重難點培優(yōu)01集合、常用邏輯用語中的參數(shù)及新定義問題

目錄

01知識重構(gòu)?重難梳理固根基....................................................1

02題型精研?技巧通法提能力....................................................2

題型一集合與元素的關(guān)系（★★）.....................................................2

題型二集合的包含關(guān)系（★★★）.....................................................4

題型三集合的交并補運算及容斥原理（★★★★）.........................................4

題型四集合的新定義（★★★★★）.....................................................5

題型五常用邏輯用語中的參數(shù)問題（★★★★）...........................................7

03實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效....................................................9

檢測I組重難知識鞏固................................................................9

檢測n組創(chuàng)新能力提升...............................................................11

01..

知識重構(gòu)?重難梳理固根基

一、集合常用結(jié)論

1、若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空子集有2"-1個，非空真子集

有2”—2個.

2、空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

3、AQBOAB=B=BoCuBqCuA.

4、g（A3）=（。%）1（C*）,Cu（4B）=（gA）（C*）.

5、容斥原理：在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，常用Venn圖表示兩集合的交、

并、補。如果用card表示有限集合元素的個數(shù)，即card（A）表示有限集A的元素個數(shù)，則有如下結(jié)論：

（1）card（AB）—card（A）+card（B）-card（AB）

（2）card（ABC）=card（A）+card（B）+card（C）-card（AB）-card（BC）-card（AC）+card（ABC）

二、集合中的新定義問題

1、集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合的知識

加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題.

2、集合中的新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運算規(guī)則.按照新的運算規(guī)則，結(jié)合數(shù)學(xué)中

原有的運算和運算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進行計算或邏輯推理等，從而達到解答的目的.

3、集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.我們通過可以結(jié)合相應(yīng)的集

合概念、關(guān)系、運算等相關(guān)知識，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題.

4、集合新定義問題處理步驟

①找：要抓住新定義的本質(zhì)一一新定義的要素，首先找出新定義有幾個要素，少一個都不是“新的定義”

哦；然后找出要素分別是什么

②看：看所求是什么？

③代：將已知條件代入新定義的要素

④解：結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答

三、從集合的角度理解充分必要性

若條件p,q以集合的形式出現(xiàn)，即A={x|p(x)},B-{x\q(x)],

則由可得，p是q的充分條件，

(1)若A室3,則p是g的充分不必要條件；

(2)若則p是q的必要條件；

(3)若4義8,則p是q的必要不充分條件；

(4)若A=8,則p是4的充要條件；

(5)若且則p是q的既不充分也不必要條件.

充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要

不充分條件；若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；

02

題型精研?技巧通法提能力

?題型一集合與元素的關(guān)系?

【技巧通法?提分快招】

與集合含義及其表示有關(guān)的問題的解題技巧

（1）明確集合的類型，即確定集合是數(shù)集、點集，還是其他集合.

（2）理清集合中的元素滿足的限制條件，確定元素的屬性.

（3）注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性，確定集合元素的個數(shù).

（4）理清描述法表示的集合中相關(guān)字母變量的取值范圍及條件.

1.（24-25高三上?北京通州?期中）設(shè)集合4={（羽丫）,一/\1,。2彳+丫＞3,無一初《2},則（）

A.對任意實數(shù)a,（2,1）"B.對任意實數(shù)a,（2,1）eA

C.當(dāng)且僅當(dāng)。＞1時，（2,1）eAD.當(dāng)且僅當(dāng)。＜0時，（2,1）任4

22

2.（2025?廣東揭陽?二模）已知集合A=（x,y）3+,則A中元素的個數(shù)為（）

A.7B.9C.11D.13

3.（24-25高三下?河北保定?模擬預(yù)測）已知集合4={,無2+2024工+2025=0},

8=卜|（爐+以）（尤2+46+4）=（）},記非空集合S中元素的個數(shù)為|S|,已知||A|-網(wǎng)1=1,記實數(shù)a的所有

可能取值構(gòu)成集合是T,則171=（）

A.5B.3C.2D.1

%

4.（2025?河南新鄉(xiāng)?三模）（多選題）已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若元,yeM，則二eM；②若,

y

則x+yeM.下列說法中正確的有（）.

A.-leM.B.2025eM.

C.若尤,yeAf,則型eM.D.若則x-yeA/.

5.（2024?遼寧丹東?一模）若爐-80為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為.

6.（24-25高三上?上海?期中）如圖，線段相交于。，且A6,AD,8C,8長度構(gòu)成集合

(1,3,5,尤｝,ZABO=NDCO=90°,則x的取值個數(shù)為

題型二集合的包含關(guān)系

【技巧通法?提分快招】

根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法

已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時，要明確集合中的元素，對含參數(shù)的集合是否為空集進行分類討論，做

到不漏解.

①若集合中的元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解，此時注意集合中元素的互

異性.

②若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）求解，此時注意檢驗端點

值能否取到

1.（2025?遼寧本溪?模擬預(yù)測）己知集合&={尤€可（》-2）（彳-3）40},3={可6一2=0},若AB=A,則a

的取值構(gòu)成的集合為（）

A.{0}B.{0,1}C.D.

2.（24-25高三上?江蘇?模擬預(yù)測）已知集合出={討/—2x—3<0},N={x|/一。<0},若集合McN=N,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-oo,l]B.(-oo,9]C.[1,9]D.[1,3]

3.（24-25高三上?河北承德?模擬預(yù)測）已知集合人={乂一2<%410},B={x|l-m<x<l+m}.若

8c時A）=0,則實數(shù)，"的取值范圍為()

A.(-oo,3]B.(-8,9]C.(一8,3][9,+8)D.[3,9]

1

4.（24-25高三上?上海?期中）設(shè)aeR,〃x）=<X-a==無eR},若存在實數(shù)%eA,

x2—2x,x>a.

則a的取值范圍是.

5.（24-25高三上?安徽?期中）已知集合人={（尤,丫）|/+丫3+2.=4},集合2={（x,y）［尤+y</},若

A^B,則M的最小值為,N的最大值為.

?題型三集合的交并補運算及容斥原理?

【技巧通法?提分快招】

利用集合的運算求參數(shù)的方法

（1）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值的取舍.

（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）求解.

［注意］在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證（滿足集合中元素的互異性）.

1.（2025.新疆喀什二模）已知集合A=0x42},B={x|x2-2x-3>0）,C={x|x>a}且4隗可C=R,

則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-l,+oo）B.（-oo,3）

C.D.（-oo,3］

2.（24-25高三下?陜西西安?模擬預(yù)測）已知全集0=此集合A={x|x=2匕4wN},3={X歸=4匕笈eN},

則（）

A.AB=AB.A-^B=0

C.A<JdbB=UD.板口VB=U

3.已知全集U,集合N滿足M=N=U,則下列結(jié)論正確的是（）

A.MuN=UB.（^W）n（UN）=0

C.Mc&N）=0D.（軻）J（°N）=0

4.（24-25高三上?北京?期中）“運動改造大腦”，為了增強身體素質(zhì)，某班學(xué)生積極參加學(xué)校組織的體育特

色課堂，課堂分為球類項目A、徑賽項目民其他健身項目C.該班有25名同學(xué)選擇球類項目A,20名同學(xué)選

擇徑賽項目S18名同學(xué)選擇其他健身項目C；其中有6名同學(xué)同時選擇A和員4名同學(xué)同時選擇A和C,

3名同學(xué)同時選擇8和C.若全班同學(xué)每人至少選擇一類項目且沒有同學(xué)同時選擇三類項目，則這個班同學(xué)

人數(shù)是（）

A.51B.50C.49D.48

5.（24-25高三上?上海徐匯?開學(xué)考試）2024屆歐洲杯以西班牙奪冠圓滿結(jié)束，小明統(tǒng)計了其所在班級50

名同學(xué)中支持德國，西班牙，英格蘭的人數(shù)，每人都至少支持其中一個隊伍，有15人這二支隊伍都支持，

18人不支持德國，20人不支持西班牙，16人不支持英格蘭，則同時支持兩支隊伍的同學(xué)的人數(shù)為

6.已知滿足AB={1,2,3,4,,9},AB={n,n+1,；2n}（〃?^且三4）的有序集合組（A,B）的個數(shù)

為32,則“=.

?題型四集合的新定義?

【技巧通法?提分快招】

解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵點-

（1）準確轉(zhuǎn)化：解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求

進行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.

（2）方法選取：對于新定義問題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)

性質(zhì)求解.

1.（24-25高三上?北京海淀?開學(xué)考試）設(shè)集合M={（和三,三,%）1%€{0，1}"=1，2,3,4}.對于集合M的子集A,

若任取A中兩個不同元素（%,%，為，%），（4/2/3,z”），有%+%+%+%=Z1+Z2+4+Z4,且乂+4，%+Z2，

%+z3，y4+z”中有且只有一個為2,則稱A是一個“好子集”.下列結(jié)論正確的是（）

A.一個“好子集”中最多有3個元素B.一個“好子集”中最多有4個元素

C.一個“好子集”中最多有6個元素D.一個“好子集”中最多有8個元素

2.（24-25高三上?上海?期中）已知集合”={（尤,￡1丫=〃尤）},若對于任意實數(shù)對（小乂）€",存在

使占3+%%=。成立，則稱集合M是“垂直對點集”.給出下列四個集合：

①M=1（x,y）|y=：1；

②M={（羽y）|y=log2x}；

③航={x,y）|y=2X-2}

@M={（x,y）|y=sinx+l}；

其中是“垂直對點集”的序號的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

3.（24-25高三上?北京?模擬預(yù)測）設(shè)集合X是實數(shù)集R的子集，如果％eR滿足:對任意a>0,都存在xeX,

使得0<|x-%|<a,稱/為集合X的聚點，則在下列集合中，以。為聚點的集合有（）

①{尤IxeR,xH0}②{x|xeZ,xH0}

（3）|x|x=—,neN*j④卜|x=—eN*j>

A.①②B.①③C.②③D.①③④

4.（23-24高三下?江西南昌?模擬預(yù)測）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為七的所有整數(shù)組成一個“類”，記

為因，即因={5〃+H“CZ}#=0,1,2,3,4,則下面選項正確的為（）

A.2025e[3]

B.-2G[2]

C.Z=[0]u[l]u[2p[3]u[4]

D.整數(shù)a、b屬于同一“類”的充分不必要條件是““-be[0]”

5.（24-25高三上?江西南昌?期中）已知有窮數(shù)列4,%,“（*4）的各項均為正整數(shù)，記集合

M=jx|x=-1^,l<z<j<?>的元素個數(shù)為card(M).

(1)若數(shù)列{叫為1，2,4,8,試寫出集合“，并求card(M)的值；

⑵若{%}是遞增數(shù)列且cardW)=7Ll,求證：{叫是等比數(shù)列;

6.(2025?山東臨沂?二模)對集合A8,定義集合AB={x\x^A,x^B^x^B,x^A\,記因為有限集合X

的元素個數(shù).

(1)若4={1,2},3={2,3,4},求4小

⑵給定集合S={1,2,3,4}的子集M,求集合{X|XuS,|X..叫=1}的元素個數(shù)；

(3)設(shè)A氏C為有限集合，證明：\A^C\<\A^B\+\B^€].

7.(2025?湖北?模擬預(yù)測)已知集合”={1,2,,〃},“eN*,A、B是M的非空子集.記集合4+3={(尤+y)

除以〃的余數(shù)|尤eA、€耳.若正整數(shù)"滿足：存在非空集合A、B,使得A+3兩兩的交集為空集，且

AB(A+B)={0,l,2,.,n-l},貝U稱〃為“好的”.

(1)設(shè)4={1},B={2,4},當(dāng)〃=5時，求A+B,并直接判斷〃=5是否為“好的”；

(2)證明：〃=8是“好的"，〃=16是“好的”；

⑶求所有“好的”正整數(shù).

8.(2025?湖北武漢?二模)已知集合4=「卜=加+也〃,meZ,wez),集合2滿足3=卜cA且工eA

⑴判斷2+6，3-73,0,7+4月中的哪些元素屬于3；

(2)證明：若%yeB,則取￡3；

(3)證明：若x=m+6neB,則/一3/=i.

?題型五常用邏輯用語中的參數(shù)問題?

【技巧通法?提分快招】

1、充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意:

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的

不等式(組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠

取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易漏解或增解.

2、根據(jù)命題的真假求參數(shù)的值（范圍）的思路

與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)的取值范圍問題，本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決此類

問題時，可以直接求解，也可以利用等價命題將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組），

再通過解方程（組）或不等式（組）求出參數(shù)的值或范圍.

1.（2025?北京?二模）設(shè)平面向量。與6不共線，匕seR,則“〃+我與s0+2b共線”是“s左=2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2025?河北秦皇島?一模）已知2>0,集合4=卜9-5》一6<0},3={龍毆-/1）（》-2彳）<0},若xeA是

xeB的必要不充分條件，則X的取值范圍為（）

A.（0,3）B.（0,3]C.（0,2）D.（0,2]

Izjr-1

3.（23-24高三下?河北滄州?模擬預(yù)測）若。"=1,4：函數(shù)〃尤）=ln—^為奇函數(shù)，則"是4的（）

十K

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2025?寧夏銀川?二模）若命題：“Va/eR,都有a-cos6>b-cosa”為真命題，則。涉的大小關(guān)系為（）

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

5.（24-25高三下?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）已知命題〃:±eR,a=|sinx|+|cosx|為假命題，則。的取值范圍為

（）

A.（―℃,—1）IJ（1,+℃）B.（―co,—I+oo）

C.（-OO,1）LJ（72,+OO）D.（-oo,-l）J（72,+OO）

6.（24-25高三上?浙江杭州?期中）已知/（x）=7〃（x-2nj）（x+7〃+3）,g（x）=3*-3,若命題“\笈€艮/0）<0或

g（x）<0"為真命題，則m的取值范圍是（）

A.B.（-4,0）C.D.[-肘

03

實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效

?檢測I組重難知識鞏固?

1.已知集合A=刊省20卜3={x|x=2sine,eeR},則Q（AuB）=（）

A.（-2,2）B.（2,4）C,（2,4]D.（1,4）

2.已知集合A={x|—2Vx45},B={x|7〃+1V尤4—1},且_Bw0,若命題P：“VxeeA”是真命題，則

m的取值范圍是（）

A.[-3,3]B.[2,3]C.（-3,3）D.（2,3）

3.已知集合&={X€川/+依+2=0}有且僅有1個真子集，則實數(shù)。的取值集合為（）

A.同-2夜Va420}B.卜20,2&}

C.（2A/21D.,|。卜2忘或

4.（24-25高三下?北京海淀?期中）己知集合M=卜卜=也+：,左eZ，，N=[卜=當(dāng)+巳,左eZ,,則（）

A.M=NB.M口NC.NjMD.McN=0

5.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知全集本=氏4={*|川+4X+3=。},3={74+（=+1）%+加=。},若

3=0,則實數(shù)m的值為（）

A.1B.3C.-1或-3D.1或3

6.（24-25高三上?湖北?模擬預(yù)測）向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是

全體的五分之三，其余的不贊成；贊成8的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對都不贊成的

學(xué)生數(shù)比對A,3都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.則下列說法錯誤的是（）

A.贊成A的不贊成3的有9人

B.贊成3的不贊成A的有11人

C.對都贊成的有21人

D.對AB都不贊成的有8人

7.（24-25高三上?吉林長春?期中）已知集合。={（尤,，）卜,、€11},集合4={（工,、）|。＜尤＜2,。＜、＜：1},集合

B={（x,y）|y4尤},則以下元素屬于集合Ac@3）的是（）

A.B.C.ri

8.“存在。,“eR,使得為+為+1=?〃+4”是"{%}為等差數(shù)歹廣的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2025?河北秦皇島?三模）已知全集。={-2,-1,3,7,9},集合A,B,C是全集U的三個子集，定義：I川

表示集合A中元素的個數(shù)，若1481=|8C|=|CA|=1,AB|C=0,則所有的有序子集列（A民C）有

（）

A.360個B.640個C.960個D.1920個

10.（2025?北京東城?二模）已知a,￡eR,貝廣cos?a=cos?”是“尸=（一球a+航（左eZ）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

11.（2025?四川綿陽?三模）（多選題）已知集合尸=N*,對于P中的任意兩個元素。涉都有必-16卜-4（0,

則集合尸的元素個數(shù)可以為（）

A.4個B.7個C.9個D.10個

12.（2025?浙江紹興?模擬預(yù)測）（多選題）已知集合仁徊。=（內(nèi)）,尤,yeR},若對于任意機,以

及任意滿足力則稱集合/為“一字集”，記。={X|X為“一字集”},則下列說法正

確的是（）

A.{al?=（x,y）,x2+y2

B.{"<2=（x,y）,yGQ

C.若AEQBE。，且AB手0,則AcBwO

D.若AeC,貝葉引〃=2a+（3,4）,〃eA}EQ

13.（24-25高三上?安徽銅陵?模擬預(yù)測）已知集合4=何]￡]<1>,B=^|log6（x+a）<l）.

（1）若AB=R,求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若尤eA是xe8的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

14.（24-25高三下?河南?模擬預(yù)測）已知有限集合A={%,%,,%}（“22,〃eN*）,若

。；+靖++圖=3（q+a?++a?）,則稱A為"完美集”.

（1）已知”=3,a2=1,q,出，生成等差數(shù)列，若集合A為“完美集”，求4。3；

（2）已知〃=10,是否存在首項為3的等比數(shù)列{〃“},使得集合A為“完美集”，若存在，求集合人若不存在,

說明理由；

（3）已知AaN*,且集合A為“完美集”，求A.

15.（2025河南二模）已知一個非空數(shù)集4對網(wǎng),"4,且中兀記2為4去掉羽了后的集合,若有》+丁€8

或k-y|e3,則稱A是一個好集合.對于一個非空數(shù)集P,對Vx,yeP,且*力兀記。為尸去掉無，y后

的集合，若有孫?Q或或土e。，則稱P是一個壞集合.

⑴證明：集合A={123,4}不是好集合；

（2）若A是好集合，證明：存在一個與A中元素個數(shù)相同且僅由正實數(shù)構(gòu)成的壞集合尸；

（3）證明：不存在有限的好集合A,滿足A中的元素