山東省煙臺市2025年中考數(shù)學(xué)真題

一'選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分.每小題都給出標(biāo)號為A,B,C,D四

個備選答案，其中有且只有一個是正確的）

L|一3|的倒數(shù)是（）

A.3B.-C.-3D.——

33

2.2025年4月24日，神舟二十號載人飛船成功發(fā)射，以壯麗升空將第10個中國航天日從紀(jì)念變?yōu)閼c

祝.下列航天圖案是中心對稱圖形的是（）

3.下列計(jì)算正確的是（）

A.2X2+X'-3X5B.2.v--.t'=2x5

C.2A1+(-X2)=2JCD.NY=2/

4.如圖是社團(tuán)小組運(yùn)用3D打印技術(shù)制作的模型，它的左視圖是（）

從正面看

5.如圖是一款兒童小推車的示意圖，若Zl=30°,Z2=70°,則N3的度數(shù)為（）

CD

A.40°B.35°C.30°D.20°

6.求一組數(shù)據(jù)方差的算式為：S=IXIG-泊\(8-+(8-可'+(6-丁/+(7-胃廠.由算式提供的

nL」

信息，下列說法錯誤的是()

A.〃的值是5

B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是7

C.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6

D.若該組數(shù)據(jù)加入兩個數(shù)7,7,則這組新數(shù)據(jù)的方差變小

7.某商場打折銷售一款風(fēng)扇，若按標(biāo)價的六折出售，則每臺風(fēng)扇虧損10元；若按標(biāo)價的九折出售，則

每臺風(fēng)扇盈利95元.這款風(fēng)扇每臺的標(biāo)價為()

A.350元B.320元C.270元D.220元

8.如圖，菱形。，仍('的頂點(diǎn)/在x軸正半軸上，CM=3,反比例函數(shù)y=A(x>0)的圖象過點(diǎn)(，和菱

9.如圖，二次函數(shù)F=a/+bK+c的部分圖象與x軸的一個交點(diǎn)/位于(-2,0)和(-1,0)之間，頂

點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(1.〃).下列結(jié)論：①血<0；②對于任意實(shí)數(shù)加，都有m/+折〃-“-力>0；③

3/)<2c；④若該二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點(diǎn)為8,且AP,48是等邊三角形，則〃-3.其中所

a

A.①②B.①③C.①④D.①③④

10.如圖，在“BC中，/ACB=90°,力。=BC，.40是角平分線.點(diǎn)七從點(diǎn)力出發(fā)，沿"方向向點(diǎn)

B運(yùn)動,連接(7T，點(diǎn)廠在a'上，且/(NT450.設(shè)/IE.r，fD=y,若y關(guān)于x的函數(shù)圖象過點(diǎn)

（0.2百），則該圖象上最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

B隹

二'填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）

11.2025年2月2日是第29個“世界濕地日”，主題是“保護(hù)濕地共筑未來”.國家林草局公布的最新數(shù)據(jù)顯

示，全國濕地面積穩(wěn)定保持在56350000公頃以上.將數(shù)據(jù)56350000用科學(xué)記數(shù)法表示

為.

12.實(shí)數(shù)3力的整數(shù)部分為.

13.因式分解：2V-12町，+18/=.

14.如圖，正六邊形」灰W./?的邊長為4,中心為點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，以,48長為半徑作圓心角為

120。的扇形，則圖中陰影部分的面積為.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（6,g）,A/18C的頂點(diǎn).4的坐標(biāo)為（4,3）.以點(diǎn)/,為位

似中心作與“8C位似,相似比為2,且與“8C位于點(diǎn)/＞同側(cè);以點(diǎn)尸為位似中心作A4%。?

與位似，相似比為2,且與A44G位于點(diǎn)〃同側(cè)……按照以上規(guī)律作圖，點(diǎn)4的坐標(biāo)

為

6（）,對角線-C=6cm.點(diǎn)M從點(diǎn)4出發(fā),沿/（'方向以lcm/s

的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO方向以&m/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終

點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接用V,DM交于點(diǎn)P.在此過程中，點(diǎn)尸的運(yùn)動路徑長為.m.

三'解答題（本大題共8個小題，滿分72分）

再求值：（2+附+三三）州甘+/.^2025

17.先化簡,+7---7,其中（

3m-6

18.2025年4月19日，煙臺市民文化藝術(shù)季啟幕.某校帶領(lǐng)甲、乙兩個社團(tuán)參觀甲骨學(xué)發(fā)展史館，領(lǐng)略

殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活動結(jié)束后，兩個社團(tuán)進(jìn)行了一次滿分為10分的甲骨學(xué)發(fā)展史測

試，并對所有學(xué)生的成績進(jìn)行了收集、整理、分析，信息如下:

①甲社團(tuán)的成績（單位：分）情況如下:

6,6,6,6,7,7,7,7,6,7,7,6,7,8,8,8,8,9,8,8,9,9,9,8,8,9,9,9,1,

9,6,9,9,10,8,8,9,9,10,10.

6x8+7x12+8x6+9x10+10x4,八、

②乙社團(tuán)的平均成績?yōu)?7.75（分）.

8+12+6+10+4

③將兩個社團(tuán)的成績繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖:

（1）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

（2）成績?yōu)?分的學(xué)生在社團(tuán)的排名更靠前（填“甲”或"乙”）；

（3）已知甲社團(tuán)的滿分學(xué)生中有兩名女生，現(xiàn)從甲社團(tuán)滿分學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，參加甲骨學(xué)發(fā)展

史宣講活動.請用樹狀圖或表格求所抽取的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率.

19.如圖，80是矩形,4BCO的對角線，請按以下要求解決問題:

（1）利用尺規(guī)作A8E0，使ABEO與關(guān)于直線60成軸對稱（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若BE交AD于點(diǎn)E，AB=l，BC=2，求力6的長.

20.2025年6月5日是第54個“世界環(huán)境日”，為打造綠色低碳社區(qū)，某社區(qū)決定購買甲、乙兩種太陽能

路燈安裝在社區(qū)公共區(qū)域，升級改造現(xiàn)有照明系統(tǒng).已知購買1盞甲種路燈和2盞乙種路燈共需220元，

購買3盞甲種路燈比4盞乙種路燈的費(fèi)用少140元.

（1）求甲、乙兩種路燈的單價；

（2）該社區(qū)計(jì)劃購買甲、乙兩種路燈共40盞，且甲種路燈的數(shù)量不超過乙種路燈數(shù)量的,，請通過

3

計(jì)算設(shè)計(jì)一種購買方案，使所需費(fèi)用最少.

21.【綜合與實(shí)踐】

煙臺山燈塔被譽(yù)為“黃海夜明珠”，它坐落在煙臺山上，為過往船只提供導(dǎo)航服務(wù).為了解漁船海上作業(yè)

情況，某日，數(shù)學(xué)興趣小組開展了實(shí)踐探究活動.

如圖，一艘漁船自東向西以每小時10海里的速度向碼頭A航行，小組同學(xué)收集到以下信息：

碼頭A在燈塔B北偏西14。方向

位置信息14：30時，漁船航行至燈塔8北偏東53。方向的C處

15：00時，漁船航行至燈塔3東北方向的。處

天氣預(yù)警受暖濕氣流影響，今天17：30到夜間，碼頭A附近海域?qū)⒊霈F(xiàn)濃霧天氣.請注意防范.

請根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）求漁船在航行過程中到燈塔B的最短距離；

（2）若不改變航行速度，請通過計(jì)算說明漁船能否在濃霧到來前到達(dá)碼頭A（參考數(shù)據(jù):

s加37°=0.60,??37°=0.80，0.75，5/7/14°a0.24,aw—粼0.97，面140痢0.25)?

22.如圖，A/18C內(nèi)接于QO，乙4EC=2/C，點(diǎn)O在線段C8的延長線上，且80=18，連接/￡).

（1）求證：是0O的切線；

（2）當(dāng)［B=5，4C=8時，求8c的長及。。的半徑.

23.【問題呈現(xiàn)】

如圖1,已知.是正方形4444外一點(diǎn)，且滿足/044+/尸44=18。°，探究尸4，PA2,P4

三條線段的數(shù)量關(guān)系.

小穎通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：如圖2,構(gòu)造“44與644全等，從而得出修-P4與P.4,的數(shù)量關(guān)系;

思路二:如圖3,構(gòu)造/以4與AAMM全等，從而得出P4+P4與戶工的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

4

圖4

(1)請參考小穎的思路，直接寫出P，&+PAy與PA.的數(shù)量關(guān)系；

(2)【類比探究】

如圖4,若p是正五邊形人工工兒&外一點(diǎn)，且滿足/P,41+/P4M=180°,尸4=11，

PL49,求〃％的長度(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：s歷54%0.81，s，〃72°=0.95，

<w540*0,59,cos720至0.31)；

(3)【拓展延伸】

如圖5,若〃是正十邊形44…4,外一點(diǎn)，且滿足/P44+/尸44=180°，則尸4，P4，只公

三條線段的數(shù)量關(guān)系為(結(jié)果用含有銳角三角函數(shù)的式子表示).

24.如圖，拋物線y=a—+岳--3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,

Q4=2，08=6,D是直線8c上方拋物線上一動點(diǎn)，作。1/仍交于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)F,連接

備用圖

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為/,

①用含有/的代數(shù)式表示線段。E的長度；

②是否存在點(diǎn)D,使AC7)/T是等腰三角形?若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在,

請說明理由;

(3)連接0/T,將線段OF繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段0G,連接,4G，請直接寫出線段

4G長度的最小值.

答案

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】D

10.【答案】B

1L【答案】5.635xI07

12.【答案】4

13.【答案】2卜-3.r『

14.【答案】-

15.【答案】卜2,萬）或（-2,7.5）

16.【答案】

3

17.［答案］解：原式=（附+2）（附-2）+4

m-2m

m23（/w-2）

=?■■

zw-2m

=3m

原式=3x(_|)=-3

(2)乙

(3)解：列表得:

男女1女2

男/一男一女一男一女

女1一男一女/兩女

女2一男一女兩女/

=4=2

答：P%4=§

19.【答案】(1)解：如圖所示，即為所求作.

(2)解:如圖所示,

由折疊的性質(zhì)知：/7W/y/CB/5

Y四邊形ABCD是矩形

■AD\\BC\AD=BC=2>Z/f=90°

/FDB=4CBD

:"FBD=ZFDB

:.FB=FD

設(shè)/"=K，則B/=0"=2-x

：.AB2AF2=BF2

.\12+X2=(2-X)2

3

解得：x=2

4

答：AF的值為a.

4

20.【答案】(1)解：設(shè)甲、乙兩種路燈的單價分別為X和卜元，由題意列方程組得

'2y+x=220

4y-3x=140

x=60

解方程組得：

y=O8A0

答：甲、乙兩種路燈的單價分別為60元，80元

(2)解：設(shè)購買甲種路燈丁盞，則購買乙種路燈(40-v)盞，由題意列不等式得：

解不等式得：.K10

設(shè)購買總費(fèi)用為w,則w=60_y+80(40-y)=-20.V+3200

v-20<0

???n隨J'的增大而減小

即當(dāng)jT0時，的有最小值，最小值為卬=60x(-10)+3200=2600

40-y=30

答：購買甲種路燈10盞，購買乙種路燈30盞，費(fèi)用最少

21.【答案】(1)解：如圖所示，過點(diǎn)B作比'！〃',垂足為E,設(shè)BE=x.

B

???15:00-14:30=30

30

r.CD=10x—=5

60

V￡EBC=53°,ZERD=45°

AZC=90°-53°=37。、Z.BDE=90°-45°=45°

DC

:在Rh.BEC中,tanC=--0.75

CE

44

：.CE^-BE=-x

33

同理：DE=CE=x

:CD=CE-DE

4u

x-x=5

3

解得：K=I5

答：漁船在航行過程中到燈塔B的最短距離為15海里

(2)解：=14°

AE

：.Rt^BAE中，tanZABE=—=0.25

BE

..AE?BoErx—1=——15

44

1575

：.AD=AE+DE=—+\5=—

44

717:30-15:00=2:30

5075

v—>一

24

不改變航行速度，漁船能在濃霧到來前到達(dá)碼頭4

22.【答案】（1）證明：如圖所示，連接AO并延長交。。于點(diǎn)E、連接CE.

貝/CE=90。

vBA=BD

^D=ZBAD

AZABC=ND+/BAD=2ZBAD

vZ/lfiC=2ZC

：.Z.BAD=Z.ACB

,;ZBAE=ZBCE

：,￡DAE=/BAD+/BAE=ZACB+/BCE=/ACE=90,

?.?CM是半徑

.1.40是OO的切線

(2)解：如圖所示，設(shè)AE交BC于點(diǎn)F.

:AADBFCDA、4D=/1C=8

.DBDA

~DA~~DC

,:DB=AB=5

..DC=-DA2=—82=—64

DB55

6439

BC=DC-DB=—-5=—

55

-Z.BAD+/BAF=90。、ZD+ZAFD=90°

:"BAF=4FD

：.BF=BA=5

：.DF=2BF=\0

：.AF=y]DF2-AD2=Vl0:-82=6

vZ.ECB=WEAR=￡AFB=ZCFE

:.EF=EC

設(shè)EF=x，則EC=K，AE=x+6

則在Rh/CE中，AE2=CE2+AC2，即：(A?6):i

解得：K=g

725

：.AE=AF+FE=6+-=—

33

即。。的半徑為

6

39

答：8。=個；O。的半徑為,

23.【答案】(1)P.[./'|(

(2)解：如圖所示，延長PA3至Q,使A3Q=PAI,連接A2Q,過A2作a?！筆Q,垂足為點(diǎn)0.

由(1)知：=A044(//S)

PAi=。4、PA2=。4、/P44=ZQA2Ay

PQ=PAy+PAt=49+11=60、"40=N4A2Ay=108°

vA201PQ

AZPA2O=ZPA2Q=540.PO=；P0=3O

▲sin—*0.81

04

?PO30?

P/I,*--------w37

0.810.81

答：PA2的長度約為37；

(3)P4+P4=2P,4-sin72。

24.【答案】⑴解：2、OB6

.-./I(-2,0).5(6,0)

設(shè)拋物線解析式為.r=a(x+2)(x-6)

?(x+2)(x-6)=a(.