人教A版數(shù)學(xué)一高考解析幾何復(fù)習(xí)專題一

知識(shí)點(diǎn)一求橢圓中的最值問(wèn)題

22

典例1、如圖，橢圓會(huì)+會(huì)二?〉。〉。）的左、右焦點(diǎn)為用鳥(niǎo)，過(guò)耳的直線/與橢圓相交于

A、B兩點(diǎn).

（1）若//片瑪=60。，且麗?麗=0求橢圓的離心率.

（2）若。=亞,6=1,求耳?豆的最大值和最小值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓￡：W+!=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳耳，橢圓后的離心率為3,

oTb~2

且通徑長(zhǎng)為L(zhǎng)

（1）求￡的方程；（2）直線，與￡交于〃，“兩點(diǎn)（M,、在x軸的同側(cè)），當(dāng)RMUFR

時(shí)，求四邊形月月八〃飲面積的最大值.

2

典例2、已知橢圓「：/+彳=1（0>1）與拋物線C：/=2加5>0）有相同的焦點(diǎn)尸，拋物

a

線C的準(zhǔn)線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，且以叫=1.

（1）求橢圓「與拋物線C的方程；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)廠的直線/交橢圓「于“，N兩點(diǎn)，求△。血W面積的最大值.

22

隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系位中，橢圓C*+會(huì)=1（°>6>0）的離心率為1過(guò)點(diǎn)

（0,73）,且ABACV

是橢圓C的內(nèi)接三角形.

（1）若點(diǎn)2為橢圓C的上頂點(diǎn)，且原點(diǎn)。為ASW的垂心，求線段的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)B為橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，且原點(diǎn)。為AWN的重心，求原點(diǎn)。到直線上W距離的

最小值.

典例3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，（班,0）,5（-V6,0）,過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線4與過(guò)

點(diǎn)2的動(dòng)直線4的交點(diǎn)為R4,4的斜率均存在且乘積為-g，設(shè)動(dòng)點(diǎn)F的軌跡為曲線

C.

（1）求曲線。的方程；（2）若點(diǎn)必在曲線。上，過(guò)點(diǎn)〃且垂直于神的直線交。于另一

點(diǎn)N,點(diǎn)〃關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為Q.直線府交x軸于點(diǎn)T,求?四|的最大值.

22

隨堂練習(xí)：對(duì)于橢圓^+4=1（。>6>0），有如下性質(zhì)：若點(diǎn)戶（飛,九）是橢圓外一點(diǎn)，PA,

ab

總是橢圓

的兩條切線，則切點(diǎn)48所在直線的方程是岑+咨=1,可利用此結(jié)論解答下列問(wèn)題.

ab

已知橢圓。：K+且=1和點(diǎn)尸（4,過(guò)點(diǎn)。作橢圓。的兩條切線，切點(diǎn)是4B,

43

記點(diǎn)48到

直線尸。（。是坐標(biāo)原點(diǎn)）的距離是4，d2.

（1）當(dāng)y3時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）求」等的最大值.

]I2

知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

22（、萬(wàn)、

典例4、已知橢圓。邑+4=1（.>6>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2收，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)T半.

（1）求。的方程；（2）過(guò)點(diǎn)尸（1,0）斜率互為相反數(shù)的兩條直線4,4分別交橢圓。于4

8兩點(diǎn)（48在x軸同一側(cè)）.求證：直線N8過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).

22

隨堂練習(xí)：已知橢圓。：宗+方=1伍>6>0）過(guò)點(diǎn)/（2,1）,過(guò)右焦點(diǎn)為作X軸的垂線交橢

圓于N兩點(diǎn)，且=

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)尸，。在橢圓C上，且的「見(jiàn)0=；.證明：直線尸。恒

過(guò)定點(diǎn).

典例5、已知橢圓。。+91(?>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)其右頂點(diǎn)為/。⑼.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點(diǎn)P、0在橢圓C上，且滿足直線/尸與/。的斜率之積為卷，證明直線P0經(jīng)過(guò)

定點(diǎn).

22

隨堂練習(xí)：已知少是橢圓。冬+與=1("6>0)的左焦點(diǎn)，焦距為4,且。過(guò)點(diǎn)尸(①1).

ab

(1)求。的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)少作兩條互相垂直的直線，，12,若，與。交于N,8兩點(diǎn)，A與C交于〃E

兩點(diǎn)，記N8的中點(diǎn)為弘龍的中點(diǎn)為“試判斷直線惻是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)

求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

典例6、已知橢圓T,3+占=l（a>b>0）經(jīng)過(guò)以下四個(gè)不同點(diǎn)中的某三個(gè)點(diǎn)：4（1,1）,

ab

222o

（1）求橢圓T的方程；

（2）將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的近倍，橫坐標(biāo)不變，得到橢圓反已知〃,

2

N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0,1）,（0,T）,點(diǎn)戶是直線y=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線FAf,FN

分別交橢圓￡于G,H（G,〃分別異于M,N點(diǎn)、）兩點(diǎn)，試判斷直線GH是否恒過(guò)定點(diǎn)？

若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

隨堂練習(xí)：已知橢圓c：的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，直線/：x=l與C的兩個(gè)交點(diǎn)和。，B構(gòu)成一個(gè)面積為標(biāo)的菱形.

（1）求C的方程;

(2)圓E過(guò)。，B,交/于點(diǎn)A/,N,直線/M,NN分別交C于另一點(diǎn)尸，Q.

①求如也°的值；②證明：直線尸。過(guò)定點(diǎn).

人教A版數(shù)學(xué)一高考解析幾何復(fù)習(xí)專題一答案

7

典例1、答案：(1)V3-1;(2)最大值]；最小值T.

解：(1)???福?麗=0,/.AF{A_AF2因?yàn)?/月鳥(niǎo)=60。。所以44月片=30。，所以

|AFX|=c,|AF21=A/3C,

(2)由于。=0,6=1,得c=l,則片(-1,0),8(1,0).

①若垂直于x軸，貝1]/(-1,*),3(一1,一孝)，所以月1=(_2，5)，碓=(-2,-孝),

一---?——?17

所以,鳥(niǎo)8=4_5=5

②若與X軸不垂直，設(shè)直線的斜率為左，則直線A8的方程為kHx+1)

得(1+2左2)X2+4后2尤+2(左2-1)=0

A=8產(chǎn)+8>0,.?.方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

設(shè)"5'")'爪為…+々=一各'"2=安

(再一1,弘),FB=(%-I,%)

F2A=2

2222

F2A-F2B=(%j-l)(x2-1)+y1y2=-l)(x2-1)+A:(Xj+l)(x2+1)=(l+k)x1x2+(k—1)(玉+x2)+l+k

2(-1)4斤27左2-179

=(1+/)+(左2-1)(---------7)+1+左2

1+2421+2人2，1+2/2-萬(wàn)―2(1+2/2)

A：2>0,l+2F>1,0<—^<1

]+2/

________7___?__?7

:.F2A-F2B^[-\,^\,所以當(dāng)直線/垂于X軸時(shí)，印取得最大值Q

當(dāng)直線/與x軸重合時(shí)，亭?亭取得最小值-1

隨堂練習(xí)：答案：⑴。⑵2.

a2a=2

r2

解：(1)依題意可知上5解得6=1故橢圓的方程為,+/=：!.

a2=b2+c2

(2)延長(zhǎng)孫交￡于點(diǎn)M),由(1)可知公(一百,0),居(6,0),

x=my-\/3

由2

設(shè)必西,乂),以儀,%),設(shè)旃的方程為x=7孫-后,k2?得+4^-2V3my-l=0,故

——+V=1

14

28加

弘+%二加2+4

1

設(shè)片M與￡N的距離為"，則四邊形月月MW的面積為S,

s=；(EM+優(yōu)此

0|d=SvMF2M()9

又因?yàn)?/p>

]]_______________4A/^J加2+14\/-3

=2

S&MF2MoT.I百巴卜|乂-'2|=亍2"|m-刃="^(%+%)~-4乂%W+4Jm2III3

4c、

-=2,

當(dāng)且僅當(dāng)標(biāo)±=74=7,即m=時(shí)，等號(hào)成立，故四邊形4月M0面積的最大值為

7m+1

2.

2

典例2、答案：(1)橢圓「的方程為：/+匕=1,拋物線C的方程為：X2=4V3V；(2)

4

最大值為1.

解：（1）因?yàn)閨/同=1,所以不妨設(shè)A的坐標(biāo)為（-3,-9，2的坐標(biāo)為G，-

12

+P_1

所以有：，/.a2=4,p=2-73,

八1上

4

???橢圓「的方程為：Y+=1,拋物線c的方程為：，=4百了；

4

（2）由（1）可知：下的坐標(biāo)為：（0,6）,

|0.A:+0x(-l)+V3|73

設(shè)直線/的方程為：y=kx+也，。至U肱V的距離為d,貝ljd=

H+1

[d:可得：(/+44+26履-1=0,貝1)|郎|=病工.勺5=噌卻,

聯(lián)立

x4—1左+4左+4

4

2省42+1

SQMN4

一一行+高

當(dāng)且僅當(dāng)/=2時(shí)取等號(hào),故△aw面積的最大值為1.

隨堂練習(xí)：答案：。）警（2）①

2

2

b=vya=4

解：（1）設(shè)焦距為2c,由題意知：b23=a2廿=3

c_1c=1

7

22

因此,橢圓c的方程為：

由題意知：BOLMN,故AGV//X軸，設(shè)則N（-x,y）,x2=4-1/,

BM-ON=-x2+y2-43y=^y2-^y-4=0,解得：了=石或—述,

37

B,/不重合，故了=一手，X2而132，故,,MN=2.區(qū).二4A/號(hào)33

（2）設(shè)中點(diǎn)為。，直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，。為△%W的重心，則

BO=1OD=OA,

當(dāng)斜率不存在時(shí)，點(diǎn)。在X軸上，所以此時(shí)點(diǎn)2在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)處

由|。同=2,則=則。到直線跖V的距離為1；

當(dāng)MV斜率存在時(shí),設(shè)上W：y=kx+m,脛（再,必）,N（無(wú)2，刈），

x+xy+y

則。x2x2,所以/（國(guó)+X2，乂+%）,

22

=$+左=&+々）一+（%+%）一=],即3尤也+4%%=—6

434343

2

也即3再工2+4（村+m）（Ax2+加）=一6（4左之+3）再々+4加左（七+x2）+4m+6=0

y=kx+m

貝U（4/+3）/+Smkx+4m2-12=0

3X2+4/=12

-4mk±213（4儲(chǔ)+3—冽2

A=48（4^2+3-m2）>0,

x=---------------------

4r+3

-Smk4777—12/?>汰—二,曰2<32THk2Ai2n

則：%+超=不馬=——、---，代入式子得：8om-6--------=0,4m=4k+3

4左2+34左2+34左2+3

設(shè)。到直線.的距離為，，則八強(qiáng)十左=0時(shí),

綜上，原點(diǎn)。到直線時(shí)距離的最小值為g.

⑵丁

解：（1）設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）（xw土指）,

?.?定點(diǎn)/（訪0）,5（-76,0）,直線川與直線P3的斜率之積為-;,

fxf」?*.——+=l（xW+V6）

X+A/6X-Y/6263

2222

（2）設(shè)〃（才0，幾）,。（-%o，-%），則+=

22

所以左.左弘一乂）必+Jo_必一為

^NQ?MN一22

%1-XQ再+%oX]-XQ2

又G%=T,所以［二1,又即％=普，則直線加：了+%=普（尤+x。）,

2x（）zx°zx（）

y-%=-（x-x）

033

直線TW：>-%=-1（%-%）,由<，解得了；即打二

%）+%=^~（x+x（））

所以5網(wǎng)=「^卜林，岡=*占=%F

令4-%』，貝打41，4）,所以|0斗沖|=（"一?（4-）=132-7八2]

因?yàn)椤?詈2，1尸=8日當(dāng)且僅當(dāng)"=：即"ge（l,4）時(shí)取等號(hào),

所以|二|?|孫的最大值為用也；

隨堂練習(xí)：答案：（1）V-（2）垣.

712

解：（1）當(dāng)"3時(shí)，直線方程為x+y=l,聯(lián)立，得方-8》-8=0.

88

設(shè)/（尤1，必），8（尤2,%），貝1）占+、2=1，X[X[=-〒則

|AB|=血上一引=3J（X[+x）2-4X]X=24

22T

（2）直線/B：x+|y=1,即x=-；y+l,直線O尸：了=%.

設(shè)/（再*）,8（心％），則|48|=l+glfl'

,..%-4印+%-4月啊-4乂）-他-4%）|（『+12版-月

,廣~~3^+16

I皿則機(jī)"刈J（r+9M』6）

記加=

4+d2d]+d2，2+12

法一：常規(guī)換元法

A2、1Cmil，（5-3）（5+4）52+5-12121,1Y49/4<

令s"+12,S212,貝IJ—==^=下+”一2上萬(wàn)卜而，

m達(dá),當(dāng)S=24即=±2百時(shí)取得等號(hào)，則｝等的最大值是述.

12?1+?212

法二：分離常數(shù)法

入25-44=]+）

m,顯然7=0時(shí)不取得最大值,

「+24/+144/+24/+144

71―1-7/—

i-t.iin—1H--------------z-?1H------------=—7J3

12

貝Jr2124114424+2V14448,m<-^~

t12

當(dāng)f=±2百時(shí)取得等號(hào)，則）幻的最大值是速.

?1+?212

2

典例4、答案：（1）1+/=1；（2）證明見(jiàn)解析，（2,0）.

22

解：⑴由題意得2a=2也，得a=6,所以橢圓方程為：三+方=匕

將卜1'等1代入橢圓方程得：U=i‘解得"=1'故橢圓。的方程為1+「=1

（2）證明：由題意可知直線48的斜率存在，設(shè)直線N8的方程為尸6+%

__Ip2_1

聯(lián)立2,得（1+2/）/+4屆》+2帆2-2=0.

y=kx+m

設(shè)48的坐標(biāo)分別為（為,"）,仁,％）,則

A=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=16A:2-8w2+8>0,

且西+無(wú)2=-當(dāng)^,項(xiàng)尤2=冽二，因?yàn)橹本€4,4斜率互為相反數(shù)，即原，+怎B=。，

所以‘則%（X2T）+%（XIT）=0,即

再一1/一］

{kxx+m）（x2-l）+（Ax2+m）［xx-1）=0,

即2的/一（左—加）（匹+/）—2加=0,所以2h網(wǎng)二十（左—加）—2加=0,化簡(jiǎn)

1+2左21+2左

得m=-2k,

所以直線42的方程為了=丘-2左=曲廠2）,故直線過(guò)定點(diǎn)（2,0）

22

隨堂練習(xí)：答案：（1）2+-=1（2）證明見(jiàn)解析

o3

解：⑴由已知得當(dāng)x=c時(shí)，\MN\=.瓜,又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)/（2,1）,則*+'=1,

聯(lián)立解得［::，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+J1；

［8=363

1y—1V—11

（2）證明設(shè)點(diǎn)尸（無(wú)1，%）,。（尤2,%）,因?yàn)槿?七2=工，即」^=

3再一1%—zJ

即（西-2）卜-2）-3（%-1）（%-1）=0.*當(dāng)直線尸。的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為

y=kx+m.

代入橢圓方程消去V得（2〃+l）/+4?x+2/-6=0,A>0,%+x2=^p

2m2-6

根據(jù)必=近1+加，%=生+加.代入*整理，得

（1一3左2）再次2-（3加+2-3左）（石+/）+l+6m—3m2=0,

結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，機(jī)2-2（4左+3加-5（4左2.1）=0.

即-5（2k+1）］+（2k-1）］=0,當(dāng)機(jī)=_（2后一1）時(shí)，

直線方程為了=h+小=履-2后+1=左（》-2）+1.過(guò)點(diǎn)/（2,1）,不符合條件.

當(dāng)機(jī)=5（2月+1）時(shí)，直線方程為y=b+5（2左+1）=斤口+10）+5,故直線P。恒過(guò)定點(diǎn)

(-10,5).

當(dāng)直線P。的斜率不存在時(shí)，令點(diǎn)尸（國(guó),必），。（冷-凹）此時(shí)（x「2y+33=0,

又耳+￥=1?可得%=T。（舍去）或蒼=2.當(dāng)x=2時(shí)，與點(diǎn)A重合，與已知條件

63

不符，

??.直線尸。的斜率一定存在，故直線尸。恒過(guò)定點(diǎn)（-10,5）.

丫2

典例5、答案：（1）-+v2=l（2）證明見(jiàn)解析

4

解：（1）由題意可知，4=2,將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得3,[A],可得6=1,

4b2

因此，橢圓C的方程為1+「=1.

（2）證明：若PQU軸，則點(diǎn)P、。關(guān)于x軸對(duì)稱，則直線/尸與也關(guān)于x軸對(duì)稱,

從而直線N尸與的斜率互為相反數(shù)，不合乎題意.

設(shè)直線尸。方程為尸弱+加，設(shè)點(diǎn)尸（占,弘）、。（尤2,%），

y=kx+m

聯(lián)立可得（4左之+1）%2+8Amx+4加之一4=0,A=64*2m2-16(4?t2+l)(m2-l)>0,

x2+4y2=4

可得/<4左2+1,

由韋達(dá)定理可得芯+馬=-&，%％=第二，因?yàn)?/p>

+14k+1

,,二1%(g+加)(生+切)=1

APAQ-

~xx-iX2-2~(^-2)(%2-2)20)

2

整理可得(20左2-ljxjX2+(20AOT+2)(X]+x2)+20m—4=0,

即(20〃T)(4/一4)一8加(20km+2)+碗一4=0,化簡(jiǎn)得/_而_6二=0

4k2+i一

即（優(yōu)+2月）（機(jī)-3左）=0,可得=-2斤或加=3左.

當(dāng)加=-2左時(shí)，直線尸。的方程為了=左（》-2）,此時(shí)直線尸。過(guò)點(diǎn)A,不合乎題意;

當(dāng)根=3左時(shí)，直線尸。的方程為片（+3）,此時(shí)直線尸。過(guò)定點(diǎn)（TO）,合乎題意.

隨堂練習(xí)：答案：⑴⑵過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（字

a2=b2+4

解：(1)依題意2c=4,c=2,由《31[解得a=娓,b=6,所以橢圓c的方程為

F=1

22

土+L=1.

62

(2)由題意知，當(dāng)4,4其中一條的斜率不存在時(shí)，另外一條的斜率為0,此時(shí)直線

為x軸;

當(dāng)4%的斜率都存在且不為。時(shí)，設(shè)4：X=WV-2(7M^0),

x=my-2

設(shè)JI),3(%2,%),聯(lián)立<工2y2,整理得(/+3)/-4叫-2=0,

[62

4加~2

A=16m2+8(m2+3)>0,%+%=—~7，乂%=—~7，

m+3m+3

12

貝lj尤i+x2=m{yx+j^2)-4=,所以48的中點(diǎn)M[1公,

m+3+3m+3,

1r

x-------y—z.,z：2c、

同理由X。；,，可得O'的中點(diǎn),二，/T，貝I

62

2m2m

加2+3+3加2+i=4一

66m23(m2-1)9

m2+?>3w2+1

所以直線MV的方程為廣工=宕，卜+人),

4m2m4m

化簡(jiǎn)得X—

m2-13(m2-1"J

故直線恒過(guò)定點(diǎn)屋,o1綜上，直線"N過(guò)定點(diǎn)(-*o).

22

Xy_1/1\

典例6、答案：(1)T+T=1；(2)直線G8恒過(guò)定點(diǎn)0,5.

解：(1)由題意可得4C一定在橢圓上，即5+*=1①，若8在橢圓上，貝1)5+白=1

②，

由①②可得與1+3彳=1,不存在，所以〃在橢圓上，可得△Q+表21=1,③，

a24a36b

4,Z-1

由①③可得力=4,b2=^,所以橢圓的方程為：T+T-1；

3

(2)將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的正倍，橫坐標(biāo)不變，

2

設(shè)￡上的點(diǎn)為：(xj),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)("/),由題意可得了=*_/,x=x',所以x'=x,

,2

y

所以￡的方程：+今=1,設(shè)/（加,2）,G（x，M），H（x,y）,k=—,k=—

4122MFmNFm

i3

所以直線的方程為：y=—x+1,直線2VF的方程y=—x-1,

mm

’1

y=-x+41

聯(lián)立直線與橢圓的方程「2機(jī)整理可得（4+蘇）尤2+8蛆=0,

%.21

22

rrri—Smm-4日口c-8mm-4

所以龍匚石版'必=在版'即G

4+m24+m2

y=-x-1

7

聯(lián)立直線AT與橢圓的方程：＜2m整理可得（36+加2）%2—24冽x=0,

X.2Y

2>

24m36—JTI口口jrr24m36-m

所以、2=V%=—即〃

36+%36+療36+m2.

m2-436-m2

~7~.一T2(m4-144)m2_ii?Z

所以直線G8的斜率為:4+加36+加_\w

-8m24加--32m(m2+12)—16m

4+m236+m2

所以直線曲的方程為一一號(hào)=m2-12f8m

-------------1+------------7

16mI4+m

整理可得了=一生?乜x+L,當(dāng)x=0,了=；所以直線G"恒過(guò)定點(diǎn)（。,口.

16m2272）

221

隨堂練習(xí)：答案：（1）土+匕=1（2）①-1②證明見(jiàn)解析

429

解：（1）因?yàn)橹本€/：x=l與C的兩個(gè)交點(diǎn)和O,2構(gòu)成的四邊形是菱形，

所以/垂直平分05,所以*2,0）,。=2.

設(shè)。（1/。）為直線/與C的一個(gè)交點(diǎn)，則菱形的面積為gx2x|2%|=2聞.

I—（后、

因?yàn)榱庑蔚拿娣e為布，所以2同=而，解得為=±理，即。1,土丹

2I27

將點(diǎn)。1,±*代入?yún)s普=1,得二+2=1，又因?yàn)?=4,所以從=2.

l

（2Jaba2b

故。的方程為片+丈=1.

42

（2）①由題意，得。8為圓￡的一條弦，且直線x=l垂直平分該弦，

故直線x=l經(jīng)過(guò)圓心E,所以VN為圓E的直徑，因此/MON=90。，即而.而=0.

設(shè)/(LW)，N(1/N),貝|VMJN=T.

注意到L=與，心N=半，則L也LT、一

又因?yàn)樽?〃=幻尸，Kv=G，所以L也°=-7?

9

②易知直線尸。不可能平行于x軸，則設(shè)直線p。的方程為x=叩+%aw-2),尸(再,弘),

。(%2，歹2).

x=my+1,

由一/得(加2+2)y2+2mty+t2-4=0

142

A=4m2/2-4(療+2)，2_4)=8(2m2+4-產(chǎn))>0,(*)

2mt必所以3V.J^=__L

必力=t21.①因?yàn)槿?尸Z7,A

m+2國(guó)+24+2'^X1+2X2+29

pn---------------------=—pn-------------------------------5——

9

(my1+Z+2)(my2+/+2)9'2yLy2+機(jī)?+2)(必+%)+。+2)~1

Z2-41

將①代入L式得2402./,/,Q\2/2-Q)

m(/—41—,(，+2)+(/+2)ITTZ+21，

，一2114

化簡(jiǎn)得正0=一§,解得”岸滿足(*),

所以直線尸。的方程為X=/n.V+14,故直線加過(guò)定點(diǎn)仁,0).

人教A版數(shù)學(xué)一高考解析幾何復(fù)習(xí)專題二

知識(shí)點(diǎn)一橢圓中三角形(四邊形)的面積，求橢圓中的最值問(wèn)題，橢圓中的定值問(wèn)題

r22?/7

典例1、已知焦點(diǎn)在x軸的橢圓C：二+2=1(6>0),離心率方竽，［是左頂點(diǎn)，E(2,

16b5

0)

(I)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若斜率不為0的直線1過(guò)點(diǎn)E,且與橢圓。相交于點(diǎn)P,0兩點(diǎn)，求三角形APQ

面積的最大值

隨堂練習(xí):已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)網(wǎng)丸,0）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,碼.

（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上有一點(diǎn)夕，另一焦點(diǎn)￡,求△口耳的面積的最大值.

22

典例2、已知橢圓C:*+A=l（"6>0）的左右焦點(diǎn)為綜與，且陽(yáng)周=4,直線/過(guò)招且與

ab

橢圓C相交于48兩點(diǎn)，當(dāng)月是線段的中點(diǎn)時(shí)，恒倒=孚.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)線段N8的中點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，設(shè)線段N2的中垂線與x軸交于點(diǎn)N,與了軸交于

點(diǎn)尸，。為橢圓的中心，記AOW的面積為幾A/PM的面積為邑，當(dāng)去取得最大值時(shí),

求直線/的方程.

22

隨堂練習(xí)：已知橢圓G：a+方之伍〉?！?。)的左右焦點(diǎn)分別為%F2,右頂點(diǎn)為A,上

頂點(diǎn)為B,。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，31=2儂|

(1)若△明片的面積為46，求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)過(guò)點(diǎn)尸(1,0)作斜率M左＞0)的直線/交橢圓G于不同兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)P在橢圓的內(nèi)部,

__*______V

在橢圓上存在點(diǎn)。，使。出+麗=而，記四邊形OMQN的面積為W，求箕的最大值.

k

典例3、已知橢圓C：，4=l("b＞0)過(guò)點(diǎn)四仁，并且離心率為e=^.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)橢圓。和圓。：/+/=1.過(guò)點(diǎn)/(私0)(加＞1)作直線4和右，且兩直線的斜率之積

等于1,4與圓。相切于點(diǎn)尸，，2與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，N.

(i)求加的取值范圍；(ii)求AOMV面積的最大值.

丫2

隨堂練習(xí)：已知橢圓C:?+/=1的左，右頂點(diǎn)分別為4B,直線尸。交橢圓。于R0兩

點(diǎn)，直線尸。與

x軸不平行，記直線4P的斜率為燈直線2。的斜率為％2，已知/=2L

(1)求證：直線產(chǎn)。恒過(guò)定點(diǎn)；(2)設(shè)△/尸。和V2PQ的面積分別為幾$2,求|岳-邑|的

最大值.

知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

(L22

典例4、已知/(2,0),B6,-三是橢圓￡：++今=1(°>6>0)上的兩點(diǎn).

(1)求橢圓￡的方程.

(2)若直線/與橢圓￡交于C,〃兩點(diǎn)(C,〃均不與點(diǎn)4重合)，且以線段切為直徑

的圓過(guò)點(diǎn)4問(wèn)：直線/是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn),

請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

隨堂練習(xí)：已知橢圓氏=+4=1(〃>6>0)過(guò)點(diǎn)8(0,1),1為其左頂點(diǎn)，且直線N8的

ab

斜率為1

(1)求夕的方程；(2)不經(jīng)過(guò)8點(diǎn)的直線,與￡相交于C,〃兩點(diǎn)，若兩直線8C,BD

的斜率之和為T,求直線/所過(guò)的定點(diǎn).

22

典例5、已知橢圓C:1r+3=1(4>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,0)和點(diǎn)2可也,1).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（2）若A、B為橢圓C上異于點(diǎn)”的兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在以為直徑的圓上，求證：直線

恒過(guò)定點(diǎn).

隨堂練習(xí)：已知橢圓c：E+m=gb>0）過(guò)點(diǎn)[W],且離心率為正.

（1）求該橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)弘過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)直線/與橢圓。交

于48兩點(diǎn)，使得二77+市）？為定值？如果存在，求出點(diǎn)〃坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

22(

典例6、已知橢圓］+方=1(〃>6>0)過(guò)點(diǎn),橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為4,4,點(diǎn)9

坐標(biāo)為(4,0),忸4|,|44|,|尸為成等差數(shù)列.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若對(duì)斜率存在的任意直線/與橢圓恒有團(tuán)N兩個(gè)交點(diǎn)，且兩.麗=12.證明：直

線1過(guò)定點(diǎn).

隨堂練習(xí)：已知橢圓C：1+/1(。>6>0)過(guò)點(diǎn)G，斗且點(diǎn)/到橢圓C的右頂點(diǎn)的

距離為叵.

2

(1)求橢圓c的方程；

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/：y=〃(左>0,加<0)與。交于〃，N兩點(diǎn)，記線段仞V

的中點(diǎn)為R連接冰并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)。，直線x=6交射線8于點(diǎn)R,且?|。用=,

求證；直線/過(guò)定點(diǎn).

人教A版數(shù)學(xué)一高考解析幾何復(fù)習(xí)專題二

/7

典例1、答案：（1）記+可=1（2）空19

55

222—1

解：（1）,"==="-?=3,，=，,a=4,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為n+訪-1；

aa555—

（2）設(shè)直線1的方程為廣研+2,代入橢圓方程得（1+5）/+4町-12=0,

—4加一12

設(shè)夕（和必），。（乙,力）,貝7,^2=-r

5+m5+m

I.三角形N凰面積為：s」回y「y2|」x6.J（甸―（二+5）（吧=12〃病+15,

21111212m2+5m2+5

人〃=,4加2+15,"G［A/T5,+CO）5==—48

令z?+5J

u+—

U

?/函數(shù)戶x+*在［V15,+oo）上單調(diào)遞增

x

...當(dāng)尸而，即蛇。時(shí)，三角形如”的面積取最大值竽.

22

隨堂練習(xí)：答案：⑴一+3=1（2）2

42

{b=41

解：⑴因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為網(wǎng)￡o）且過(guò)但碼，所以二夜

22

所以/=〃+。2=4,Z?2=2,所以橢圓方程為：一+J=1;

42

（2）因?yàn)橐灾袷资鷮~=拒|詞，

因?yàn)閷Oe卜逝,逝］,所以（5哂心=0'夜=2,此時(shí)0點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處

22

典例2、答案：（1）土+二=1（2）片±0（》-2）

62

解：（1）由于陽(yáng)閭=4,所以2c=4,則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為&（2,0）,

當(dāng)x=2時(shí)，代入橢圓方程為廣名，故當(dāng)心是線段N5的中點(diǎn)時(shí)，止匕時(shí)刈」無(wú)軸,

a

故以同=乎=