八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（浙教版）

專題10矩形的性質(zhì)與判定

【考點(diǎn)一】矩形的性質(zhì)與判定綜合考

例題：（遼寧?沈陽市第一二六中學(xué)八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC、8。相交于點(diǎn)O,AD//BC,

ZADC^ZABC,OA=OB.

圖1圖2

⑴如圖1,求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）如圖2,P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE±BD,PFLAC,E、尸分別是垂足，若AD=16,AB=12,求PE+PF

的值.

【變式訓(xùn)練】

1.（江西萍鄉(xiāng).九年級期末）如圖，在uABCD中，于點(diǎn)E,延長至點(diǎn)孔使CF=BE,連接AP,

DE,DF.

⑴求證：四邊形AEFD為矩形；

⑵若AB=3,DE=4,BF=5,求D尸的長.

2.（廣東?深圳市龍崗區(qū)百合外國語學(xué)校三模）如圖，已知平行四邊形ABCO中，M,N是8。上兩點(diǎn)，且

=DN,AC=2OM.

⑴求證：四邊形AMCN是矩形；

（2）若NBAD=135。，CD=2,ABrAC,求對角線MN的長.

3.（湖南?長沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在口A3CZ）中，對角線AC與相交于點(diǎn)。，點(diǎn)

E,尸分別為。2,0。的中點(diǎn)，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

⑴求證：AABE竺△CDF；

（2）當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

4.（江蘇?啟東市長江中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在，ABC中，/ABC=90。，點(diǎn)。是斜邊AC的中點(diǎn)，過

點(diǎn)。作OELAC,交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AD〃BC,與2。的延長線交于點(diǎn)。，連接CO、DE.

⑴求證：四邊形A3CD是矩形；

⑵若3C=3,ZBAC=30°,求QE的長.

5.（廣西?靈山縣那隆第一中學(xué)八年級期中）如圖，E,F,G,8分別是四邊形ABC。各邊的中點(diǎn)，連接EFGH

⑴求證：四邊形EFG”是平行四邊形；

（2）請?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使得四邊形EFG，是矩形，（寫出添加的條件即可，不用寫證明過程）.

6.（陜西?西安市曲江第一中學(xué)九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCQ中，對角線AC、8。相交于點(diǎn)O,

BEIIAC交。C的延長線于點(diǎn)E,且BD=BE.

⑴求證：四邊形ABCD是矩形；

⑵若NOBC=30。，BO=6,求四邊形ABED的面積.

7.（廣東?深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)九年級階段練習(xí)）在平行四邊形ABCQ中，NBAD=a,平分NAOC,

交對角線AC于點(diǎn)G,交射線A3于點(diǎn)E,將線段班繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn);a得線段EP.

⑴如圖1,當(dāng)a=120。時(shí)，連接AP,請寫出線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,當(dāng)a=90。時(shí)，過點(diǎn)3作8凡LEP于點(diǎn)R連接AR請直接寫出線段ARAB,AD之間的數(shù)量關(guān)

系；

(3)當(dāng)a=120。時(shí)，連接AP,若BE=；AB,請直接寫出△APE與△COG面積的比.

【考點(diǎn)二】矩形中的折疊問題

例題：(湖北省崇陽縣第一中學(xué)八年級期中)如圖，在矩形ABC。中，E是3c上一動點(diǎn)，將△ABE沿AE折

疊后得到AAEE,點(diǎn)尸在矩形ABC。內(nèi)部，延長A尸交C。于點(diǎn)G,AB=3,AD=4.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)ND4G=30。時(shí)，求BE的長；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)E是2C的中點(diǎn)時(shí)，求線段GC的長；

⑶如圖3,點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，當(dāng)ACPE的周長最小時(shí)，直接寫出BE的長.

【變式訓(xùn)練】

1.(江蘇?洪澤外國語中學(xué)八年級階段練習(xí))矩形ABCD的邊長AB=18cm,點(diǎn)E在BC上，把沿AE

折疊，使點(diǎn)2落在C。邊的點(diǎn)尸處，ZBA￡=30°.

圖1圖2

⑴如圖1,求。尸的長度;

(2)如圖2,點(diǎn)N從點(diǎn)廠出發(fā)沿FD以每秒Ie:”的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AF以每秒2c7"

的速度向點(diǎn)F運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為，秒(0</<9),過點(diǎn)尸作于點(diǎn)

①請證明在N、尸運(yùn)動的過程中，四邊形RVMP是平行四邊形；

②連接NP,當(dāng)/為何值時(shí)，△初VP為直角三角形？

2.(江蘇無錫?八年級期末)如圖，長方形紙片A3C。中，AB=8,BC=12,點(diǎn)、E、尸分別在邊AD和邊BC

上，連接EF,將紙片沿EF折疊.

圖⑴圖⑵

(1)如圖(1),若點(diǎn)2落在邊的延長線上的點(diǎn)G處，求證：GE=GF；

(2)如圖(2),若點(diǎn)2落在邊CD的中點(diǎn)M處，求3尸的長.

3.(湖南?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校八年級期末)如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,

NA=N￡>=90。，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,且點(diǎn)G在四邊形ABC。

內(nèi)部，延長BG交DC于點(diǎn)R連接EE

⑴求證：四邊形ABCD是矩形；

⑵求證：GF=DF；

⑶若點(diǎn)AB=6,BC=8,求OF的長.

4.（江蘇?無錫市東林中學(xué)八年級期中）在四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC=Z0=90°,AB=CD=10,

BC=AD=S.

（1）尸為BC上一點(diǎn)，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置（點(diǎn)8落在點(diǎn)E處）.

①如圖①，當(dāng)點(diǎn)E落在邊CD上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖①中作出滿足條件的圖形（即AAE尸的位置，不

寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出此時(shí)OE=—.

②如圖②，PE與CO相交于點(diǎn)RAE與CO相交于點(diǎn)G,>FC^FE,求B尸的長.

（2）如圖③，已知點(diǎn)。為射線BA上的一個(gè)動點(diǎn)，將ABC。沿CQ翻折，點(diǎn)8恰好落在直線。。上的點(diǎn)2,

處，求2。的長.

5.（全國?八年級專題練習(xí)）在長方形紙片ABCO中，點(diǎn)E是邊C。上的一點(diǎn)，將AAED沿AE所在的直線折

疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)尸處.

（1）如圖1,若點(diǎn)尸落在對角線AC上，且NBAC=54。，則ND4E的度數(shù)為°.

（2）如圖2,若點(diǎn)尸落在邊BC上，且AB=CO=6,AO=BC=10,求CE的長.

（3）如圖3,若點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，A尸的延長線交BC于點(diǎn)G,且AB=CD=6,AD=BC=10,求CG的長.

6.（湖南?長沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形0ABe為矩形，其中。為原點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)

分別在x軸和y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)是（4,6）,將矩形沿直線。E折疊，使點(diǎn)C落在邊上點(diǎn)尸處，折痕

分別交0C、BC于點(diǎn)E、D,且點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,6）.

（1）求2尸的長度；

（2）如圖2,點(diǎn)P在第二象限，且△P但△CED,求直線PE的解析式；

（3）若點(diǎn)M為直線DE上一動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N,使以M、N、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖1圖2備用圖

【考點(diǎn)三】矩形中的動點(diǎn)問題

例題：(江蘇無錫,八年級期中)如圖1,已知長方形ABC￡>,AB=CD=2,BC=AD=3,ZA=ZB=ZC=

ND=90。，E為CD邊的中點(diǎn)，尸為長方形ABCD邊上的動點(diǎn)，動點(diǎn)P從A出發(fā)，沿著Af2fC玲E運(yùn)動到

E點(diǎn)停止，設(shè)點(diǎn)尸經(jīng)過的路程為x,AAPE的面積為y.

(1)當(dāng)x=l時(shí)，y=；當(dāng)x=5.5時(shí)，>=；

(2)如圖2,求出當(dāng)點(diǎn)P邊BC時(shí)，用x的代數(shù)式表示y；

(3)如備用圖，當(dāng)尸在線段BC上運(yùn)動時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得AAPE的周長最小？若存在，求出此時(shí)2必。

的度數(shù)；若不存在，請說明理由.

【變式訓(xùn)練】

1.(吉林?長春市第八十七中學(xué)八年級階段練習(xí))如圖，矩形A3CD中，AS=12cm,BC=6cm,動點(diǎn)尸以2cm/s

的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB-3C向終點(diǎn)C運(yùn)動，動點(diǎn)。以2cm/s的速度從點(diǎn)D開始沿折線D4-向終

點(diǎn)B運(yùn)動，如果點(diǎn)尸、。同時(shí)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的時(shí)間/秒，-CP。的面積為S.

(1)當(dāng)才=秒時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A,當(dāng)/=時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)5.

(2)當(dāng)/為何值時(shí)，一。4尸為等腰直角三角形？

(3)表示一CP。的面積S(可用含有r的代數(shù)式表示)，請直接寫出結(jié)果.

2.(全國?九年級)如圖，已知矩形ABC。，AD=4,CD=10,尸是AB上一動點(diǎn)，M、N、E分別是P。、PC、

CO的中點(diǎn).

（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；

（2）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請說明理由.

3.（江蘇?蘇州市吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，.ABC中，點(diǎn)。是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，過

點(diǎn)。作直線MN〃:BC,交N4CB的平分線于點(diǎn)E,交N4cB的外角平分線于點(diǎn)尸.

（1）判斷0E與O尸的大小關(guān)系？并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形AEC尸是矩形？并說出你的理由;

4.（江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖，已知長方形的邊AD=8,AB=4,動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位

長度的速度沿A玲D玲A的路徑勻速運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿C玲8方向以每秒1個(gè)單位長度的

速度勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，秒.

（圖一）（圖二）

（1汝口（圖一），當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為1秒時(shí)，求MN的長度;

⑵當(dāng)時(shí)，直接寫出為直角三角形時(shí)的運(yùn)動時(shí)間/的值;

（3）如（圖二），當(dāng)4</<8時(shí)，判斷-AMN的形狀，并說明理由.

5.（甘肅,蘭州H^一中九年級階段練習(xí)）如圖1,在AABC中，AB=AC,AD是△ABC的一條角平分線，AN

為△ABC的外角NBAM的平分線，BE工AN,垂足為E.已知4。=4,80=3.

（1）求證：四邊形ADBE是矩形;

（2）如圖2,延長AD至點(diǎn)孔使AF=AB,連接3尸，G為BF的中點(diǎn)，連接EG,DG.求EG的長.

（3）如圖3,在（2）問的條件下，尸為BE邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PG并延長交延長線于點(diǎn)。，連接

CQ,”為CQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸從E點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)〃所經(jīng)過的路徑長.

6.（江蘇?無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中）如圖①，在長方形。43c中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)

A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,6）,點(diǎn)8在第一象限.點(diǎn)尸從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的

速度沿著。-4B-C-。的路線勻速移動（即：沿著長方形移動一周）.點(diǎn)尸移動的時(shí)間為保

(1)點(diǎn)2的坐標(biāo)為；當(dāng)f=4s時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

(2)在移動過程中，當(dāng)點(diǎn)尸到x軸的距離為5個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動的時(shí)間.

(3)如圖②，若將長方形OABC沿著AC翻折，點(diǎn)B與點(diǎn)9重合，邊與y軸交于點(diǎn)E,求出點(diǎn)E的坐

標(biāo).

7.(浙江?溫州市第四中學(xué)九年級期中)已知：如圖1,在長方形ABCD中，AD//BC,AB=4,AD=BC=10,

點(diǎn)P是AD邊上的動點(diǎn)，將人鉆尸翻折得延長PE交BC于點(diǎn)E連結(jié)EC.

(1)求證：FP=FB.

(2)如圖2,當(dāng)4EC=90。時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C剛好重合.求此時(shí)AP的長.

(3)如圖3,連結(jié)CP,在點(diǎn)尸運(yùn)動過程中，當(dāng)和一PCE面積相等時(shí)，則AP=.(直接寫出答案)

【考點(diǎn)四】矩形中的作圖問題

例題：(江蘇鎮(zhèn)江?九年級期末)如圖，已知矩形ABC。(AB<AD).E是BC上的點(diǎn)，AE=AD.

D

BL

（常用圖）

⑴在線段CD上作一點(diǎn)R連接所，使得NEFC=NBE4（請用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡卜

⑵在（1）作出的圖形中,若AB=4,AD=5,求OF的值.

【變式訓(xùn)練】

1.（江西?崇仁縣第二中學(xué)九年級期中）已知：矩形ABCD,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AM上，請用無刻

度尺畫圖：

A/

（1）在圖甲中，在邊3c上找一點(diǎn)用,使Cg=AE；

（2）在圖乙中：在邊3c上找一點(diǎn)心，使BE2=AE.

2.（湖北省直轄縣級單位?八年級階段練習(xí)）如圖，矩形A3CD中，點(diǎn)E在3c上，且隹=EC,試分別在下

列兩個(gè)圖中按要求使用無刻度直尺畫圖.（保留作圖痕跡）

（1）在圖1中，畫出NDAE的平分線;

（2）在圖2中，畫出/AEC的平分線.

3.(江蘇?常州市第二十四中學(xué)八年級期中)如圖，矩形A