拔高點突破02極值點偏移問題與拐點偏移問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：極值點偏移:加法型.......................................................3

題型二：極值點偏移:減法型.......................................................4

題型三：極值點偏移:乘積型.......................................................5

題型四：極值點偏移:商型.........................................................7

題型五：極值點偏移:平方型.......................................................8

題型六：極值點偏移:混合型.......................................................9

題型七：拐點偏移問題...........................................................10

03過關(guān)測試....................................................................11

亡法牯自與.柒年

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1、極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性。若函數(shù)/(X)在x=Xo處取得極值，且函數(shù)y=/(x)與直線交于A(X1,b),B(X2，b)兩點，則

A3的中點為M(七三/)，而往往北產(chǎn)。如下圖所示。

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個極值點與,方程/(幻的解分別為

石、x2,且。＜玉＜々＜匕，(1)若.豐X。,則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(玉,％2)上極值點與偏移；

(2)若/＞/,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(F,々)上極值點與左偏，簡稱極值點與左偏；(3)若

號上＜Xo,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(芯,々)上極值點X。右偏，簡稱極值點與右偏。

2、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點

為七)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點無0.

⑵構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)砥x)=/(x)-/(2x0-x),若證，則令

F(x)=/(x)-/(^).

X

(3)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出/(%)與/(2%-x)的大小關(guān)系.

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/(%)的單調(diào)性，將/(%)與/(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2%-x之間的關(guān)

系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明/五戶的符號問題，還需進一步討論土土三與X0的大小，得出文乂所在

的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導(dǎo)數(shù)值的正負.

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿

于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在

聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性

進行全面、準(zhǔn)確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)?/p>

函數(shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔

明快的思路，有著非凡的功效

3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式斥〈土產(chǎn)證明極值點偏移：

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到In；；

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明

題中的不等式即可.

題型一：極值點偏移:加法型

【典例1-1】(2024?四川南充.一模)己知函數(shù)〃x)=x-lnx-。有兩個不同的零點4馬.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：xx+x2>2.

【典例1-2】(2024.安徽馬鞍山.一模)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(x_l)-史N

(1)若“同2。對以目2,+00)恒成立，求實數(shù)上的取值范圍;

（2）已知方程處二D=上有兩個不同的根為、巧，求證：%+%>6e+2,其中e=2.71828?為自然對數(shù)

x-13e

的底數(shù).

【變式1-1］（2024?甘肅酒泉.模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃無）=xlnx+g/_x.

⑴求曲線y=〃x）在點（1"（1））處的切線方程；

⑵若?。?0（/⑺為了⑺的導(dǎo)函數(shù)），方程=有兩個不等實根毛、巧，求證：xl+x2>2x0.

【變式1-2】（2024安徽淮南二模）已知函數(shù)?。?1-二e-k{x-V),x>-l,keR.

⑴若左=0,證明：%￡（—1,0）時，/（x）<-l；

⑵若函數(shù)/（X）恰有三個零點號,無2,W，證明：X1+X2+X3>1.

3

【變式1-3］（2024.河南新鄉(xiāng).三模）已知函數(shù)〃x）=adnx+沈a（awO）.

⑴討論〃x）的單調(diào)性.

⑵若函數(shù)/（元）有兩個零點而，%，且占〈無2，證明：xA+x2>^~.

題型二：極值點偏移:減法型

【典例2-1］已知函數(shù)/（x）=31nx+G；2—4x（Q>。）.

⑴當(dāng)Q=1時，討論/（%）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)時，若方程〃x)=b有三個不相等的實數(shù)根玉,々，尤3，且玉＜龍2＜尤3，證明：％一再＜4.

【典例2-2】(2024.湖南邵陽.一模)己知函數(shù)/(x)=31nr+ar2-4x+6(a＞0,6wR).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=g時，方程/(x)=0有三個不相等的實數(shù)根，分別記為％[=1,2,3).

①求8的取值范圍；

②證明卜-勺|＜4(i=1,2,3;/=1,2,3).

【變式2-1]已知函數(shù)/(x)=f-2ox+41nx.

⑴討論/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知ae[4,6],設(shè)了⑴的兩個極值點為4，4(4＜4)，且存在beR,使得y=/(x)的圖象與y=6有三

個公共點周＜%＜七)；

①求證：xi+x1＞2\-

②求證：%-%＜4近.

題型三：極值點偏移:乘積型

【典例3-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=l-lnx-fSeR).

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)有兩個零點看，巧，且玉〈無2，求證：%x；＜e-a.

【典例3?2】(2024.北京通州?三模)已知函數(shù)/(x)=ox-4—lnx(a>。)

x

(1)已知/(%)在點(1,/(D)處的切線方程為y=尤-1,求實數(shù)4的值；

(2)已知/(x)在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)〃的取值范圍.

(3)已知g(%)=〃x)+@有兩個零點》巧，求實數(shù)〃的取值范圍并證明卒2>。2.

X

【變式3?1】(2024?湖北武漢.模擬預(yù)測)已知/(元)=2無一sinx-&InX.

(1)當(dāng)。=1時，討論函數(shù)〃元)的極值點個數(shù)；

xxa

(2)若存在X],x2(0<xl<x2),使/(項)=/(%2)，求證：i2<-

【變式3-2](2024?江西南昌二模)己知函數(shù)=—。)，g(x)=^-+a-ax.

⑴當(dāng)時，/(x)e-lnx-2恒成立，求。的取值范圍.

(2)若g(x)的兩個相異零點為A，巧，求證：xix2>e2?

【變式3-3](2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(*)=依-xlnx"，(x)為其導(dǎo)函數(shù).

⑴若f(x)Vl恒成立，求。的取值范圍；

(2)若存在兩個不同的正數(shù)為,三,使得〃%)=/(%),證明：-(斥)>0.

【變式3-4](2024?高三?重慶?期末)已知函數(shù)/(無)=ln尤-辦+優(yōu)a/eR)有兩個不同的零點％三.

(1)求/(X)的最值；

(2)證明：％無2<—7.

~a"

題型四：極值點偏移:商型

【典例4-1】(2024?浙江杭州?高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/(x)=(2e-x)lnx,其中

e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)A》)的單調(diào)性；

(2)若石,&?。/)，且證明：2e<，+1<2e+l.

【典例4-2】已知函數(shù)〃x)=x(lTnx).

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，6為兩個不相等的正數(shù)，且)lna-aln)=a-6,證明：2<工+1<6.

ab

【變式4-1】已知函數(shù)〃x)=x(l-Inx).

⑴討論“X)的單調(diào)性；

⑵設(shè)a,〃為兩個不相等的正數(shù)，且61na-aln)=a-Z?,證明：2<—+y.

ab

【變式4-2](2024?廣東茂名?茂名市第一中學(xué)校考三模)已知函數(shù)/(x)=ax+(a-l)lnx+1,oeR.

(1)討論函數(shù)/(元)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的方程=xe*-lnx+g有兩個不相等的實數(shù)根不、巧，

(i)求實數(shù)。的取值范圍；

(ii)求證：—+.

X2%尤！龍2

【變式4-3](2024?高三.黑龍江哈爾濱.期末)已知函數(shù)〃耳=加，g(x)=x(l-lnx).

(1)若對于任意xe(0,+oo),都有求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=g(x)-僅有兩個零點占,三，求證：—+—>2.

題型五：極值點偏移:平方型

1[1X

【典例5-1】(2024?全國.模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=-----,g(x)=~.

xx

⑴若對任意的根,?e(。,+8)都有f(m)<t<g(〃)，求實數(shù)f的取值范圍；

⑵若占,工2w(0,+oo)且工產(chǎn)無2,=3，證明：另+考>2.

【典例5-2】(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=x-sinxcosx-alnx,awR.

n

⑴當(dāng)。=0時，求曲線產(chǎn)/(無)在點"處的切線方程;

(2)若/(加)=/(〃)，Q<m<n,求證：m2+H2>\a\.

【變式5?1】(2024?山西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力=’-3

x

⑴若/(X)<-!,求實數(shù)〃的取值范圍；

19

(2)若有2個不同的零點4馬(王〈尤2)，求證：2^+3x?>—.

【變式5-2](2024.廣東廣州.模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃x)=lnx-加.

⑴討論函數(shù)“X)的單調(diào)性：

(2)若占凡是方程/(x)=0的兩不等實根，求證：尤;+*>2e；

題型六：極值點偏移:混合型

【典例6-1】(2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e，-依2+法-1,其中小b為常數(shù)，e為自然對數(shù)

底數(shù)，e=2.71828--■.

(1)當(dāng)a=0時，若函數(shù)〃”上0,求實數(shù)6的取值范圍；

(2)當(dāng)6=2。時，若函數(shù)有兩個極值點七，巧，現(xiàn)有如下三個命題：

(T)V.Xj+bx2>28；②2后(%+x2)>；③—1+>2；

請從①②③中任選一個進行證明.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

【典例6-2]已知函數(shù)/(x)=x(l-alnx),aNO.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若xe(0,g時，都有/但<1,求實數(shù)。的取值范圍；

1+lnx

(3)若有不相等的兩個正實數(shù)西，w滿足771—0=一，求證：%+%2<。%1%2.

【變式6-1](2024?山東.模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃(尤)=_x-alnx(aeR).

(1)若力⑺有兩個零點，。的取值范圍；

2

⑵若方程肥、-a(Mx+x)=。有兩個實根毛、巧，且x產(chǎn)％，證明：1計*>--e-.

題型七：拐點偏移問題

【典例7-1】已知函數(shù)/(x)=ae2'+e，+x,aeR.

⑴若F(x)在x=O處取得極值，求。的值；

⑵設(shè)g(x)=/(x)-(a+3)e￡,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)。=2時，若存在實數(shù)七，巧滿足/(為)+/(%)+362=0,求證：e*+d>g.

【典例7-2】已知函數(shù)/(x)=21nx+/m：2-2(”?+1)》一8,mwR.

(1)討論函數(shù)”X)的單調(diào)性；

(2)對實數(shù)加=2,令g(%)=/(尤)-3尤，正實數(shù)A，x?滿足g(%)+g(X2)+2取2=0,求占+々的最小值.

【變式7-1】已知函數(shù)/(x)=lnx+2x-ax2,aeR.

(1)若/(x)在x=l處取得極值，求。的值；

(2)設(shè)g(x)=/(x)+(a—4)x,試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;

(3)當(dāng)。=-2時，若存在正實數(shù)網(wǎng),無2滿足/(3)+/(赴)+3石馬=%+多，求證：玉+%>：.

【變式7-2】已知函數(shù)/(x)=21n.Y+無？+尤.

(1)求曲線V=/(x)在點(1]⑴)處的切線方程.

(2)若正實數(shù)為出滿足/(網(wǎng))+/(尤2)=4,求證：xx+x2>2.

【變式7-3】已知函數(shù)〃x)=21nx+x2+(a—i)x-a,(aeR),當(dāng)x21時,/(x)NO恒成立.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若正實數(shù)4、%(%*三)滿足/(%)+/(々)=°，證明：再+%>2.

0

,時￥測審

HiN

1.已知函數(shù)f(x)=(尤-2乂eX-ar)(aeR).

⑴若a=2,討論〃元)的單調(diào)性.

(2)已知關(guān)于x的方程/(x)=(x-3)e*+2分恰有2個不同的正實數(shù)根g.

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：石+%>4.

1—y

2.（2024?江蘇?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（切=4111立

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)/（%）=/（%乂％W%）時，證明：國+%>2.

3.（2024?安徽淮北?一模）已知函數(shù)/（x）=e'T-依，

⑴討論函數(shù)“X）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/（無）在（0,2）上有兩個不相等的零點求證：^x2>1.

4.已知函數(shù)/（%）=2山工+工2+（。一1）》一。，（acR）,當(dāng)時，/（無）20恒成立.

（1）求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若正實數(shù)4、々（士工工）滿足/（否）+/（尤2）=。，證明：占+無2>2.

5.已知函數(shù)/⑴=-:卜+:\”,。>。.

⑴若〃x）的極小值為-4,求。的值；

⑵若g（x）=〃x）-alnx有兩個不同的極值點占,證明：xl+x2>2^2^.

6.(2024?云南?二模)已知常數(shù)。>0,函數(shù)=一or-2a21nx.

⑴若V尤>0J(x)>-41,求。的取值范圍;

(2)若看、巧是,(X)的零點，且國片飛，證明:網(wǎng)+々>4°.

7.已知函數(shù)"尤)=2尤lnx+?aeR)有兩個零點由，蟲占<%).

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：xt+x2>l.

8.已知函數(shù)/(x)=lnx+:ax2-(a+l)x,(aeR).

(1)當(dāng)。=1時，判斷函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于X