第02講常用邏輯用語(yǔ)

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................1

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................2

03核心突破?靶向攻堅(jiān)............................................................2

知能解碼....................................................................2

知識(shí)點(diǎn)1命題...........................................................2

知識(shí)點(diǎn)2充分條件、必要條件與充要條件...................................3

知識(shí)點(diǎn)3反證法........................................................3

知識(shí)點(diǎn)4從集合角度看充分、必要條件....................................4

題型破譯....................................................................4

題型1判斷命題的真假重

題型2已知命題的真假求參數(shù)............................................6

題型3充分、必要條件的判定............................................7

題型4充分、必要條件的應(yīng)用難

題型5反證法證明....................................................11

04真題溯源?考向感知.........................................................12

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

(1)命題

第16題判斷命題的真假

(2)充分條件、必要條回單選題第21題充要條件證明

□填空題/

件與充要條件

團(tuán)解答題

(3)反證法

考情分析：

本節(jié)內(nèi)容是上海高考卷的?？純?nèi)容，考查形式多樣。選擇題難度中檔，分值為5分，解答題一般與壓軸題綜合總分

值為18分。

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要

條件的關(guān)系

2.掌握邏輯用語(yǔ)與其他知識(shí)綜合應(yīng)用

02

體系構(gòu)建-思維可視

03

核心突破?靶向攻堅(jiān)

知識(shí)點(diǎn)1命題

L定義：能判斷真假的、不帶有變?cè)年愂鼍?，叫做命題.判斷為真的命題叫做真命題，判斷為假的命題叫

做假命題.

說明：①命題必定由條件與結(jié)論兩部分組成；

②假命題的確定：舉反例（舉出一個(gè)滿足條件，不滿足結(jié)論的例子，一個(gè)即可，一票否決）；

【注意】構(gòu)造反例有時(shí)候不容易，要充分注意命題的條件和結(jié)論，還要注意極端情況，或運(yùn)用類比手段.

③真命題的確定：直接法和反證法.

說明：反證法既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是命題證明的一種方法，后面會(huì)有贅述.

2.推出關(guān)系：如果命題“若a,則尸”是真命題，那么就稱a推出廣，記作a=>〃（或分<=a）.

因?yàn)樽蛹P(guān)系滿足傳遞性，所以推出關(guān)系也滿足傳遞性：若an,且，=>/,則en7.它是邏輯推理

的基礎(chǔ).

自主檢測(cè)|設(shè)函數(shù)y="x）,y=G（x）的定義域均為R,值域分別為A、B,且405=0.若集合s滿足以

下兩個(gè)條件：（1）（2）當(dāng)全集為S時(shí)，而是有限集，則稱>=尸（力和y=G（x）是S-互補(bǔ)

函數(shù).給出以下兩個(gè)命題：①存在函數(shù)y=〃x）,使得y=2,"）和y=log"（x）是［0,16］-互補(bǔ)函數(shù)；②存在

函數(shù)y=g（x）,使得產(chǎn)5也8（%）和〉=13118（%）是［0,+00）-互補(bǔ)函數(shù).則（）

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題；

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

知識(shí)點(diǎn)2充分條件、必要條件與充要條件

若p0q,則p是9的充分條件，鄉(xiāng)是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p0鄉(xiāng)且94p

p是9的必要不充分條件p4鄉(xiāng)且q=>p

p是q的充要條件poq

P是q的既不充分也不必要條件p力q且q力p

判斷充要條件的方法是：

①若p0q為真命題且q=>p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若p=q為假命題且q0P為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p0q為真命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若p=q為假命題且q0P為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q

的關(guān)系.

|自主檢測(cè)|設(shè)a,6eR,i是虛數(shù)單位,則“必=0”是復(fù)數(shù)“復(fù)數(shù)。+歷為純虛數(shù)”的.（填充分不必要條件，

必要不充分條件，充分必要條件，既不充分也不必要條件）

知識(shí)點(diǎn)3反證法

要判斷一個(gè)命題“若a,則夕”是假命題，只要存在一個(gè)滿足條件。但不滿足結(jié)論夕的對(duì)象就行；但是要判

斷命題“若a,則夕”是真命題，就需要證明所有滿足［的對(duì)象都滿足結(jié)論夕，但有時(shí)直接驗(yàn)證這一點(diǎn)并不

是一件容易的事.我們可以首先假設(shè)結(jié)論夕不成立（尸為假），然后經(jīng)過正確的邏輯推理得出的與已知條

件或（己學(xué)）定理等相矛盾的結(jié)論，從而說明“萬為假”是不可能發(fā)生的，即結(jié)論夕是正確的，這樣的證明

方法叫反證法.

1.證明思路：肯定條件，否定結(jié)論一推出矛盾一推翻假設(shè)，肯定結(jié)論

2.反證法的一般步驟：

（1）分清命題的條件和結(jié)論；

（2）作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；

（3）由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；

（4）斷定產(chǎn)生矛盾的原因，在于開始所作的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明命題為真.

自主檢測(cè)|設(shè)"Z.證明:若“2是偶數(shù)，則w也是偶數(shù).

知識(shí)點(diǎn)4從集合角度看充分、必要條件

充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系

設(shè)4={x|p（x）},B={x\q（x）}.

（1）若p是q的充分條件，則

（2）若p是4的充分不必要條件，則AuB；

（3）若p是q的必要不充分條件，則BuA；

（4）若p是q的充要條件，則A=B.

（5）若A不是B的子集且B不是A的子集，則p是q的既不充分也不必要條件.

要點(diǎn)歸納：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也

不必要條件.判斷方法通常按以下,步驟進(jìn)行：

①確定哪是條件，哪是結(jié)論；

②嘗試用條件推結(jié)論，③再嘗試用結(jié)論推條件，

④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.

題型1判斷命題的真假

例1寸（24-25高三下?上海?月考）已知A,B為非空實(shí)數(shù)集，。為平面直角坐標(biāo)系中的一些點(diǎn)構(gòu)成的集合，

集合C={yl對(duì)任意xeA,有（尤,y）e。},集合。={x|對(duì)任意y?8,有（無,y）?。}.對(duì)于下列兩個(gè)命題：①若

C=B,則。=A；②若C衛(wèi)B,則。其中判斷正確的是（）

A,①②都正確B.①②都錯(cuò)誤C.①正確②錯(cuò)誤D.①錯(cuò)誤②正確

例1-2|（24-25高三上?上海?期中）,新角度|已知函數(shù)〃力=留-3彳的圖像為曲線關(guān)于命題①“任取平

面上的一點(diǎn)P,與曲線「關(guān)于點(diǎn)尸對(duì)稱的曲線和總能表示函數(shù)”和命題②“存在傾斜角ae的直線/,

使得與曲線「關(guān)于/對(duì)稱的曲線一能表示函數(shù)”的真假判斷，下列說法正確的是（）.

A.①和②都是真命題B.①和②都是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

虹|（24-25高三上?上海?月考）V新角度|現(xiàn)定義如下:當(dāng)尤e5，〃+l）（〃eN）,/（x+l）=/'G）,則稱/（x）

為延展函數(shù)，當(dāng)x?O,l）時(shí)，8（力=0/（耳=嚴(yán)均為延展函數(shù)，給定以下兩個(gè)命題

①存在>=履+6（七人eR,女,6片0）,與y=g（x）有無窮個(gè)交點(diǎn);

②存在y=kx+b（k,beR,%,6w0）,與y=/（x）有無窮個(gè)交點(diǎn)；

則下面選項(xiàng)正確的是（）

A.①是真命題，②是真命題B.①是假命題，②是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

【變式訓(xùn)練1-1】（24-25高三上?上海?期中）/謔]己知平面向量萬、5、己滿足問=2,歸+畫=1,

建啟+〃力，且2+2〃=1.若對(duì)每一個(gè)確定的向量。，記同的最小值為叫現(xiàn)有如下兩個(gè)命題

2

命題尸：當(dāng)商變化時(shí)，機(jī)的最大值為I;

命題Q：當(dāng)日變化時(shí)，優(yōu)可以取到最小值0；

則下列選項(xiàng)中，正確的是（）

A.尸為真命題，。為假命題B.尸為假命題，。為真命題

C.P、。都為真命題D.尸、。都為假命題

【變式訓(xùn)練1-2]（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（）

①若事件A和8相互獨(dú)立，則P（AUB）=P（A）-P（B）；②若將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加上同一個(gè)正數(shù)x,

則其平均數(shù)和方差都會(huì)發(fā)生變化；③>o”是F和b的夾角為銳角”的必要非充分條件；④函數(shù)y=/（尤）

滿足f（f）=f（x）,則該函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)；

A.0B.1C.2D.3

【變式訓(xùn)練1-3X24-25高三上?上海?月考）^如圖,將線段用一條連續(xù)不間斷的曲線>=/（尤）

連接在一起，需滿足要求：曲線>=/（尤）經(jīng)過點(diǎn)8,C,并且在點(diǎn)2,C處的切線分別為直線AB,CD,那

么下列說法正確的是（）

人口工e+4皿4sinax+cosbx/.六、、.日華

命題甲：存在曲線>=-----------+c(?,6,ceR)輛足要求

命題乙：若曲線y=￡(x)和y=上(x)滿足要求，則對(duì)任意實(shí)數(shù)4〃，當(dāng)幾+〃=1時(shí)，曲線y=4￡(x)+〃L(x)

滿足要求

A.甲命題正確，乙命題正確B.甲命題錯(cuò)誤，乙命題正確

C.甲命題正確，乙命題錯(cuò)誤D.甲命題錯(cuò)誤，乙命題錯(cuò)誤

題型2已知命題的真假求參數(shù)

例2-1命題“若x>a,則=>0”是真命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

--------x

例21膏新像回已知命題a：關(guān)于x的不等式歸+1|-歸-1]>加的解集不是空集，命題夕：關(guān)于x的方程

〃儲(chǔ)+2x+l=0兩個(gè)根異號(hào)，若。與月中有且僅有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍是.

例2-3已知命題p:方程%之+4x+m—1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；命題q:方程4—+4%+相-2=0無實(shí)根.

(1)若P為真命題，求根的取值范圍；

(2)若p,q兩命題一真一假，求機(jī)的取值范圍；

【變式訓(xùn)練2-1】命題甲：集合A={x|—2<》<6},3={中+。一1>0},且Au3={x|x>—2}.命題乙：集合

A={x|x2+(a+2)x+l=0),B={x|x>0),且=0.問題：若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式訓(xùn)練2-2】命題甲：集合4=何-2＜尤＜6},3={小+。-1＞0},且Au3={x[x＞-2},命題乙：集合

A=|x|x2+(a+2)x+l=o},2={x|尤＞0},且A^\B=0,

(1)若命題甲是真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若命題乙是真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)若命題甲和乙中有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式訓(xùn)練2-3】角度|已知。:點(diǎn)"(1,3)不在圓(x+〃2)2=16的內(nèi)部，4：“曲線

2222

￡:二+二^=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓“，s：“曲線C2:士+」一=1表示雙曲線”.

m2m+8m-tm-t-l

(i)若。和q都成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)若4是s的必要不充分條件，求f的取值范圍.

題型3充分、必要條件的判定

例3-1|(2025?上海靜安?模擬預(yù)測(cè))"-2WXW2”是“歸+2|+h-2|44”的()條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

例3-21命題甲:關(guān)于x的不等式f+(a_l)x+a2Vo的解集是空集.命題乙：函數(shù)y=("-1)尤為單調(diào)遞減

函數(shù).

(1)若命題甲、命題乙中至少有一個(gè)真，求。的取值范圍；

(2)求a的取值范圍，使命題甲是命題乙的必要條件.

【變式訓(xùn)練3-1】已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，r、s、［為正整數(shù)，則“r+r=2s”是“%,=。；”的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【變式訓(xùn)練3-2】已知圓C:爐+/+Dv+Ey+尸=0,貝『力2=4/'是“圓C與x軸有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的

（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

題型4充分、必要條件的應(yīng)用

例4-1|（2025?上海寶山?三模）*限法|把一列函數(shù)工（力工⑺、…工（力、…按一定次序排列稱為函數(shù)列，

記為｛力⑺｝5是正整數(shù)），￡（可為力⑴的導(dǎo)函數(shù).記此（。）=｛八=力（x）-力⑷，尤會(huì)｝,

4（。）=｛力，=力（尤）一力（。），尤<4｝.

nx

⑴若力（x）=^,求證：｛￡（2025）｝是等比數(shù)列；

⑵若力（尤）=皿"（尤）=力-1（力-尤（"22,"€N"）,是否存在正數(shù)。，使得。WM（a）；

（3）已知力（x）在R上有最小值，求證“力⑴是偶函數(shù)”的充要條件是“對(duì)于任意正實(shí)數(shù)。，均有

Mbc）=。?”.

例4-2|￥新考法W于函數(shù)y=/（X）,X^D,如果存在一個(gè)非零常數(shù)TeD，使得當(dāng)》取其定義域。中的任

意值時(shí)，有x+Tw”且成立了（x+T）=〃x）+〃T）,則稱函數(shù)y=/（x）是“類周期函數(shù)”，這個(gè)非零常數(shù)T

叫做函數(shù)y=/⑺的一個(gè)“類周期”.

⑴證明函數(shù)〃x）=x+sinx是“類周期函數(shù)”；

（2）證明函數(shù)/（力=cosx不是“類周期函數(shù)”；

⑶已知函數(shù)〃x）=Asin（ox+°）（其中A>0,0>0）是“類周期函數(shù)”，證明：“〃7）=0”是“T是y=

的一個(gè)，類周期，，，的必要非充分條件.

例4-3(24-25高三上?上海?月考)林銅已知R的子集S和定義域同為￡＞的函數(shù)y=/(x),y=g(x).若

對(duì)任意A，x2eD,當(dāng)玉-龍2^5時(shí)，總有〃X])-g(x2)eS,則稱V=/(?是V=g(無)的一個(gè)“S關(guān)聯(lián)函數(shù)”.

⑴求y=Y的所有｛1｝關(guān)聯(lián)函數(shù);

⑵若，=x2-mx+:是其自身的一個(gè)[0,+切關(guān)聯(lián)函數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)對(duì)定義在R上的函數(shù)y=P(x),證明：“p(x)=x+p(O)對(duì)任意xeR成立”的充分必要條件是“存在函數(shù)

y=4(x),使得對(duì)任意正整數(shù)〃，y=4(x)都是y=p(x)的一個(gè)—關(guān)聯(lián)函數(shù)”.

n+1n

【變式訓(xùn)練4-1】新考卻如圖，平面a內(nèi)有Rt^ABC,/C=90。,AC=18,a外有一點(diǎn)尸，PA=PB=PC,

且尸。為垂足，PO=40.

⑴求證：是“點(diǎn)。為VABC的垂心”的充要條件;

(2)若AC=3C,求上4與平面a所成的角.

【變式訓(xùn)練4-2】填歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱的界定外，歐拉還

基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如引入倒函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果對(duì)于其定義域。

中任意給定的實(shí)數(shù)x,都有-xe。，并且=就稱函數(shù)y=/(無)為倒函數(shù).

⑴若〃x)=2*,g(x)==,判斷函數(shù)y=〃x)和y=g(x)是否為倒函數(shù)，并說明理由；

⑵若y=〃x)是R上的倒函數(shù)，當(dāng)尤V0時(shí)，〃尤)=三匕，方程/(x)=2025是否有正整數(shù)解？并說明理

由；

-1

(3)若y=/(x)是R上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0,且在R上是嚴(yán)格增函數(shù).記尸(x)=，證明:

%+尤2>0是/(玉)+/(吃)>0的充要條件.

【變式訓(xùn)練4-3](24-25高三上?上海虹口?月考)、已知。為實(shí)數(shù)，記〃x)=e'+e『

⑴當(dāng)。=0時(shí)，定義在R上的奇函數(shù)y=g(x)滿足：當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=/(%),求y=g(尤)的解析式；

⑵若函數(shù)y=〃x)為偶函數(shù)，若對(duì)于任意xe[o,2],關(guān)于X的不等式-x-，</(2)均成立，求實(shí)數(shù)f

的取值范圍；

(3)求證：“a>1”是“存在正數(shù)%,使得函數(shù)y=/(x)在x=x0處取到最小值”的充要條件.

題型5反證法證明

例5-1|(1)已知a,),Gd為實(shí)數(shù)且滿足Q+Z?=1,c+d=l,ac+bd>l.求證：這四個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)

數(shù).(用反證法證明)

(2)已知集合p={尤|2<x<4},2={x|3m-2<x<5m+2).若尸的充分非必要條件為Q,則機(jī)的取值范

圍是？

例5-21記有理數(shù)集。的非空子集S具有以下性質(zhì):①OeS：②若,則:eS；③存在非零

有理數(shù)4，4eS且每一個(gè)不在S中的非零有理數(shù)都可寫成qs的形式，其中seS.

⑴求證：leS；

(2)若seS,feS,求證：st：

⑶若〃是非零有理數(shù)，且求證：u2eS.

【變式訓(xùn)練5-1】(1)判斷：對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,“"6”是"awe或的條件(填“充

要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”)，并證明.

(2)證明：6是無理數(shù).

【變式訓(xùn)練5-2】對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記口」為不大于x的最大整數(shù)，再記{x}=x-[x」，由此可定義函數(shù)

fM=,進(jìn)而可定義遞推數(shù)列｛%｝:"I"?(neN,?>l).

㈤-{x}+l

4+1=/(?J

33525341

八八八八八八八八

\_

~51"

（1）求/（彳）的定義域，并判斷f（x）是否有反函數(shù)（只需寫出判斷結(jié)果，無需說明理由）.

（2）求證：①｛%｝的每一項(xiàng)都是正有理數(shù)；②｛%｝的任意兩項(xiàng)均不同.

（3）為進(jìn)一步研究｛凡｝各項(xiàng)的取值情況，有人把該數(shù)列排成了下述的“二分樹狀表”，并探究了圖中由箭頭連

接的兩數(shù)間的關(guān)系，進(jìn)而猜想“｛%｝的各項(xiàng)取遍所有正有理數(shù)”.請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說明理由.

04

真題溯源-考向感知

一、單選題

1.（2024.上海.秋季高考）定義一個(gè)集合。，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取用巴,4€。，存在不全

為o的實(shí)數(shù)4,4,4,使得4