第15講元一次方程及其解法

題內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：主動學(xué)

析教材只教材精講精析，全方位預(yù)習(xí)

講典例練習(xí)題教材習(xí)題學(xué)解題，快速掌握解題方法

弓知識兩大核心考點八種?？碱}型精準(zhǔn)練

第二步：用心記

：學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握，思維導(dǎo)圖助力掌握知識脈絡(luò)，理清知識之間的聯(lián)系

第三步：限時測

過關(guān)檢測效果好，查漏補缺練考點

部析教材學(xué)知識

生知識點1：一元一次方程的概念

i.一元一次方程：等號兩邊都是整式，且只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程叫做一元一次

方程.

一元一次方程中的“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)，一個方程要成為一元一次方程需

要同時滿足以下條件：

?是一個等式(含有等號).

?等號兩邊都是整式(也就是說如果有分母，分母中不能有未知數(shù))；

?未知數(shù)的次數(shù)都是1次；

優(yōu)I知識點2：一元一次方程的解法

解法步驟具體做法數(shù)學(xué)依據(jù)注意事項

(1)不要漏乘不含分母的項

方程兩邊都乘以各分母的

1.去分母等式性質(zhì)2(2)分子是一個整體的，去分母后應(yīng)加

最小公倍數(shù)

上括號

(1)不要漏乘括號里的項

2.去括號去括號去括號法則

(2)不要弄錯符號

含有未知數(shù)項都移到方程

3.移項等式性質(zhì)1移項要變號

左邊，常數(shù)項都移到右邊

4.合并同類項把方程化成岫=6的形式合并同類項法則--------------------------

方程兩邊都除以未知數(shù)的

系數(shù)a,得到方程的解

5.系數(shù)化成1等式性質(zhì)2不要把分子、分母寫顛倒

b

x——

a

解方程時，表中所給步驟是一般步驟，有些步驟可能用不到，要根據(jù)具體方程的形式而定，而且也不

一定要按照表中順序，可以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整或刪減.

o珊期練狷

教材習(xí)題第120頁習(xí)題第7(4)題解題方法指導(dǎo)

解方程：第一步：去分母

x+12—3啰第二步：去括號

---------11----------

23第三步：移項

第四步：合并同類項

第五步：系數(shù)化為1

【分析】

解：

N+112—3x

21=3

解：方程兩邊都乘以6,得：

3Q+1)—6=2(2—32)..............................此處等號左邊的1易漏乘6

去括號，得：

3c+3—6=4—61

移項，得：

32+6/=4-3+6......................................移項別忘了變號

合并同類項，得：

9/=7

系數(shù)化為1,得：

T....................此步中易錯寫成立=/要細(xì)心

教材習(xí)題120頁習(xí)題第8題解題方法指導(dǎo)

小明對方程4了+3=3工+4進(jìn)行如下變形：解方程，要做到步步有據(jù)！

解方程的主要依據(jù)都是等式的基本性質(zhì)

移項，得4?r—4=31—3.

這里最易錯的就是利用等式的基本性質(zhì)

?即4(^-1)=3(x-l).

關(guān)于除的步驟。

B兩邊都除以衛(wèi)一1,得4=3.2

由ac=bc兩邊都除以c得到a=b是最易

請你找出產(chǎn)生錯誤的原因.犯的錯誤,這里必須有一個前提條件就是

c#0,兩邊才可以同時除以c

【分析】

這里錯在第三行中兩邊都除以z—1,

這一步中利用等式的基本性質(zhì)2,等式兩邊都除以了c—1,這有一個前提條件：z—1W0才可

以，而本題中方程的解恰恰是立=1,即￡—1=0,所以這一步錯誤，才得出了荒謬的結(jié)果4=3。

易錯提醒：在等式兩邊都除以一個含有字母的式子時，一定要看看此式子有沒有可能為0!

邰藻考點強斕

題型1一元一次方程的概念與識別

1.下列式子中，是一元一次方程的是（）

A.x+3=0B.2x+2C.—=1D.x2-1=0

尤

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，理解定義“含有1個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整

式方程，叫做一元一次方程.”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.符合一元二次方程的定義，故符合題意；

B.是代數(shù)式不是方程，故不符合題意；

C.是分式方程，故不符合題意；

D.未知數(shù)的最高次數(shù)是2,故不符合題意；

故選:A.

2.下列各式中，屬于一元一次方程的是（）

A.x+3y=0B.3x+l=4C.x+l>lD.-2xy+5xy=3xy

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是依據(jù)一元一次方程方程的定義，含有一個未知數(shù),

且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程.根據(jù)定義判斷即可.

【詳解】解：A、x+3y=0是二元一次方程，不符合題意；

B、3x+l=4是一元一次方程，符合題意；

C、x+l>l不是等式，故不是一元一次方程，不符合題意；

D、-2xy+5xy=3xy,是整式的加減運算，故不是一元一次方程，不符合題意.

故選：B.

3.下列方程中是一元一次方程的是（）

4

A.x2+3x-5=0B.1=0

y

C.y-2=0D.尤+3y=0

【答案】C

【分析】根據(jù)定義即含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的指數(shù)為1的整式方程，判斷即可.

本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.必+3》-5=0,最高次數(shù)為2,不是1,不符合題意；

4

B.--1=0,不是整式方程，不符合題意；

y

C.y-2=0,是一元一次方程，符合題意;

D.尤+3y=0,未知數(shù)的個數(shù)為2個，不是一個，不是一元一次方程，不符合題意；

故選：C.

4.下列方程中，是一元一次方程的是（）

A.2x-y=lB.x-2=1C.5x-2D.--3=2

X

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元一次方

程的定義，逐項分析即可判斷.

【詳解】解：A、2x-y=l,未知數(shù)有2個，不是一元一次方程，不符合題意；

B、x-2=l是一元一次方程，符合題意；

C、5》-2不是方程，不符合題意；

D、工一3=2不是整式方程，不是一元一次方程，不符合題意；

X

故選：B.

5.下列各式：①4x=2；②x+y=l：③-3-3=-6；@x+2x；⑤x—l=2x-3中，是一元一次方程有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1的整

式方程，叫一元一次方程.根據(jù)一元一次方程的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：①4x=2是一元一次方程，

②x+y=l有2個未知數(shù)，不是一元一次方程，

③-3-3=-6是等式，不是一元一次方程，

④x+2x是代數(shù)式，不是一元一次方程，

⑤x-l=2x-3是一元一次方程，

所以一元一次方程有2個，

故選：B.

題型2根據(jù)一元一次方程的概念求字母的值

1.若（加-2）/巾31=6是關(guān)于x的一元一次方程，則相等于（）

A.1B.2C.1或2D.0

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，即只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1,這樣的整式方

程叫一元一次方程.根據(jù)一元一次方程的定義可得：|2加-3|=1,2工0,再解加即可.

【詳解】解：（機-2）=6是關(guān)于x的一元一次方程，

|2m—3|=1,m—2^0,

解得：加=1,

故選：A.

2.若（。-2卜=5是關(guān)于x的一元一次方程，貝匹的值不可能為（）

A.2B.-2C.-3D.3

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)最高次為1的

整式方程，是一元一次方程，據(jù)此即可解答.

【詳解】解：（〃-2卜=5是關(guān)于x的一元一次方程，

??a—2w0,

解得：aw2,

的值不可能為2,

故選：A.

3.若（加-2）止--3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則相等于（）

A.2B.0C.-2D.±2

【答案】C

【分析】此題主要考查了一元一次方程的定義，絕對值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的未知數(shù)的次數(shù)

是及其系數(shù)不為零這兩個條件；

根據(jù)一元一次方程的定義可知未知項的次數(shù)是1,未知項的系數(shù)不能等于零，即可歹U出同-1=1,m+2^0,

從而確定的取值范圍.

【詳解】解：因為方程（m-2）1吁|-3=0是關(guān)于x的一元一次方程，

所以＞4-1=1,m-2^0,

解得m=-2.

故選：C.

4.若（加-2）/*31=6是一元一次方程，則相等于（）

A.1B.2C.1或2D.任何數(shù)

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的定義.含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程，據(jù)此即可

作答.

【詳解】解：：（m-2）/m-31=6是一元一次方程，

機—2H012機—3|=1,

m=lf

故選：A.

5.如果方程（〃?+2）J'M+3=5是關(guān)于x的一元一次方程，那么加的值是（）

A.0B.2C.D.1

【答案】B

【分析】本題主要考查一元一次方程的定義，掌握等式兩邊是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為1的整

式的方程叫一元一次方程成為解題的關(guān)鍵.

直接根據(jù)一元一次方程的定義列式求解即可解答.

【詳解】解：：方程（切+2）無同-+3=5是關(guān)于龍的一元一次方程，

fm+2w0

二?〈I?11，解得：m=2.

I|m|-1=1

故選B.

題型3判斷是不是一元一次方程的解

1.下列方程中，解為尤=1的是（）

A.x—1=—1B.3x~2=1C.-x=-3D.—4x=—

34

【答案】B

【分析】本題考查一元一次方程的解，把x=l代入每個方程，當(dāng)左邊等于右邊時，x=l是該方程的解；當(dāng)

左邊不等于右邊時，尤=1不是該方程的解，據(jù)此判斷即可.解題的關(guān)鍵是掌握：方程的解即為能使方程左

右兩邊相等的未知數(shù)的值.

【詳解】解：A.把尤=1代入方程得：左邊=1-1=0,右邊=-1,左邊-右邊，故此選項不符合題意；

B.把x=l代入方程得：左邊=3?12=1,右邊=1,左邊=右邊，故此選項符合題意；

C.把x=l代入方程得：左邊=gxl=；,右邊=-3,左邊片右邊，故此選項不符合題意；

D.把x=l代入方程得：左邊=Txl=T,右邊=:，左邊片右邊，故此選項不符合題意.

故選：B.

2.整式辦+36的值隨x的取值不同而不同，下表是當(dāng)x取不同值時整式辦+36對應(yīng)的值，則關(guān)于x的方程

辦+3/=3的解為（）

X-3-2-1012

ax-\-3b97531-1

A.x=—3B.x=—2C.x=0D.x=l

【答案】C

【分析】本題考查一元一次方程的解，根據(jù)表格可知，當(dāng)％=0時，改+36=3,故雙+36=3的解為％=0.

【詳解】解：由表格可知：當(dāng)％=0時，依+36=3,

ov+3〃=3的解為％=0.

故選C.

3.下列方程的解為元=-2的是（）

A.-x—=0B.%+2=0

42

C.3x—=0D.—無一2=0

62

【答案】B

【分析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

將1=-2逐一代入各方程，判斷方程左右兩邊是否相等，即可作出判斷.

【詳解】解：A、當(dāng)x=-2時，［尤-1/0,故不是此方程的解；

B、當(dāng)％=-2時，x+2=0,故是此方程的解；

C、當(dāng)x=-2時，3x-1^0,故不是此方程的解；

D、當(dāng)彳=-2時，（尤-2市0,故不是此方程的解；

故選：B.

4.多項式雙-6和-2依+6（。、〃為實數(shù)，且。。0）的值隨1的取值不同而變化，上表是當(dāng)工取不同值時

分別對應(yīng)的兩個多項式的值，則關(guān)于1的方程：2雙-〃=-雙+〃的解是（）

X-4-3-2-1

ax-b-1012

—2ax+b531-1

A.x——4B.x=—3C.x=_2D.x=—1

【答案】C

【分析】本題考查了解一元一次方程.

首先將方程2雙—。=一"+6變形為-2必+方=依-〃，觀察表格可知，當(dāng)％=—2時，-2ax+b=ax-b=\,即可

得出方程2分一=:+Z?的解.

【詳解】解：.??方程2雙一〃=一雙+6可以變形為一2加+〃=辦一〃，

而由表格中的對應(yīng)值可知，當(dāng)％=-2時，一2ax+b=ax-b=\,

尤=-2是方程2分一〃=—分+〃的角軋

故選：C.

5.下列方程中，解是％=2的方程是（）

A.2%=8B.2/+3=9—/C.2t-3=9-tD.工+2=5

2

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般步驟和一元一次

方程解的定義.

按照解一元一次方程的一般步驟，解各個選項中的方程，然后根據(jù)所求的解進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.2f=8,.?.此選項中的方程的解不是f=2,故此選項不符合題意；

B.2t+3=9-t,3t=6,「=2,...此選項中的方程的解是/=2,故此選項符合題意；

C.2r-3=9-r,2t+t=9+3,3r=12,t=4,.?.此選項中的方程的解不是t=2,故此選項不符合題意;

D..4+2=5,t+4=10,f=6,二此選項中的方程的解不是f=2,故此選項不符合題意；

故選：B.

題型4一元一次方程的解法

1.（1）解方程：2x+8=3（x-l）；

（2）解方程：^=y-l.

【答案】（1）x=ll;（2）x=15.

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

（1）按照去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；

（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可.

【詳解】解：（1）2x+8=3（x-l）

去括號得，2x+8=3x-3

移項得，2x-3x=-3-8

合并同類項得，=

系數(shù)化為1得，x=ll；

（2）m

去分母得，5（x+l）=6x-10

去括號得，5x+5=6x-10

移項得，5x-6x=-10-5

合并同類項得，-x=-15

系數(shù)化為1得，x=15.

2.解方程

（1）3（1+x）=13-2x

⑵2+3=1

36

【答案】（l）x=2

（2）x=l

【分析】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

（1）按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解方程即可；

（2）按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解方程即可.

【詳解】（1）解：3（l+x）=13-2x

去括號得到，3+3x=13-2x,

移項得，3x+2x=13-3,

合并同類項得到，5x=10,

系數(shù)化為1得，x=2；

一36

去分母得到，2（2x+l）+（x—1）=6

去括號得至!J,4x+2+x—1=6,

移項得，4x+x=6-2+l,

合并同類項得到，5尤=5,

系數(shù)化為1得，x=l

3.解方程：

（l）5x—6=3（x-4）+2

34

【答案】⑴x=-2

（2）尤=-13

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟計算即可得解；

（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟計算即可得解.

【詳解】（1）解：去括號得：5%-6=3%-12+2,

移項得：5x-3尤=一12+2+6,

合并同類項得：2x=-4,

系數(shù)化為1得：x=-2；

（2）解：去分母得：4（2x-l）-3（3x-5）=24,

去括號得：8x—4—9x+15=24,

移項得：8x-9x=24+4-15,

合并同類項得：-x=13,

系數(shù)化為1得：X--13.

4.解下列方程.

(1)x-(3x_2)=2(1_2x)+3；

3

【答案】(1)尤=]

(2)x=2

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)按照去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可；

(2)按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程即可.

【詳解】(1)解：x-(3x-2)=2(l-2x)+3

去括號得：x-3x+2=2-4x+3,

移項得：x—3x+4x=2+3—2,

合并同類項得：2x=3,

3

系數(shù)化為1得：了=；;

2%+53x-21

(2)解:=-x

644

去分母得：2(2x+5)—3(3x—2)=3x,

去括號得：4x+10-9x+6=3x,

移項得：4x-9x-3x=-6-10,

合并同類項得：-8x=-16,

系數(shù)化為1得：x=2.

5.解下列方程：

(1)5(x-5)+2(x-12)=0

【答案】⑴x=7

⑵y=T

【分析】本題考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步驟是解題關(guān)鍵.

(1)依次去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1,即可解方程；

(2)依次去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1,即可解方程.

【詳解】（1）解：5（x-5）+2（x-12）=0,

去括號得：5x-25+2x-24=0,

移項得：5x+2x=24+25,

合并同類項得：7x=49,

系數(shù)化1得：x=7；

（2）解：三工一馬11=1

46

去分母得：3（y+2）-2（2y-1）=12,

去括號得：3y+6-4y+2=12,

移項得：3>-4v=12-2-6,

合并同類項得：-丫=4,

系數(shù)化1得：V=T.

題型5—元一次方程的糾錯問題

1.學(xué)習(xí)情境?錯解問題小明在解方程今二=2券-1去分母時，方程右邊的-1漏乘了12,因而求得方程

的解為y=3,請你幫助小明求出a的值，并正確解出原方程.

4

【答案】?=4,j=j

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，由題意得：方程4（2y-l）=3（y+a）-l的為y=3,將"3代入可

求得。=4,得出原方程為馬二=手-1,即可求解；

34

【詳解】解：由題意得：方程4（2y—l）=3（y+a）—1的為y=3,

將>=3代入方程4（2y—l）=3（y+a）—l得：4x5=3（3+a）-l,

解得：。=4,

原方程為^―1，

34

去分母：4（2y-l）=3（y+4）—12,

去括號：8>-4=3〉+12-12,

移項：8y—3y=12—12+4,

合并同類項：5y=4,

化系數(shù)為1：y=^4

2.小明在學(xué)習(xí)解一元一次方程時，遇到了這樣一個方程筌巨==^+2,于是他嘗試去解，最后檢驗時

0.40.5

他發(fā)現(xiàn)解是錯誤的，他百思不得其解，請幫助檢查他下面的解法:

10x-310x+l

解：原方程即+20.[A]

45

去分母，得5（10x-3）=4（10x+l）+400.

去括號，得50x—15=40x+4+400.[C]

移項，得50x—40x=4+400+15.

合并同類項，W10%=419.【E】

系數(shù)化為1,得x=4L9.

（D他錯在哪一步?（請?zhí)詈竺娴拇髮懽帜复枺?，錯誤的原因是

（2）請你幫助正確寫出求解過程.

【答案】（1）4；將方程中的小數(shù)變?yōu)檎麛?shù)誤當(dāng)成了去分母

（2）見解析

【分析】本題考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步驟以及相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)去分母法則分析即可;

（2）先將分子分母同時xlO,將分母變?yōu)檎麛?shù)，再依次去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1,

即可解方程.

【詳解】（1）解：他錯在A步驟，錯誤的原因是將方程中的小數(shù)變?yōu)檎麛?shù)誤當(dāng)成了去分母,

故答案為：A；將方程中的小數(shù)變?yōu)檎麛?shù)誤當(dāng)成了去分母;

1Ox—31Ox+1

（2）解：原方程即+2,

45

去分母，得5（10x—3）=4（10尤+1）+40,

去括號，得50x-15=40x+4+40,

移項，得50x—40x=4+40+15,

合并同類項，得10x=59,

系數(shù)化為1,得x=5.9.

2x-lx+2

3.老師在黑板上出了一道解方程的題------------二1--------，小明馬上舉手，要求到黑板上做，他是這樣做的:

34

4（2x-l）=l-3（x+2）

8x-4=l-3x-6②

8x+3x—1—6+4

llx=-l④

1

x=----⑤

11

（1）老師說：小明解一元一次方程的一般步驟都知道卻沒有掌握好，因此解題時有一步出現(xiàn)了錯誤，請你指

出他錯在一（填編號），錯誤的原因是」

（2）請細(xì)心地解下面的方程:

2x—l2x+l

1------=-----

63

【答案】（1）①，1沒有乘以12；

⑵X=

O

【分析】本題考查了一元一次方程的解法，注意去分母時，方程兩端同乘各分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘

沒有分母的項，同時要把分子（如果是一個多項式）作為一個整體加上括號.

（1）小明解方程的第①步中去分母時“1”沒有乘以12；

（2）解帶分母的方程，要先去分母、再去括號、最后移項合并同類項，化系數(shù)為1,從而得到方程的解.

【詳解】（1）解：小明解方程的第①步中去分母時1沒有乘以12,所以錯在①，

故答案為：①，1沒有乘以12；

去分母得6-（2x-l）=2（2x+l）,

去括號得6—2x+1=4-x+2,

移項得-2x-4x=2-6-1

合并同類項得Yx=-5,

系數(shù)化為1得x=

0

4.老師在黑板上出了一道解方程的題理=1，小明馬上舉手，要求到黑板上做，他是這樣做的：

4（2x-l）=l-3（x+2）①

8%-4=1-3X-6②

8x+3x=1—6+4③

llx=-l④

x=~Ti⑤

老師說：小明解一元一次方程的一般步驟都知道，卻沒有掌握好，因此解題時有一步出現(xiàn)了錯誤.

（D請你指出他錯在______（填編號），該方程正確的解是：；

（2）請你自己細(xì)心地解下面的方程：0=

46

【答案】⑴①；x4

⑵kT

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的基本步驟，“先去分母、

再去括號，然后移項合并同類項，最后系數(shù)化為1”，準(zhǔn)確計算.

（1）根據(jù)小明的解題過程進(jìn)行判斷即可；

（2）先去分母、再去括號，然后移項合并同類項，最后系數(shù)化為1.

【詳解】（1）解：小明在第①步去分母時，1漏乘了12；

2%—1x+2

-------=1---------，

34

去分母得：4（2x—1）=12—3（x+2）,

去括號得：8x-4=12-3x-6,

移項得：8x+3x=12-6+4,

合并同類項得：1卜=10,

系數(shù)化為1得：x=#;

故答案為：①；x=-

（2）解：2_i=—,

46

去分母得:3（2y-4）-12=2（5y-4）,

去括號得：6y-12-12=10>-8,

移項得：6y-10y=12+12-8,

合并同類項得：Yy=16,

系數(shù)化為1得：y=T.

5.用好錯題本可以有效地積累解題策略，減少再錯的可能.下面是小嚴(yán)同學(xué)錯題本上的一道題，請仔細(xì)閱

讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解方程：=程.

解：去分母，得2x3x—（6—3x）=4（3x+l）...............................第一步

去括號，得6x—6+3x=12x+4...............................第二步

移項，得6x+3x-12x=4-6...............................第三步

合并同類項，得一3%=-2...............................第四步

2

系數(shù)化為1,得尤=；...............第五步

任務(wù)：

①以上解題過程中，第一步是依據(jù)進(jìn)行變形的；第二步去括號時用到的運算律

是;

②從第步開始出錯，這一步錯誤的原因是，

③請直接寫出該方程正確的解.

【答案】①等式的性質(zhì)2,乘法分配律；②三，-6從等號左邊移項至等號右邊未變號；③彳=-1

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵.

①根據(jù)等式的基本性質(zhì)、乘法分配律即可得；

②根據(jù)解一元一次方程的步驟中，移項法則即可得；

③根據(jù)移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟寫出正確過程即可得.

【詳解】①以上解題過程中，第一步是依據(jù)等式的性質(zhì)2進(jìn)行變形的；第二步去括號時用到的運算律是乘

法分配律；

故答案為：等式的性質(zhì)2,乘法分配律；

②從第三步開始出錯，這一步錯誤的原因是-6從等號左邊移項至等號右邊未變號；

故答案為：三，-6從等號左邊移項至等號右邊未變號

③從第三步開始移項，得6x+3x-12x=4+6,

合并同類項，得-3x=10,

系數(shù)化為1,得尤=一三.

題型6含參數(shù)方程的錯解問題

1.小明是七（2）班的學(xué)生，他在對方程手=?-1去分母時由于粗心，方程右邊的-1沒有乘以6而得

32

到錯解x=8,你能由此判斷出。的值嗎？如果能，請求出方程正確的解.

【答案】a=l,x=13.

【分析】本題考查了一元一次方程的解，根據(jù)題意把x=8代入方程2（x+2）=3（x-a）T,得出

2x（8+2）=3（8-a）-l,根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解是。=1,得出方程為寧-1,再根據(jù)等式的

性質(zhì)求出方程的解即可.

【詳解】解：:?小明是七（2）班的學(xué)生，他在對方程野=3-1去分母時由于粗心，方程右邊的-1沒

有乘以6而得到錯解x=8,

.,?把x=8代入方程2（x+2）=3（x—a）—l,得2x（8+2）=3（8-a）-l,

20=24-3?-1,

3a=24-1-20,

3a=3,

a=1,

2（x+2）=3（x-l）-6,

2x+4=3x—3—6,

2x—3x——3—6—4,

—x=—13,

x=13,

即a=l,方程的解是x=13.

2.小明是七年級(2)班的學(xué)生，他在對方程三二1=歹-1去分母時由于粗心，方程右邊的-1沒有乘6

而得到錯解x=4,你能由此判斷出a的值嗎？如果能，請求出方程正確的解.

【答案】＜2=1,X=—l

【分析】先把錯誤的解法得到的X的值代入方程求出。的值，然后根據(jù)一元一次方程的解法，先去分母，再

去括號，最后移項，合并同類項，從而得到方程的解.

【詳解】解：：方程右邊的-1忘記乘6,求出的解為x=4,

A2(2x4-l)=3(4+a)-l,

解得a=1,

則原方程為：亨=言-1，

去分母，得4x-2=3x+3-6,

移項、合并同類項，得x=-L

【點睛】本題考查了一元一次方程錯解問題以及解一元一次方程，根據(jù)錯誤的解法得到a的值是解題的關(guān)

鍵.

3.在數(shù)學(xué)課上，冰冰在解方程卷=+1=寸時，因為粗心，去分母時方程左邊的1沒有乘以10,從而求

得的方程的解為x=—6,試求。的值，并解出原方程正確的解.

【答案】。的值為1,原方程正確的解為x=3

【分析】先將錯誤解法求得的解x=6代入錯誤方程中求得。值，再把。代入原方程中，解方程求出正確的

解即可.

【詳解】解：把x=-6代入2(2x-l)+l=5(x+a)中，解得。=1,

2x—1yx+a2x—l1x+l

把a=l代入-------+1=-------中得-------+1=------

5252

去分母，得2(2x-l)+10=5(x+1),

去括號，得4x-2+10=5x+5,

移項、合并同類項，得3,

系數(shù)化為1,得x=3,

答：〃的值為1,原方程正確的解為x=3.

【點睛】本題考查一元一次方程的解和解一元一次方程，理解一元一次方程的解，并熟練掌握一元一次方

程的解法步驟是解答的關(guān)鍵.

4.林平同學(xué)在解方程&F-1=V時由于粗心，在化簡方程去分母這一步時，方程左邊的1沒有乘10,

進(jìn)而求得的方程的解為x=l.請你求出方程的正確解及。的值.

【答案】a=l；x=1=7.

o

【分析】按林平同學(xué)的解法求出a的值，再把a的值代入原方程，按正確的解法求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得5（2x-l）-l=2（x+a）,

10x-5—l=2x+2a,

8x=2a+6,

把x=l代入得8=2a+6.

移項合并得-2a=-2,

解得a=1.

把a=1代入原方程得f■-1=?,

去分母得5（2x-l）-10=2（x+l）,

解得X=17g

O

【點睛】本題考查解一元一次方程，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次

方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

5.解方程：

（2）甲同學(xué)在解方程2根-Jx=!（x-3）-根時，由于粗心，錯把-Jx看成了結(jié)果解得x=24,求加的

6366

值及方程正確的解.

【答案】⑴尤=郎

（2）m=1,x=S

【分析】（1）按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1的步驟解方程即可；

（2）先把x=24代入錯誤的方程，解關(guān)于根的一元一次方程求出機的值，再把根的值代入正確的方程，解

方程求出正確的解即可；

此題考查了一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法和一元一次方程解的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：答+三?=。-5

0.20.4

兩邊都乘以2得，10（2x+l）+5（x-3）=l

去括號得，20^+10+5^-15=1

移項合并同類項得，25x=6

系數(shù)化1得，

(2)把x=24代入2m+gx=g(x-3)-小得,

2/7i+1x24=|(24-3)-77i,

去括號得，2m+4=8—1—m

移項合并同類項得，3m=3

系數(shù)化1得，加=1,

當(dāng)根=1時，2根-g尤=；(%-3)-根變?yōu)椋?/p>

去分母得到，12-^=2(x-3)-6

去括號得，12—x=2x—6—6

移項合并同類項得，-3x=-24,

系數(shù)化為1得，x=8

題型7與一元一次方程有關(guān)的新定義問題

1.定義：如果兩個一元一次方程的解之和為2,我們就稱這兩個方程為“和諧方程”.方程3x-(x+5)=l與

方程二2y=1是“和諧方程”嗎？請說明理由.

【答案】是，見解析

【分析】本題考查了解一元一次方程，理解新定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意，分別解一元一次方程，根據(jù)“和

諧方程”的定義驗證即可求解；

【詳解】解：方程3x—(x+5)=l與方程y-2y=1是“和諧方程”，

理由如下：由3x-(尤+5)=1,解得x=3.

由y-2y=1,解得y=-l.

因為3+(-1)=2,

所以方程3x-(x+5)=1與方程y-2y=l是“和諧方程”.

2.定義：如果兩個一元一次方程的解之和為1,我們就稱這兩個方程為“美好方程”.

例如：方程2x—1=3和x+l=。為"美好方程

(1)方程4x—(x+3)=1與方程—2x—x=3是“美好方程”嗎？請說明理由；

(2)若關(guān)于x的方程］+，“=()與方程3x-2=x+4是“美好方程”，求機的值.

【答案】(1)不是“美好方程”，理由見解析；

(2)m=l.

【分析】本題考查了一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)先求解每一個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義即可判斷；

(2)先求解每一個方程，再根據(jù)“美好方程”的定義即可判斷；

【詳解】(1)解：不是“美好方程”，理由如下：

由4%—(X+3)=1,解得：x=—,

由一2x—x=3f解得：x=—1,

方程4x-(x+3)=1與方程一2x-x=3不是“美好方程”；

Y

(2)解：由耳+加=0,解得：x=-2m,

由3%一2=尤+4,解得：％=3,

x

,方程萬+，〃=0與方程3%-2=x+4是"美好方程”，

/.—2m+3—1,

解得：m=1.

3.閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

定義：如果兩個一元一次方程的解的和為1,我們就稱這兩個方程為“美好方程”.

例如：方程4x=8的解為元=2,方程y+l=。的解為y=-l；2+(-1)=1,所以方程4x=8與方程y+l=0為

“美好方程”.

(1)請判斷方程4x-(x+5)=1與方程-2>-y=3是否為“美好方程”，并說明理由；

⑵若關(guān)于x的方程2x+m=0與方程蕓R-與望=1是“美好方程”，求機的值.

36

【答案】(1)是“美好方程”，理由見解析

(2)m=6

【分析】(1)先求出兩個方程的解，然后根據(jù)“美好方程”的定義進(jìn)行判斷即可；

(2)先求出兩個方程的解，然后根據(jù)“美好方程”的定義得出-；+4=1,求出〃，的值即可；

本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的方法，準(zhǔn)確計

算.

【詳解】(1)解：方程4x—(x+5)=l與方程-2y-y=3是“美好方程”，理由如下：

解方程4x-(x+5)=1,得％=2,

解方程一2y一丁=3,得y=-1,

*.*_x+y=2—1=1,

/.方程4x-(x+5)=1與方程-2y-y=3是“美好方程”；

(2)解：解方程2%+機=0,得％=—■—,

解方程得y=4,

36

???關(guān)于X的方程2x+m=0與方程型3一莖*=1是“美好方程”，

36

?m

??---卜4A=I1,

2

??m=6.

4.定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù)，我們就稱這兩個方程為“兄弟方程”.如：方程2x=4和

3尤+6=0為“兄弟方程”.

(I)若關(guān)于x的方程5x+m=0與方程2尤-4=6是“兄弟方程"，求"，的值；

(2)若某“兄弟方程”的兩個解的差為8,其中一個解為〃，求〃的值.

【答案】(1)旭=25

(2)%=4,?2=-4

【分析】本題考查有關(guān)解一元一次方程、一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是知道解一元一次方程的方法.

(1)根據(jù)關(guān)于x的方程5x+〃z=0與方程2%-4=6是“兄弟方程”，先求出方程2》-4=6的解為，再代入

5x+m=0中求解；

(2)根據(jù)“兄弟方程”其中一個解為“，則“兄弟方程”的另一個解為一〃，利用兩個解的差為8,列出方程求

解.

【詳解】(1)解：解方程2x-4=6,

得x=5

:關(guān)于x的方程5x+a=0與方程2x-4=6是“兄弟方程”，

二方程5x+〃z=。的角軍為x=-5,

/.5x(-5)+m-0,

-25+m-0,

ni-25.

(2)解：因為“兄弟方程”其中一個解為"，貝『'兄弟方程”的另一個解為-".

???兩個解的差為8,

??ft—(一〃)=8—n—幾=8,

n,=4,%=—4.

5.新定義:如果兩個一元一次方程的解之和為1,我們就稱這兩個方程為“1方程”.例如:方程4x=8和％+1=0

為“1方程

⑴若關(guān)于犬的方程3光+根=0與方程4x—2=尤+10是“1方程”，求機的值；

(2)若力方程”的兩個解的差為8,其中一個解為〃，求〃的值；

(3)若關(guān)于x的一元一次方程q^x+3=2尤+左和赤x+l=。是“1方程”，求關(guān)于y的一元一次方程

熊(y+l)=2y+I的解.

【答案】⑴加=9

(2)n=4.5或〃=-3.5

(3)"2025

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定義：

(1)先解方程4x—2=x+10得x=4,根據(jù)“1方程”的定義得至!］關(guān)于x的方程3%+%=0的解為彳=一3,貝!J

一3x3+加=0,解得m=9；

(2)由題意得，另一個解為1-〃，則根據(jù)“1方程”的定義得到〃-(1-〃)=8或")=-8,解方程即可

得到答案；

(3)先解方程&x+l=0得：x=-202.5,根據(jù)“1方程”的定義得到關(guān)于x的方程*尤+3=2x+上的解

20252025

為x=2026,進(jìn)而得到關(guān)于(y+1)的方程上⑶+D+3=2(y+l)+fc的解為y+l=2026,即可求解.

【詳解】(1)解：解方程4x—2=x+10得x=4,

;關(guān)于X的方程3%+根=0與方程4%-2=%+10是“1方程”，

關(guān)于1的方程3%+相=0的角軍為％=1—4=一3,

—3x3+m=0,

m=9；

(2)解：由題意得，另一個解為1-〃，

:“I方程”的兩個解的差為8,

.,.〃_(1_〃)=8或〃_(1_〃)=_8,

解得〃=4.5或〃=-3.5；

(3)解：解方程盛x+l=0得：x=—2025,

???關(guān)于尤的一元一次方程上x+3=2x+左和*x+l=0是“1方程”，

20252025

???關(guān)于X的一元一次方程壺x+3=2x+左的解為x=1—（一2025）=2026,

.,.關(guān)于x的——元——次方程/卷?x+3=2尤+左的解為彳=2。26,

即o點5彳=2（尤-1）+左一1的解為x=2026,

；?關(guān)于（Y+1）的方程去（y+D+3=2（y+l）+上的解為y+l=2026

解得：＞=2025

題型8與一元一次方程有關(guān)的找規(guī)律問題

1.觀察下列關(guān)于尤的方程，并回答問題.

①：+；=1的解是元=2；

63

②=1的解是》=3；

XX—9

③三+?=1的解是％=4；

123

XX—4-

(1)猜想方程U+.=1的解為x=

1o3

（2）根據(jù)觀察得到的規(guī)律，直接寫出第