5.3誘導公式

【知識梳理】

知識點三角函數(shù)的誘導公式

公式―二三四五六

2E+a

71^+?

角兀+a~a兀-a2-ot

（止Z）

正弦sina-sina—sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina—sina

正切tanatana-tana—tana

口訣奇變偶不變，符號看象限

【基礎自測】

3

1.已知sin（兀+a）=亍且a是第四象限角，那么cos（a—7i）的值是（）

4443

A虧B.一5C.±5D.g

【答案】B

33

【詳解】因為sin（兀+a）=—sina=5,所以sina=一弓.

4

又a是第四象限角，所以cosa=5，

4

所以cos（a—7t）=cos（7i—a）=—cosa=—5.

2.已知sin（a—1）=；,則cos'+a）的值等于（）

2^22也11

A.^-B.-—C.gD.—g

【答案】D

、、(-)匹(匹［/01

【詳解】cos(4+aj=cos2+(a—4)=—sm^a—4j=-3?

3.sin585°=.

正

【答案】一2

【詳解】sin585°=sin(360°+180°+45°)

正

=-sin45°=—2.

4.化簡：sin(—a)cos(7i+a)tan(27r+a)=.

【答案】sin2a

sina

【詳解】原式=(—sina)(—cosa)tana=sinacosaCosa=sin2a.

5.sin2l°+sin22°+sin245°+sin288°+sin289°=.

5

【答案】，

【詳解】原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+sin245°

用15

=(sin210+cos21°)+(sin22°+cos22°)+2J2=l+l+2=2.

【例題詳解】

一、給角求值

例1計算下列各式的值.

(1)sin555+cos(—435)；(2)sin67+cos157+sin115—cos(-25).

【答案】(1)0；(2)0.

【解析】(1)利用誘導公式將代數(shù)式化為15的三角函數(shù)值，計算即可;

(2)利用誘導公式將代數(shù)式化為67和25的三角函數(shù)值，計算即可.

【詳解】(1)原式=sin(360+180+15)+cos435=-sinl5+cos(360+75)

=—sinl5+cos(90—15)=—sinl5+sin15=0；

（2）原式=sin67+cos（90+67）+sin（90+25）—cos25=sin67—sin67+cos25—cos25=0.

【點睛】本題考查利用誘導公式化簡計算，體現(xiàn)了化大角為小角、化異角為同角基本思想的應

用，考查計算能力，屬于基礎題.

跟蹤訓練1計算下列各式的值

12萬

（1）2cos30+log2—+tan--sinTI

（2）sin165cos15

【答案】⑴-2；（2）；

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算及誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值計算即可；

（2）直接利用二倍角的正弦公式計算即可.

=2x-2-tan--0「「

【詳解】⑴解：原式23=V3-2-V3=_2.

_J_sjn30°—]

（2）解：原式=sinl5Ocosl5。2~4.

二、給值（式）求值

例2（1）已知1€（0,下），若cos]?T=一號，貝Ijsin"?）的值為（）

A..叵B.正D.叵

Lr.--插--

4444

【答案】A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系計算出sin[?-。],

再由誘導公式計算可得.

故選：A.

I.3B,一也C.在D.一包

3333

【答案】B

【解析】設〃=則。=夕+9然后利用誘導公式求解即可.

66

【詳解】設/則&=〃+￡,

66

故si喑+"=sin爭嶗卜in?升一cos￡=—1.

故選：B

跟蹤訓練2已知"為銳角，若sin[a+|^=g,則sin(a+?卜——?

3

【答案】-1

【分析】根據(jù)a為銳角，可求出弓<[+?<￥，從而結合sin(*+：<9=s，nf可判斷出夕十方

3361

為鈍角，然后根據(jù)同角三角函數(shù)關系式可求出cos、+3=-3

再運用誘導公式即可求出

sin[+F)的值.

【詳解】因為。為銳角，所以+

336

XH^sin^+^=|<^=sin|,所以夕+方為鈍角，

所以cos[e+g)=一Jl-sin2[tz+1^=_g.

所以sin"g'in"m+3=cos"3=-g.

3

故答案為：-

5

三、化簡求值

例3已知“0=

⑴化簡”0;

⑵若a是第三象限角，且sin(a-%)=g,求"⑶的值.

【答案】⑴/⑻一儂叼⑵半.

【分析】⑴根據(jù)誘導公式直接化簡即可；

⑵由sin(a-%)=:,可以利用誘導公式計算出sina,再根據(jù)角所在象限確定cosa,進而得出結論.

【詳解】⑴根據(jù)誘導公式

sina?cosa?(-sina)

sin。?sina

=-cosa

所以7*(。)=一cos2；

⑵由誘導公式可知sin(a—?)=—sina,即sina=-(,

又。是第三象限角,

2A/6

所以cosa=-J1-sin2a=-

5

所以/(a)=.cosa=~^~

【點睛】本題主要考查誘導公式的運用，屬于基礎題.使用誘導公式時，常利用口訣〃奇變偶不變,

符號看象限〃進行記憶.

sin(—+a)+3sin(-4-a)

跟蹤訓練3已知/(?)=——-------------

2cos(-------a)-cos(5?-a)

(回)化簡/(①；(回)已知tana=3,求/(①的值.

【答案】(回)/(0=:sa+3sina；(回)？

-2smcr+coscr

cosa-3sin(〃+a)cosa+3sin。

【詳解】試題分析：(回’3…)"一2sina+cosa5分

2cos-COS("-a)

[2;

/「、「/、l+3tancr10八“八

(回)/9)="71=石=一21°分

考點：三角函數(shù)化簡求值

點評：三角函數(shù)化簡主要考察的是誘導公式，如$蟲+430-]|j卜sin。,

sing+，)=-cos，,cos(?-，)=sin6等，本題難度不大，需要學生熟記公式

四、誘導公式的綜合應用

Jl+2sin(5"-a)cos(a-兀)

例4(1)已知a為第二象限角，化簡

【答案】-1

【分析】直接利用誘導公式和同角三角函數(shù)關系化簡得到答案.

+2sin(5萬-a)cos(a-%)2a+cos2a-2sinacosa

sina-cosa

【詳解】cosa-Vl-cos2a

cos?-sina

故答案為：-1

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡，變換l=sin?a+cos2a是解題的關鍵.

(2)已知銳角a終邊上有一點A(2sin3,-2cos3),則a=,

【答案】3-j

【分析】利用三角函數(shù)的定義以及誘導公式，求得sina的值，根據(jù)a為銳角求得。的值.

ms3ccs3('TT)

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sina=幾73+4萩3=="3=sin13一耳),由于

所以所以々=3-

故答案為a=3-

【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，考查誘導公式，屬于基礎題.

跟蹤訓練4(1)已知。為第四象限角,化簡,J；+sin,-？+匕sin(2：+?=_________

\l+sm(?+a)\l-sin(-6z)

2

【答案】

cosa

【解析】利用誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系式化簡所求表達式.

【詳解】依題意a為第四象限角，所以

1+sin(乃一a)J1—sin(2"+a)1+sina+1-sincr

l+sin(?+a)vl-sin(-a)1-sincr1+sina

J(l+sina)2J(lsina『

----------------------+----------------------

-sinor)(1+sincr)J(1+sin6Z)(1-sin<7)

|l+sincr|^|l-sincr|_l+sina+l-sina_2

|coscr||coscr|cosacoscr

2

故答案為:

cosa

【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查誘導公式，考查化歸與轉化的數(shù)學

思想方法，屬于基礎題.

(2)在EABC中，若sin(2萬—A)=—0sin(?—5),A/3COSA=->/2cos(^-B),則A=

【答案】?

【分析】由條件利用誘導公式化簡可得：sinA=V^sin5,瓜osA=6cosB,兩式平方相加可解

出cosA,進一步求出角A.

【詳解】由sin(2?-A)=-Visin(?-5),得sinA=V5sin5(1).

由百cosA=-&cos(萬一5),得/cosA=0cos3(2).

22

由⑴2+(2)2得：sinA+3cos2A=2,即2cosA=1.

由⑵和為三角形的內角，可知角4,8均為銳角，則cosA4.

所以A=+

故答案為：-y.

4

【點睛】本題考查利用誘導公式化簡和同角三角函數(shù)間的基本關系，屬于中檔題.

【課堂鞏固】

1.已知5由[[+^1]=—9，貝I]cos(a—葛]二()

a「V?

AA/3rNA/6

3333

【答案】B

【分析】根據(jù)角的配湊，得cos，Wj=cos『a+V]_g]=sin(a+E),即可求解出答案.

\JL乙J\JL乙J乙x乙

[詳解]由題意，cos[a—1^]=cos+=sm(.a+^-)=-^-

故選：B.

2.已知cos（75°+a）=g,且—180°vcv-90°,則cos（15°—a）=（）

A.|B.」C.逑D.一遺

3333

【答案】D

【解析】由已知求得sin（75+c）=半，再由誘導公式可求得選項.

［詳解】因為COS（75°+可=1?，且-180°<=<-90°,所以-105°<75+?<-15°,所以sin（75+a）=-手，

又cos（15。-a）=cos［90-（75+&）］=sin（75+a）=-2f,

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：對于三角函數(shù)給值求值型問題，關鍵在于得出所求的角與已知角之間的

特殊關系，求解時，注意盡可能縮小角的范圍，以便確定三角函數(shù)的值的符號.

3.已知角。■，兀],角。?0,2兀），a終邊上有一點（—sin。,cos。），則￡=（）

A八兀c八3兀-兀一5兀

A.e+—B.0+一C.-D.—

2244

【答案】A

【分析】根據(jù)誘導公式及三角函數(shù)的定義可求也

【詳解】點（-sin。,cos。）到原點的距離為1,故（-sin。,cos。）即為（cosa,sina）,

由誘導公式得，（—sin0,cos6）=卜os\+q,sin（5+e））,

（71

cos—+”=cosa

,,12J

故（、，

sin[]+6J=sintz

又公0則結合0?0,2兀）可得e=0+].

故選：A.

4.若a是第三象限角，tan(g+a)=-1,則cos(g-a)=()

346

A—B.-C.D.」

5555

【答案】B

【分析】設。=￡+a,則cos(/-a)=cos(g-e+，)=sin。，由tan(￡+a)=-g可求得sin。值

366334

【詳解】設。=J+a,所以tan”-在嗎，

34cos6

由于sin29+cos?6=1,所以sin?9=

因為a是第三象限角，所以g+a為第三或第四象限角，

3

所以sin6<0,故sin6>=-1,

故選：B.

5.sin570的值是.

【答案】T

【分析】根據(jù)誘導公式直接求解即可.

【詳解】解：sin570=sin(360+210)=sin(180+30)=-sin30=-1

故答案為：

6.=萬］,b=tan/%則a,6的大小關系是(用">"連接)

【答案】a>b

【分析】先利用誘導公式將角化為，，5),即可求出值，得出大小.

a=tan\--7r=tan-4萬+一乃=tan—7i=-tan—=-1,

【詳解】I4J44

7ii2(7i/T

b=tan-7i=tan3%+一%=tan—TV=tanTI---=-tan—=-V3

3I3J3I3)3,

故答案為：a>b.

7.已知函數(shù)/(x)=aF+/?sinx+2("H0),若/(2019)=笈，貝lj『(-2019)=

【答案】4-k

【分析】利用指數(shù)累的性質及誘導公式得到f(x)+〃-x)=4,從而得解.

【詳解】因為/(x)=o?+6sinx+2(a6w0),易得定義域為R,

所以/(—x)=a(-x)3+匕sin(-尤)+2二一加-Z?sinx+2,

故/(x)+f(-x)=4,即/(x)=4—/(-%),

所以/(-2019)=4-”2019)=4-左.

故答案為：4-k.

8.已知鈍角a終邊上一點的坐標為(2sin4,-2cos4),則a=.

【答案】4-1

【分析】先根據(jù)任意角三角函數(shù)定義得到sina,再結合誘導公式及角的范圍得到a的值.

-2COS4..(.7l\仃

［詳解］因為smc=j(2sin4)2+(_2cos4)2=一311｝又因為角。為鈍角，所以a=

故答案為：4-1

9.利用公式求下列三角函數(shù)值：

(l)cos225°；

(4)tan(-2040°).

【答案】(1)(2)B(3)在(4)

222

【解析】利用誘導公式將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)，即可得到答案.

【詳解】⑴cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=-^~

Z

E.8〃.(.In.(左、.乃G

(2)sin—=sin12TT+1=sin=sin1r---=sin—=——；

3)32

c.(.16?.(cn\(.叫百

(3)sml———1=-sin=-sin15^+y1=--sin—=——;

13J2

(4)tan(-2040°)=—tan2040=-tan(6x36(—120°)=tanl20°=tan(180°—60°)

=—tan60=—y/3.

【點睛】本題考查誘導公式的應用,考查運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)在各個象限的符

號.

10.計算：

(1)sm[-彳J+cos"

/_、.7%5TT7i

(2)sin——+cos——+tan—.

224

【答案】(1)0；(2)0.

【分析】利用誘導公化簡求解即可

【詳解】解：(1)sin^+cos^=.-si，+c°s—@+@=O

4422

.7%5?n

（2）sin——+cos----Ftan—

224

n

=sin14%一+cosI2TTH—+tan—

I24

冗兀冗

--sin——i-cos—+tan—

224

=-1+0+1

二0

sin（兀一a）cos（2ji—a）tan（a+?i）

11.已知角a是第三象限角，且"0=

tan（-a-九）sin（一兀-a）

(1)化簡“0；

(2)若sin(a-7t)=；,求/'(a)的值；

(3)若a=-2310。，求的值.

【答案】(1)—cose(2)基(3)—

52

【分析】(1)由條件利用誘導公式與同角三角函數(shù)的基本關系化簡即可得結果；(2)由

條件利用誘導公式求得s%a=-g,根據(jù)角。是第三象限角，利用平方關系求得cosa的值，可得

/(a)=-cosa的值；(3)由e=-2310。=72x180。-150。，利用誘導公式以及特殊角的三角函數(shù)求

解即可.

sin（7i-a）cos（2TT-cr）tan（cr+兀）_sinacosatana

【詳解】(1)/(?)=二一cosi

tan（一a-兀）sin（一兀一a）-tanasina

(2)因為sin(a-冗)=一sina=g，所以sina=-g,

又角a是第三象限角，所以3a=-71萬豆=_半

所以/（a）=-cosa=

（3）因為a=-2310。=—12x180。-150。，

所以/（a）=-cosa=-cos（-2310°）=-cos（-150°）=-cos150°=

【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的關系以及誘導公式的應用，意在考查綜合應用所學知識

解答問題的能力，

屬于中檔題.這種題型難度度不大，卻容易出錯，特別利用誘導公式時要注意確保符號的正確

性.

12.已知〃為第二象限角，sinr-?j=--.

(1)求sina的值；

⑵若uJkJ,求/⑷的值.

J)一

-tan(-197i-a)sin(5?i-a)sin(7i+a)

34

【答案】⑴不(2)§

【分析】（l）由誘導公式以及同角平方和關系即可求解，（2）根據(jù)誘導公式化簡79）=*

sma

由第一問的結果代入即可求解.

714

【詳解】（1）sin~~a=cosa=--,因為a為第二象限角,

0sincr=Vl-cos2a=g

兀

COSatan(一%+a)cos(2?—。)(.、

~~7v7

⑵回\(sin。)tanacosa-cosa,

—tan(-19%-a)sin(5%-a)sin(乃+a)tanasina(-sina)sina

cosa4

0/(?)=-

sina3

【課時作業(yè)】

1.記cos(-80°)=左那么tan100°=

A.B.D.

kk

【答案】B

【詳解】cos(-80°)=3

.,.cos80從而sin80=71-cos280=-Jl-k2，

sin80y/l-k2

tan80

cos80k

那么tanlOO=tan(180-80)=-tan80

k

故選B.

34

AB-c.D.

-±1157

【答案】D

【分析】結合[一d+[a+f]/，根據(jù)誘導公式求解即可.

【詳解】解：因為=cos「-“=g，

所以sin"?)=sin[一夕)=cos^-a^|=|

故選：D

3.已知a為銳角，且cos(a+?)=-；,貝Ucos(e+[o=()

A.--B.1C.--D.—

2222

【答案】C

【分析】先由平方關系計算出sin(a+￡,再由誘導公式得出答案.

【詳解】由。為銳角得+f＜學，所以sin(a+f)=Jl_cos2(a+f)=g

4444V42

z3兀、.冗式、./兀、v3

cos(a+——)=cos(6ZH1——)=-sin(a+—)=----.

44242

故選：C.

4.已知/'(x)=a-sin3x+6私.COS3X+4(用工0且為實常數(shù))，若/(sinlO。)=5,則/(coslOO。)的值為

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先得到的解析式，然后可得F（x）+/（r）=8,再由誘導公式可得coslOO。-sinl。。,

所以可得〃sinl0o)+/(-sinl0o)=8,結合/卜吊10。)=5得到答案.

【詳解】因為〃x)=a-sin，+bV^.cos3x+4(而n0且為實常數(shù)),

所以/(-x)=a-sin3(-x)+b^x-cos3(-x)+4

=—asin3x-by/x-cos3x+4,

所以可得/(x)+〃f)=8,

ffjjcos100°=cos(90°+10°)=-sinl0°,

所以〃sinl0o)+/(cosl00。)=/(sinl0o)+/(—sinl0。)=8,

而“sinl()o)=5,所以可得〃coslOQo)=3,

故選C.

【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)的誘導公式，屬于中檔題.

5.已知tan。3,且，為第三象限角，則cos生）（）

A7n7「24c24

A.■-B.---C.—D.~

25252525

【答案】C

【分析】由題得cos《+/=-sin*再解方程嗎==，sin2e+cos汩=1,即得解.

12）cos07

【詳解】由題得=-sin%

7sin。

因為tan”?,所以嗎——,cos。=

7cos”724

7

因為sin20+cos20=1,sin2。+(五sin6)2=l,

74

因為。為第三象限角，所以sin，＜0,;.sind=-1|.

所以《?倡+”=||.

故選：C

3

COS6Z-COS6Z_

6.已知tana=3,貝！J(兀)()

I2j

A3c33-3

A.——B.-C.——D.一

441010

【答案】D

【分析】利用三角函數(shù)誘導公式，結合同角的三角函數(shù)關系將原式化簡，即可求得答案.

cos3cr-coscrcos3a-cosa(cos2a-1)cosa

【詳解】因為tana=3,則(兀)-sina-sina

cosa+—

I2J

sinacosa_tanor_3

cos2a+sin2a1+tan2a107

故選:D.

z、IsinTLX,x<0

7.已知=的值為（)

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】利用分段函數(shù)的解析式及誘導公式，分別求得的值，由此得到結果.

sinTLX,X<0

【詳解】因為〃x）=

/(x—1)—l,x>0

故選：c.

8.有一個內角為36。的等腰三角形被稱為黃金三角形，它的較短邊與較長邊之比為黃金分割比

往二L由上述信息可求得sin234。的值為（）

2

AA/5+1nA/5—1r—y[5—1n1—小

2244

【答案】C

【分析】作出ABC,其中NA3C=36,AB=AC,計算出cos36,然后利用誘導公式可求得sin234

的值.

【詳解】在ABC中，ZABC=36,AB=AC,取3C的中點E,連接AE,如下圖所示：

由題意可知且空=*=避二1,

BC2BE2

grP)/AWBE1A/5+1

所以,cos36=cosZABE==—j=——=----,

ABV5-14

所以，sin234=sin(270-36)=-cos36

故選：C.

9.已知cos(45°+a)=(，貝I]cos(135°—a)=.

【答案】一《

【分析】由誘導公式直接可得.

【詳解】因為3(45。+0=:

所以cos(135°-cr)=cos[180°-(45°+?)]=-cos(45°+a)=—得.

故答案為：

/八、cos(6-2%)

,1,COS(7T+e)-------7-------------r-------------------------------7--------------

10.已知sin(3〃+e)==,貝U3萬、(0、.「3?1二

''3cos8[cos(萬一6)—“sinIn6^-Icos(^--sinI—+I

【答案】18

【分析】由已知求得sine,再由誘導公式及同角三角函數(shù)基本關系式化簡求值.

【詳解】由sin(3)+6?)=g,可得sinO=-g,

cos(乃+。)cos(。一2?)

0cos0cos7r+01+

[()-]sin^-^Cos(0-7r)-sin^+^

一cos。cos。

----/-------r----2------

cos^（-cos0-l）-cos+cos0

112

-------1-------=----------------

1+cos。1-cos。（1+cos6）（1-cos。）

J2_2J_1Q

1-cos*sin*'

故答案為：18.

11.已矢口函數(shù)/（無）=tan尤一左sin尤+2（左eR）,若=

【答案】5

【分析】利用誘導公式即可求解.

【詳解】解：因為函數(shù)/（x）=tanx-左sin尤+2（EwR）,

所以/[?J=tan?-人in?+2=-l即tan——A;sin-=-3,

33

所以/

故答案為：5.

12.已知角。的終邊經(jīng)過點（3,4）,將角a的終邊繞原點。順時針旋轉會得到角夕的終邊，則tanQ=

【答案】

【分析】先由三角函數(shù)的定義求得sin/cosa,再利用誘導公式求得sin￡,cos￡,進而求得tan?

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點（3,4）,

所以一歷不=5,則sina=；《,cos”：5

又因為角a的終邊繞原點。順時針旋轉會得到角夕的終邊，故”

所以sin；0=sin[a—工]=-cosa=--,cos0=cos|cr--|=sin6Z=—,

3

.,°sinB53

故tg礪

44

5

故答案為：

13.(1)求值：sin(-90°)+3cos00-2tan1350-4cos300°.

(2)已知角a的終邊上一點尸(租，-6,且cosa=,求加值.

【答案1(1)2；(2)〃?=0或，九=±V3.

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導公式與特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2