2025北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2025北京朝陽初三上期末）如圖，PA,分別與。。相切于A,B兩點(diǎn),/尸=70。，則/C為

2.（2025北京昌平初三上期末）如圖，00是AABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是。，及尸,AB=3,CE=2,則

△ABC的周長(zhǎng)為（）

3.（2025北京門頭溝初三上期末）根據(jù)下圖中圓規(guī)的作圖痕跡，只用直尺就可確定AASC內(nèi)心的是（）

4.（2025北京通州初三上期末）如圖，AB是0。的直徑，點(diǎn)。在48的延長(zhǎng)線上，DC切。。于點(diǎn)C,如

果NA=30。，00=4,那么。C的長(zhǎng)是（）

DBO\A

C

A.6B.4c.273D.3

5.（2025北京豐臺(tái)初三上期末）勾股容圓記載于《九章算術(shù)》，是關(guān)于直角三角形的三邊與其內(nèi)切圓的直

徑的數(shù)量關(guān)系的研究.劉徽用出入相補(bǔ)原理證明了勾股容圓公式，其方法是將4個(gè)如圖1所示的全等的直

角三角形（直角邊分別為a,b,斜邊為c）沿其內(nèi)內(nèi)切圓心與頂點(diǎn)、切點(diǎn)的連線裁開，拼成如圖2所示的

矩形（無縫隙、不重疊），再根據(jù)面積的關(guān)系可求出直角三角形的內(nèi)切圓的直徑1（用含a,b,。的式子表

示）為（）

2c

D.d=

a+b+c

6.（2025北京東城初三上期末）如圖,PA抬與分別相切于點(diǎn)A,B,PA=2,/尸=60。，則A5的

長(zhǎng)度為（）

C.3D.2上

7.（2025北京通州初三上期末）如圖,已知。。及。。外一定點(diǎn)P,嘉嘉進(jìn)行了如下操作后，得出了四個(gè)

結(jié)論:

①點(diǎn)A是尸O的中點(diǎn)；

②直線尸。，尸我都是0。的切線；

③點(diǎn)尸到點(diǎn)。、點(diǎn)R的距離相等；

④連接PQ,QA,PR,RO,OQ,則S=TS四邊形PRO。?

o

對(duì)上述結(jié)論描述正確的是（）

A.只有①正確B.只有②正確C.①②③正確D.①②③④都正確

8.（2025北京大興初三上期末）已知。。的半徑為4,點(diǎn)尸在。。外，OP的長(zhǎng)可能是（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題

9.（2025北京密云初三上期末）已知0。的半徑是2,點(diǎn)P在。。內(nèi)，貝UOP2（填"/或

10.（2025北京房山初三上期末）下面是“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過程.

已知：。。和外一點(diǎn)尸.

求作：過點(diǎn)尸的。。的切線.

作法：如圖，

（1）連接。尸；

（2）作線段O尸的中點(diǎn)A,以A為圓心，以40為半徑作QA,與。。交于兩點(diǎn)。和R；

（3）作直線PQ,PR.

直線和直線尸R是。。的兩條切線.

證明：連接OQ,OR.

?.?O尸是0A直徑，點(diǎn)。在OA上，

.\ZOQP=°,

AOQVPQ.

又：點(diǎn)。在0。上，

???直線P。是0。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

同理可證直線PR是。0的切線.

11.（2025北京豐臺(tái)初三上期末）如圖，PA,PC是。。的切線，A,C為切點(diǎn).若NAPC=60。,

PO=5框,則直徑AB的長(zhǎng)是.

12.（2025北京通州初三上期末）已知0。的直徑為8cm,如果在。。所在平面內(nèi)有一點(diǎn)尸且QP=5cm,

那么點(diǎn)尸在。。.（填內(nèi)、外或上）

13.（2025北京西城初三上期末）如圖，A8是。。的直徑，PA,PC是0。的切線，切點(diǎn)分別為A,

C.若AB=2,ZABC=6Q°,則R4的長(zhǎng)是.

14.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）如圖所示，是。。的直徑，AB=4,/A=30。，。。的切線

BE與直線AD交于點(diǎn)E,點(diǎn)“是。。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過M作MN1AD,垂足為N,則M0+E2V的最

15.（房山2025北京初三上期末）如圖，AB,AC,5。是0。的切線，P,C,。為切點(diǎn)，若AS=10,

AC=7,則8。的長(zhǎng)為

16.（2025北京燕山初三上期末）在下圖中，A3是。。的直徑，要使得直線AT是。。的切線，需要添加

的一個(gè)條件是.（寫一個(gè)條件即可）

B

17.（2025北京門頭溝初三上期末）如圖，PAM是。。的切線，A8是切點(diǎn).若/尸=50。，則

ZAOB=___________

三、解答題

18.（2025北京朝陽初三上期末）如圖，在7?以。鉆中，ZOAB=90°,ZAfi（9=30°,C為02邊的中點(diǎn),

。。經(jīng)過點(diǎn)C,80與。。相切于點(diǎn)。.

（1）求證：與。0相切;

（2）若AB=2,求AD的長(zhǎng).

19.（2025北京朝陽初三上期末）北京天壇，原名“天地壇”，是中國(guó)現(xiàn)存最大的古代祭祀性建筑群.天壇內(nèi)

壇由圜丘、祈谷壇、齋宮三組古建筑群組成，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量圜丘壇（圖1）最下層圓形石壇的直

徑，先畫出直徑再直接測(cè)量不太可能，先測(cè)量周長(zhǎng)再計(jì)算直徑也比較麻煩，研討后他們自制了一個(gè)直角曲

尺，制定了測(cè)算方案并畫出了示意圖.

直角曲尺的短邊AC長(zhǎng)為0.5m,在測(cè)量時(shí)，用直角曲尺的長(zhǎng)邊貼緊圓形石壇的邊緣，并使短邊AC與

圓形石壇的邊緣接觸，此時(shí)長(zhǎng)邊A8與圓形石壇的接觸點(diǎn)記為點(diǎn)，量得AD的長(zhǎng)為5.2m,示意圖如圖2

所示.請(qǐng)根據(jù)以上信息計(jì)算圜丘壇最下層圓形石壇的直徑.

20.（2025北京門頭溝初三上期末）如圖1,平面中的線段A3和直線AB外一點(diǎn)P,對(duì)于P,A,B三點(diǎn)確

定的圓，如果14有所對(duì)的弧為優(yōu)弧，我們就稱點(diǎn)尸為線段A3的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

⑴如圖2,已知點(diǎn)。（0,0）,C（2,0）.

①在點(diǎn)4（1,1）,鳥（2,1）,乙中，是線段℃的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是」

②如果直線，=-工+〃上存在線段OC的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出6的取值范圍.

（2）如圖3,已知點(diǎn)0（2,2）,E（2,-2）,F（-2,2）,N（a+l,0）,如果在尸邊上存在線段肱V

的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出。的取值范圍.

21.（2025北京西城初三上期末）如圖，A3是。。的直徑，弦CD〃AB,過點(diǎn)。作。。的切線交AB的延

22.（2025北京密云初三上期末）如圖，A8是0。的直徑，AC是。。的弦，延長(zhǎng)BC至。，BC=CD,

過C作CEL4）交AD于點(diǎn)E.

⑴求證：CE是。。的切線；

⑵連接BE,若ZECD=30。,DE=1,求8E長(zhǎng).

23.（2025北京燕山初三上期末）如圖，A3是。。的直徑，過點(diǎn)B作。。的切線點(diǎn)A、C、。分別

為。。的三等分點(diǎn)，連接AC,AD,DC,延長(zhǎng)AD交8加于點(diǎn)E,CD交A3于點(diǎn)

⑴求證：CD//BM-,

（2）連接OE,若DE=m,求△OBE的面積.

24.（2025北京豐臺(tái)初三上期末）下面是小明設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作己知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，點(diǎn)P在。。外.

求作：。。的切線，使它經(jīng)過點(diǎn)P.

作法：①作射線PO交。。于A、2兩點(diǎn)；

②以點(diǎn)尸為圓心，以尸O的長(zhǎng)為半徑作?。灰渣c(diǎn)。為圓心，以A8的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)

N；

③連接OM,ON分別交00于點(diǎn)C,D；

④作直線尸C,PD.

直線PC,為所作的切線.

根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明

證明：連接尸

在。。中，點(diǎn)A,B,C在。。上，

-.-AB=OM,

:.OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

?：PO=PM,

:.PC±OM（）（填推理依據(jù)）.

直線尸C是。。的切線（）（填推理依據(jù)），

同理可證，直線PD是0。的切線.

25.（2025北京豐臺(tái)初三上期末）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，連接AC,BC.作

交。。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E.

⑴求證：BD=CD；

(2)過點(diǎn)。作。。的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)孔若CF=1,SC=4.求AC的長(zhǎng).

26.(2025北京通州初三上期末)如圖，在AABC中，AB=AC,。是A8的中點(diǎn)，到點(diǎn)。的距離等于

的所有點(diǎn)組成圖形G,圖形G與邊BC交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DESAC于點(diǎn)E.

2

(1)依題意補(bǔ)全圖形，判斷直線DE與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)并加以證明；

(2)C4延長(zhǎng)線交圖形G于點(diǎn)孔如果AE=3,AF=4,求/定的長(zhǎng).

27.(2025北京海淀初三上期末)如圖，AB,AC分別與。。相切于8,C兩點(diǎn)，8。的延長(zhǎng)線交弦于

點(diǎn)E,CE=DE,連接OD.

⑴求證：ZA=ZDOE；

(2)若OD〃AC,。。的半徑為2,求A3的長(zhǎng).

28.(2025北京西城初三上期末)已知：如圖1,點(diǎn)A,3在0。上，點(diǎn)尸在0。外.

求作：。。的切線尸C,且切點(diǎn)C在劣弧AB上.

作法：如圖2,

①連接OP;

②作線段OP的垂直平分線/,交。尸于點(diǎn)M；

③以點(diǎn)M為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，交劣弧A8于點(diǎn)C；

④畫直線尸C.直線尸。即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接OC.

???OP是。M的直徑，

/.ZPCO=°（）（填推理的依據(jù)）.

OCLPC.

OC是0。的半徑，

直線PC是。O的切線（）（填推理的依據(jù)）.

29.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）已知：是。。的直徑，弦。，45垂足為后，半徑上有兩

點(diǎn)加和M硒=加,射線射線CN分別交于點(diǎn)RH,連接交C。于點(diǎn)G,過點(diǎn)。

作”尸的平行線I.

（1）證明：直線/是。。的切線；

⑵當(dāng)O暇=BN時(shí)，求/CGP的度數(shù).

30.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)T?,0）,eT的半徑為1,它的一

條弦作兩次變換：關(guān)于點(diǎn)M作中心對(duì)稱后得到線段MP,關(guān)于點(diǎn)N作中心對(duì)稱后得到線段NQ.我們

稱點(diǎn)尸、。為eT的對(duì)稱點(diǎn)，稱線段尸。為eT的對(duì)稱弦.

（1）如圖，點(diǎn)A,B,C,。的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).

①在線段48,AD,CB,CD中，0。的對(duì)稱弦是」

②若線段AC上的點(diǎn)都是eT的對(duì)稱點(diǎn)，求/的取值范圍；

⑵若。。的對(duì)稱弦PQ過點(diǎn)（1,0）,直線y=+6與線段尸。有公共點(diǎn)，6的取值范圍是

jx

31.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）下面是某同學(xué)設(shè)計(jì)的“過三角形一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線”的尺規(guī)

作圖過程.

求作：直線8￡）,使得3D〃AC.

作法：如圖2

①分別作線段AC,BC的垂直平分線4，4兩直線交于點(diǎn)。;

②以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓；

③以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作弧，交劣弧A8于點(diǎn)D；

④作直線20.

所以直線就是所求作的直線.

根據(jù)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

⑴使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接AD,

?.?點(diǎn)A,B,C,。在0。上，AD=BC,

AD=.（）（填推理的依據(jù)）.

:.ZDBA=ZCAB（）（填推理的依據(jù)）.

:.BD//AC.

32.（2025北京燕山初三上期末）下面是小石設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.

已知：如圖1,。。及。。上一點(diǎn)P.

求作：直線PN,使得PN與。。相切.

作法：如圖2,

①作射線OP;

②在。。外取一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不在射線OP上），以Q為圓心，QP為半徑作圓，OQ與射線OP交于另一點(diǎn)

M；

③連接MQ并延長(zhǎng)交。Q于點(diǎn)N；

④作直線PN.

所以直線PN即為所求作直線.

根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：是。。的直徑，

:.NMPN=°（）（填推理的依據(jù)）.

OP1PN.

又「O尸是。。的半徑，

PN是。。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

圖1圖2

參考答案

1.A

【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、圓周角定理，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)，通過

作輔助線構(gòu)建四邊形，最后通過圓周角定理即可推出結(jié)果.連接。4、03,根據(jù)切線的性質(zhì)定理，結(jié)合四

邊形A03P的內(nèi)角和為360。，即可推出203的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理，即可推出NC的度數(shù).

【詳解】解：連接。4、OB,

???直線PA.PB分別與Q0相切于點(diǎn)A、B,

:.OA±PA,OBLPB,

?.?/尸=70°,

ZAOB=110°,

是。。上一點(diǎn)，

ZACB=55°.

故選A.

2.D

【分析】此題重點(diǎn)考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線長(zhǎng)定理等知識(shí)，推導(dǎo)出CF=CE=2,AF+BE=AB=3

是解題的關(guān)鍵.

由切線長(zhǎng)定理得AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,則+=AT>+5￡>=AB=3,求得

AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=10,于是得到問題的答案.

【詳解】解：：。。與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)。、E、F,AB=3,CE=2,

:.AF=AD,BE=BD,CF=CE=2,

:.AF+BE=AD+BD=AB=3,

:.AC+BC+AB=CF+AF+BE+CE+AB=2+3+2+3=10,

.1△ABC的周長(zhǎng)為10,

故選：D.

3.D

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義，熟知三角形內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)和角平分線的

尺規(guī)作圖方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：：三角形內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，

???四個(gè)選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)作圖方法是角平分線的尺規(guī)作圖，

故選：D.

4.C

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，連接OC,由切線的性質(zhì)

得NOCE>=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得NOC4=NA=30°,通過外角性質(zhì)可得

NDOC=NOC4+NA=60。，則NO=30。，最后由勾股定理即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接OC,

,/DC切。。于點(diǎn)C,

ZOCD=90°,

,/OC=OA,

：.ZOCA=ZA=30°,

：.NDOC=ZOCA+ZA=60°,

：.ND=30。，

OC=-OD=2,

2

?*-DC=ylODr-OC2=V42-22=2A/3，

故選：C.

5.A

【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓半徑求法，根據(jù)矩形面積不同的表示表示方法得出等式即可求解.

【詳解】解：設(shè)由圖可知：如圖1所示的直角三角形面積為《浦，

2

圖2所示的矩形面積為：2d(a+b+c),而圖2所示的矩形面積為如圖1所示的面積的4倍

2xd(a+人+c)=4x5QZ?

a+b+c

故選：A.

6.B

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)；由切線長(zhǎng)定理得出=依=2,由4=60。得

是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

【詳解】解：丁弘依與。。分別相切，

,PA=PB=2；

VZP=60°,

*'?△PAB是等邊三角形，

/.AB=PA^2-,

故選：B.

7.C

【分析】由第一步作圖痕跡可知直線MN是P。的垂直平分線，由此可判斷①正確；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周

角等于90。，可判斷②正確；根據(jù)切線長(zhǎng)定理可判斷③正確；先證明APOQG/OR,由此可得

S/oQ=S"OR,進(jìn)而可得SfOA=：S四邊形PRO。，因此可判斷④錯(cuò)誤.

【詳解】

由第一步作圖痕跡可知直線跖V是尸。的垂直平分線，因此點(diǎn)A是尸。的中點(diǎn)，

故①正確；

,/尸。是0A的直徑，

NPQO=NPRO=9U°,

:.PQ±OQ,PR±OR,

直線P。，尸我都是。。的切線，

故②正確；

直線PQ,用都是。O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可知PQ=PR,

故③正確；

--PQ=PR,OQ=OR,PO=PO,

:.APOQ^^OR,

\pofi=SfOR,

,"S"POQ=5S四邊形尸R。。?

:點(diǎn)A是尸。的中點(diǎn)，

S?PQA=5SMOQ-ZS四邊形PRO2，

故④錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖法、圓周角定理、切線的判定以及切線長(zhǎng)定理.熟練掌握

以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】根據(jù)題意可以求得OP的取值范圍，從而可以解答本題.

【詳解】解：：。。的半徑為4,點(diǎn)P在。。外，

.".0P>4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出OP的取值范圍.

9.<

【分析】本題考查點(diǎn)與圓的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟知點(diǎn)與圓的三種關(guān)系.

根據(jù)點(diǎn)與圓的三種關(guān)系即可判斷得到答案.

【詳解】解：的半徑為2,點(diǎn)尸在內(nèi)，

:.OP<2,

故答案為：<.

10.90經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【分析】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、圓周角定理、切線的判定，根據(jù)圓周角定理、切線的判定定理填空即

可.

【詳解】證明：連接OQ,OR.

???O尸是。4直徑，點(diǎn)。在。A上，

:.^OQP=90°.

OQLPQ.

又,?,點(diǎn)。在0。上，

???直線PQ是0。的切線（經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

同理可證直線PR是的切線.

故答案為：90；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

11.573

【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，先根據(jù)切線長(zhǎng)定

理，切線的性質(zhì)，得出ZAPO=NCPO=；ZAPC=3。。，OA1AP,然后根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求

出AO=g6,即可求解.

【詳解】解：：，PA,PC是。。的切線，ZAPC=60°,

ZAPO=ZCPO=-ZAPC=30°,OA1,AP,

2

*.*PO=5出,

15L

AO=-PO=-出,

22

.,?直徑AB=2AO=56，

故答案為：5^/3.

12.夕卜

【分析】本題主要考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)直徑求出半

徑，即可判斷出點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

【詳解】解：：。。的直徑為8cm,

。。的半徑為4cm,

---OP=5cm,

故點(diǎn)尸在0。外.

故答案為：外.

13.6

【分析】本題主要考查圓的切線性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定及勾股定理的應(yīng)用.通過連接

OC,利用切線性質(zhì)得到垂直關(guān)系，證明△Q4P四△OCP,得到NAOP=NCOP,再圓周角定理求出

ZAOC,最后在RtA。4P中應(yīng)用勾股定理求得上4的長(zhǎng).

【詳解】連接OC,OP,

又,.,OAl.PAOC±PC,OP=OP,

△Q4P絲△OCP（HL定理），

ZAOP=NCOP,

而44OC=2NA6C=120。（圓心角是圓周角的兩倍）,

ZAOP=60。，

在及△OAF中，ZAPO=30°,

48是00的直徑，。4=；4?=1,

OA=-PO=1

2

尸0=2

PO2=OA2+PA2

PA=JPCP-0日=6'

故答案為：V3.

14.9+2返+1

3

【分析】在延長(zhǎng)線取點(diǎn)尸，使得NF=MN,則有MN+EN=NF+EF=EF,即求斯的最大值，然后

求出/MFE=/WF=45。，故有當(dāng)平移至Mb與。。相切時(shí)，有E尸最大值，延長(zhǎng)MO交AE于點(diǎn)G,

證明為等腰直角三角形，再根據(jù)30。角所對(duì)直角邊是斜邊的一半，得OK=1,從而有

AK=1O曾-OK。=4展-士=超,再通過等腰直角三角形的性質(zhì)可得OG=夜，所以又6=2+應(yīng)，

GF=2國(guó)2,最后由勾股定理和線段和差即可求解.

【詳解】解：在E4延長(zhǎng)線取點(diǎn)尸，使得NF=MN,

：.MN+EN=NF+EF=EF,即求Er的最大值，

MNJ.AD,

：.ZMNF=90。,

隨著〃的運(yùn)動(dòng)，/MFE=/WF=45。時(shí)，

當(dāng)平移至與。。相切時(shí)，有所最大值，延長(zhǎng)MO交AE于點(diǎn)G,

ZGMF=90°,

：.ZMFE=ZMGF=45°,

△GMF為等腰直角三角形，

VOA=2,ZOAG=30°,

：.OK=\,

..由勾股定理得：AK=,\/OA2—OK2=V22—I2=6，

*.?ZOGA=45°,

：.ZOGA=ZGOK=45°,

：.GK=OK=1,

二由勾股定理得OG=應(yīng)，

?*-MG=2+42,GF=2A/2+2.

*.?Z(MG=30°,

/.BE=-AE,

2

由勾股定理得AB2+BE2=AE2，

??AE----9

3

*/AG=6+1,

.”573,

??EG=-----1,

3

sh

EF=EG+GF=—+2^2+1,

3

J.NM+EN的最大值為述+20+1,

3

故答案為：—+2>/2+l.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握知

識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

15.3；

【分析】本題考查切線長(zhǎng)定理，根據(jù)圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等直接求解即可得到答案；

【詳解】解：：AB,AC,8。是。。的切線，P,C,。為切點(diǎn)，

/.AC=AP,BD=BP,

VAC=7,

二3尸=10—7=3,

故答案為：3.

16.ZABT=ZATB=45°（答案不唯一）

【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到NBAT=90。即可求解，因此只需要添加條件：

/ABT=乙418=45唧可.

【詳解】解：添加條件：ZABT=ZATB=45°,

'：ZABT=ZATB=45°,

：.ZBAT=90°,

又；AB是圓。的直徑，

.二AT是圓。的切線，

故答案為：ZABT=ZATB=45°（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵.

17.130°

【分析】由題意易得NR4O=NP3O=90。，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求解.

【詳解】解：：早產(chǎn)8是。。的切線，

，ZPAO=ZPBO=90°,

二由四邊形內(nèi)角和可得：ZAOB+ZP=180°,

ZP=50°,

NAO3=130°；

故答案為130°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及四邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.⑴見解析

⑵2

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)在及AQAB中，ZOAB=90°,/ABO=30。，得到。A由C為02邊的中點(diǎn)，求得

2

OC=^OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)連接0,根據(jù)切線的性質(zhì)得到4?=BD,證明△ABO2JDBO(SSS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

ZDBO=ZABO=30°，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在中，ZOAB=90°,ZABO=30°,

:.OA=-OB,

2

???C為08邊的中點(diǎn)，

OC=-OB,

2

:.OA=OC,

J.Q4是。。的半徑，

AB與。。相切；

(2)解：連接OD,

?.?AD與。。相切于點(diǎn)。，AB與。。相切,

AB=BD,

在與△D5O中，

OA=OD

<AB=BD,

OB=OB

.?.△ABO%D5O(SSS),

:.ZDBO=ZABO=34。,

.\ZABD=60°,

..△ABD是等邊三角形，

:.AD=AB=2.

19.54.58m

【分析】本題考查圓切線的實(shí)際應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握?qǐng)A切線性質(zhì)，勾股定理解解三

角形.

如圖，連接OO,過點(diǎn)C作CTLOD于點(diǎn)，設(shè)OD=OC=rm,利用勾股定理構(gòu)建方程求解.

【詳解】解：如圖，連接過點(diǎn)C作CTLOD于點(diǎn)=設(shè)。D=OC=r

?.?AB是。。的切線,

:.OD±AB,

'：ACLAB,

NCTD=ZCAD=ZADT=90°,

，四邊形ADTC是矩形，

：.CT=AD=5.2,DT=AC=0.5,

在Rtz\OC7中，OC2^OT2+CT2,

r2=(r-0.5)2+5.22,

解得r=27.29.

所以圓形石壇的直徑：27.29x2=54.58(m).

20.⑴①E②1一應(yīng)<6<1+0

,c、，c'72^+1y/2-1

(2)1<a<2,—<a<^—

【分析】(1)根據(jù)定義得出NAP5所對(duì)的弧為優(yōu)弧，90°<ZAPS<180°,進(jìn)而得出結(jié)果；

(2)以O(shè)C為直徑作。/,求出直線產(chǎn)r+b與。/相切時(shí)的b的值，進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)求出以為直徑的。/與E尸相切時(shí)a的值，。/與E/W相切時(shí)a的值，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：①如圖1,

90°<LAPB<180°，

????OP}C90?,/OP2c<90。,90°<￡OP3C<180°，

E是線段OC的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

故答案為：片；

②如圖2,

以O(shè)C為直徑作。/,

當(dāng)〉=-工+》切。/于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，設(shè)其分別交y軸于點(diǎn)。，交無軸于E,

貝IABJ_直線y=-x+》，

:直線＞=-尤+6,當(dāng)x=0時(shí)，了=匕；

當(dāng)y=0時(shí)，x=b；

...直線尸-龍+匕與x軸所成的銳角是45。，

?.ZAIC=ZOIB=45°,

：.OI=OF=1,

直線A8交y軸于點(diǎn)尸(0,-1),

ZADF=ZAFD=45°,AF=+1,

:.DF=?AF=2+B

：.OD=DF-OF=3+I，

同理得出：￡7=&8/=夜，

.-.OE=A/2-1,

,此時(shí)直線與y軸交于（。,1-亞卜

1~6<b<收+1；

當(dāng)以MN為直徑的。/與直線EF相切于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí),

連接必，

貝！]/4人EF,OI=y[2IA^—,

2

（亞、

當(dāng)。/在所左側(cè)時(shí)（除去A點(diǎn)），I——,0,

\1）

:.N[2，/

1-J2

???。+1=-2

7-瓦

2

當(dāng)。/在的右側(cè)時(shí)（除去切點(diǎn)）,

此時(shí)：0=與1

一一J2-1

，

-2<a<^—

當(dāng)O/與OE相切時(shí)，/1|，°］或g，"，

此時(shí)M(l,0)或(2,0),

:A<a<2,

綜上所述：或1<。<2.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是將題意轉(zhuǎn)化為直

線和圓的位置關(guān)系.

21.⑴證明見解析

(2)CD=y

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

(1)作。尸，CD于點(diǎn)/，連接OC,OD,先由平行的性質(zhì)易得/00斤+"匿=90。，再由切線的性質(zhì)

得OD且DE,進(jìn)而得NE+"OE=90。，即可得=再由垂徑定理和圓周角定理可得

ZDOF=-ZDOC,ZCBD=-ZDOC,繼而可得結(jié)論；

22

(2)作￡>G，A￡于點(diǎn)G,設(shè)。。的半徑為廠，則。4=OD=r,OE=8-r,由勾股定理列方程得

/+7=(8-解方程得r=3,進(jìn)而可得OE、0P的值，再由勾股定理可得。尸的值，最后由

CD=2。尸可得答案.

【詳解】(1)證明：作OPLCD于點(diǎn)E，連接OC,OD,如圖1,

ZDFO=90°,

,?CD//AB,

：.ZDFO+/EOF=180°,

/EOF=90°,

：.ZDOF+ZDOE=90°,

；OE是。。的切線，。是切點(diǎn),

0D1DE,

：.ZE+ZDOE=90°,

：.ZE=ZDOF,

'：OC=OD,

/.ZDOF=-ZDOC,

2

,/ZCBD=-ZDOC,

2

ZDOF=ZCBD,

ZE=NCBD；

(2)解：作DGLAE于點(diǎn)G,如圖2

G\BE

F

圖2

VCD//AB,OFLCD于點(diǎn)、F,

：.DG1CD,OFLAE,

四邊形OPGD為矩形，

DG=OF,

設(shè)。。的半徑為乙則Q4=OD=r,

AE=8,

：.OE=8-r,

?.?在RtZXODE中，NODE=90°,DE=4,

：.r2+42=(8-r)2,

解得r=3,

OE=5,

'：SMDE=^ODDE=^GDOE,

.np*ODDE12

OE5

...在中，DF=ylOD2-OF2=|,

1Q

：.CD=2DF=—.

22.（1）見解析

⑵而

【分析】（1）連接OC,根據(jù)三角形中位線定理得到OC〃AD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OCLCE,根據(jù)切

線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)A。交O。于連接初，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到60。，根據(jù)圓周角定理得到

AC1BD,推出△ABD是等邊三角形，得到AB=AD=3C,ZBAD=6009根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

CD=2DE=2,根據(jù)勾股定理得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接0C,

vAO=BO,BC=CD,

.?.OC是△ABD的中位線

??.OC//AD,

vCElAD,

/.OC1CE,

???OC是。。的半徑，

「.CE是O。的切線；

（2）解：設(shè)AZ）交。。于H,連接

/CE1AD,

?./C皮）=90。，

.?/DCE=30。,

?.ZD=60。，

.?AB是。。的直徑，

\AClBDf

;BC=CD,

\AB=AD,

?.△ABD是等邊三角形，

?.AB=AD=BC,ZBAD=60°,

.?NCED=90°,ZDCE=30。,DE=\,

\CD=2DE=2,

\AB=AD=BD=4,

??AB=BD,BH±AD,

：.AH=DH=-AD=2,

2

BH=dAB。-AH。=2>/3

■：HE=DH-DE=l,

BE=-JBH2+HE2=V13?

23.(1)見解析

2

(2)SAOBE=y/3m

【分析】本題主要考查了垂直平分線的判定、三角形的外心、圓切線的性質(zhì)、平行線的判定，等邊三角形

的判定與性質(zhì)、直徑所對(duì)的圓周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)推

理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三等分點(diǎn)，得出AD=r)C=AC，AACD內(nèi)接于。。，推出AT>=DC=AC,點(diǎn)。是AACD的外

心，得出ABLCD,根據(jù)切線的性質(zhì)，得出BE根據(jù)“同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線

平行”，即可得證CD〃BM；

(2)連接。3,由(1)^AD=DC=AC,ABLCD,BEVAB,得出AACD是等邊三角形，

ZABE=90°,得出NC4￡>=60。，計(jì)算出角度NE4B=30。，NAEB=60。，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直

角”，得出NAD3=/3DE=90。，求出"3E=30。，根據(jù)“30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”，結(jié)合勾股

定理，推出既=2w，02=5”,根據(jù)三角形面積公式，計(jì)算SA.BE=；XBEXOB,得出答案即可.

【詳解】(1)證明：：點(diǎn)A、C、。為0。的三等分點(diǎn)，

AD=DC=AC-AACD內(nèi)接于O。，

AD=DC=AC,點(diǎn)。是AACD的外心，

.?.點(diǎn)A、。在線段CO的垂直平分線上，

AB1,CD,

過點(diǎn)B作。。的切線BM,

/.BE±AB,

：.CD//BM；

(2)解：如圖，連接D8,

?由（1）得：AD=DC=AC,ABVCD,BELAB,

AACD是等邊二角形,ZABE=90°,

???NC4P=60°,4以8￥x60。=30。，

jZAEB=90°-30°=60°,

?.?A3是。。的直徑，

：.ZADB=ZBDE=90°,

：.?DBE90?1AEB30?,

又,:DE=m,

2222

：.BE=2DE=2mfBD=y/BE-DE=J（2m）-m=y/3m,

又丁在RtAAZ陽中，ZDAB=30°,

AB=2BD=26m,OB=-AB=^3m,

2

???在中，SCRF=~xBExOB=—x2mxy[3m=y/3m.

24.（1）見解析

（2）見解析

【分析】本題考查切線的判定，等腰三角形三線合一，關(guān)鍵是通過作圖構(gòu)造等腰三角形和三線合一.

（1）根據(jù)要求即可畫出圖形即可；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一即可解決問題.

在。。中，點(diǎn)A,B,C在。。上,

AB=OM,

:.OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

?：PO=PM,

:.PCVOM（在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合）.

直線PC是。。的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線）

同理可證，直線是0。的切線.

故答案為：在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合，經(jīng)過半徑的外

端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線.

25.（1）見解析

（2）3

【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線的性質(zhì)可得出OD±BC,然后根據(jù)垂徑定理即可得

證；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論可證明四邊形CFDE是矩形，則DE=CF=1,根據(jù)垂徑定理得出

BE=CE=；BC=2,在RSBOE中，根據(jù)勾股定理求出OE,然后根據(jù)三角形中位線定理求解即可.

【詳解】（1）證明：???AB是。。的直徑，

ZC=90°,

OD//AC,

：.ZOEB=ZC=90°,

：.OD1BC,

：?BD=CD；

。廠是。。的切線，

ODA.DF,

又OD工BC,NBCF=180°-ZACB=90°,

四邊形CRDE是矩形，

DE=CF=1,

?；OD工BC,BC=4,

/.BE=CE=-BC=2,

2

在RUBOE中，BO2=OE2+BE2,

A(OE+l)2=OE2+22,

3

解得OE=；,

VBO=AO,BE=CE,

：.AC=2OE=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌

握上述知識(shí)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

26.(1)補(bǔ)全圖形見解析，直線OE與圖形G(0O)只有一個(gè)公共點(diǎn)，或直線。E與。。相切，證明見解析

⑵DE=4

【分析】本題考查了圓的切線證明、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

(I)由題意得圖形G是以點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓；連接OD,可證直線DE與。。相切；

(2)過點(diǎn)。作于點(diǎn)G.可得AG^-AF=2,推出四邊形OOGE是矩形；根據(jù)

2

OG2=OA2-AG2=52-22=21,即可求解；

結(jié)論：直線DE與圖形G(O。)只有一個(gè)公共點(diǎn)，或直線DE與O。相切

證明：連接O。，

?：OB=OD,

:?/BDO=/B,

AB=AC,

：.ZC=ZB,/BDO=/C,

：.DO//CA,

DE±AC,

：.DOVDE,

??,點(diǎn)。在圖形G(。。)上，

?,?直線。E與圖形G(OO)只有一個(gè)公共點(diǎn).

(2)解：過點(diǎn)。作OGLA尸于點(diǎn)G.

AG=-AF=2

2

"：DE±AC,DO±DE,

...四邊形。OGE是矩形，

:.DO=EG=5,DE=OG,

在RtA（9G4中，。4=。0=5,

,OG2=OJ^-AG2=52-22=21,

OG=V21（舍負(fù)），

⑵2+2忘

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì).

（1）連接CO,由切線的性質(zhì)得/3A+NOC4=180。，再由四邊形內(nèi)角和得NA+N8OC=180。，由平角

的性質(zhì)得NCOE+/30c=180。，進(jìn)而得/COE=/A,再由垂徑定理得/COE=/OOE,繼而可得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)C作"，居于點(diǎn)先由已知得四邊形CEBM是矩形，進(jìn)而得CM=3E,BM=CE,

CE//AB,結(jié)合（1）易得AOEO是等腰直角三角形，進(jìn)而可得=+

BM=CE=C,，再由=+即可得出答案.

【詳解】（1）證明：如圖，連接CO,

/.OC±AC,OBIAB,

：.ZOS4+ZOC4=180°,

NA+N30c=180。，

又Z.COE+NBOC=180。,

ZCOE=ZA,

VCE=DE,OC=OD,

AOELCD,OE平分NCOD,

/COE=ZDOE,

ZA=ZDOE；

(2)解：如圖，過點(diǎn)C作_L四于點(diǎn)",

NCMB=ZBME=ZBEC=ZECM=90°,

，四邊形CEB"是矩形，

:.CM=BE,BM=CE,CE//AB,

：.ZA+ZACE=180°,

,?OD//AC,

：.ZACD+ZODC=180°,

ZA=ZODC,

由（1）得ZA=ZDOE,

：./ODE=/DOE,

OE=DE,

AOEO是等腰直角三角形，

Z.ODE=Z.DOE=ZA=45°,

：.ZACM=45°,

：.AMCM,

：。0的半徑為2,即OD=O8=2,

?*-OE=ED=CE=42，

：?AM=CM=BE=2+也,BM=CE=~Ji,

AB=AM+BM=2+2.42.

28.（1）圖見解析

（2）90,直徑所對(duì)的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【分析】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、圓周角定理、圓的切線的判定定理，熟練掌握?qǐng)A的切線

的判定定理是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題中的作法步驟：根據(jù)線段垂直平分線和圓的畫法即可得；

（2）先根據(jù)圓周角定理可得/PCO=90。，再根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證.

【詳解】（1）解：使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形如下:

（2）證明：連接OC

0P是。"的直徑,

:./PCO=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）.

OCA.PC.

???OC是。。的半徑，

，直線PC是。。的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

故答案為：90,直徑所對(duì)的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

29.（1）證明見解析

（2）60°

【分析】對(duì)于（1）,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CN=CN,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得

ZNCE=ZMCE,進(jìn)而得出=然后根據(jù)C歸=。尸，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得

即可得出NODP=90。，接下來答案可證；

對(duì)于（2）,連接8。，先根據(jù)QW=8N證明0E=3E,可得AOBD是等邊三角形，可知/?！?gt;8=60。，再根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得NODE=30。，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得NC?P=90。，可求出/即尸=60。，則結(jié)論可

證.

【詳解】（1）如圖所示，標(biāo)注兩點(diǎn)，連接02。尸,。以，

?/CD±AB,EM=EN,

：.CD是MN的垂直平分線，

CN=CM,

：.NNCE=NMCE.

?：ZHOD=2ZNCE,ZFOD=2ZMCE,

ZHOD=/FOD.

'：OH=OF,

：?ODLFH,

即NOKF=90。.

?:DP//HF,

???NODP=90。,

??,OD是0。的半徑，

???直線/是。。的切線;

(2)連接3。，

OM=BN,EN=EM,

：.OM-EM=BN-EN,

即OE=BE.

9：CDVOB,

：.OD=BD.

'：OB=OD,

：.OB=OD=BD,

即△03。是等邊三角形，

???ZODB=60°,

：.NODE=30。.

??,直線/是。。的切線，

JZODP=9Q0,

：.ZEDP=6Q°f

DP//HF,

JZCGF=ZCDP=60°.

C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的

性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

30.⑴①②-3+后

（2）-2-2^<Z?<4+>/3

【分析】（1）①根據(jù)新定義可得0。的對(duì)稱弦得滿足尸O=QO,且尸0a=6廠=6,且線段PQ與0。有交

點(diǎn)，結(jié)合圖形，即可求解；

②先固定“，連接MT,作兩次變換：關(guān)于點(diǎn)M作中心對(duì)稱后得到線段關(guān)于點(diǎn)T作中心對(duì)稱后得

到線段7。2.得出尸在以。?為圓心1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，。在以。2為圓心2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)M運(yùn)動(dòng)

時(shí)，始終以M為切點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則尸，。的運(yùn)動(dòng)軌跡在以T為圓心，半徑分別為1和3的圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)

（不包括eT上），進(jìn)而根據(jù)線段AC上的點(diǎn)都是eT的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)T?,0）,eT的半徑為1,分別求得

臨界值，即可求解；

（2）根據(jù)題意設(shè)由（1）②可得。。的對(duì)稱弦尸。過點(diǎn)（L0）,則P在以。］為圓心1為半徑的圓上

運(yùn)動(dòng)，。在以。2為圓心2為半