中南財經(jīng)數(shù)學競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$的對稱軸是（）A.$x=-1$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$2.若$a\gtb$，則下列不等式成立的是（）A.$a^2\gtb^2$B.$ac\gtbc$C.$a-c\gtb-c$D.$\frac{1}{a}\lt\frac{1}$3.等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_3=5$，則公差$d$為（）A.1B.2C.3D.44.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在5.曲線$y=x^3$在點$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.46.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(-1,m)$，若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$，則$m$的值為（）A.2B.-2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$7.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，則$\cos\alpha$的值為（）A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$-\frac{3}{4}$8.圓$(x-1)^2+(y+2)^2=9$的圓心坐標是（）A.$(1,-2)$B.$(-1,2)$C.$(1,2)$D.$(-1,-2)$9.函數(shù)$y=\log_2(x+1)$的定義域是（）A.$(-1,+\infty)$B.$[-1,+\infty)$C.$(0,+\infty)$D.$[0,+\infty)$10.從5名男生和3名女生中選2人參加活動，恰好選到1男1女的概率是（）A.$\frac{15}{28}$B.$\frac{5}{14}$C.$\frac{3}{14}$D.$\frac{2}{7}$二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列等式正確的是（）A.$\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB$B.$\cos(A-B)=\cosA\cosB+\sinA\sinB$C.$\tan(A+B)=\frac{\tanA+\tanB}{1-\tanA\tanB}$D.$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$3.對于二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），當$a\lt0$時（）A.圖象開口向下B.函數(shù)有最大值C.對稱軸為$x=-\frac{2a}$D.與$y$軸交點在$x$軸下方4.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有（）A.$1,2,4,8,\cdots$B.$1,-1,1,-1,\cdots$C.$2,2,2,2,\cdots$D.$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\cdots$5.直線$Ax+By+C=0$（$A$、$B$不同時為0）的斜率可能是（）A.$-\frac{A}{B}$（$B\neq0$）B.不存在（$B=0$）C.$\frac{A}{B}$（$B\neq0$）D.06.已知集合$A=\{1,2,3\}$，集合$B=\{2,3,4\}$，則（）A.$A\capB=\{2,3\}$B.$A\cupB=\{1,2,3,4\}$C.$A\subseteqB$D.$B\subseteqA$7.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=x^2$8.計算定積分$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx$，其結果可能用到的公式有（）A.$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$）B.$\intkdx=kx+C$（$k$為常數(shù)）C.$\int_{a}^F^\prime(x)dx=F(b)-F(a)$D.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$9.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$）的性質有（）A.長軸長為$2a$B.短軸長為$2b$C.焦距為$2c$（$c^2=a^2-b^2$）D.離心率$e=\frac{c}{a}$（$0\lte\lt1$）10.已知事件$A$、$B$，則（）A.$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)$B.若$A$、$B$互斥，則$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$C.若$A$、$B$相互獨立，則$P(A\capB)=P(A)P(B)$D.$P(\overline{A})=1-P(A)$三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若函數(shù)$f(x)$在$x=x_0$處可導，則$f(x)$在$x=x_0$處連續(xù)。（）3.直線$y=2x+1$與直線$y=-\frac{1}{2}x+3$垂直。（）4.若$\{a_n\}$是等比數(shù)列，$a_1=1$，公比$q=2$，則$a_5=16$。（）5.$\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}$。（）6.函數(shù)$y=2^x$是增函數(shù)。（）7.圓$x^2+y^2=4$的面積是$4\pi$。（）8.若向量$\overrightarrow{a}=(1,1)$，$\overrightarrow=(-1,-1)$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行。（）9.不等式$x^2-2x+1\gt0$的解集是$x\neq1$。（）10.概率為0的事件是不可能事件。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$的極值。答案：對$f(x)$求導得$f^\prime(x)=3x^2-6x$，令$f^\prime(x)=0$，即$3x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$。當$x\lt0$時，$f^\prime(x)\gt0$；$0\ltx\lt2$時，$f^\prime(x)\lt0$；$x\gt2$時，$f^\prime(x)\gt0$。所以極大值$f(0)=2$，極小值$f(2)=-2$。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=11$，求其通項公式$a_n$。答案：設公差為$d$，由$a_n=a_1+(n-1)d$，$a_5=a_1+4d$，即$11=3+4d$，解得$d=2$。所以$a_n=3+(n-1)\times2=2n+1$。3.計算$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$。答案：根據(jù)積分公式$\int\frac{1}{x}dx=\lnx+C$，則$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{2}=\ln2-\ln1=\ln2$。4.求過點$(1,2)$且與直線$2x-y+1=0$平行的直線方程。答案：已知直線斜率為$2$，所求直線與之平行，斜率也為$2$。由點斜式$y-y_0=k(x-x_0)$，可得$y-2=2(x-1)$，整理得$2x-y=0$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x^2}$的單調性。答案：函數(shù)定義域為$x\neq0$。對$y$求導得$y^\prime=-\frac{2}{x^3}$。當$x\lt0$時，$y^\prime\gt0$，函數(shù)在$(-\infty,0)$上遞增；當$x\gt0$時，$y^\prime\lt0$，函數(shù)在$(0,+\infty)$上遞減。2.在三角形$ABC$中，已知$\sinA=\frac{1}{2}$，討論角$A$的取值。答案：因為在三角形中，$0\ltA\lt\pi$，且$\sinA=\frac{1}{2}$，所以$A=30^{\circ}$或$A=150^{\circ}$。當$A=30^{\circ}$時，為銳角三角形的一種情況；當$A=150^{\circ}$時，為鈍角三角形的一種情況。3.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過圓心到直線的距離$d$與圓半徑$r$比較，$d\ltr$時相交，$d=r$時相切，$d\gtr$時相離；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程得方程組，消元后看判別式$\Delta$，$\Delta\gt0$相交，$\Delta=0$相切，$\Delta\lt0$相離。4.討論等比數(shù)列前$n$項和公式在不同公比情況下的應用。答案：當公比$q=1$時，等比數(shù)列前$n$項和$S_n=na_1$；當公比$q\neq1$時，$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$或$S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}$。根據(jù)具體題目中所給條件，判斷公比情況選擇合適公式計算前$n$項