第2章實數(shù)（提高篇）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列實數(shù)中是無理數(shù)是（）

A.舊B.聞C.病

D.(3”)°

2.下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A.B.J12C.y/15D.727

3.如圖，正方形ABCD的面積為15,RtABCE的斜邊CE的長為8,則BE的長為（

A.17B.10C.6D.7

4.下列運算中，正確的是（）

A.4=2B.（-1＞=1C.《0.01=0.1D.2+V2=2A/2

5.估計點＞＜后的值在（）

A.7至!J8之間B.6至I]7之間C.5到6之間D.4至（J5之間

6.如圖,數(shù)軸上A,B兩點表示的數(shù)分別為-1和6，且AC=AB,則點C表示的數(shù)為（

CAB

——?--------1----------1------------?

A.-2-y/3B.-1-5/3C.-2+yj3D.1+^/3

7.下列計算正確的是()

A.a=3&B.氣=幣C.V2+V3=A/5D.#>:叵=有

8.設實數(shù)后的整數(shù)部分為機，小數(shù)部分為小則(2m+w)(2m-?)的值是(

A.273B.-2A/3C.2癢2D.2-2有

9.若式子寸這■有意義，則實數(shù)機的取值范圍是（）

（m—1）

A.m>-2B.m>-2且m#1C.m>-2D.m>-2m^l

10.已知a滿足|2021—a|+Ja—2022=a,貝Ua—2021?的值為（）

A.0B.1C.2021D.2022

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.:心的算術(shù)平方根是_____.

\64

12.二次根式而T中的字母a的取值范圍是

13.比較大?。簙______立二L

22

14.當x=l+&時，代數(shù)式f_2x+2021=—

15.如圖：化簡+J（b-c）2

=----------

ab0c

16.如圖，四邊形ABC。、CEFG均為正方形，其中正方形ABCD面積為8cm2.圖中陰

影部分面積為5cm2,正方形CEFG面積為________

BCG

一1I1_111

17.已知《為實數(shù)，規(guī)定運算：-1-1，。3=1---，〃4=1----，〃5=1----，…，

CI3^^4

%=1-——,按上述方法計算：當％=3時，出022%J值等于_____.

an-\

18.觀察下列各式：

①曰=/=23②卜/r③卜〉片金

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：卜——；

An-_________（n>2,及為自然

Vn+1

數(shù)）.

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

19.（8分）把下列各數(shù)填入相應的大括號中：

0.3,-1,，如,0,",3.14,，，一?,0.1010010001…，+后,

^,0.125,11-73

2

自然數(shù)集合｛...｝;

負數(shù)集合｛

整數(shù)集合｛...）:

有理數(shù)集合｛

實數(shù)集合｛

無理數(shù)集合｛

20.（8分）計算：

⑴必+左_（&+及￥+（乃_局;（2）（7+4-）（2—道）2—（2+道）（2—指）+括.

21.（10分）已知：實數(shù)a,b滿足|a+5|+病N=0,

（1）可得〃=，b=;

⑵當一個正實數(shù)x的兩個平方根分別為2w-a和/?+m時，求機的值以及％的值.

22.（10分）如圖，數(shù)軸的正半軸上有A,B,。三點，點A,8表示數(shù)1和血.點5

到點A的距離與點C到點。的距離相等，設點。所表示的數(shù)為尤

(1)請你求出數(shù)X的值.

(2)若相為(x-&)的相反數(shù)，/為。-2)的絕對值，求〃?+”的整數(shù)部分的立方根.

CAB

________|______|_________________II?

o1,/2

23.(10分)像(0+四=3、4a-y/a=a(a>0)>

(G+1)(揚-1)=6-1(620)…兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們

稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例如，百和6、&+1與0-1、2指+3拓與2指-3店

等都是互為有理化因式.在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根

號.請完成下列問題:

⑴計算：①々=——'②看=——；

⑵計算：擊一小?

(3)已知有理數(shù)。、6滿足^32+&I=2百T

b貝I]a=b—____

24.(12分)某校數(shù)學課外活動小組的同學，針對兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算

術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進行了探究，請閱讀以下探究過程并解決問題.

【探究發(fā)現(xiàn)】

6+6=216x6=12；—+—=2A/—x—=—；

55V555

0.3+0.3=270,3x0,3=0.6；1+3>2j|x3=2；

0.2+3.2>2V0,2x3,2=1.6；-+—>2J-x—=-.

327丫3279

【猜想結(jié)論】

如果a>0,b>0,那么存在a+整(當且僅當a=b時，等號成立).

【證明結(jié)論】

(A4T-A/F)2>0

二①當且僅當&-加=0,即。=6時，a-2yfab+b=0,.'.a+b=2sfab；

②當人-揚邦，即在b時，a-2y[ab+b>0,.'.a+b>2y[ab.

綜合上述可得：若。>0,b>0,則。+尼2d而成立（當且僅當a=b時，等號成立）.

（1）【應用結(jié)論】已知函數(shù)M=》（尤>0）與函數(shù)％=工0>0），則當彳=—時，%+為取

x

得最小值為.

（2）【應用結(jié)論】對于函數(shù)y=+無（x>4）,當無取何值時，函數(shù)y的值最小？最小

x-4

值是多少？

（3）【拓展應用】疫情期間，高速公路某檢測站入口處，為了解決疑似人員的臨時隔離

問題，檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），計劃用鋼絲網(wǎng)圍成6間相同的長方

形隔離房.如圖，已知每間隔離房的面積24m2,問：每間隔離房的長、寬各為多少米時，

所用鋼絲網(wǎng)長度最短？最短長度是多少？

墻

參考答案

1.B

解：￡=丑=：，亞,版=4，（3一萬）。=1,

所以：質(zhì)是無理數(shù)，其余的都是有理數(shù)，

即聞是無理數(shù).

故選：B.

【點撥】本題主要考查了無理數(shù)的定義，最簡二次根式、立方根、零指數(shù)幕，理解相關(guān)

運算法則是解答關(guān)鍵.

2.C

【分析】

根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的

因數(shù)或因式判斷即可.

解：A選項，目冬故該選項不符合題意；

B選項，V12=2A/3,故該選項不符合題意；

C選項，厲是最簡二次根式，故該選項符合題意；

D選項，歷=3日故該選項不符合題意；

故選：C.

【點撥】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母;

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】

利用正方形的面積公式，可知3C?,再在MV3CE中，由勾股定理即可求解.

解：：正方形ABC。的面積為15,

BC2=15,

在RfVBCE中,CE=8,BC-+BE2=CE2,

BE2=CE2-BC2=64-15=49,

:.BE=7或BE=T（舍），

:.BE=7.

故選D.

【點撥】本題考查了正方形的面積公式，勾股定理，平方根公式，熟練掌握勾股定理是

解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】

根據(jù)4=22,-1尸=7,3/5^51=0.1,2*0依次進行判斷得到答案.

解：：”=2

???選項A符合題意

,/(-1)3=-1

；?選項B錯誤

VWoo!=0.1,5.0.001^0.01

.??選項C錯誤

；2和逝不能合并

選項D不符合題意；

故選：A.

【點撥】本題考查塞和根式的運算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幕和根式的相關(guān)知識.

5.B

【分析】

估算回的大小即可.

解：由于應xe=J5i,而后＜A＜M，即6＜屈＜7,

所以&x^/^^的值在6和7之間，

故選：B.

【點撥】本題考查估算無理數(shù)的大小，二次根式的乘除法，掌握算術(shù)平方根的定義，二

次根式乘除法的計算方法是正確解答的前提.

6.A

【分析】

由題意知，A、3間的距離為石+1,點8關(guān)于點A的對稱點為C,則A、C間的距離也

為73+1,再利用數(shù)軸上點的移動規(guī)則列式計算即可.

解：???數(shù)軸上A,8兩點表示的數(shù)分別為-1和百，

：.AB=y/3-(-1)=73+1,

:點B關(guān)于點A的對稱點為C,

?^AC=-^3+1>

.??點C所表示的數(shù)為-1-(括+1)=-2-右.

故選：A.

【點撥】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關(guān)系，體現(xiàn)了

數(shù)形結(jié)合思想.

7.D

【分析】

根據(jù)二次根式的計算法則，以及二次根式的化簡方法進行計算.

解:A、5/12=273,所以A選項不符合題意；

B、二=2,所以B選項不符合題意；

C、0與百合并，所以C選項不符合題意；

D、"+拒==后方=6，所以D選項符合題意；

故選：D.

【點撥】本題考查二次根式的計算法則，以及二次根式的化簡，掌握二次根式的計算法

則是解決本題的關(guān)鍵.

8.A

【分析】

估算無理數(shù)后的大小，確定“hw的值，再用平方差公式計算(2m+n)(2m-n),最后

再再代入求值即可.

解：上<2,

...石的整數(shù)部分為〃2=1,小數(shù)部分為行/-1,

(2m+n)(2m-n)

=4m2-n2

=4X12-(A/3-1)2

=4-(3-2A/3+1)

=2A/3，

故選：A.

【點撥】本題考查估算無理數(shù)的大小、二次根式的計算及平方差公式，理解算術(shù)平方根

的定義是正確估算的前提.

9.D

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.

—fm+2>0

解：由題思可知：｛.,

.,.m>-2且m#：l,

故選D.

【點撥】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的條件.

10.D

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件得到a的取值范圍，根據(jù)。的取值范圍去絕對值，化簡即可

得出答案.

解：由題意知：a—202220,解得：a>2022,

2021—a<0,

|2021-a|+Va-2022=a,

”-2021+Ja-2022=a,得：y/a-2022=2021,

a-2022=20212,BPa-20212=2022.

故選:D

【點撥】本題考查了二次根式有意義的條件，出現(xiàn)二次根式中有未知數(shù)的題，想到二次

根式有意義是解題的關(guān)鍵.

【分析】

先計算』工=工，題目就轉(zhuǎn)化為求!的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得答案.

V6444

解：值」，(%=:,所以J工的算術(shù)平方根，即:的算術(shù)平方根是:，

V64424V6442

故答案為,

【點撥】本題考查立方根和算術(shù)平方根的計算，審清題意是解題的關(guān)鍵.

12.a>-1.

【分析】

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，可以得出關(guān)于a的不等式，繼而求得a的取值范圍.

解:由分析可得，a+l>0,

解得；aN-1.

【點撥】熟練掌握二次根式被開方數(shù)為非負數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

13.>

【分析】

因為兩數(shù)的分母相同，比較分子的大小即可.

解：

.1\/3—1

""22

故答案為〉

【點撥】本題考查實數(shù)的大小的比較，當一個帶根號的無理數(shù)和一個有理數(shù)進行比較時,

首選的方法就是把有理數(shù)還原成帶根號的形式，比較被開方數(shù).分母相同的兩個數(shù)，分子大

的那個數(shù)就大.

14.2022

【分析】

根據(jù)完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)(?>0)即可求出答案.

解：=l+&時，

??x-1—，

(x-1)2=2,

.*.x2-2x+l=2,

.'.x2-2x-l,

二原式=1+2021

=2022,

故答案為：2022.

【點撥】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)以及完全平

方公式，本題屬于基礎題型.

15.a

【分析】

先根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得a<b<0<c,從而可得。-6<0,。-。>0力-。<0,再根據(jù)絕對

值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)化簡即可得.

解：由數(shù)軸可知，a<b<0<c,

貝!|a—b<O,c——c<0,

所以一同

=b_ci—(c-a)+(c_b)一(—a)

=b—a—c+a+c—b+a

=a,

故答案為：a.

【點撥】本題考查了數(shù)軸、二次根式、絕對值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.18

【分析】

先設出正方形邊長，再分別求出它們的邊長，即可求解.

解:設正方形A3C。的邊長為。，正方形CEFG的邊長為6,

〃=8,

Va>0,

a=2>/2，

???陰影面積為S=g(2后+。匕一；(2亞+6)x2收=5,

VZ?>0

??b-3-\/2>

b2=18,

故答案為：18.

【點撥】本題考查了實數(shù)運算的實際應用，解題關(guān)鍵是正確求出正方形的邊長并且表示

出陰影面積.

【分析】

將%=3,代入進行計算，可知數(shù)列3個為一次循環(huán)，按此規(guī)律即可進行求解.

,c,1111

i」=2。3=1-亍=-5

解：由題意可知，q=3時，4=33，|一

1I2

—I-T——，…，

33

其規(guī)律是3個為一次循環(huán)，

：2022+3=674,

.=1

.?。2022—2，

故答案為：-g.

【點撥】本題考查了實數(shù)的運算,規(guī)律型：數(shù)字變化類，把％=3代入進行計算，找到

規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

18.5號77.G—

【分析】

根據(jù)算式的結(jié)果寫出即可.

解：根據(jù)所給算式的結(jié)果可得：

卜26一?’26；/下+1

=2：］佗2,〃為自然數(shù)）.

故答案為5K;“C

【點撥】本題考查了算術(shù)平方根,觀察出分數(shù)的分子分母與整數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

19.屈,0,叵;-1,0,-在,匯n；恒；

ZVZ/2

|^,0.125.1.212121---；

0.3,—3.14,—

0.3,—1,^-,A/49,0,^/―8,3.14,—,0.1010010001---,+727,

27\27

^^,0.125,11-73LV^TT,1.21212b.

.；—,0.1010010001--?,+V27,11—^3|,y/—l1.

2

【分析】

根據(jù)實數(shù)的分類先找出相對應數(shù)集的數(shù)再填入相應的集合.

解：根據(jù)實數(shù)的分類，

自然數(shù)集合｛、/芯,0,恒

2

負數(shù)集合｛-1,亞石,-,yj-l1

整數(shù)集合｛-i,M,o,/,恒

2

有理數(shù)集合｛0.3,-1,歷,0,m,3.14,0,恒,0125,1.212121......｝；

7V272

實數(shù)集合｛0.3,-吟屈.04,3.14,7-槨,0.1010010001…，+07,^,0,125,11-731,^41,1.212121......｝；

無理數(shù)集合｛0.1010010001…，+A/27,H-A/3|,^11

【點撥】本題考查實數(shù)的分類.主要考查學生對實數(shù)含義的深刻理解.

20.(1)-7⑵百

【分析】

(1)直接利用乘法公式以及零指數(shù)塞的性質(zhì)、二次根式的除法運算法則分別化簡，進

而合并得出答案；

(2)直接利用乘法公式以及二次根式的乘法運算法則分別化簡，進而合并得出答案.

(1)原式=124x2-(6+4Q+2)+1

=4石-8-473+1

=-7；

⑵原式=(7+4百)(7-4Q)-(4-3)+73

=49-48-1+6

=6

【點撥】此題主要考查了二次根式的混合運算以及零指數(shù)嘉的性質(zhì)，正確運用乘法公式

化簡是解題關(guān)鍵.

21.(1)-5,4；(2)m=-3,x=l

【分析】

(1)根據(jù)題中的等式，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出。與6的值即可；

(2)根據(jù)一個正數(shù)的平方根有2個，且互為相反數(shù)，求出m的值，即可確定出尤的值.

角尾：(1)*.*|<1+5|+y/b—4=0,

<2+5=0,Z?-4=0,

解得：a=-5,b=4；

故答案為：-5,4；

(2)依題意，^2m-a+b+m=0,即2加+5+4+加=0,

解得：m=-3,

貝!Jx=(m+Z?)2=(-3+4)2=1.

【點撥】本題考查了算術(shù)平方根和偶次方的非負數(shù)的性質(zhì)，立方根，平方根，掌握一個

正數(shù)有2個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

22.(1)V2-1(2)V2

【分析】

(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求出42之間的距離即為x的值；

(2)根據(jù)題意及尤的值求出相和〃的值，再把"代入所求代數(shù)式進行計算即可.

解：(IF?點A,8表示的數(shù)分別是1和血，

AB=y/2-l，

?*-OC=AB=^-1，

.?.點C表示的數(shù)苫=&-1；

(2)由(1)知尤=加一1，

:.x-6=垃-"也=-1，犬-2=夜-1-2=&-3，

.,.m=-(-1)=1,H=|A/2-3|=3-A/2,

m+n=1+3-&=4-a,

Vl<2<4,

1<V2<2，

2<4-V2<3.

，4-0的整數(shù)部分為2,其立方根為次.

【點撥】此題考查了估算無理數(shù)的大小，數(shù)軸上兩點的距離，相反數(shù)和絕對值，正確估

算1<應<2及2<4_正<3是解題的關(guān)鍵.

23.⑴,，；(2)1(3)-1,1

【分析】

（1）①分子、分母都乘以0即可；②分子、分母都乘以（君+1）;

（2）第一項分子、分母都乘以（2+6）,第二項分子、分母都乘以（坦+1）,再計算即

可；

（3）將等式左邊分母有理化，得到（2°+3+也。-0）=26-1,根據(jù)°、6都是有理

數(shù)，得到2。+6=-1,b-a-2,即可求出a=-l,b-1.

1_1x0_立

⑴解：①

及一夜xa-2

故答案為：走；

2

⑦1（石+1）小+1

。百一「隰_1）（石+1）-2

故答案為：叵工

12

⑵一一E

=2+6-伴+1)

=1;

a2b入廠，

⑶.??際+京=2百-1,

(2-V3)a(6+1卜26

二(石+2)(2-@+陵-1)(若+1)=26一1，

/.(2-@a+(肉1)6=2有-1,

：.(2a+b)+^(b-a)=2y/3-l,

??46都是有理數(shù),

2a+b=-1,b-a=2,

解得〃=-1,解1,

故答案為：-1,1.

【點撥】此題考查了分母有理化計算，正確掌握各式子的有理化因式是解題的關(guān)鍵.

24.(1)1,2；(2)當尸5時，最小值是6；

(3)當長=6米，寬為4米時，鋼絲網(wǎng)長度最短，最短長度是72米

【分析】

(1)將x和1分別看成結(jié)論中的。和6,即可求出答案；

(2)將函數(shù)>=2+無變形為：y=-l—+(x-4)+4,然后運用結(jié)論解題即可;

■x-4-X-4

(3)設每間隔離房與墻平行的邊為加米，與墻垂直的邊為三米，所用鋼絲網(wǎng)長度為w

m

米，結(jié)合周長公式得出w的表達式，運用結(jié)論即可求解.

(1)解：:已知函數(shù)%=%(x>0)與函數(shù)%=1(%>0)，

,1

??M+%=工