作業(yè)08二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布

---積累瑪用-------

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布

在相同條件下重復(fù)做的在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件N發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次

定義n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件N發(fā)生的概率為0,此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，

重復(fù)試驗(yàn)記作X?B(n,p),并稱(chēng)p為成功概率

4(，=1,2,…，〃)表示第

計(jì)算，次試驗(yàn)結(jié)果，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件/恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)

公式PiA\AiAi...An)==C^pX1—p)n~k(k=0,1,2,...,n)

尸⑷尸(也)…尸(4)

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

(1)在求〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生人次的概率時(shí)，首先要確定好〃和后的值，再準(zhǔn)確利用公

式求概率.

(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分

布的試驗(yàn)次數(shù)〃和變量的概率，繼而求得概率.

2.兩點(diǎn)分布

X01

Pl-pp

這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列.

如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，而稱(chēng)〃=P(X=1)為成功概率.

3.超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件{X=心發(fā)生的概率

為尸(X=A)=魚(yú)C配&k=0,l,2,m,其中加=min{M,n},且於N,M<N,n,M,NGN*,稱(chēng)

C%

分布列為超幾何分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分

布.

X01m

ChC%—M

p

cwc%a

4.正態(tài)分布

正態(tài)曲線的特點(diǎn)

（1）曲線位于X軸上方，與X軸不相交；

（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對(duì)稱(chēng);

處達(dá)到峰值

（3）曲線在1

G/2兀

（4）曲線與x軸之間的面積為1；

（5）當(dāng)c一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

（6）當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由0確定，。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線

越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)

(l)P(/z—(J<X<JLI+<7)=0.6826；

(2)尸2K-+2(7)=0.9544；

(3)P(/z—3o<A^u+3cr)=0.9974.

wa鞏固提升練

一、單選題

1.已知隨機(jī)變量X。-N(0Q2),且尸(x20.2)=0.02,貝！1尸(一0.24X40.2)=()

A.0.04B.0.48C.0.5D.0.96

2.已知隨機(jī)變量乂,工分別服從二項(xiàng)分布W?3（〃，）,占?8（%,；）,若則下列結(jié)論正確

的是（）

A.。（乜）=。（超）B.￡＞（入）＜。（超）

C.。（工）＞。（凡）D.￡（人）＜現(xiàn)工）

-8(4,0),若尸(X21)=￡,則尸(X=2)=()

3.已知隨機(jī)變量X，

ol

44-832

A.-B.—C.—D.—

3272727

曲”）,若（）（）則彳=（）

4.已知隨機(jī)變量EX=|,OX=￡,

1-154

A.15B.—C.—D.—

15415

5.已知服從正態(tài)分布NJ"）的隨機(jī)變量在區(qū)間（〃一b,〃+cr）,（〃-2cr,〃+2b）和（〃-3cr,〃+3b）

內(nèi)取值的概率約為68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年級(jí)800名學(xué)生的某次考試成績(jī)X服從正態(tài)分

布N（80,152）,則此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間（65,110）內(nèi)的學(xué)生大約有（）

A.780人B.763人C.655人D.546人

二、多選題

6.已知隨機(jī)變量X~3（2,p）,且E（X）=§,則下列說(shuō)法正確的是（）

1O

A.p=-B.D[X）=-

C-D-E（2X+1）W

7.袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記

0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則（）

A.…（4,3B.P（X=2）=：

OQ

C.X的期望E（x）=§D.X的方差o（x）=§

8.某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn).部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分

次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn).記A表示事件

“某芯片通過(guò)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，8表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該款芯

片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)J服從正態(tài)分布N（5.40,0.052）,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取/個(gè)，這M個(gè)芯片中恰有加個(gè)

的質(zhì)量指標(biāo)J位于區(qū)間（5.35,5.55）,則下列說(shuō)法正確的是（）（若J?NJ。?），

P（"一cr<J<〃+cr）=0.6826,P（"-3cr<^<//+3cr）=0.9974）

A.P（B\A）>P（B）

B.P（A\B）<P（A\B）

C.尸（5.35<J<5.55）a0.84

D.尸（加=45）取得最大值時(shí)，M的估計(jì)值為53

三、填空題

9.一批產(chǎn)品的二等品率為0.3,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一件，并有放回地抽取4次，用X表示

抽到二等品的件數(shù)，則。[用=.

10.已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N（25,o.16）,其中X?[24.6,26.2]的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”,

則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為.參考數(shù)據(jù)：若則

P（/z-（7<X<//+cr）?0.6827,尸（4-2CT<X<4+2cr）?0.9545,尸（4一3b<X<〃+3cr）?0.9973

四、解答題

11.甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定誰(shuí)先贏3局誰(shuí)就直接獲勝，并結(jié)束比賽.假設(shè)每局甲贏的概率為

和棋的概率為J,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

4

(1)記X為3局比賽中甲贏的局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值

⑵求乙在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；

(3)求比賽6局結(jié)束，且甲贏得比賽的概率

12.為促進(jìn)物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速

道路.該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類(lèi)別的機(jī)

動(dòng)車(chē)共1000輛，對(duì)行車(chē)速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖，求。的值以及樣本中的這1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；

(2)設(shè)該公路上機(jī)動(dòng)車(chē)的行車(chē)速度服從正態(tài)分布NJ,。?)，其中〃，4分別取自該調(diào)查樣本中機(jī)動(dòng)車(chē)

的平均車(chē)速和車(chē)速的方差s2(經(jīng)計(jì)算$2=14.52).

(i)請(qǐng)估計(jì)該公路上10000輛機(jī)動(dòng)車(chē)中車(chē)速不低于85千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)(精確到個(gè)位)；

(ii)現(xiàn)從經(jīng)過(guò)該公路的機(jī)動(dòng)車(chē)中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)車(chē)速低于85千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)為X,求X的數(shù)

學(xué)期望.

B付注：若尸(〃一er<JW〃+。)=0.6827,P(/J-2cr<^<//+2cr)=0.9545,

尸(〃一3b<JW〃+3。)=0.9973.

帆能力培優(yōu)練

1.有30件產(chǎn)品，其中有10件次品，從中不放回地抽取10件產(chǎn)品，最可能抽到的次品數(shù)

是.

2.我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱(chēng)為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱(chēng)為正態(tài)隨機(jī)變量.

概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論：若隨機(jī)變量y~8(〃,0),當(dāng)〃充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y可以由正態(tài)

隨機(jī)變量X來(lái)近似地替代，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量y的期望和方差相同.

法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)在1733年證明了p=；時(shí)這個(gè)結(jié)論是成立的，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)

家拉普拉斯(1749-1827)在1812年證明了這個(gè)結(jié)論對(duì)任意的實(shí)數(shù)pe(O,l］都成立，因此人們把這個(gè)

結(jié)論稱(chēng)為棣莫弗一拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，利用正態(tài)分布估算硬幣

正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為（）

（附：若X~N（〃,cr2）,貝（尸（〃一（r4X4〃+cr）-0.6827,尸（〃一2CTVX?〃+2O■90.9545,

P（〃-3crWX4〃+3b）a0.9973）

A.0.99865B.0.97725C.0.84135D.0.65865

3.小明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)，他各記錄了10次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，10

次坐公交車(chē)所花的時(shí)間分別為7,11,8,12,8,13,6,13,7,15（單位：min）,10次騎自行車(chē)

所花時(shí)間的均值為15min,方差為1.已知坐公交車(chē)所花時(shí)間X與騎自行車(chē)所花時(shí)間丫都服從正態(tài)分

布，用樣本均值和樣本方差估計(jì)X,Y分布中的參數(shù)，并利用信息技術(shù)工具畫(huà)出X和F的分布密度

曲線如圖所示.若小明每天需在早上8點(diǎn)之前到校，否則就遲到，則下列判斷正確的是（）

A.坐公交車(chē)所花時(shí)間的均值為10,標(biāo)準(zhǔn)差為3

B.若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車(chē)，則有60%以上的可能性會(huì)遲到

C.若小明早上7：42出發(fā)，則應(yīng)選擇騎自行車(chē)

D.若小明早上7：47出發(fā)，則應(yīng)選擇坐公交車(chē)

4.大小、質(zhì)量相同的6個(gè)球，其中有4個(gè)黑球，2個(gè)白球.

（1）若從袋中任取3球，設(shè)3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望

（2）若從袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一個(gè)白球的情況下，取得兩個(gè)白球的概率

為？

5.某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，競(jìng)賽類(lèi)勵(lì)

規(guī)則如下：得分在［70,80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在［80,90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在［90,100）內(nèi)

的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)，為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的

競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

若該市所有參賽學(xué)生的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布其中〃為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,

利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：

(1)若該市共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績(jī)超過(guò)79分的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入

到整數(shù))；

(2)若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于1000。)隨機(jī)取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4

分以上的學(xué)生數(shù)為自，求隨機(jī)變量4的分布列和期望.

附參考數(shù)據(jù)，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,4)，則尸0.6827,

P(〃一2bWXW〃+2o?卜0.9545,尸(必一3crVXW〃+3cr”0.9973.

wa拓展突破練

i.某中學(xué)招聘教師分筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)，主考官要求應(yīng)聘者從筆試備選題和面試備選題中分別隨

機(jī)抽取各10道題，并獨(dú)立完成所抽取的20道題，每道題答對(duì)得10分，答錯(cuò)扣1分.甲答對(duì)筆試每

道題的概率為：，答對(duì)面試每道題的概率為;，且每道題答對(duì)與否互不影響.則甲得分的概率

最大.

2.全國(guó)新高考數(shù)學(xué)推行8道單選，4道多選的政策.單選題每題5分，選錯(cuò)不得分，多選題每題完全

選對(duì)5分，部分選對(duì)2分，不選得0分.現(xiàn)有小李和小周參與一場(chǎng)新高考數(shù)學(xué)題，小李的試卷正常，

而小周的試卷選擇題是被打亂的，所以他12題均認(rèn)為是單選題來(lái)做.假設(shè)兩人選對(duì)一個(gè)單選題的概

率都是!，且已知這四個(gè)多選題都只有兩個(gè)正確答案.

4

(1)記小周選擇題最終得分為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

(2)假設(shè)小李遇到四個(gè)多選題時(shí)，每個(gè)題他只能判斷有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，且小李也只會(huì)再選1個(gè)選

項(xiàng)，假設(shè)他選對(duì)剩下1個(gè)選項(xiàng)的概率是P。,(外？；)，請(qǐng)你幫小李制定回答4個(gè)多選題的策略，使得

分最高.

3.已知上學(xué)期間，甲每天7:30之前到校的概率為:，

(1)設(shè)M為事件“在上學(xué)期間隨機(jī)選擇三天，甲在7:30之前到校的天數(shù)恰為2天”，求事件M發(fā)生的

概率；

(2)已知乙每天7:30之前到校的概率為g,且甲、乙兩位同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立..

①在上學(xué)期間隨機(jī)選擇兩天，記X為甲7:30之前到校的天數(shù)，記F為乙7:30之前到校的天數(shù)，

4=求J的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②在上學(xué)期間隨機(jī)選擇〃天，若在這〃天中，甲7:30之前到校的天數(shù)多于乙，則記〃,,=1,否則記

為=0,分別比較。(7),。(機(jī))的大小和。(7)，。(%)的大小，直接寫(xiě)出結(jié)論.

W3仿真考場(chǎng)練

1.(2022?全國(guó)?高考真題)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2Q2),且p(2<X42.5)=0.36,貝?。?/p>

尸（X>2.5）=.

2.（2021?全國(guó)?高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,b2）,下列結(jié)論中不正確的是（）

A.。越小，該物理量在一次測(cè)量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9,10.2）與落在（10,10.3）的概率相等

3.（2023?全國(guó)?高考真題）（多選）在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到

1的概率為a（0<a<l）,收到0的概率為1-2；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為尸（0<〃<1）,收到1的

概率為1-考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次

傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)

即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯

碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為。（1-尸了

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡（1-<>+（1-￡）3

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼

為0的概率

4.（天津?高考真題）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為;.假定甲、乙兩

位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

（I）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

（II）設(shè)W為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到

校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

5.（全國(guó)?高考真題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)

品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根

據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為MO<P<1），且

各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求/（P）的最大值點(diǎn)Po；

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的P。作為〃的值.已知每

件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償

費(fèi)用.

（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求斯；

（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢

作業(yè)08二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布

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5.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布

在相同條件下重復(fù)做的在"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件”發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次

定義n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件/發(fā)生的概率為P，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，

重復(fù)試驗(yàn)記作X?2(”，p),并稱(chēng)p為成功概率

4(1=1,2，…,幾)表示第

計(jì)算，次試驗(yàn)結(jié)果，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)

公式2(44必3...4)==C^(l-j)F^=0,l,2,n)

。(4)尸(也)...尸(4)

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

(1)在求〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生4次的概率時(shí)，首先要確定好"和左的值，再準(zhǔn)確利用公

式求概率.

(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分

布的試驗(yàn)次數(shù)〃和變量的概率，繼而求得概率.

6.兩點(diǎn)分布

X01

pl-pp

這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列.

如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，而稱(chēng)p=P(X=l)為成功概率.

7.超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則事件{X=外發(fā)生的概率

為P(X=A)=C^^,左=0,1,2,m,其中加=min{Af,n},且於N,M<N,n,M,NGN*,稱(chēng)

分布列為超幾何分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分

布.

X01m

CM四CM瓶%

p

cwc飛a

8.正態(tài)分布

正態(tài)曲線的特點(diǎn)

⑴曲線位于X軸上方，一與X軸不相交；

（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；

（3）曲線在處達(dá)到峰值二?；

（4）曲線與x軸之間的面積為1；

⑸當(dāng)。一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

⑹當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由0確定，。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；c越大，曲線

越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)

（1）P（U-（T<^+O-）=0.6826；

（2）P（IZ-2CT<A<M+2（7）=0.9544；

（3）PC?-3<T<^?+3<T）=0.9974.

wa鞏固提升練

一、單選題

1.已知隨機(jī)變量X~N（0,02）,且尸（X之0.2）=0.02,貝I］尸（-0.2WXV0.2”（）

A.0.04B.0.48C.0.5D.0.96

【答案】D

【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可知，P（X>0.2）=P（X<-0.2）=0.02,

所以尸（一0.2<X<0.2）=1-尸（X20.2）-尸（XV-0.2）=1-0.02-0.02=0.96.

故選：D

2.已知隨機(jī)變量乂,占分別服從二項(xiàng)分布X1?3（4,；）,X2?3（%，；），若%>%，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.D（X1）=D（X2）B.D（^）<D（X2）

C.D（Xt）>D（X2）D.E（Xj<E（X2）

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式計(jì)算比較即可.

113113

【詳解】依題意，）=—x（1--）n。（丫2）=;x（l—=7%,而勺>%,

44x164416

因此。（乂）>。（入2）,AB錯(cuò)誤，C正確;

又E(XJ=；"|＞；%=￡(刀2)，D錯(cuò)誤.

故選：C

3.已知隨機(jī)變量X?8(4,川，若尸(X2l)=F，貝ij尸(X=2)=)

ol

,44—832

A.-B.—C.—D.

3272727

【答案】c

【分析】由二項(xiàng)分布的性質(zhì)，算出p=g,從而可解.

【詳解】因?yàn)閄?8(4,p),p(xwi)=曾，

所以尸(X=O)=1W，所以c?。。一”若，

O1O101

21

所以=所以p=§,

8

所以P(X=2)=C；

27

故選：C

4.已知隨機(jī)變量X~B5，p),若E(X)=g,D(X)=||，則彳=()

【答案】A

【分析】由隨機(jī)變量X~3(”,p)的期望和方差公式解方程組計(jì)算即可.

119

【詳解】因?yàn)槠?丫)=秋=丁D(X)=np(l-p)=—f

D(X\4

所以西二1一"=3‘

即p二(,所以〃=3,

n

所以一二15.

P

故選：A.

5.已知服從正態(tài)分布"(〃，人)的隨機(jī)變量在區(qū)間(〃-cr,〃+cr),(〃-2b,〃+2b"D(〃-3b,〃+3cr)

內(nèi)取值的概率約為68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年級(jí)800名學(xué)生的某次考試成績(jī)X服從正態(tài)分

布N(80,152),則此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間(65,110)內(nèi)的學(xué)生大約有()

A.780人B.763人C.655人D.546人

【答案】C

【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出尸（65<X<100）,即可估計(jì)人數(shù).

【詳解】依題意X~N（80,15?）,所以〃=80,b=15,

則65=〃-or,110=//+2<7,

所以尸（65<X<100）=尸（〃-cr<X<〃+2b）

—尸（〃-b<X<〃+cr）+尸（〃-2r<X<〃+）68.3%+95.4%_八。1”

=土mv.010J，

22

所以此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間（65,110）內(nèi)的學(xué)生大約有800x0.8185^655（人）.

故選：C

二、多選題

7

6.已知隨機(jī)變量X~3（2,p）,且E（X）=§,則下列說(shuō)法正確的是（）

1Q

A.p=-B.D（X）=§

C

-嗚一小巧D,E（2X+1）1

【答案】AD

【分析】由二項(xiàng)分布的期望公式可得A正確；方差公式可得B錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布的概率公式可求C

錯(cuò)誤；由期望公式可得D正確.

oo1

【詳解】A：因?yàn)殡S機(jī)變量X~3（2,p）,且￡（X）=：,所以2P=『p=§,故A正確；

124

B：D（X）=np（l-p）=2x-x-=—,故B錯(cuò)誤；

C：p]gwX41^=P（X=l）+尸（X=2）=C；xgxg+C；x]；J=|,故C錯(cuò)誤；

27

D：E（2X+1）=2E（X）+1=2X§+1=H,故D正確；

故選：AD.

7.袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記

0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則（）

B.尸(X=2)$

A.

C.X的期望￡（X）=|D.X的方差D（X）=]

【答案】ABCD

【分析】求出一次摸到黑球的概率，根據(jù)題意可得隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布列及

期望公式、方差公式求解即可.

【詳解】從袋子中有放回的取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等，

又每次取一個(gè)球，取到白球記0分，黑球記1分，故4次取球的總分?jǐn)?shù)相當(dāng)于抽到黑球的總個(gè)數(shù)，

又每次摸到黑球的概率為因?yàn)槭怯蟹呕氐厝?次球，所以故A正確；

尸(X=2)=C；x1|J故B正確；

OQ

根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式得E(X)=4x：=g,故C正確；

O1Q

根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式得O(X)=4x§x：=>故D正確.

故選：ABCD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?3(〃,p),P(x=k)=C,pkQ_py*,且有

￡(X)=np,Z>(X)=np(l-p).

8.某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn).部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分

次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn).記A表示事件

“某芯片通過(guò)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，8表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該款芯

片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)J服從正態(tài)分布N(5.40,0.052),現(xiàn)從中隨機(jī)抽取w個(gè)，這W個(gè)芯片中恰有加個(gè)

的質(zhì)量指標(biāo)4位于區(qū)間(5.35,5.55),則下列說(shuō)法正確的是()(若孑?N,,/),

P{/J,-<y<^<〃+b)=0.6826,P(4-3b<gv〃+3cr)=0.9974)

A.P[B\A)>P(B)

B.P(A\B')<P(A\B')

C.F(5.35<^<5.55)^0.84

D.尸(加=45)取得最大值時(shí)，”的估計(jì)值為53

【答案】ACD

【分析】直接利用題意判斷A；利用條件概率、全概率公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷B；利用正態(tài)分布的性

質(zhì)判斷C；設(shè)〃尤)=C?xO.8445xO.16i,由函數(shù)的單調(diào)性判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由題意尸(8|/)>P(2),故A正確；

對(duì)于B由P(A)-P(B\A)>尸(于?P(B),則P(AB)>尸(/)?P(B),

于是尸(48)>尸08〉[尸(48)+/(4初,即尸(48)-尸(48)尸(8)>尸0方g瓦),

P(AB}P(AB]P(AB)P(AB\

因此今軍>I1,即福會(huì)則尸N2>尸/⑻，故B錯(cuò)誤；

P(B)「尸⑻尸⑻尸⑻

對(duì)于C,尸(5.35<J<5.55)=尸(5.40-0.05<c<5.40+3x0.05)=尸(〃一cr<X<〃+3b)

P(u-CT<X<U+CT)+P(u-3(y<X<u+3cr)0.6826+0.9974..,,十3

=—---------------——-_------------------------x--------------------=0.8o4,故C正確；

22

對(duì)于D,m~B(M,0.S4),P(m=45)=x0.8445xO.16M-45,

設(shè)〃無(wú))=C,x0.8445x0.1615,

45X44

/(X+1)_C^X0.84X0.16-_Nx+1,

/(x)C^5X0.8445X0.16X-45X-44

解得》<詈它52.6,/(53)>/(52),

4545

/(x)C>0.84X0.16X-尤?

由-/、=-------------=0.16x-----------<1,

f(x-l)C^X0.8445X0.16X-46X-45

解得x>也375=53+4+,即/X53)>/(54),

77

所以P(〃z=45)取得最大值時(shí)，M的估計(jì)值為53,故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

9.一批產(chǎn)品的二等品率為0.3,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一件，并有放回地抽取4次，用X表示

抽到二等品的件數(shù)，則。[X]=.

【答案】0.84

【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，X-(4,0.3),所以。[X]=4x0.3x0.7=0.84.

故答案為:0.84

10.已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(25,0.16),其中Xe[24.6,26.2]的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”,

則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為.參考數(shù)據(jù)：若丫~^^(〃。2),則

尸(〃一crVXV〃+cr)20.6827,尸(〃一2cr<X<//+2cr)?0.9545,尸(〃一3cr<X<〃+3cr)?0.9973

21

【答案】0.84/|j

【分析】根據(jù)題意確定〃=25,b=0.4,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合已知區(qū)間的概率，即可求得答案.

【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從X~N(25,016),貝"=25。=0.4,

所以P(24.6VXK26.2)=P(25-0.4KX?25+3x0.4)=P(4-bVX?"+3b)

0.68270.9973八”

?---------+---------=0.84,

22

即抽到“可用產(chǎn)品''的概率為0.84.

故答案為：0.84.

四、解答題

11.甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定誰(shuí)先贏3局誰(shuí)就直接獲勝，并結(jié)束比賽.假設(shè)每局甲贏的概率為

和棋的概率為各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴記X為3局比賽中甲贏的局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值

⑵求乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；

（3）求比賽6局結(jié)束，且甲贏得比賽的概率

3

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，￡（X）=-

【分析】（1）依題意甲每局贏的概率為甲不贏的概率為利用二項(xiàng)分布的概

率公式得到分布列，從而求出期望；

（2）分乙前3局全勝和前3局只有一局不勝兩種情況討論，利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公

式求解即可；

（3）依題意6局中前5局甲只贏2局且至少平一局，第六局甲贏，利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的

概率公式求解即可.

【詳解】（1）由題知甲每局贏的概率為甲不贏的概率為:,

則丫~8。,￡|,X的可能取值為0,1,2,3,

所以尸(X=0)=(￡|=：

P(X=2)=C；x、mP(X=3)=0,

則X的分布列為:

X0123

1_331_

P

8888

1331313

所以頤X）=Ox—+lx—+2x—+3x—=—（或頤X）=3x—=—）；

8888222

13

（2）由題知乙每局贏的概率為：，乙不贏的概率為:，

44

因?yàn)橐以?局以內(nèi)（含4局）贏得比賽，

則分兩種情況：乙前3局全勝和前3局只有一局不勝，第四局乙勝，

所以乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率P=+

（3）由題知比賽6局結(jié)束，且甲贏得比賽，

應(yīng)要滿足：前5局甲只贏2局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲贏，

又每局甲贏的概率為:，和棋的概率為：，乙贏的概率為：，

244

故所求概率為鳥(niǎo)=5y[c；H+ctQJ+亡y]xr-.

12.為促進(jìn)物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速

道路.該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類(lèi)別的機(jī)

動(dòng)車(chē)共1000輛，對(duì)行車(chē)速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）試根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值以及樣本中的這1000輛機(jī)動(dòng)車(chē)的平均車(chē)速（同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；

（2）設(shè)該公路上機(jī)動(dòng)車(chē)的行車(chē)速度服從正態(tài)分布NJ。?），其中〃，人分別取自該調(diào)查樣本中機(jī)動(dòng)車(chē)

的平均車(chē)速和車(chē)速的方差$2（經(jīng)計(jì)算$2=14.52）.

（i）請(qǐng)估計(jì)該公路上10000輛機(jī)動(dòng)車(chē)中車(chē)速不低于85千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)（精確到個(gè)位）；

（ii）現(xiàn)從經(jīng)過(guò)該公路的機(jī)動(dòng)車(chē)中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)車(chē)速低于85千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)為X,求X的數(shù)

學(xué)期望.

附注：若P（〃-cr<JW〃+cr）=0.6827,尸（必一2。<JV〃+2（T）=0.9545,

尸（〃一3b<JV〃+3。）=0.9973.

【答案】(1)0.020,70.5千米/時(shí)

(2)(i)1587輛;(五)8,4135

【分析】(1)由頻率分布直方圖各矩形面積為1可列式求解然后由平均數(shù)公式運(yùn)算即可；

(2)(i)由題可得憶~N(70.5,14.52),則〃=70.5,<7=14.5,從而可算得相應(yīng)速度區(qū)間的概率即可;

(ii)由題算得丫~8(10,0.84135),從而由二項(xiàng)分布均值公式即可求解.

【詳解】(1)由(0.010x2+0.015x2+a+0.030)xl0=l,解得。=0.020.

v=(45x0.01+55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.015+95x0,01)x10=70.5^/0^.

(2)由(1)及題設(shè)知：V~N(70.5,14.5?),則〃=70.5,<7=14.5,

⑴Pe>85)=P(v>〃+b)=>P(〃-b<v4〃+b)=0.15865,

10000輛機(jī)動(dòng)車(chē)中車(chē)速不低于85千米/時(shí)的車(chē)輛數(shù)10000x0.15865.1587輛.

(ii)由⑴知:車(chē)速低于85千米/時(shí)的概率為尸=1-0.15865=0.84135,

故X~3(10,0.84135),.■.5(X)^10x0.84135=8.4135.

M能力培優(yōu)練

1.有30件產(chǎn)品，其中有10件次品，從中不放回地抽取10件產(chǎn)品，最可能抽到的次品數(shù)

是.

【答案】3

【分析】由超幾何分布計(jì)算何時(shí)概率最大可得對(duì)應(yīng)的次品數(shù).

【詳解】由題意，有30件產(chǎn)品，其中有10件次品，從中不放回地抽取10件產(chǎn)品,

則抽出的次品數(shù)X服從超幾何分布，設(shè)最可能抽到的次品數(shù)k,

「k-10-左\-k

JoJo〉JoWo

C'"-C)89121

3030

則,整理得到.-<k<—故左=3,

110^20〉jo5),乙。乙

-"T=dO_TdO

JoJo

故最可能抽到的次品數(shù)是3.

故答案為：3.

2.我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱(chēng)為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱(chēng)為正態(tài)隨機(jī)變量.

概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論：若隨機(jī)變量當(dāng)〃充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量丫可以由正態(tài)

隨機(jī)變量X來(lái)近似地替代，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量Y的期望和方差相同.

法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667-1754)在1733年證明了P=g時(shí)這個(gè)結(jié)論是成立的，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)

家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個(gè)結(jié)論對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，因此人們把這個(gè)

結(jié)論稱(chēng)為棣莫弗一拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，利用正態(tài)分布估算硬幣

正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為（）

（附:若貝I］尸（〃-+b卜0.6827,尸（〃-2bVXV〃+2o?b0.9545,

尸（〃-3bVXV4+3b）B0.9973）

A.0.99865B.0.97725C.0.84135D.0.65865

【答案】B

【分析】正態(tài)隨機(jī)變量X的均值方差可由二項(xiàng)分布的均值方差公式來(lái)近似，根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)運(yùn)算

即可得解.

【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，設(shè)硬幣正面向上的次數(shù)為X,

則丫~42500,曰,￡（丫）=秋=2500乂3=1250,0（町=刎1-0）=2500乂］（1-曰=625.

由題意且〃=E（X）=1250,4=0（X）=625=252,

因?yàn)槭āㄒ?（TVX4〃+2cr）20.9545,即尸（1250-2x25WXW1250+2x25）20.9545,

所以利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為

09545

P（XZ1200）=P（X21250-2X25卜+0.5=0.97725.

故選：B.

3.小明上學(xué)有時(shí)坐公交車(chē)，有時(shí)騎自行車(chē)，他各記錄了10次坐公交車(chē)和騎自行車(chē)所花的時(shí)間，10

次坐公交車(chē)所花的時(shí)間分別為7,11,8,12,8,13,6,13,1,15（單位：min）,10次騎自行車(chē)

所花時(shí)間的均值為15min,方差為1.已知坐公交車(chē)所花時(shí)間X與騎自行車(chē)所花時(shí)間丫都服從正態(tài)分

布，用樣本均值和樣本方差估計(jì)X,y分布中的參數(shù)，并利用信息技術(shù)工具畫(huà)出X和y的分布密度

曲線如圖所示.若小明每天需在早上8點(diǎn)之前到校，否則就遲到，則下列判斷正確的是（）

A.坐公交車(chē)所花時(shí)間的均值為10,標(biāo)準(zhǔn)差為3

B.若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車(chē)，則有60%以上的可能性會(huì)遲到

C.若小明早上7：42出發(fā)，則應(yīng)選擇騎自行車(chē)

D.若小明早上7：47出發(fā)，則應(yīng)選擇坐公交車(chē)

【答案】ACD

【分析】

由均值與標(biāo)準(zhǔn)差公式求解即可判斷A選項(xiàng)；由圖象結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷B、C、D.

【詳解】

對(duì)于A,坐公交車(chē)所花時(shí)間的均值為'（7+11+8+12+8+13+6+13+7+15）=10,方差

[[（7一+（11一⑼。+（8-10）2+（12-10『+（8一IO）。+（13一⑼?+（6一+（13-10『+

（7-10）2+（15-10）2]=9,標(biāo)準(zhǔn)差為3,故A正確；

由題意知，X?N（10,32）,y?N（15,F）,

對(duì)于B,若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車(chē)，有50%以上的可能性會(huì)超過(guò)lOmin,即8

點(diǎn)之后到校會(huì)遲到，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C、D,由題中的圖可知，尸（XV18）（尸（FV18）,尸（XV13））尸（FV13）,應(yīng)選擇在給定的時(shí)間內(nèi)不

遲到的概率大的交通工具，所以小明早上7：42出發(fā)，有18min可用，則應(yīng)選擇騎自行車(chē)，故C正

確；小明早上7：47出發(fā)，有13min可用，則應(yīng)選擇坐公交車(chē)，故D正確；

故選：ACD.

4.大小、質(zhì)量相同的6個(gè)球，其中有4個(gè)黑球，2個(gè)白球.

（1）若從袋中任取3球，設(shè)3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望

（2）若從袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一個(gè)白球的情況下，取得兩個(gè)白球的概率

為？

【答案】（1）分布列見(jiàn)詳解，E（X）=2

武

【分析】（1）由題意可知：X的可能取值為1,2,3,結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；

（2）記“至少取得一個(gè)白球”為事件“取得兩個(gè)白球”為事件8,求尸（⑷，P（AB