2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之三視圖

選擇題（共7小題）

1.（2025?石家莊模擬）如圖是由五個(gè)小正方體組成的幾何體，若要在圖中序號(hào)所在的位置上添加一個(gè)小

正方體，使得添加后該幾何體的主視圖和左視圖均保持不變，則添加的位置應(yīng)在（）

③

/正面

A.①B.②C.③D.④

2.（2025?蜀山區(qū)校級(jí)一模）如圖是生活中常用的“空心卷紙”，其俯視圖和主視圖分別是（）

3.（2025?市中區(qū)三模）漏斗是一種通過(guò)重力將液體或顆粒導(dǎo)入小口容器的實(shí)用工具，日常用于灌裝油、

調(diào)料,實(shí)驗(yàn)室中分離液體或過(guò)濾,工業(yè)上則用于分裝原料,如圖是一種常用不銹鋼漏斗，其俯視圖是（）

B.

4.（2025?平陰縣二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（)

C.

D.

5.（2025?吉安縣一模）如圖所示，該幾何體的主視圖是（）

6.（2025?陽(yáng)新縣模擬）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，將兩底面是直角三角形的直棱柱稱(chēng)為“塹堵”.將

一個(gè)“塹堵”按如圖方式擺放，則它的主視圖為（）

7.（2024秋?海港區(qū)期末）如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，如果將小正方體A放置到小

正方體C的正上方，則它的三視圖變化情況是（）

A.主視圖不會(huì)發(fā)生改變

B.左視圖會(huì)發(fā)生改變

C.俯視圖會(huì)發(fā)生改變

D.三種視圖都會(huì)發(fā)生改變

二.填空題（共5小題）

8.（2024秋?撫寧區(qū)期末）如圖1螺絲釘由頭部（直六棱柱）和螺紋（圓柱）組合而成，其俯視圖如圖2.小

明將刻度尺緊靠螺紋放置，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且交CD于點(diǎn)P,量得PC長(zhǎng)為1mm,六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為

4mm,AP長(zhǎng)為mm.

圖2

9.（2025?越秀區(qū)一模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)計(jì)算該幾何體的全面積

為,（結(jié)果保留n）

10.（2025?隴南模擬）由若干個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該

幾何體所用的小正方體的個(gè)數(shù)最少是個(gè).

主視圖左視圖

11.（2025?康縣一模）由若干個(gè)完全相同的小立方塊搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該

幾何體所用的小立方塊的個(gè)數(shù)最多是

主視圖左視圖

12.（2024秋?銀川期末）如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求該幾何體的側(cè)面積為cm2.

俯視圖

三.解答題(共3小題)

13.(2025?淮安區(qū)校級(jí)一模)圖1是一個(gè)不倒翁模型，圖2是它的主視圖，由△ABC和以。為圓心的弧組

成，已知OC_LAB,AD=BD^24cm,OD=lScm,CD=32cm.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)如圖3,轉(zhuǎn)動(dòng)模型使AC與地面EP平行，求此時(shí)點(diǎn)8到地面的距離8尸的長(zhǎng)度.

【問(wèn)題情境】嘉琪和同學(xué)們準(zhǔn)備了若干由大小一樣的小正方形組成的紙板，計(jì)

劃將這些紙板折疊成正方體紙盒作為學(xué)具.

折疊前，嘉琪將大家準(zhǔn)備的紙板進(jìn)行了整理，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備的紙板如下(如圖1所示)；

【操作探究】

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出將其折疊成正方體后，與點(diǎn)。重合的是點(diǎn)；

(2)嘉琪和同學(xué)們將折疊的紙盒搭成了一個(gè)幾何體，并畫(huà)出了從上面看到的該幾何體的形狀圖(如圖

2所示)，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的紙盒的個(gè)數(shù).

①請(qǐng)?jiān)谙旅娴姆娇蛑蟹謩e畫(huà)出從正面、從左面看到的該幾何體的形狀圖；

②如果在該幾何體上添加若干個(gè)同樣大小的正方體紙盒得到一個(gè)新幾何體，且新幾何體與原幾何體從上

面、正面、左面看到的形狀圖分別相同，那么最多可以再添加個(gè)正方體紙

15.(2024秋?平頂山期末)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.

PD

MNA

(1)這個(gè)幾何體的名稱(chēng)是，其側(cè)面積為

(2)在上面的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)畫(huà)出該幾何體的草圖.

(3)求出左視圖中的長(zhǎng).

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之三視圖

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案BBCDBAB

選擇題（共7小題）

1.（2025?石家莊模擬）如圖是由五個(gè)小正方體組成的幾何體，若要在圖中序號(hào)所在的位置上添加一個(gè)小

正方體，使得添加后該幾何體的主視圖和左視圖均保持不變，則添加的位置應(yīng)在（）

A.①B.②C.③D.④

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

【專(zhuān)題】投影與視圖.

【答案】B

【分析】結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)的添加的位置，分析幾何體的主視圖和左視圖的變化，即可作答.

【解答】解：A、若添加的位置在①，則該幾何體的主視圖不變，左視圖變了，故該選項(xiàng)不符合題意;

B,若添加的位置在②，則該幾何體的主視圖和左視圖都不變，故該選項(xiàng)符合題意；

C、若添加的位置在③，則該幾何體的左視圖不變，主視圖變了，故該選項(xiàng)不符合題意；

。、若添加的位置在④，則該幾何體的主視圖和左視圖都變了，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的三視圖，明確左視圖是從幾何體的左面看到的圖形，主視圖是從幾何體的

正面看到的圖形是解題的關(guān)鍵.

2.（2025?蜀山區(qū)校級(jí)一模）如圖是生活中常用的“空心卷紙”，其俯視圖和主視圖分別是（

o

正面

①②③④

A.①③B.①④C.②③D.②④

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

【專(zhuān)題】投影與視圖；幾何直觀.

【答案】B

【分析】找到從上面和正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中.

【解答】解：俯視圖和主視圖分別是①④.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖，主視圖是從物體的正

面看得到的視圖，遮住的棱要畫(huà)虛線.

3.（2025?市中區(qū)三模）漏斗是一種通過(guò)重力將液體或顆粒導(dǎo)入小口容器的實(shí)用工具，日常用于灌裝油、

調(diào)料,實(shí)驗(yàn)室中分離液體或過(guò)濾,工業(yè)上則用于分裝原料,如圖是一種常用不銹鋼漏斗，其俯視圖是（

T/正面

C.

D.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

【專(zhuān)題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】C

【分析】根據(jù)俯視圖是從上往下看求解即可.

【解答】解：不銹鋼漏斗的俯視圖是

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何題的三視圖，掌握幾何體的空間結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是關(guān)鍵.

4.（2025?平陰縣二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（)

B.

c.

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體.

【專(zhuān)題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖的特點(diǎn)進(jìn)行判斷.

【解答】解：根據(jù)三視圖的形狀，可得該幾何體為

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體，掌握三視圖的定義是關(guān)鍵.

5.（2025?吉安縣一模）如圖所示，該幾何體的主視圖是（）

正面

A.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

【專(zhuān)題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】B

【分析】根據(jù)從正面看到的圖形叫主視圖，可得出答案.

【解答】解：幾何體的主視圖是Z_________

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，掌握簡(jiǎn)單組合體三視圖的畫(huà)法和形狀是關(guān)鍵.

6.（2025?陽(yáng)新縣模擬）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，將兩底面是直角三角形的直棱柱稱(chēng)為“塹堵”.將

一個(gè)“塹堵”按如圖方式擺放，則它的主視圖為（）

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖.

【答案】A

【分析】主視圖是從正面看到的圖形，根據(jù)擺放方式即可找到從正面看到的圖形.

【解答】解：根據(jù)擺放方式，由直棱柱的兩底面是直角三角形可知，從正面看到的圖形是長(zhǎng)方形.

故選人

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體正面看到的視圖.

7.（2024秋?海港區(qū)期末）如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，如果將小正方體A放置到小

正方體C的正上方，則它的三視圖變化情況是（

4視方向

A.主視圖不會(huì)發(fā)生改變

B.左視圖會(huì)發(fā)生改變

C.俯視圖會(huì)發(fā)生改變

D.三種視圖都會(huì)發(fā)生改變

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

【專(zhuān)題】投影與視圖；幾何直觀.

【答案】B

【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單組合體的三視圖的畫(huà)法畫(huà)出它們的三視圖即可.

【解答】解：如果將小正方體A放置到小正方體C的正上方，則它的主視圖和左視圖會(huì)發(fā)生改變，俯

視圖不變.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形俯視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，

從左邊看得到的圖形是左視圖.

二.填空題（共5小題）

8.（2024秋?撫寧區(qū)期末）如圖1螺絲釘由頭部（直六棱柱）和螺紋（圓柱）組合而成，其俯視圖如圖2.小

明將刻度尺緊靠螺紋放置，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且交CD于點(diǎn)P,量得PC長(zhǎng)為1所,六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為

4mm,4-長(zhǎng)為7mm.

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體；垂徑定理的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的計(jì)算；投影與視圖；空間觀念；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】7.

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系即可求出答案.

【解答】解：如圖，連接。4、OB、AC,則08_LAC,

:六邊形ABCDEF是正六邊形，

AZAOB=60°,AB=OA=OB=4mm,

；.AC=乎04X2=4V3（mm）,

在RtAACP中，PC—1mm,AC=4V3mm,

AP=y/AC2+PC2=7(mm)，

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖判斷幾何體，垂徑定理的應(yīng)用，掌握正六邊形的性質(zhì)以及垂徑定理是正確解

答的關(guān)鍵.

9.（2025?越秀區(qū)一模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖示的數(shù)據(jù)計(jì)算該幾何體的全面積為

90n.（結(jié)果保留TT）

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體.

【專(zhuān)題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】907r.

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式首先求出圓錐的側(cè)面積，再求出底面圓的面積，相加即可得出該幾何體的

全面積.

【解答】解：由圖示可知，圓錐的高為12,底面圓的直徑為10,

圓錐的母線為：J122+*=13,

圓錐的側(cè)面積為:TO7=nX5X13=65Tt,

底面圓的面積為：Ttr=25Ti,

，該幾何體的全面積為：65n+25n=90n.

故答案為：901T.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，圓錐側(cè)面積公式，根據(jù)已知得母線長(zhǎng)，再利用圓錐側(cè)面

積公式求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

10.（2025?隴南模擬）由若干個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該

幾何體所用的小正方體的個(gè)數(shù)最少是4個(gè).

主視圖左視圖

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體.

【專(zhuān)題】投影與視圖；空間觀念.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)主視圖和左視圖得出該幾何體為兩層三列，再確定每層的最少個(gè)數(shù)即可.

【解答】解：由題意可知該幾何體為兩層三列，

最低層最少為3個(gè)，第二層為1個(gè)，

如圖（一種最少的情況的俯視圖）：

11

2

，最少由4個(gè)小正方體組成，

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)幾何體的三視圖判斷組成幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)主視圖和左視

圖確定組合幾何體的層數(shù)和列數(shù).

11.（2025?康縣一模）由若干個(gè)完全相同的小立方塊搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該

幾何體所用的小立方塊的個(gè)數(shù)最多是.

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體.

【專(zhuān)題】投影與視圖；幾何直觀.

【答案】7.

【分析】根據(jù)所給出的圖形可知這個(gè)幾何體共有2層，3歹!J,先看第一層正方體可能的最多個(gè)數(shù)，再看

第二層正方體的可能的最多個(gè)數(shù)，相加即可.

【解答】解：根據(jù)主視圖和左視圖可得：

這個(gè)幾何體有2層，3歹U，最底層最多有3X2=6個(gè)正方體，第二層有1個(gè)正方體.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有三視圖判斷幾何體，關(guān)鍵是根據(jù)主視圖和左視圖確定組合幾何體的層數(shù)及列數(shù).

12.（2024秋?銀川期末）如圖是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求該幾何體的側(cè)面積為540cm2.

12cm9cm

15cm

主視圖左視圖

IScrn^J

俯視圖

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積.

【專(zhuān)題】投影與視圖；空間觀念；運(yùn)算能力.

【答案】540.

【分析】根據(jù)三視圖可以得出這個(gè)幾何體應(yīng)該是個(gè)三棱柱，再根據(jù)三棱柱的側(cè)面是三個(gè)矩形解答即可.

【解答】解：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱柱，側(cè)面由長(zhǎng)分別是15c〃z,12a”，9cm,高均為15cm

的三個(gè)矩形組成,

故該幾何體的側(cè)面積為：（15+12+9）X15=540（cm2）.

故答案為：540.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，能夠根據(jù)幾何體的三視圖求解表面積是解題的關(guān)鍵.

解答題（共3小題）

13.（2025?淮安區(qū)校級(jí)一模）圖1是一個(gè)不倒翁模型，圖2是它的主視圖，由△ABC和以O(shè)為圓心的弧組

成，已知AD=BD=24cm,OD—lScm,CD—32cm.

（1）求證：AC是。。的切線;

（2）如圖3,轉(zhuǎn)動(dòng)模型使AC與地面EF平行，求此時(shí)點(diǎn)B到地面的距離8尸的長(zhǎng)度.

圖1

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體；勾股定理的應(yīng)用；切線的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）21.6.

【分析】（1）連接0A.證^ZOAD=ZACD,據(jù)止匕可知/ACO+NAO￡）=NOAO+

ZAOD=90°,從而得證；

（2）接。2,延長(zhǎng)尸2交AC于點(diǎn)H,由AC〃EENBFE=90°知/BHC=/BFE=90°,結(jié)合以謝；=

ABCDAC-BHI----------,----------r,48x3240BH

——5——=————>4。=7AD2+。"=30c7"，AC=yjAD2+CD2=40cm,則---------=----------,得BH

2222

的長(zhǎng)度，繼而可得答案.

【解答】解：（1）連接OA.

,,OD183AD243

RtZkAOO與Rt^CZM中，VZADO^ZCD90°,————=—=

AD244CD324

AADO^/\CDA,

J.ZOAD^ZACD,

：.ZACD+ZAOD^ZOAD+ZAOD^90°,即/OAC=90°,

：.OA±AC,

又：。4是。。半徑，

；.AC是O。的切線.

（2）連接08,延長(zhǎng)FB交AC于點(diǎn)

圖3

\'AC//EF,/BFE=90°,

：.ZBHC=ZBFE=90°,

S^ABC=——2——=——2——'VXO2+OD2=V242+182=30(cm),AC=y/AD2+CD2=A0cm,

48X3240BH

BH—38.4cm,

：.BF^FH-BH^60-38.4=21.6（cm）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定與

性質(zhì).

14.（2024秋?競(jìng)秀區(qū)期末）【問(wèn)題情境】嘉琪和同學(xué)們準(zhǔn)備了若干由大小一樣的小正方形組成的紙板，計(jì)

劃將這些紙板折疊成正方體紙盒作為學(xué)具.

折疊前，嘉琪將大家準(zhǔn)備的紙板進(jìn)行了整理，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)同學(xué)準(zhǔn)備的紙板如下（如圖1所示）；

【操作探究】

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出將其折疊成正方體后，與點(diǎn)。重合的是點(diǎn)M；

（2）嘉琪和同學(xué)們將折疊的紙盒搭成了一個(gè)幾何體，并畫(huà)出了從上面看到的該幾何體的形狀圖（如圖

2所示），其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的紙盒的個(gè)數(shù).

①請(qǐng)?jiān)谙旅娴姆娇蛑蟹謩e畫(huà)出從正面、從左面看到的該幾何體的形狀圖；

②如果在該幾何體上添加若干個(gè)同樣大小的正方體紙盒得到一個(gè)新幾何體，且新幾何體與原幾何體從上

面、正面、左面看到的形狀圖分別相同，那么最多可以再添加2個(gè)正方體紙

從上面看

圖2

從正面看從左邊看

.____________________________________________

【考點(diǎn)】作圖-三視圖；展開(kāi)圖折疊成幾何體；簡(jiǎn)單組合體的三視圖；由三視圖判斷幾何體.

【專(zhuān)題】展開(kāi)與折疊；幾何直觀.

【答案】（1）M；

（2）①見(jiàn)解析；②2.

【分析】（1）將展開(kāi)圖折疊成正方體可得答案；

（2）根據(jù)從上面看到的圖形畫(huà)出從左面和正面看得到的圖形即可；再?gòu)纳厦婵吹膱D形上增加小正方體

的個(gè)數(shù)可得答案.

【解答】解：（1）如圖，與點(diǎn)。重合的點(diǎn)是M.

故答案為：M；

（2）①?gòu)恼?、從左面看到的該幾何體的形狀，如圖;

從左面看

從正面看

②如圖，添加2個(gè)正方體紙盒后從三個(gè)方向看正方體的形狀圖與原來(lái)的形狀圖一樣.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方體的展開(kāi)與折疊，掌握從三個(gè)方向看幾何體的方法是解題的關(guān)鍵.

15.（2024秋?平頂山期末）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.

(1)這個(gè)幾何體的名稱(chēng)是正三棱柱，其側(cè)面積為72；

(2)在上面的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)畫(huà)出該幾何體的草圖.

(3)求出左視圖中48的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體；幾何體的表面積；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專(zhuān)題】投影與視圖；運(yùn)算能力.

【答案】(1)正三棱柱；72；

(2)見(jiàn)解析；

(3)2V3.

【分析】(1)由三視圖可知，該幾何體為正三棱柱，再根據(jù)正三棱柱側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算可得;

(2)根據(jù)題意畫(huà)出該幾何體即可；

(3)在△EFG中，作EHLPG于點(diǎn)X,根據(jù)勾股定理求出即，即可得到A8.

【解答】解：(1)該幾何體由主視圖和左視圖可判斷為棱柱，由俯視圖可判斷為正三棱柱，

其側(cè)面積為3X4X6=72,

故答案為：正三棱柱，72；

(2)如圖，

：.EH=VFF2-FH2=V42-22=2A

：.AB=2V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.幾何體的表面積

(1)幾何體的表面積=側(cè)面積+底面積(上、下底的面積和)

(2)常見(jiàn)的幾種幾何體的表面積的計(jì)算公式

①圓柱體表面積：2TT/?2+2TTT?/7(R為圓柱體上下底圓半徑，/z為圓柱體高)

②圓錐體表面積：TT，+嗎(,為圓錐體底面圓半徑，//為其高，〃為圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中扇形的圓心

角)

③長(zhǎng)方體表面積：2(ab+ah+bh)(a為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，6為長(zhǎng)方體的寬，//為長(zhǎng)方體的高)

④正方體表面積：6a2(a為正方體棱長(zhǎng))

2.展開(kāi)圖折疊成幾何體

通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，去理解和掌握幾何體的展開(kāi)圖，要注意多從實(shí)物出發(fā)，然后再

從給定的圖形中辨認(rèn)它們能否折疊成給定的立體圖形.

3.等邊三角形的判定與性質(zhì)

(1)等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性

質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性

質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱(chēng)軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的

直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等.

(3)等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定;若從等腰三角形出發(fā),則想法獲取一個(gè)60°

的角判定.

4.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么/+信=,2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+廬=o2的變形有：a=Vc2—b2,b=7c2_及c—Vet2+b2.

(4)由于/+62=02>屋，所以c>q,同理c>"即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

5.勾股定理的應(yīng)用

(1)在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

(2)在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中

抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

(3)常見(jiàn)的類(lèi)型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊為邊長(zhǎng)的多邊形

的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三

角形的斜邊.

6.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：

(1)得到推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題.

這類(lèi)題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何