八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（浙教版）

專題11菱形的性質(zhì)與判定

【考點(diǎn)一】菱形的性質(zhì)與判定綜合考

例題：（浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=AD,對角線AC、BD交于0,

AC平分ZB4D.

⑴求證：四邊形ABCD是菱形；

⑵過點(diǎn)C作交A3的延長線于點(diǎn)E,連接0E,若AB=3至,BD=6,求0E的長.

【答案】⑴證明見解析

（2）6

【解析】

【分析】

（1）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義可知"8=NZMC,根據(jù)一組對邊平行且相等證明四邊形"CD是

平行四邊形，進(jìn)而可證平行四邊形ABCD是菱形；

（2）由菱形的性質(zhì)可知OB=g8D=3,。為線段AC的中點(diǎn)，則OE是RjAEC斜邊上的中線，可知

OE=^AC=OA=OC,在處AO3中，由勾股定理得Q4=一可？，求出Q4的值，進(jìn)而可得OE的值.

⑴

證明：CD,

：.NCAB=NDCA,

■■■AC為NB4￡）的平分線，

ZCAB=ADAC,

：.ZDCA=Z.DAC,

/.CD=AD,

CD=AB,

又「ABCD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

又

平行四邊形ABC。是菱形.

⑵

解：:四邊形ABCD是菱形，皮）=6,

.OA=OC,BD±AC,OB=；BD=3,

二。為線段AC的中點(diǎn)

CE±AB,

ZAEC=90°,

/.OE是RJ.AEC斜邊上的中線，

/.OE=-AC=OA=OC,

2

在RfAO8中，AB=3辨,03=3,由勾股定理得04=履二^=6，

OE=OA=6,

???OE的長為6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行四邊形的判定，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三

角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

【變式訓(xùn)練】

1.（吉林四平?八年級期末）如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，AELBC于E,A尸，CD于尸，且BE=DF.

⑴求證：四邊形ABCO是菱形；

（2）連接EF,若NCEE=30。，BE=2,直接寫出四邊形ABC。的周長.

【答案】⑴見解析

⑵16

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得NB=N。，進(jìn)而易證△ABE三△AO尸(ASA),即得出AB=AO,進(jìn)而即可求

證結(jié)論：口ABCD是菱形；

(2)由菱形的性質(zhì)可知BC=CD,進(jìn)而可得CE=b,再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出

ZEC尸=120。,即求出N2=60。，最后利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可求出AB的長，進(jìn)而即可求出菱

形的周長.

⑴

證明：1,四邊形ABC。是平行四邊形

ZB—AD,

■：AEJ.BC,AFrCD,

：.ZAEB=ZAFD=90°,

在小AEB和4AFD中，

2B=ND

<BE=DF,

NAEB=ZAFD

△AEB號△AFD(ASA),

AB—AD,

A四邊形ABC。是菱形.

(2)

如圖，由(1)可知BC=C￡),

?,BE=DF,

CE=CF,

ZCFE=NCEF=30°,

/.ZECF=18O°-2ZCEF=120°,

/.ZB=180°-ZEC尸=60。,

在放△A3E中，ZBAE=30°,

AB=2BE=4,

菱形ABCD的周長為4x4=16.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以

及含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

2.（貴州遵義?二模）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)￡在邊上，將ABCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)

P處，過點(diǎn)尸作FG〃CD交BE于點(diǎn)G,連接CG.

⑴求證：四邊形CEFG是菱形；

⑵若AB=3,AD=5,求四邊形CEFG的面積.

【答案】⑴證明見解析

⑵3

3

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得CE=EF,ZCEB=NFEB,m-SAS"^AGEF^AGEC,由全等三角形的性質(zhì)可

得GF=GC,ZFGE=ZCGE,易證四邊形CEPG是平行四邊形，由CE=斯即可求證結(jié)論；

（2）由勾股定理和折疊的性質(zhì)求得。尸的長，設(shè)CE=x,由（1）結(jié)論在RdOE尸中根據(jù)勾股定理列方程求

解即可；

⑴

由折疊的性質(zhì)可得CE=EF,ZCEG=NFEG,

又GE=GE,

△GEFV△GEC（SAS）,

GF=GC,ZFGE=NCGE,

/FGWCD,

ZFGE=NCEG,

ZCGE=ZCEG,

/.EC=GC,

GF=EC,

四邊形CE尸G是平行四邊形，

又CE=EF,

四邊形CEFG是菱形；

⑵

「ABC。是矩形，AB=3,BC=5,

/.BF=AD=BC=5,CD=AB=3,ZA=90°,

在放aAB尸中，由勾股定理可得：

AF=VBF~-AB~=A/52—32=,25-9=4,DF=AD—AF=5—4=1,

設(shè)CE=EF=x,貝ij￡>E=3-x,

在DEF中,EF-=DE2+DF2，即/=（3-xJ+仔，

解得：x=|,即CE=g,

四邊形（76/七的面積=6￡.。尸=9、1=2.

33

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰二角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；掌握相

關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（吉林四平?八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、2。交于點(diǎn)0,過點(diǎn)A作AEJ_BC于E,

延長BC到點(diǎn)孔使CF=BE,連接

⑴求證：四邊形AEED是矩形；

⑵連接0E,若AD=10,EC=4,求?！甑拈L度.

【答案】(1)見解析

(2)275

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ADIIBC且AO=BC,等量代換得到BC=EF推出四邊形AEFO是平行四邊形，

根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)得AD=AB=BC=10,由勾股定理求出AE=8,AC=4后,再由直角三角形斜邊上的中線

性質(zhì)即可得出答案.

⑴

證明：?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AD\\BCS.AD=BC,

-：BE=CF,

：.BC=EF,

：.AD=EF,

'：ADWEF,

四邊形AEFD是平行四邊形，

「AE±BC,

：.ZAEF=90°,

A四邊形AEF。是矩形；

⑵

丁四邊形ABC。是菱形，AD=10,

:.AD=AB^BC=109

EC=4,

BE=10—4=6,

在放2^56中，

由勾股定理得:AE=4AB。-BE?=V102-62=8，

在RdACE中，

由勾股定理得：AC=yjAE2+CE2=>/82+42=4A后，

四邊形ABC。是菱形，

OA=OC,

OE=-AC=2y[5.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練運(yùn)用

菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.(四川達(dá)州?九年級期末)如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,E是3D的中點(diǎn)，連接AE,CE,

過點(diǎn)C作CF//AE交AD于點(diǎn)F,且=連接斯.

⑴求證：四邊形是菱形；

(2)若5-=6,求四邊形AECF的面積.

【答案】⑴見解析

⑵6

【解析】

【分析】

(1)由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AE=gBO,CE=；BD,則AE=CE,再證CF=AE,則四邊形

AEB是平行四邊形，即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)E是8。的中點(diǎn)，得到S"DE=!；x6=3,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AF//EC,求得

SACEF=S&CDE=3,于是得到結(jié)論.

⑴

證明：NBAD=ZBCD=90。,E是3。的中點(diǎn)，

AE=-BD,CE=-BD,

22

AE=CE,

CF=-BD,

2

：.CF=AE,

-：CF//AE,

四邊形AEb是平行四邊形，

又丫AE=CE,

平行四邊形是菱形.

⑵

解：:E是的中點(diǎn)，SMCD=6,

S&ECD=/=$*6=3,

???四邊形AECT是菱形，

AF//EC,S菱形AECF=2S.CEF,

:.ACEF與ECD同底等高，

S&CEF=S^ECD=3,

S菱形MW=2S.CEF=6.

?四邊形AECV的面積為6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).熟練掌握直角

三角形斜邊上的中線性質(zhì)，證明四邊形AECF為菱形是解題的關(guān)鍵.

5.（吉林四平?八年級期末）如圖在&△ABC中，ZACB=90°,ABC,點(diǎn)。是邊AB上的一個動點(diǎn),

且不與A、3兩點(diǎn)重合，過點(diǎn)D作DEL4c于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸是射線即上的點(diǎn)，S.DF=CB,連接BP、CD,

得到四邊形BCDF.

⑴求證：四邊形不是平行四邊形;

(2)若AB=8,ZA=3O°,設(shè)AO=x,四邊形BCDP的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x

的取值范圍；

⑶在(2)的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)2使四邊形BCL0為菱形？若存在，請求出S的值；若不存在，

請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)S=-26+16若，0<x<8

⑶存在，8幣

【解析】

【分析】

(1)首先證明PE"BC,然后根據(jù)平行四邊形的判定方法即可求證結(jié)論；

(2)由題意，先求出BC和AC的長度，設(shè)4。=無，求出AE的長度，然后表示出CE的長度，即可求出答案;

(3)由菱形的性質(zhì)，得至ljBD=BC=￡>C,然后求出8。的長度，得到點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，即可得到答案.

⑴

證明：...NACB=90°,

ACrBC,

'：DELAC,

FEWBC,

???DF=CB,

A四邊形3c。方是平行四邊形；

⑵

???ZACB=90°,AB=8,ZA=3O°,

8C=4,

由勾股定理可得：AC=,82—42=4g，

/ZAE￡>=90°,AD=x,

i/?

：.DE=-x,AE=^-x

22

EC=AC-AE=^-—x,

2

S=BC.EC=4x4A/3-^X=—2瓜+16小，

:點(diǎn)。不與4、8兩點(diǎn)重合，

，自變量x的取值范圍為：0〈尤＜8；

（3）

存在，

若四邊形BCDF為菱形,

BC=DC,

/ZACB=90°,NA=30°,

NA3C=60。，

「.△BCD為等邊三角形，

BD—BC—DC,

,.BC=4,AB=S,

/.BD=AD=4,

：.x=4,

S=-2A^X4+16A/3=8A/3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

所學(xué)的性質(zhì)定理進(jìn)行解題.注意掌握數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題.

6.（山東?薛城區(qū)北臨城中學(xué)模擬預(yù)測）在菱形ABC。中，N/SC=60。，點(diǎn)P是射線8。上一動點(diǎn)，以AP

為邊向右側(cè)作等邊AAPE,點(diǎn)B的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在菱形A2CD內(nèi)部或邊上時，連接CE,與CE的數(shù)量關(guān)系是,CE與的位置

關(guān)系是;

⑵當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明：若不成立，請說明理由

（選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說理）

⑶如圖4,當(dāng)點(diǎn)尸在線段8。的延長線上時，連接BE,若AB=26,BE=2y/19,求四邊形ADPE的面積.

【答案】⑴BP=CE,CE±AD

(2)成立，證明見解析

(3)873

【解析】

【分析】

(1)連接AC,根據(jù)題意可得△ABC和AAOC為等邊三角形，從而4B=AC,又有△APE為等邊三角形，可

AP=AE,aBAP=NCAE,可證AABP與空ACE,得到3P=CE,ZACE=ZABP=3Q°,再根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)可得CELAD,即可解答；

(2)根據(jù)題意可得AABC和AAOC為等邊三角形，從而AB=AC,又有△APE為等邊三角形,可得AP=AE,

ZBAP=ZCAE,可證AABP與空ACE,得至I」BP=CE,ZAC￡=ZABP=30°,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

CE±AD,即可解答；

(3)連接AC,CE,設(shè)AO與CE交于點(diǎn)M,AC與8。交于點(diǎn)O,由(2)可得NBCE=90。，根據(jù)勾股定理

求出CE,然后分別求出S西和S△皿,，即可求解.

⑴

解：(1)如圖，連接AC,延長CE交A。于點(diǎn)H,

,??四邊形ABCD為菱形，NABC=60。，

AB=BC=CD=AD,ZAB￡>=30°,NADC=NABC=60°,

△ABC和△AOC為等邊三角形，

.--zBAC=60°,ZCAD=6Q°,AB=AC,

???△APE為等邊三角形,

/.AP=AE,ZPAE=60°,

：.ZBAC-ZB4C=ZME-ZMC,

即NBAP=NCAE,

在△AB尸與△ACE中，

AB=AC

</BAP=/CAE,

AP=AE

△A3P與空ACE,

，BP=CE,ZACE=ZABP=30°,

ZCA￡)=60°,

.?.ZAHC=180?！狽OW—ZACE=90。,

CEJ_AZ)；

故答案為：BP=CE,CE±AD；

⑵

解：成立，BP=CE,CE±AD；

選擇圖2中的情況，設(shè)CE與AO的交點(diǎn)為點(diǎn)”，證明如下:

C

圖2

???四邊形A3CO為菱形，ZABC=60°,

/.AB=BC=CD=ADfZABD=30°fZADC=ZABC=60°,

△ABC和△ADC為等邊三角形，

/.ZBAC=60°,ZCAD=60°,AB=ACf

?-?△APE為等邊三角形，

AP=AE,ZPAE=60°,

：.ZBAC+NPAC=Z.PAE+Z.PAC,

即NBAP=NCAE,

AB=AC

在△A3尸與△ACE中，＜ZBAP=ZCAE,

AP=AE

△ABP與合ACE,

BP=CE,zACE=4ABP=30°,

-：ZCAD=60°,

ZAHC=180°-ZC4D-ZACE=90°,

.1.CEJ_AZ）；

選擇圖3中的情況，證明同圖2方法一樣；

故當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時，（1）中的結(jié)論依然成立.

（3）

解：如圖，連接AC,CE,設(shè)AO與CE交于點(diǎn)M,AC與BD交于點(diǎn)O,

由⑵可得BP=CE,CE±AD,NACE=NABP=30。,

△ABC為等邊三角形，

ZACB=60",

zBCE=ZACB+ZACE=90a,

BC=AB=2A/3,BE=2y/19,

.，-CE=SJBE2-BC2=7（2A/19）2-（2A/3）2=8，

:.BP=CE=8,

■■△AOC為等邊三角形，AD=AB=AC=2也,

AM^-AD=43,

2

:.CM=VAC2-AM2=7（2A/3）2-（A/3）2=3，

:.EM=CE-CM=5,

■■-AE=^AM2+EM2=卜+（可=2g，

AAEP為等邊三角形，

-AP=-AE=,

22

.1A尸邊的高為=而,

51x2A/7xA/21=773,

AB=2y/3,

AO=—AB=4S,

2

??.OB=y/AB2-A02;=3,

BD=2OB=69

/.DP=BP-BD=8-6=2,

S=-DP-AO=-x2xA/3=^3,

?MinPp22

=7A/3+A/3=8A/3.

一S四邊形ADFE=SAEP+SADP

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，能根據(jù)題

意得到全等三角形，充分利用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)二】菱形的折疊問題

例題：（廣東河源?九年級期末）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=1200,將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對角

線上的點(diǎn)G處（不與3、。重合），折痕為EF,若OG=2,AD=6,則55的長為（

57

A.—B.—C.3D.3.5

23

【答案】A

【解析】

【分析】

作EHLBD于H,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG=EA,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△ABO為

等邊三角形，得到根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】

由折疊的性質(zhì)可知，EG=EA,

■■■四邊形ABCO是菱形，

：.AD=AB,NABD=NCBD=g4ABC=6Q。,

△A3。為等邊三角形，

AB=BD=AD=6,

設(shè)BE—x,貝！JEG=AE=6-x,

在RfAEHB中，BH=^-x,EH=BX,

22

在RfAEHG中，EG2=EH2+GH2,即(6-x)2=(@x)2+(4-2,

22

解得，x=j,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，熟記各知識點(diǎn)并綜合運(yùn)用是

解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（山西?模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABC。中，ZB=60°,AB=4,E,尸分別是邊A3,8C上的點(diǎn)，將

沿跖折疊，使點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)B落在邊AD上，若AE=AB',則CF的長為.

【答案】4-2月#-2五+4

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形性質(zhì)和/3=60。，可得BC=AB=4,AD〃BC,/A4D=120。，過點(diǎn)A作AGLEB，于點(diǎn)G,AP1BC

于點(diǎn)尸，過點(diǎn)于點(diǎn)2,得矩形AP。'，然后利用含30度角的直角三角形可得;（4-AE）=#AE,

得AE=26-2,再利用勾股定理即可解決問題.

【詳解】

解：在菱形ABCD中，/3=60。，BC^AB=4,AD//BC,

ZBAD=120°,

如圖，過點(diǎn)A作AGLE3,于點(diǎn)G,APL3c于點(diǎn)尸，過點(diǎn)"Q_L8C于點(diǎn)Q,

得矩形AP。。'，如圖所示：

PQ=AB'fB'Q=AP,

AE=AB\AG±EB',

,-.EG=BG=-EB',ZAEG=30°,

2

由翻折可知：BE=B'E,BF=B'F,

:.BE=B'E=AB-AE=4-AE,

...￡G=B'G=|（4-AE）,

EG=AEcos30°,

.-.|（4-A￡）=^AE,

解得AE=2g-2,

PQ=AB'=AE=2,^-2,,

在RfABP中，ZB=60°,AB=4,

:.BP=-AB=2,

2

AP=2-j3,

:.B'Q=AP=2y/3,

:.CF=BC-BF=4-BF,

在M8'。廠中，根據(jù)勾股定理，得:B'Q2+QF2=B'F2,

，（2百f+（BF-2廚=BF-,

解得BF=2道,

:.CF=4-BF=4-2y/3,

故答案為：4-2A/3.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理求線段長，涉及到翻折變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,

熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

2.（遼寧錦州?一模）如圖，在菱形ABC。中，F(xiàn)為BC邊上一點(diǎn),將CD尸沿折疊，點(diǎn)C恰好落在CB延

長線上的點(diǎn)￡處，連接DE交AB于點(diǎn)G,若BE=3,BF=2,則。尸的長為.

D

【答案】2氓

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)得C小EEDF^BC,代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得CF=5,BC=1,由菱形的性質(zhì)得。C=7,最后根據(jù)

勾股定理可得。尸的長.

【詳解】

解：由折疊得，CF=EF,DFLBC,

?；BE=3,BF=2

：.EF=BE+BF=3+2=5

CF=5

：.BC=BF+FC=2+5=1

■.四邊形AB。是菱形

DC=BC=7

在Rt^DFC中，DC2=DF2+CF2

DF=^DC--CF2=A/72-52=2A/6

故答案為：2而

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CF=ERDF上BC是

解答本題的關(guān)鍵.

3.（全國?九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD邊A3的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊AD上一動點(diǎn)，連接所，將

△AEF沿直線EF折疊得到△AEE連接A'C.已知BC=4,N8=120。，當(dāng)△4CD為直角三角形時,

線段AF的長為.

【答案】2或-2

【解析】

【分析】

分當(dāng)ZCAD=90°時和當(dāng)/AOC=90。時兩種情況討論求解即可.

【詳解】

解：如圖1所示，當(dāng)/arr>=90。時，取co中點(diǎn)“，連接A，H,

A'H=-CD=DH,

2

四邊形ABCD是菱形，E為中點(diǎn)，

AE^-AB=~CD^A'H,NA=180。-/2=60。，ABCD,

22

由折疊的性質(zhì)可知AE=A'E,AF=AF,ZAEF^ZAEF

AE+AH=AB^AD,

連接E”，

?'AE^DH=A!H,AE//DH

?四邊形是平行四邊形，

./AEH=NB=120。,AD=EH,

,由三角形三邊的關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)A不在線段E"上時，必有AE+A">E"=AD,這與

AH+AZ=CD=AD矛盾，

:.E、A、X三點(diǎn)共線，

ZAEF=ZAEF=60°,

:\&A所為等邊三角形，

AF=AE=-AB=-BC=2；

22

圖1

如圖2所示，當(dāng)NADC=90。時，連接30,ED,過點(diǎn)尸作/G,A3于G,

???ZABC=120°,四邊形A8C0是菱形，

/.AB=ADfZA=60°,

△A3。是等邊三角形，

?「E是AB中點(diǎn),

/.DE±AB,

：.ZADE=30°,

/.ZEDC=90°,

此時。、4、石三點(diǎn)共線，

由翻折的性質(zhì)可得NAE尸=NA防=45。,

/FG±AE,ZA=60°,ZAEF=45°,

ZAFG=30°,ZGFE=45°,

AF=2AGfEG=FG,

FG=yjAF2-AG2=^AF,

2

AE=AG+GE=-AB^-BC=2,

22

-AF+—AF=2,

22

AF=2退-2,

故答案為：2或26-2.

圖2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，含30度角的直

角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等等，利用分類討論的思想求解是

解題的關(guān)鍵.

4.（全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形中，ZA=6O°,E為4）邊上的一個動點(diǎn)，連接BE,將AB

沿著BE折疊得到48,A的對應(yīng)點(diǎn)為A,連接40,當(dāng)時，N4DE的度數(shù)為.

【答案】15°##15度

【解析】

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得"="＞，可證是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得A3垂直平分短）,

ZA&V=30。，由折疊的性質(zhì)可得AB=A3,可得NW75。，即可求解.

【詳解】

解：如圖，連接A4',BD,

四邊形"CD是菱形，

:.AB^AD,

ZA=60°,

；.A4BD是等邊三角形，

A,B±AD,

.?.A3垂直平分AD,44￡4=30。，

:.AA=AD,

:.ZA'AD=ZADA,

,■?將AB沿著BE折疊得到A'B,

:.AB=AB,

.?.ZB4A'=75°,

:.ZA!AD=ZADA^15°.

故答案為：15。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明AABD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

5.（安徽?合肥市五十中學(xué)新校二模）如圖，在菱形A2CD中，ZA=120°,A3=2,點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，

以DE為對稱軸將折疊得到△DGE,再折疊2E使BE落在直線EG上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)兒折痕

為EF且交BC于點(diǎn)F.

（1）ZDEF=；

（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則。尸的長為.

【答案】90°2.8

【解析】

【分析】

(1)由折疊得NDEG+NHEF=NAED+NBEF,再根據(jù)平角的定義可得結(jié)論;

(2)首先證明3、G、。在同一條直線上，再運(yùn)用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】

解由折疊得，NAED=ZDEG,ZBEF=ZHEF

ZDEG+NHEF=ZAED+NBEF

/ZAED+ZDEG+ZHEF+ZBEF=180°

zDEG+ZHEF=1x180°=90°

2

即NDEF=90。

故答案為：90°；

(2)-/四邊形A3C0是菱形

:.AD//BC,DC//AB,AB=BC=CD=DA=2

/.ZB+ZA=180°

ZA=120°

ZB=180°-ZA=180°-120°=60°

???點(diǎn)七為A3的中點(diǎn)，且A3=2

/.AE=BF=—AB=—x2=1.

22

???點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，

NDGE=ZA=120。

,??點(diǎn)3與點(diǎn)H重合

ZEHF=ZB=60°

又AE=EG,BE=EH,AE=BE

EG=EH

點(diǎn)G與點(diǎn)“重合

/ZDGE+AFHE=ADGE+AFGE=100°+80°=180°

/.B,G,。三點(diǎn)在同一條直線上

過點(diǎn)。作DOLBC,交8C的延長線于點(diǎn)O,如圖,

*/DCIIAB

：.ZDCO=ZB=6Q°,DC=AB=2

/.ZCDO=3Q°

：.CO=-DC=-x2=l.

22

在RfDC。中，OD=-JDC2-OC2=V22-l2=A/3

由折疊得，BF=FH,AD=DH=2

設(shè)BF=尤，貝1JFT=2—x

DF^DF+GF=2+x,FO^FC+CO=2-x+l^3-x

在應(yīng)力>尸。中，DF2=FO2+DO2

，（2+x）2=（3-x>+（后

解得，%=0.8

DF=2+0.8=2.8

故答案為2.8

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題

的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三】菱形的動點(diǎn)問題

例題：（新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中學(xué)八年級期中）如圖，在菱形ABCD中，尸是對角線AC上一動點(diǎn),

過點(diǎn)P作PE1BC于點(diǎn)E,PF1AB于點(diǎn)?若菱形ABCD的周長為20,面積為24,則PE+PF的值為（）

AD

二

BEC

24八48

A.4B,—C.6D.—

55

【答案】B

【解析】

【分析】

連接BP,通過菱形ABC。的周長為20,求出邊長,菱形面積為24,求出SA8C的面積，然后利用面積法,

SABP+SCBP=SABC,即可求出PE+小的值.

【詳解】

解：連接2尸，如圖，

A__________________D

B<EC7

V菱形ABC。的周長為20,

/.AB=BC=20-4=5,

又「菱形ABCD的面積為24,

/.SABC=24-r2=12,

又SABC=SABP+SCBP

：.SABP+SCBP=12,

-AB.PF+-BC-PE=12,

22

「AB二BC,

/.^AB.(PE+PF)=12

AB=5,

224

PE+PF=12x—=——.

55

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于添加輔助線，通過面積法得出等量關(guān)系，求出P4PE的值.

【變式訓(xùn)練】

1.（山東德州二模）如圖，菱形ABCD的邊長為9,面積為18?,P、E分別為線段B。、BC上的動點(diǎn),

則PE+PC的最小值為.

BEC

【答案】26

【解析】

【分析】

如圖，連接AP,過點(diǎn)A作AH_LBC于H.說明出=尸&再根據(jù)垂線段最短，解決問題即可.

【詳解】

解：如圖，連接AP,過點(diǎn)A作AH_L8C于”.

A,C關(guān)于即對稱，

PA=PC,

PE+PC=AP+PE,

■：AP+PE>AH,

PE+PC>AH,

,.?S菱形

.AH=^|=2G

9

,PE+PC>2y/3,

，PE+PC的最小值為26,

故答案為：273.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對稱=最短問題，菱形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用垂線段最短解決最值

問題，屬于中考常考題型.

2.（全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AABC=120°,對角線AC、8。交于點(diǎn)O,BD=4,點(diǎn)

E為。。的中點(diǎn)，點(diǎn)P為A3上一點(diǎn)，且AP=32凡點(diǎn)尸為AC上一動點(diǎn)，連接尸￡、PF,貝的最

大值為

D

B

【答案】1

【解析】

【分析】

取中點(diǎn)E,連接PE,作射線FE交AC于點(diǎn)P.則PE=PE',當(dāng)尸與P重合，P、E、F三點(diǎn)在同一直

線上時，尸尸-PE有最大值，即為PE的長.

【詳解】

解：如圖，取08中點(diǎn)E',連接PE,作射線尸￡交AC于點(diǎn)P.

則PE=PE',

D

B

：.PF-PE=PF-PE<FE,

當(dāng)尸與P重合，尸、E'、F三點(diǎn)在同一直線上時,

PF-PE有最大值,即為尸E的長，

???在菱形ABCD中,ZABC=120°,

NABD=60°,N0A8=6O°,

」.△A3。為等邊三角形.

/.AB=BD=AD=4.

/.OD=OB=2.

???點(diǎn)E'為03的中點(diǎn)，E'B=1,AF=3BF,

4

?：NAB￡>=60°,

△BEE為等邊三角形，

EF=FB=1.

故PF-PE的最大值為1.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對稱-最大值問題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)和三角

形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（廣西貴港?二模）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ZABC=60°,動點(diǎn)P在對角線3。上，連接上4,

則PA+^PB的最小值是.

【答案】6

【解析】

【分析】

過點(diǎn)P作尸于E,過點(diǎn)A作AF,3c于凡根據(jù)題意由菱形的性質(zhì)結(jié)合含30度角的直角三角形的性

質(zhì)可得出=即得出+=從而可說明當(dāng)A、P、E共線時，上4+PE最小，即為

AF的長.求出AF的長即可.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)P作PE，3c于E,過點(diǎn)A作AFL3C于憶

???四邊形ABC。為菱形，且N/RC=60。，

ZPBE=-ZABC=30°,

2

PE=-BP,

2

PA+-PB=PA+PE.

2

兩點(diǎn)之間線段最短，

二當(dāng)A、P、"共線時，R4+PE最小，即為4F的長.

?，-ZABC=60°,

BF=-AB=1,

2

AF=^AB-BF2=73.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識.正確的作出輔助線并判斷出4尸

的長為的最小值是解題關(guān)鍵.

4.（陜西?商南縣富水鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級期中）如圖，菱形ABC。的邊長為4,ZADC=12O°,點(diǎn)E是AD上

一動點(diǎn)（不與點(diǎn)4。重合），點(diǎn)尸是CD上一動點(diǎn)，且A￡+CF=4,則ABEP面積的最小值為.

【答案】3A/3

【解析】

【分析】

首先證明ABE尸是等邊三角形，當(dāng)BEJ_AD時面積最小.

【詳解】

解：連接83,

???菱形A2CD邊長為4,zADC=nO0,

：.ZBAD^60°,

ABO與△BCD都為等邊三角形，

/.ZFDB=Z.EAB=60°,

'：AE+CF=4,[TffDF+CF=4,

/.AE=DF,

?/AB=BDf

.?.△BDF^△BAE(SAS),

BE=BF,ZABE=NDBF,

/.ZEBF=NABD=60°f

…BE尸是等邊三角形，

當(dāng)BELAD時，△8EF的面積最小，

在放AABE中，AE=；4B=2,由勾股定理得BE=2G，

同理可得等邊ABM的邊BE上的高為且x26=3,

2

△3E尸面積的最小值=3g.

故答案為：30

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助

線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

5.（福建?莆田擢英中學(xué)一模）如圖，菱形ABC。的對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)（不

與點(diǎn)A,8重合），于點(diǎn)E,尸尸，03于點(diǎn)孔若AC=20,BD=10,則EF的最小值為.

【答案】275

【解析】

【分析】

連接。尸，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO=^-AC=10,BD=^BD=5,根據(jù)勾股定理得到AB=

府壽=5石，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EP=0P,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：連接。P,如圖，

???四邊形ABCD是菱形，

:.ACA-BD,AO=^AC=10,BD=^BD=5,

-AB=7102+52=545，

.尸石，。4于點(diǎn)區(qū)PFLOB于點(diǎn)、F,

ZEOF=NOEP=NOFP=90°,

?四邊形OEP/是矩形，

EF=OP,

■：當(dāng)。尸取最小值時，石尸的值最小，

.?.當(dāng)OPLAB時，OP最小，

5AABO=|OA?OB=^AB?OP,

10x5廣

適=2班,

??.E/的最小值為2君,

故答案為：2卮

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，菱形的性質(zhì)，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

6.(上海市奉賢區(qū)育秀實(shí)驗學(xué)校八年級階段練習(xí))已知：如圖，在菱形ABC。中，AB=4,NB=60。，點(diǎn)P是

射線8c上的一個動點(diǎn)，ZPAQ=60Q,交射線CD于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)尸到點(diǎn)8的距離為x,PQ=y.

⑴求證：AAP。是等邊三角形；

(2)求〉關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)如果PD_LA。，求8尸的值.

【答案】⑴見解析；

(2)J=7X2-4X+16(尤20)；

(3)BP=0或8P=8

【解析】

【分析】

(1)先判斷出AABC是等邊三角形，進(jìn)而判斷出A54和ACAQ,即可得出4P=AQ,即可得出結(jié)論;

(2)先表示出AH,PH,利用勾股定理即可得出結(jié)論；

(3)分兩種情況，①判斷出點(diǎn)P和點(diǎn)B重合，②判斷出/刑8=90。即可得出結(jié)論.

⑴

證明：如圖1,連接AC

BD

0

圖1

?「四邊形ABC。為菱形

AB=BC,AB/CD

z3=60°

△ABC是等邊三角形，Z3co=180。一N3=120。

/.AB=AC,AACB=^BAC=60°

ZACQ=^BCD-Z.ACB=60°,ZPAQ=ABAC=60°

N3=NACQ,ZBAP=^CAQ

△BAPm△CAQ,

：.AP=AQ

△APQ是等邊三角形

(2)

解：如圖2,作PHLAB于點(diǎn)“，則N3H尸=90。，

?/Z3=60°

/.ZBPH=30。,

??BH=^x,PH=dBP「BH2=斗,

z2

,/AB=4,

:.AH=4-

△AP。是等邊三角形

PQ=AP=y

在RdAHP中，AP2=AH2+Pti2,

/=(—x)2+(4-；x)2—x2-4x+16,

22

y=\Jx2—4x+16(x20)

(3)

解：①當(dāng)點(diǎn)尸在邊BC上，尸。，AQ時，點(diǎn)P與點(diǎn)8重合，x=O,即8尸=0.

②如圖3,

當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長線上，尸OLAQ于點(diǎn)M,

同(1)的方法得，AAP。為等邊三角形.

ZPAQ=60°,

'：PD±AQ,

s.AM^QM,PM垂直平分AQ

是等腰三角形

?.?四邊形ABC。是菱形，NB=60。，

zBA￡>=180--ZB=120°,zADC=60°,

NADQ=120°,

ZDAe=1(180°-ZAZ)e)=30",

zDAP=30°

：.ZBAP=ZBAD-ZDAP=90°,

:.AB=BP

2

AB=4

：.BP=8,

3尸=0或8尸=8

【點(diǎn)睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形

的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，判斷出△出。是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵.

7.(重慶永川?八年級期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABC。的頂點(diǎn)分別在x軸、y軸上，其中C,

。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,-3).兩動點(diǎn)尸、。分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)尸以每秒1個單位的速度沿線

段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)。以每秒2個單位的速度沿折線CD4向終點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為，秒.

⑵當(dāng)點(diǎn)。在CO邊上運(yùn)動時，/為何值時直線尸。將菱形ABCO的面積分成1：2兩部分；

(3)設(shè)四邊形APCQ的面積為y,求y關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式(要寫出f的取值范圍)；在點(diǎn)P、。運(yùn)動的整個過

程中是否存在y的最大值？若存在，求出這個最大值，并指出此時點(diǎn)尸、。的位置；若不存在，請說明理由.

24

【答案】⑴24,y

⑵當(dāng)，=3時，直線尸。將菱形面積分成1：2兩部分

—z(O<r<2.5)

(3)y=2，存在最大值18,此時點(diǎn)P運(yùn)動到AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。運(yùn)動到與點(diǎn)。重合

-(10-/)(2.5</<5)

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)C、。的坐標(biāo)求出OC=4,OD=3,即可利用勾股定理求出CD=JO￡?2+OC2=5,再由菱形

s24

的性質(zhì)可得s=4s.8=24,則/z=而=1；

(2)如圖1.由已知可得：AP=t,CQ=2t,則方。=5-2r,求出

S梯形轉(zhuǎn)8=（人尸+。。）/+2=”+5-2。義彳+2=（（5-。，再由直線尸。將菱形的面積分成1：2兩部分,

則s梯形板一尸或;S,由此求解即可；

（3）分當(dāng)。在O）上，即0<fW2.5時和當(dāng)。在AD上，即2.5<t<5時兩種情況討論求解即可.

⑴

解：；C（4,0）,D（0,-3）,

0C=4,0D=3.

???OCLOD,

CD=ylOD2+OC2=5.

四邊形ABC。是菱形，

菱形面積s=4S?g=4XLOCXOD=4X4X3=24.

,Z'ZACCZIJ2、2

菱形的高〃=含Q=??4;

（2）

解：如圖1.由已知可得：AP=t,CQ=2t,貝i]￡>Q=5-2r.

2412

貝IJS梯形”8=（4尸+。。）/+2=?+5-2/）/彳+2=彳（5—。

12

若直線尸。將菱形的面積分成1：2兩部分，則S梯形”20=35或;S.

1711??

BPy（5-/）=-x24,或M（5-）=§x24.

解得："g或"一（舍去）?

???當(dāng)r=g時，直線尸。將菱形面積分成1：2兩部分.

(3)

當(dāng)。在C。上，即0<tV2.5時，見圖2.

y=S梯形"C°=g（4尸+CQ）,，+2=（f+2，）X菖Xg=/,

，此時，y隨f的增大而增大.

=^（AP+CD）-h-^DQ-h

』+5）q-；（2-5）<

=y（io-0

此時y隨t的增大而減小，無最大值.

2久

—r（O<r<2.5）

，在點(diǎn)尸、。運(yùn)動的整個過程中，y有最大值18,此時點(diǎn)尸運(yùn)動到AB的中點(diǎn),

—（10-f）（2.5<f<5）

點(diǎn)。運(yùn)動到與點(diǎn)。重合.

本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相

關(guān)知識.

8.(遼寧沈陽?九年級期末)在菱形ABCD中，NABC=60。，P是直線8。上一動點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等

邊；APE(A,P,E按逆時針排列)，點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)尸的位置變化而變化.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段8。上，且點(diǎn)E在菱形ABC。內(nèi)部或邊上時，連接CE,則BP與CE的數(shù)量關(guān)

系是，8C與CE的位置關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段3。上，且點(diǎn)￡在菱形A3C。外部時，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請

予以證明；若不成立，請說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線8。上時，其他條件不變，連接BE.若AB=2不,BE=2y/19,請直接寫出；APE的面

積.

【答案】(DBP=CE,CEA.BC-(2)仍然成立，見解析；(3)31G

【解析】

【分析】

(1)連接AC,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明ABAP1△。場即可證得結(jié)論；

(2)(1)中的結(jié)論成立，用(1)中的方法證明△54尸2△CAE即可；

(3)分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)尸在8。的延長線上時或點(diǎn)尸在線段OB的延長線上時，連接AC交8。于點(diǎn)O,由

NBCE=90。，根據(jù)勾股定理求出CE的長即得到BP的長，再求AO、PO、PO的長及等邊三角形4PE的邊

長可得結(jié)論.

【詳解】

解：（1）如圖1,連接AC,延長CE交A￡＞于點(diǎn)",

圖1

???四邊形是菱形，

AB=BC,

NA3C=60。，

△ABC是等邊三角形，

/.AB=AC,ZBAC=60°；

?「△人P石是等邊三角形，

/.AP=AE,ZB4E=60°,

/.ZBAP=NCAE=60°-ZPAC,

△BAP^△CAE(SAS),

/.BP=CE；

v四邊形ABC。是菱形，

NA5P=￡NA5C=30。，

^ABP=^ACE=30°,

/ZACB=60°,

/.ZBCE=6O°+3O°=9O°,

CE-LBC；

故答案為：BP=CE,CE±BC；

(2)(1)中的結(jié)論：BP=CE,