2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版八年級(jí)期末必刷?？碱}之公式

法

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?南明區(qū)一模）多項(xiàng)式9/一余外因式分解正確的是（）

11

A.（3%-@y）2B.（3%-4y尸

1111

C.（3x-gy）（3x+gy）D.（3%-^y）（3x+5y）

2.（2025春?福田區(qū)校級(jí)期中）已知a+Z?=4,ab=3,貝!!/匕十〃層的值為（）

A.12B.7C.4D.3

3.（2025?呼和浩特二模）下列多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能用平方差公式分解因式的為（）

A./+/B.-x2-y2C.-x2+y2D.x2+2xy

4.（2025春?禪城區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）

A.4x2-1B.4X2+4X-1C.x2-xy+y1D.x2—x+-r

5,（2025春?茂南區(qū)期中）若/一如一15=（x+3）（龍+〃），則用的值是（）

A.2B.-2C.5D.-5

6.（2024秋?平泉市期末）若左為任意整數(shù)，貝U（Z+1）2-（左-1）2的值總能（）

A.被4整除B.被5整除C.被6整除D.被7整除

7.（2024秋?翠屏區(qū)期末）甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式/+妙+兒時(shí)，甲把相看錯(cuò)分解結(jié)果為（x+3）（x-4）,

乙把〃看錯(cuò)分解結(jié)果為（x+1）（x+3）,那么多項(xiàng)式f+mx+Ai分解的正確結(jié)果是（）

A.（x+2）（%-6）B.（x+6）（尤-2）

C.（x+4）（x-3）D.（x-1）（x+5）

二.填空題（共5小題）

8.（2025?興慶區(qū)模擬）分解因式：3/-18/y+27孫2=.

9.（2025?南崗區(qū)模擬）把多項(xiàng)式31-6/6+3。反分解因式的結(jié)果是.

10.（2025?深圳二模）因式分解：4f-4x+l=.

11.（2025?中寧縣模擬）分解因式：3丁-18/y+27盯2=.

12.（2025?宿遷模擬）已知x+y=5,xy—2,則7y+犯？的值是.

三.解答題（共3小題）

13.（2024秋?順城區(qū)期末）因式分解：

(1)9a2-36b2；

(2)-4xy2+j3.

14.(2024秋?廣信區(qū)期末)閱讀下列材料：

將d+2x-35分解因式，我們可以按下面的方法解答：

解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：/=x?尤，-35=(-5)X(+7).

②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑?+2尤-35=(x+7)(%-5).

我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.

試用上述方法分解因式：

(1)/+5x+4；

(2)x2-6x-7.

工、/一5

=Olx—5x=2x

力+7

15.(2024秋?平邑縣期末)閱讀材料，拓展知識(shí).

第一步：要把多項(xiàng)式助2+加+加計(jì)加分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式。，再把

它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式b,從而可得：am+an+bn+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)

+b(.m+n}=(m+?)(a+b),這種方法稱為分組法.

第二步：理解知識(shí)，嘗試填空.

2

(1)ab-ac+bc-b=(ab-ac)+(be-廬)=a(b-c)+b(c-b)=.

第三步：應(yīng)用知識(shí)，解決問題.

(2)因式分解：

①汴+5〃-mn-5m=.

②x2-2x+l-y2=.

第四步：提煉思想，拓展應(yīng)用.

(3)已知三角形的三邊長分別是a、b、c,且滿足/+2廬+C2=2匕(q+c),試判斷這個(gè)三角形的形狀，

并說明理由.

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版八年級(jí)期末必刷?？碱}之公式

法

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案DACDAAB

選擇題（共7小題）

1.（2025?南明區(qū)一模）多項(xiàng)式9/一白＞2因式分解正確的是（）

A.（3%—^y）2B.（3x—^y）2

1iii

C.（3久一gy）（3久+gy）D.（3x-^y）（3x+^y）

【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法.

【專題】因式分解；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】利用平方差公式分解因式即可.

111

【解答】解：9x2--j^y2=（3x+^y）（3x-^y）,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

2.（2025春?福田區(qū)校級(jí)期中）已知a+6=4,ab=3,貝U的值為（）

A.12B.7C.4D.3

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】對(duì)所求式子進(jìn)行因式分解，然后整體代入計(jì)算.

【解答】解：由條件可知。26+"2=46Q+b）=3X4=12,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提取公因式法分解因式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

3.（2025?呼和浩特二模）下列多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能用平方差公式分解因式的為（）

A.7+/B.-/-y2C.-x2+j2D.x2+2xy

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

【專題】計(jì)算題；整式；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】利用平方差公式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.?+/,不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.（7+/），不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.-/+?=（y+x）（y-尤），能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；

D.r+2xy,不能利用平方差公式進(jìn)行因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握利用平方差公式進(jìn)行因式分解的方法是解題關(guān)鍵.

4.（2025春?禪城區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）

A.4x2-1B.4X2+4X-1C.x2-xy+y2D.x2—x+-r

【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法.

【答案】D

【分析】分別進(jìn)行因式分解，找到能用完全平方公式分解的即可.

【解答】解：A、4/-1=（2x-1）（2尤+1）,是根據(jù)平方差公式，不是完全平方公式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、4/+4尤-1不能用公式法因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、x2-xy+y2不能用公式法因式分解，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、x2-x+l=（尤-今2,是根據(jù)完全平方公式，故本選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解，熟悉完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

5.（2025春?茂南區(qū)期中）若/-“tr-15=（x+3）（尤+”），則根的值是（）

A.2B.-2C.5D.-5

【考點(diǎn)】因式分解-十字相乘法等.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】把等式的右邊展開得15=/+（"+3M+3〃，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等列式求解即可.

【解答】解：Vx2-mx-15=(x+3)(x+幾)，

.'.x2-nvc-15=X2+〃X+3X+3〃=/+(〃+3)x+3〃，

一m—n+3,-15=3〃,

解得n=-5,m=2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解與多項(xiàng)式的乘法是互為逆運(yùn)算，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等列出等式是解本題的關(guān)

鍵.

6.(2024秋?平泉市期末)若左為任意整數(shù)，貝|"+1)2-Qk-1)2的值總能()

A.被4整除B.被5整除C.被6整除D.被7整除

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】利用平方差公式把"+D2一(k-1)2因式分解為必，據(jù)此可得答案.

【解答】解：(左+1)2-(一)2=軟；

為任意整數(shù)，

???4%為整數(shù)，

??.4人一定能被4整除，

(Hl)2-(3)2的值總能被4整除，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

7.(2024秋?翠屏區(qū)期末)甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式/+妙+〃時(shí)，甲把機(jī)看錯(cuò)分解結(jié)果為(x+3)(x-4),

乙把W看錯(cuò)分解結(jié)果為(尤+1)(無+3),那么多項(xiàng)式7+7加+"分解的正確結(jié)果是()

A.(尤+2)(%-6)B.(x+6)(尤-2)

C.(x+4)(x-3)D.(x-1)(x+5)

【考點(diǎn)】因式分解-十字相乘法等.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】先計(jì)算(無+3)(x-4),(x+1)(x+3),根據(jù)甲的結(jié)果可求出n的值，根據(jù)乙的結(jié)果可求出m

的值，再利用十字相乘法分解因式即可得.

【解答】解：(x+3)(x-4)=/-4x+3尤-12=/-X-12,

(x+1)(x+3)=/+3%+苫+3=/+4工+3,

由條件可知n=-12,m=4,

.'.jr+mx+n=^+4x-12=(x+6)(x-2),

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握利用十字相乘法分解因式是解題關(guān)鍵.

二.填空題(共5小題)

8.(2025?興慶區(qū)模擬)分解因式：31-18x2y+27xy2=3x(x-3y)2.

【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】3x(尤-3y)2.

【分析】先運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可作答.

【解答】解：原式=3x(x2-6xy+9j2)

=3x(x-3y)2,

故答案為:3x(x-3y)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

9.(2025?南崗區(qū)模擬)把多項(xiàng)式3a3-6/6+3°廿分解因式的結(jié)果是3a(a-b)2.

【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

【專題】因式分解；運(yùn)算能力.

【答案】3a(a-b)2.

【分析】先提公因式3m再根據(jù)完全平方公式分解因式即可.

【解答】解：3a3-6『6+3加

—3a-lab+tr^)

=3a(a-b)2,

故答案為：3a(a-b)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

10.(2025?深圳二模)因式分解：4/-.

【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可.

【解答】解：4?-4x+l=(2x-1)2.

故答案為：(2尤-1)2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.

11.(2025?中寧縣模擬)分解因式：3?-18X2V+27XV2=3x(x-3y)2.

【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先運(yùn)用提公因式法進(jìn)行因式分解，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可作答.

【解答】解：原式=3x(x2-6xy+9j2)=3尤(x-3y)2,

故答案為：3x(x-3y)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解題的關(guān)鍵.

12.(2025?宿遷模擬)已知x+y=5,xy—2,則/y+盯2的值是1。.

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；應(yīng)用意識(shí).

【答案】10.

【分析】本題將fy+x/分解因式即可解答.

【解答】解：,?尤+y=5,xy=2,

?.?x2y+,2xy

=xy(x+y)

=2X5=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分解因式的應(yīng)用，熟練掌握提公因式法是解題關(guān)鍵.

三.解答題(共3小題)

13.(2024秋?順城區(qū)期末)因式分解：

(1)9a2-36廿；

(2)4A-2J-4xy2+y3.

【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)9(a+2b)(a-2b)；

(2)y(2x-y)2.

【分析】(1)先提公因式，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可作答.

(2)先提公因式，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可作答.

【解答】解：(1)原式=9(a2-4Z?2)

=9(a+26)(a-2b)；

(2)原式=y(4/-4盯+,2)

=y(2x-y)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

14.(2024秋?廣信區(qū)期末)閱讀下列材料：

將/+2x-35分解因式，我們可以按下面的方法解答：

解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：-35=(-5)X(+7).

②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑?+2x-35=(x+7)(x-5).

我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.

試用上述方法分解因式：

(1)/+5x+4；

(2)x2-6x-7.

工、/—5廣、

=[>7x-5x=2x

力+7

【考點(diǎn)】因式分解-十字相乘法等.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)(x+1)(x+4)；

(2)(x+1)(x-7).

【分析】(1)根據(jù)十字相乘法分解因式即可；

(2)根據(jù)十字相乘法分解因式即可.

【解答】解：(1)①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：4=(+1)X(+4),

1\

<=^>4x+x=5x

②]+4,

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑?+5]+4=(x+1)(x+4)；

(2)①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：-7=(+1)X(-7).

②如圖：

力、J-l

%/—7

③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑簒2-6^-7=(x+1)(X-7).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分解因式一十字相乘法，掌握十字相乘法分解因式的步驟是解題的關(guān)鍵.

15.(2024秋?平邑縣期末)閱讀材料，拓展知識(shí).

第一步：要把多項(xiàng)式。加分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式。，再把

它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式b,從而可得：am+an+bn+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)

+b(m+n)=(.m+n)(a+6),這種方法稱為分組法.

第二步：理解知識(shí)，嘗試填空.

(1)ab-ac+bc-b~=(ab-ac)+(be-b。)=a(b-c)+b(c-b)=(b-c)(a-b).

第三步：應(yīng)用知識(shí)，解決問題.

(2)因式分解：

@rrr+5n-mn-5m=(m-n).

②x2-2x+l-/=(尤-1+y)(x-1-y).

第四步：提煉思想，拓展應(yīng)用.

(3)已知三角形的三邊長分別是a、b、c,且滿足/+2廿+°2=26Q+C),試判斷這個(gè)三角形的形狀，

并說明理由.

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【答案】(1)(Z?-c)(a-b)；

(2)①(m-n)(相-5)；②(x-1+y)(尤-1-y)；

(3)這個(gè)三角形為等邊三角形，理由見解析.

【分析】(1)仿照例題，先分組，再利用提取公因式法分解即可；

(2)①先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；

②先分組，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；

(3)移項(xiàng)后分解因式，可得出。=b=c,則可得出答案.

【解答】解：(1)ab-ac+bc-b~

—(ab-ac)+(be-/)

—a(b-c)-b(b-c)

(b-c)(a-b),

故答案為：(。-c)(4-/?)；

(2)①川+5〃-mn-5m

=m-mn+5n-5m

=m(m-n)+5(n-m)

=m(m-n)-5(tn-n)

=(m-〃)(m-5)；

②/-2x+l-/

=(x2-2x+l)-y2

=(x-1)2-y2

=(x-1+y)(x-1-y)；

(3)這個(gè)三角形為等邊三角形.

理由如下：

:〃2+2廬+。2=2/?(Q+C),

a2+2b2+c2-2ba-2Z?c=0,

a2-2/?〃+廬+。2-2/?C+/?2=0,

(a-Z?)2+(Z?-c)2=0,

Qa-b)220,(b-c)220,

?*ci~b~~0yb~c=0,

?*b~~c,

...這個(gè)三角形是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的分組分解方法，等邊三角形的判定，熟練掌握因式分解的方法是解題的

關(guān)鍵.