^+3,貝吐的值為.

【答案】?/0.75

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，分式的求值，根據(jù)二次根式有意義的條件，得到x=4,y=3,

進而求出分式的值即可.

【詳解】解：vy=Vx—4+V4—x+3,

?,?％—4>0,4—x>0,

.,.%=4,

???y=3,

_3

**x-4；

故答案為：

14.（3分）（24-25八年級?湖南永州?期末）已知a,￡是方程/_2024x—1=0的兩個根，貝哈+能=

【答案】-2024

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關系，分式的加法，熟練掌握知識點是解題的關鍵.由題意得

a+/?=2024,a￡=—1,再對《+施分化簡，代入即可.

【詳解】解：a,S是方程%2—2024%-1=0的兩個根,

???a+0=2024,郊=—1,

1.1a+g2024.

￡+豆=訪=寸=-2024.

故答案為：-2024.

15.（3分）（24-25八年級?河南鄭州?期末）如圖，在平面直角坐標系中，長方形OABC的邊OA在x軸

上，OC在y軸上，OA=1,OC=2,對角線AC的垂直平分線交AB于點E,交AC于點D.若y軸上有一

點P（不與點C重合），能使4AEP是以為AE為腰的等腰三角形，則點P的坐標為.

【答案】（0令,（0,-》或謁）

【分析】設AE=m,根據(jù)勾股定理求出m的值，得到點E（1,1）,設點P坐標為（0,y）,根據(jù)勾股定

理列出方程，即可得到答案.

【詳解】???對角線AC的垂直平分線交AB于點E,

???AE=CE,

??■OA=1,OC=2,

.-.AB=OC=2,BC=OA=1,

.?.設AE=m,貝UBE=2-m,CE=m,

.?.在RtABCE中，BE2+BC2=CE2,即：（2-m）2+l2=m2,

解得：m=p

.?.E（1,》,

設點P坐標為（0,y）,

???△AEP是以為AE為腰的等腰三角形,

CQ

當AP=AE,貝U(l-0)2+(0_y)2=(M)2+(0q)2,解得：y=±-

CC1

當EP=AE,則(1一0)2+弓+)2=(1一1)2+(0_$2,解得：隱，

???點P的坐標為(0分,(0,—》，(0,|),

故答案是：(0,｝，(0,-|),(0,1).

【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義，勾股定理，矩形的性質，垂直平分線的性質，掌握勾股定理，

列出方程，是解題的關鍵.

16.(3分)(24-25八年級?河南新鄉(xiāng)?期中)圖，在矩形4BCD中，AB=3,BC=15,M為BC的三等分點

(BM=(BC),N是從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿B—A—D方向運動的動點，點N運動t秒后沿MN

所在直線，將矩形紙片進行翻折，若點B恰好落在邊AD上，貝亞的值為.

Ai-------------------------iD

【答案】|或7

【分析】由N是從8出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿B—4一。方向運動的動點，可知，需要分類討論，結合

折疊的性質，可得直角三角形，再利用勾股定理，即可求解.

【詳解】設B點沿過點M的直線翻折后落在力D上的對應點為點夕，

①如圖1,過點M作ME14。交力。于點E,N在48上，

可得四邊形力BME為矩形，

.-.EM=AB=3,AE=BM,

為BC的三等分點，BC=15,

??.由折疊可得用"=BM=1x15=5.

在Rt△夕EM中，由勾股定理，得

B'E=Vfi'M2-EM2=V52-32=4,

.-.AB'=AE-B'E=5-4=1.

設4N=x,則NB=4B—4N=3—x,

在RtaANB，中，由勾股定理，得

AN2+AB'2=x2+l2=NB'2=(3-x)2,

解得X=p

:.NB=AB-AN=3-^4=I5，

故t=|.

B'E

ATH----------------lD

~—

M

圖1

②如圖2,過點M作ME14。交4D于點E,N在4。上.

可得四邊形4BME為矩形,

:.ME=AB=3,AE=BM=5.

在EM夕中，由勾股定理，得

B'E=y/B'M2-EM2=V52-32=4,

AB'=AE+B'E=5+4=9,

設AN=AN'=y,貝HEN=AE-AN=5-y,

貝!]N8'=aB'-AN=9-y.

在Rt^4N夕中，由勾股定理，得

NA'2+A'B'2=y2+32=NB'2=(9-y)2,

y=4,即AN=4,

貝亞=(3+4)+1=7,

綜上所述，t=5或7.

A'

z、

*N/'E'、、B'

AD

BC

M

圖2

故答案為：或7.

【點睛】本題主要考查了動點問題、折疊問題、勾股定理、矩形的性質.

第n卷

三.解答題(共8小題，滿分72分)

17.(6分)(24-25八年級?福建泉州?期末)計算：(6—1)(舊+1)—5乂南+尊.

【答案】-1

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，先利用平方差公式、二次根式的乘法和除法法則運算，然后化

簡二次根式后進行有理數(shù)的加減運算.熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法法則、除法法則是解決

問題的關鍵.

【詳解】解：原式=3—1—秒50+監(jiān)

=3-1-V25+V4

=3-1-5+2

=-1.

18.(6分)(24-25八年級?江蘇無錫?期末)解方程：

(I)%2—2%—1=0；

(2)x(1—x)=3%—3.

【答案】⑴％1=1-V2,%2=1+V2

(2)%1=1,外=—3

【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

(1)把常數(shù)移到右邊，再利用配方法解答即可；

(2)把右式移到左邊，再利用因式分解法解答即可；

【詳解】(1)ft?：vx2—2x—1=0,

.,.%2—2%=1,

.-.x2—2x+1=1+1,

即(％—1)2=2,

??%—1=±V2,

.,.%i=1—V2,%2=1+V2；

(2)解：—%)=3%—3,

AX(I-X)+3(1-X)=0,

???(1—x)(x+3)=0,

??11—x=0或久+3=0,

.,?%i-1,x2=—3.

19.(8分)(24-25八年級?四川達州?期末)如圖，在海平面上有4B,C三個標記點，其中2在C的北偏

西52。方向上，與C的距漓是40海里，B在C的南偏西38。方向上，與C的距離是30海里.

(1)求點力與點B之間的距離；

(2)若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為25海里，此時在點8處有一艘輪船準備沿直線向點4處

航行，輪船航行的速度為每小時20海里.輪船在駛向4處的過程中，有多少小時可以接收到信號？

【答案】⑴點4與點B之間的距離為50海里

(2)有0.7小時可以接收到信號

【分析】本題考查了勾股定理的應用一航海問題，方向角的應用，路程、速度、時間的關系，熟練掌握勾

股定理是解答本題的關鍵.

(1)由題意易得乙4cB是直角，由勾股定理即可求得點力與點B之間的距離；

(2)過點C作CH14B交于點H,在4B上取點M,N,使得CN=CM=25海里，分別求得N”、的長,

可求得此時輪船過MN時的時間，從而可求得最多能收到的信號次數(shù).

【詳解】(1)解：由題意，得：4NCA=52。,NSC8=38。；

???^ACB=90°；

"AC=40海里,BC=30海里;

AB=V4C2+BC2=V402+302=50(海里),

即：點力與點B之間的距離為50海里；

(2)解：過點C作CH1AB交48于點H,在4B上取點M,N,使得CN=CM=25海里.

B■■■CHLAB；

:.乙CHB=90°；

???SAABC=\AC-BC=\AB?CH；

CH=24海里：

vCN=CM=25海里；

???NH=MH=7cM2—CH2=7海里；

行駛時間為7x2+20=0.7(小時).

答：有0.7小時可以接收到信號.

20.(8分)(24-25八年級?湖南岳陽?開學考試)某中學舉行了2024年奧運會相關知識的競賽，賽后隨機

抽查部分參賽同學成績，并制作成圖表如下.

分數(shù)段頻數(shù)頻率

60<%<70600.15

70<x<80m0.45

80<%<90120n

90<%<100400.1

頻

數(shù)

180

90

60708090100分數(shù)/分

請根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：

(1)表中的數(shù)〃=_；

(2)請在圖中補全頻數(shù)分布直方圖；

(3)若繪制扇形統(tǒng)計圖，分數(shù)段60<x<70所對應扇形的圓心角的度數(shù)是一

(4)全校共有2000名學生參加比賽，估計該校成績不低于80分的學生有多少人?

【答案】⑴0。

(2)圖見解析

(3)54°

(4)估計該校成績不低于80分的學生有800人

【分析】本題考查頻數(shù)(率)分布直方圖，用樣本估計總體，頻數(shù)(率)分布表，扇形統(tǒng)計圖，解答本題

的關鍵要結合生活實際，繪制頻數(shù)分布直方圖或從統(tǒng)計圖中獲取有用的信息，

(1)根據(jù)60<%<70的頻數(shù)及其頻率求得總人數(shù)，進而計算可得n的值;

(2)求出ZM.的值，可以補全直方圖；

(3)用360。乘以樣本中分數(shù)段60<%<70的頻率即可得；

(4)總人數(shù)乘以樣本中成績80<%<100范圍內的學生人數(shù)所占比例.

【詳解】(1)解：本次調查的總人數(shù)為60+0.15=400人，

n=1204-400=0.3,

故答案為：0.3；

(3)解：若繪制扇形統(tǒng)計圖，分數(shù)段60S乂<70所對應扇形的圓心角的度數(shù)是360。*0.15=54。，

故答案為：54°；

(4)解：2000x(0.3+0.1)=800(人),

答：估計該校成績不低于80分的學生有800人.

21.(10分)(24-25八年級?湖南長沙?階段練習)如圖，口4BCD的對角線力C、BD相交于點。，力C平分

乙BAD,過點。作DPIIAC,過點C作CPIIBD,DP、CP交于點P,連接OP.

(1)求證：四邊形48CD是菱形;

（2）若4c=12,BD=16,求OP的長.

【答案】（1）見解析

（2）10

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質和角平分線的定義證得=進而利用等角對等邊得到

AB=BC,然后根據(jù)菱形的判定定理可得結論；

（2）先根據(jù)菱形的性質和勾股定理求得CD=10,ACLBD,再證明四邊形。CPD是矩形，利用矩形的對角

線相等得到。P=CD=10.

【詳解】（1）證明???四邊形4BCD是平行四邊形，

.-.ADWBC.

■■.Z-DAC=Z.BCA,

,.2C平分/BAD,

■■.Z.BAC=Z.DAC,

.-.Z.BAC—Z.BCA,

：.AB=BC,

四邊形4BCD是菱形.

(2)解：???四邊形2BCD是菱形，4c=12,BD=16,

.??。。=1。=6,。。=池=8,ACVBD,

■■■CD=VOD2+OC2=7*2+62=10.

■.■DPWAC,CPWBD,

.?.四邊形。CPD是平行四邊形.

???四邊形OCPD是矩形，

：.OP=CD=10.

【點睛】本題考查菱形的判定與性質、矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定、

勾股定理、角平分線的定義等知識，熟練掌握菱形和矩形的判定與性質是解答的關鍵.

22.（10分）（24-25八年級?河南關B州?期末）為了解決初中生畫圖慢和畫圖不準的問題，老楊設計了初中

專用套尺，申請了國家專利并投入生產使用.前年成本為10萬元，今年成本達到了14萬4千元.

(1)如果平均每年成本的增長率相同，求這個增長率.

(2)將生產出的初中專用套尺按18元/套的價格售賣時，一年可賣出7800套.市場調研發(fā)現(xiàn)，該套尺每漲價

1元，銷售量就會減少300套.今年售價定為多少元才能使銷售額剛好為14萬4千元.

【答案】⑴20%

⑵20元或24元

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

(1)依題意，設平均每年成本的增長率為x,根據(jù)前年成本為10萬元，今年成本達到了14萬4千元，列

式10(l+x)2=14.4,再解出x的值,即可作答.

(2)根據(jù)將生產出的初中專用套尺按18元/套的價格售賣時，一年可賣出7800套.市場調研發(fā)現(xiàn)，該套尺

每漲價1元，銷售量就會減少300套，列式(18+r)(7800—300r)=144000,再解出r的值，即可作答.

【詳解】(1)解：設平均每年成本的增長率為x,

依題意，得10(1+無尸=14.4,

解得x=0.2=20%(負值已舍去)，

平均每年成本的增長率為20%,

(2)解：設該套尺每漲價r元，

依題意，得(18+7)(7800-300r)=144000,

解得r=2或6；

.?.18+2=20(元)或18+6=24(元)，

???今年售價定為20元或24元才能使銷售額剛好為14萬4千元.

23.(12分)(24-25八年級?湖北?期末)【提出問題】

如圖1,在口4BCD中，8E12C于點E,DF12C于點足求證：AADF=ACBE；

【問題探究】

如圖2,在四邊形A8CD中，AD\\BC,G是BC的中點，P是4G上的一點，連接CP,DP.若DP=04

Z.DPC=求證：BC=2AD-,

【拓展延伸】

如圖3,在四邊形48C。中，ADWBC,尸是邊4B上的一點，連接8D,CP.若。P=D4,乙ABD=4CPB,

AP=6,PB=5,PC=10,直接寫出尸。的長為一.

【答案】提出問題：證明見解析；問題探究：證明見解析；拓展延伸：3遍

【分析】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理；

提出問題：由垂直可得NBEC=N4FD=90。，由口4BCD,可得4。=BC,ADWBC,得至!UD4C=ZBC4,

即可證明△ADF^△CBE(AAS)；

問題探究：過。作DLLAG于3過B作于H,過C作CK，4G交2G延長線于K,先證明

△BGH三△CGK(AAS),得BH=CK,GH=GK,再證明△4BH三△PCK(AAS),得到PK=力”，推出

AL=PL=GH=GK,即可證明△DPL=△BGH(AAS),得到PD=BG,BC=2BG=2PD=240；

拓展延伸：過。作。L,48于3過C作CK1AB交4B延長線于K,證明△DP8三△CBP(AAS),得到

PC-BD-10,再由勾股定理得到DL=6,最后根據(jù)PO='DL2+PN計算即可.

【詳解】解:提出問題：???BE14C,DF1AC,

:/BEC=Z.AFD=90°,

?.?四邊形4BCD是平行四邊形，

：.AD=BC,ADWBC,

^.Z-DAC=Z-BCA,

??.△ZDFw△CBE(AAS)；

問題探究：過。作DLLZG于3過B作于”，過C作CK，4G交4G延長線于K,則

2LALD=4K=乙BHK=4BHA=90°,

圖2

???G是BC的中點,

.,.BG=CG,

MBGH=乙CGK,

△BGH=△CGK(AAS),

；.BH=CK,GH=GK,

??,DP=DA,

.-.AL=PL=/P,Z.DAP=^DPA,

-AD\\BCf

：.Z.DAP=Z.BGA,

：.Z-DAP=乙BGA=/.DPA,

?.ZDPC=乙B,2LDPA+Z.DPC+乙KPC=180°=ZB+乙BGA+/-BAG,

"KPC=LBAG,

△ABH=△PCK(AAS),

：,PK=AH,

?，AP=HK,

：.AL=PL=GH=GK,

-A.BGA=Z.DPA,乙PLD=CBHK=90。,

??.△OPG△BG”(AAS),

：.PD—BG,

：,BC=2BG=2PD=2Z0；

拓展延伸：過D作DL14B于3過C作CK148交48延長線于K,貝ij乙4LD=/PL。=Z_K=90。,

K

圖3

-AD|出C,

.?.乙4=Z-CBK,

-DP=DA,AP=6,DLLAB,

.?.乙4=/LDPA,PL=^AP=3,

：.Z-A—Z.CBK-Z.DPA,

"PBC=乙DPB,

,：Z-ABD=乙CPB,PB=PB,

△DPB=△CBP(AAS),

；.PC=BD=10,

???PB=5,

.電=PB+PL=5+3=8,

：.DL=VFD2-BL2=V102-826,

■.PD=7D晝+PL2=V62+32=3V5,

故答案為：3V5.

24.（12分）（2025?吉林長春?一模）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形4BCD的對角線4c的垂直平分

線與邊AD,BC分別交于點￡,F.求證：四邊形4FCE是菱形;

圖①圖③

（2）【類比應用】如圖②，直線EF分別交矩形4