一次函數綜合題（二）

選擇題（共10小題）

1.如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（1,0）,以線段為邊在第四象限內作等邊△AB。,

點C為x軸正半軸上一動點（OC>1）,連接8C,以線段為邊在第四象限內作等邊△CBD,

直線D4交y軸于點E.下列結論正確的有（）個.

（1）AOBC咨AABD；

（2）NZMC的度數隨著點C位置的變化而改變；

（3）點E的位置不隨著點C位置的變化而變化，點E的坐標是（0,V3）；

（4）當點C的坐標為（加，0）>1）時，四邊形A8OC的面積S與機的函數關系式為5=添？.

O

2.在平面直角坐標系中，正方形A3C。的位置如圖所示，點A的坐標為（1,0）,點。的坐標為（0,

2）.延長C8交工軸于點Ai,作正方形A18CC；延長。出1交工軸于點A2,作正方形人2比。2。r??

按這樣的規(guī)律進行下去，正方形A201出2011c2011c2010的面積為（）

C.5x（1）2009D.5x（1）2011

3.如圖，尸為正比例函數y=2x圖象上的一個動點，O尸的半徑為2,圓心尸從點（-3,-6）,開

始以每秒1個單位的速度沿著直線y=2x運動，當。尸與直線x=2相切時，則該圓運動的時間為

（）秒.

C.2或6D.3V5M7V5

4.如圖，直線y=%+3交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點。，另兩個

頂點M、N恰落在直線y=%+3上，若N點在第二象限內，貝han/AON的值為（）

168

5.已知直線li：y=kx+b與直線12：y=--^x+m都經過C（—引g）,直線/1交y軸于點B（0,4）,

交尤軸于點A,直線/2交y軸于點D,P為y軸上任意一點，連接B4、PC,有以下說法：①方程

+6

-X---

的

組15

8

fy---X+m；②△8C。為直角三角形；③SAABD=3；④當朋+PC的值最小

ly2y--

、5

時，點P的坐標為（0,1）.其中正確的說法個數有（

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，點M（-3,4），點P從。點出發(fā)，沿射線方向1個單位/秒勻速運動，運動的過程

中以尸為對稱中心，。為一個頂點作正方形0A2C,當正方形面積為128時，點A坐標是（）

,—856

(V7,11)C.(2,2V31)D.—)

2655

7.等腰三角形ABC中，AB=AC,記AB=無，周長為y,定義（x,y）為這個三角形的坐標.如圖所

示，直線尸2x,y=3x,y=4x將第一象限戈吩為4個區(qū)域.下面四個結論中,

①對于任意等腰三角形A8C,其坐標不可能位于區(qū)域I中;

②對于任意等腰三角形ABC,其坐標可能位于區(qū)域IV中;

③若三角形A8C是等腰直角三角形，其坐標位于區(qū)域ni中；

④圖中點M所對應等腰三角形的底邊比點N所對應等腰三角形的底邊長.

C.②④

1

8.如圖，在平面直角坐標系元Oy中，點A的坐標是（3,0）,點B是函數/=一去:+2（0〈尤＜4）的

圖象上的一個動點，過點B作BCLy軸交函數y=1x+4的圖象于點C,點D在x軸上（點。在點

A的左側），且連接AB,CD.有如下四個結論：

①四邊形ABC。一定是平行四邊形；

②四邊形ABCD可能是菱形；

③四邊形ABC。可能是矩形；

④四邊形ABCD可能是正方形.

所有正確結論的序號是（）

D.①②④

9.如圖，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點尸（1,1）,C為y軸上一點，連接PC,線段

PC繞點P順時針旋轉90°至線段尸￡）,過點。作直線軸，垂足為8,直線AB與直線y=x

交于點A,且連接CD直線CO與直線y=x交于點。，則點。的坐標為（）

10.如圖，直線y=—%+6分別與x、y軸交于點A、B,點C在線段上，線段沿BC翻折,

點。落在A8邊上的點。處.以下結論：

①42=10；

②直線BC的解析式為y=-2x+6；

^2412

③點D（―,—）；

17

④若線段BC上存在一點P,使得以點P、。、C、。為頂點的四邊形為菱形，則點P的坐標是（方,

7

-）.

4

正確的結論是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

二.填空題（共10小題）

11.如圖1,正方形0A8C,頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，連接C、A兩點的三條折線段中,

CD±DE,AELDE,垂足分別為。，E,0）=18,DE=IQ,AE=6.

圖1圖2

（1）求點A的坐標；

（2）如圖2,將圖1正方形OABC繞點O逆時針旋轉，使點A旋轉到第一象限且到y軸的距離為

1272,

①請求出此時頂點C的坐標；

②點P在對角線AC上運動（不與A、C重合），當△A0P為直角三角形時，點P的縱坐標

為;

③已知點。（優(yōu)，-2）,在②的條件下，請直接寫出點P與點。距離的最小

值_______________________.

12.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-條+3與x軸，y軸分別相交于點A,點8,點C是線段

的中點，動點P從點B開始以每秒1個單位長度的速度沿路線A向終點A勻速運動，設運

動的時間為/秒，連接CP,將ABC尸沿CP翻折，使點8落在點3,處，若尸8'平行于坐標軸時，

13.如圖，平面直角坐標系中，已知直線y=x上一點尸（1,1）,C為y軸上一點，連接尸C,以PC

為邊做等腰直角三角形PCDNCPD=90°,PC=PD,過點。作線段A3,無軸，垂足為2,直

線A8與直線y=x交于點A,S.BD=2AD,連接C。，直線C。與直線>=無交于點。，則。點的

坐標是

14.如圖，直線y=-$+6分別與x軸、y軸交于點A、3,點C在線段上，線段0B沿BC翻折,

點。落在邊上的點。處.以下結論：

①42=10；

②直線BC的解析式為y=-2x+6；

2412

③點D(―,—)；

17

④若線段3c上存在一點尸.使得以點尸、0、C、。為頂點的四邊形為菱形，則點P的坐標是(工,

8

7

-).

4

所有正確結論的序號是.

15.如圖，在平面直角坐標系中，點A(-2,0),直線Z；y=9+等與x軸交于點2,以AB為

邊作等邊三角形A84,過點Ai作AiBi//x軸,交直線/于點B,以431為邊作等邊三角形A1BA2,

過點A2作A282〃X軸，交直線/于點B2,以人2比為邊作等邊三角形A282A3,…以此類推，連接

ABi,與43交于點Ci,連接A1B2,與A2BI交于點C1…則點C2023的縱坐標

是

每秒1個單位長度向右平移，在平移過程中，邊A8與直線>=-%+5交于點M,與直線y=今交

于點M邊CZ)與直線y=-孑+5交于點尸，與直線交于點。，設運動時間為/(秒).

(1)當0W/W4時，用含r的表達式表示跖V的長；

17.在平面直角坐標系尤Oy中，已知點A(4,3),B(4,4),OA的半徑為1,直線/：y^kx(k

WO),給出下列四個結論：

①當左=1時，直線/與04相離；

②若直線/是OA的一條對稱軸，則左=,；

③若直線/與OA只有一個公共點P,則OP=2限

4

④若直線/上存在點。，OA上存在點C,使得/BQC=90°,則上的最大值為g

其中正確的是(填寫所有正確結論的序號).

18.如圖，直線AC與函數y=((X<0)的圖象相父于點A(-1,6),與x軸交于點C,S.ZACO

=45°，點。是線段AC上一點.

(1)k的值為；

(2)若△OOC與△OAC的面積比為2：3,則點。的坐標為；

(3)若將O。繞點。逆時針旋轉90°得到0D,點。恰好落在函數y=[(x<0)的圖象上，則

4

19.如圖，在直角坐標系中，直線y=|r+4分別交x軸，y軸于A,8兩點，C為。8的中點，點。

在第二象限，且四邊形AOC。為矩形，尸是C。上一個動點，過點P作/于X,。是點2

關于點A的對稱點，則BP+PH+HQ的最小值為.

20.如圖，將一塊等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐標系中，ZACB=90°,AC=BC,點A在

y軸的正半軸上，點C在x軸的負半軸上，點8在第二象限,AC所在直線的函數表達式是y=2尤+4,

若保持AC的長不變，當點A在y軸的正半軸滑動，點C隨之在x軸的負半軸上滑動，則在滑動

21.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,8c=4,點。為邊8C上的中點.動點M從點A出發(fā)，沿折線

AO-OC以每秒1個單位長度的速度向點C運動，到點C時停止.設運動的時間為x秒，記線段

MD,MQ,。。所圍成的圖形的面積為yi.

y

O123456789x

圖2

(1)請直接寫出yi關于尤的函數表達式以及對應的無的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；

(3)函數%=+2與yi的圖象有2個交點，請估計兩個交點的橫坐標的值并直接寫出來(誤

差不超過02).

22.閱讀以下材料，完成問題.

如圖1,在RtZkABC中，ZB=90°.若已知/A的對邊與鄰邊的比值，則可得到NA的度數.如:

ZB1

則NA=45°；若一=一，則NC=30°.

AC2

圖1

(1)小試牛刀：如圖2,在△ABC中，48=45°，/C=30°,4。=1.則BC=:

(2)問題探究：如圖3,在△ABC中，AB=8,8c=10,ZABD=15°,ZCBD=45°,點E是

線段8。上一點，求4E+芋BE的最小值;

(3)問題解決：

如圖4,在平面直角坐標系中，直線y=-7^+4百分別與苫軸,丫軸交于點4、2,點。(0,-4V3),

點尸為直線AB上的動點，以OP為邊在其下方作等邊△OPQ.連接O。、CQ,那么。Q+&Q是

否存在最小值，若存在求出其最小值及此時點P的坐標，若不存在請說明理由.

作于點。，過點B作BE，/于點E,研究圖形，不難發(fā)現：AADC沿ACEB.

(1)如圖2,在平面直角坐標系中，等腰RtZXACB,ZACB=90°,AC=BC,點C的坐標為(0,

-1),A點的坐標為(2,0),求B點坐標；

(2)如圖3,在平面直角坐標系中，直線A：y=2無+6分別與y軸，x軸交于點A,B,將直線人

繞點A順時針旋轉45°得到/2,求/2的函數表達式；

(3)如圖4,直線y=2x+2分別交x軸、y軸于點A,C,直線8C過點C交無軸于點8,J.ZCBA

=45°.若點。是直線AC上且位于第三象限圖象上的一個動點，點M是y軸上的一個動點，當

以點B、M,。為頂點的三角形為等腰直角三角形時，直接寫出點。和點M的坐標.

24.如圖，直線機的函數表達式為/=-2r-6,與x軸交于點A,直線”經過點3(2,0)和點C(0,

-1),且直線加，w交于點￡).

(1)求點A,點。的坐標.

(2)點P是x軸上的一個動點，求B4+PB+PC+P。的最小值.

(3)點N分別是直線機，〃上的兩點，且不與點A,2重合.當絲△54。時，直接寫

出每一組點M和點N的坐標.

%

mT

25.如圖，點A,8分別是一次函數y=x-4與x軸，y軸的交點，E為線段。8的中點，點歹是直線

OC-.y=kx(fc<0)上一點，連接AE,BF,且B尸〃x軸.

(1)求A,8兩點的坐標；

(2)若AELLOC,求左的值；

(3)連接EF,是否存在左值，使得/E4E=45°,若存在，求出左值；若不存在，請說明理由.

26.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(6,0),一次函數y=3x+6分別與x軸和y軸交于

點C和點8,作直線48.

(1)求直線A2的函數表達式；

1

(2)如圖1,點M是直線上的動點，是否存在點M,使得&ACM=*SAABC?若存在，求出點

"的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,D(10,0),尸為x軸正半軸上的動點，以尸為直角頂點，8尸為腰在第一象限內

作等腰直角△BPQ,連接QD,請直接寫出當BQ+QD最小時Q點坐標.

27.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，直線y=-x+6與坐標軸交于C,D兩點，直線

與坐標軸交于A,2兩點，線段。4,0c的長是方程3尤+2=0的兩個根.

(1)求點A,C的坐標；

(2)直線AB與直線C。交于點E,若點E是線段的中點，求直線的解析式；

(3)在(2)的條件下，在坐標平面是否存在點使與RtZ\A0B相似，且以為直

角邊.若存在，請求出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

1

28.在平面直角坐標系內，直線y=-1％+2與無軸、y軸分別交于A,8兩點.

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)在y軸上有一點C(0,8),在x軸上有一動點它從A點以每秒1個單位長度的速度沿

尤軸向左移動，當△<%>￡>的面積為16時，確定直線CD的表達式；

(3)若點P為點8上方y軸上的點，在直線A8上是否存在點。使得△PQ8與△AOB全等，若

存在，求出此時點。的坐標.

29.如圖，在平面直角坐標系中，直線人：y—kx+b(左W0)與直線/2：y=x交于點A(2,a),與y

軸交于點8(0,6),與x軸交于點C.

(1)求直線人的函數表達式；

(2)在平面直角坐標系中有一點P(6,加)，使得SAAOP=SAAOC,請求出點P的坐標；

(3)點M為直線/1上的動點，過點〃作y軸的平行線，交/2于點N,點。為y軸上的一動點,

且△MNQ為等腰直角三角形，請直接寫出滿足條件的點M的橫坐標.

30.如圖，在平面直角坐標系中，直線A：y=-+4分別與x軸，》軸交于點8,C且與直線6：y=

1

[x交于點A.

(1)求出點A,B,C的坐標；

(2)若。是線段OA上的點，且△ACD的面積為3.6,求直線C。的函數解析式；

(3)在(2)的條件下，設尸是射線CZ)上的點，在平面內是否存在點。，使以點。，C,P,Q

為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

一次函數綜合題（二）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（1,0）,以線段04為邊在第四象限內作等邊△A3O,

點C為x軸正半軸上一動點（OC>1）,連接BC,以線段為邊在第四象限內作等邊△C8Z）,

直線D4交y軸于點E.下列結論正確的有（）個.

（1）AOBC名AABD；

（2）ND4c的度數隨著點C位置的變化而改變；

（3）點E的位置不隨著點C位置的變化而變化，點E的坐標是（0,V3）；

⑷當點C的坐標為。九，0）（〃7>1）時，四邊形A8OC的面積S與優(yōu)的函數關系式為5=李層.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】（1）易證即可證明△08C義△A3。（SAS）,即可解題；

（2）根據（1）容易得到/。48=60°,可得ND4c=60°,可得/D4c的度數不會隨著點C位

置的變化而改變；即可證明該結論錯誤；

（3）根據/OAE=60°,根據直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半可以得到AE

=2,從而得到E的坐標是固定的.

（4）根據△O8C0ZV1BD,可得四邊形ABDC的面積S^S^ACD+SAABD^SMCD+S^OBC,即可解題.

【解答】解：（1）是等邊三角形，

：.OB=AB,ZOBA=ZOAB=60°,

又「△CBD是等邊三角形

：.BC=BD,ZCBD=60°,

ZOBA+ZABC^ZCBD+ZABC,

在△08C和△AB。中,

OB=AB

Z-OBC=乙ABD,

、BC=BD

：./\OBC^/\ABD(SAS')；(1)正確；

(2)VAOBC^AABZ),

*：ZBAD=ZBOC=60°,

又,.?NO48=60°,

：.ZDAC=60°,

???ZDAC的度數不會隨著點。位置的變化而改變；(2)錯誤；

(3)VZZ)AC=60°,

：.ZOAE=60°,

AZAEO=30°,

：.AE=2OA=2,

：.OE=V22-l2=V3,

???點七的位置不會發(fā)生變化，E的坐標為E(0,V3)；(3)正確;

(4),:△OBgXABD,

.\AD=OC=m,

:△ABO是等邊三角形，ZZ)AC=60°,

：.ZOBF=30°,ZADH=30°,

過點B作BFLx軸于F,過點D作DHLx軸于H,

：.BF=WOF=OBx號=1乂寺

DH=y/3AH=ADx--=mx苧，

四邊形ABDC的面積S=SAACD+SAABD=SAACD+S/\OBC

—2^AC*AZ)X+-^OB*OCx

1z1、熱、1…V3

=2x(形-1)mx,xlXMX

=坐”2,故(4)錯誤；

故選：B.

【點評】本題是一次函數綜合題，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、面積相

等的性質，等邊三角形的性質，考查了直角三角形中勾股定理的運用，本題中求證

是解題的關鍵.

2.在平面直角坐標系中，正方形ABC。的位置如圖所示，點A的坐標為（1,0）,點。的坐標為（0,

2）.延長交x軸于點Ai,作正方形4B1C1C；延長C121交x軸于點A2,作正方形A282c2cl…

按這樣的規(guī)律進行下去，正方形A2011B2011C2011c2010的面積為（）

B.5x(5)4020

C.5X0)2009D.5x(1)2011

【分析】先利用ASA證明△AOD和△AiBA相似,根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB^2AiB,

3

所以正方形A1B1C1C的邊長等于正方形ABCD邊長的5以此類推，后一個正方形的邊長是前一個

3

正方形的邊長的5然后即可求出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系，從而求出

第2011個正方形的面積.

【解答】解：：四邊形A8CD是正方形,

AZABC=ZBAD=90°,AB=BC,

：.ZABAi=90°,NZMO+N8AAi=180°-90°=90°,

又?.?NAOZ)=90°,

AZADO^-ZDAO=9Q°,

JZADO=ZBAAif

在△AO。和A15A中,

..［乙4。。=^ABAr=90°

*{Z.ADO=^BAAr'

：.AAOD^AAiBA,

ODAB

???—___―—乙o,

AOArB

：.BC=2A1B,

3

：.A1C=匆C,

OQ3

以此類推A2C1=（A1C,A3c2=（A2C1即后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的二倍，

222

3

???第2011個正方形的邊長為（-）2。1萬。，

2

的坐標為（1,0）,。點坐標為（0,2）,

：.BC=AD=712+22=V5,

339

正方形A2011B2011C2011C2010的面積為［（5）2011BQ2=5X（-）4022=5X（-）2011.

故選：D.

【點評】本題考查的是一次函數綜合題，涉及到正方形的性質及直角三角形的性質、相似三角形

的判定與性質，屬規(guī)律性題目.

3.如圖，尸為正比例函數y=2x圖象上的一個動點，O尸的半徑為2,圓心P從點（-3,-6）,開

始以每秒1個單位的速度沿著直線y=2x運動，當。尸與直線尤=2相切時，則該圓運動的時間為

A.2B.3V5C.2或6D.3%或7%

【分析】分兩種情況：O尸在直線尤=2的左邊和。尸在直線x=2的右邊兩種情況.下面以第一種

情況為例，分析一下解題思路：如圖1,通過相似三角形：△A。'P'S^AQP,的對應邊成比例

得到比例式不?=親，即泮=［從而求得AP=2小,則易求PP的長度.同理，當O尸

APPQ5V55

在直線x=2的右邊時，可以求得尸P的另一長度.

【解答】解：設直線y=2x與x=2交于點4.則A（2,4）.

'：P(-3,-6),

.".AP=5V5.

假設。尸與直線尤=2相切于點。,，連接PQ'.則PQ'±AQ'.

過點P作PQLAQ'于點Q.則PQ'//PQ.

：.AAQ'P's"QP,

APiPQAP）2

??.17=7?）=?

解得AP，=2V5,

①如圖1,當OP在直線x=2的左邊時.

PP'=AP-AP'=3V5,

則該圓運動的時間為3有+1=3%（秒）；

②如圖2,當。尸在直線尤=2的右邊時.

PP'^AP+AP'=74，

則該圓運動的時間為7代+1=7逐（秒）；

綜上所述，該圓運動的時間為3西秒或7遮秒.

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數綜合題.解題時，主要利用了直線與圓相切時圓心與直線的距離關

系，難度不大，難點在于要分。尸在直線x=2的左邊與右邊兩種情況進行討論.

4.如圖，直線y=3+3交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點。，另兩個

頂點M、N恰落在直線y=*+3上，若N點在第二象限內，貝Utan/AON的值為（）

y

LW

【分析】解法一、過M作軸于E,過N作N/_Lx軸于凡則NMEO=NN/0=90°,根

3一

據全等三角形的性質求出Affi=NV,OE=OF,設N的坐標是（x,r+3）,M點的坐標是（〃，

4

2A

-尤），根據M點也在直線尸沁3上求出。=-Jr-4,求出無，求出NF和。凡再解直角三角

形求出答案即可；

3T

解法二、過。作OC_LAB于C,過N作ND1OA于。，設N的坐標是（無,-x+3）,得出DN=白+3,

44

OD=-x,求出。4=4,。8=3,由勾股定理求出A8=5,由三角形的面積公式得出AOXO8=A8

XOC,代入求出。。，根據sin45°=辨求出ON,在RtZ\N。。中，由勾股定理得出（7+3）2+

（-x）2=（號區(qū)）2,求出N的坐標，得出ND、OD,代入tanNAON=器求出即可.

【解答】解：解法一、過M作軸于E,過N作NFLc軸于R則/“￡。=/酒。=90°,

VZMON=ZEOF=90°,

AZMOE=ZNOF=90°-NEON,

在△N/O和△MEO中

2N0F=乙MOE

乙NFO=/.MEO,

ON=0M

:?△NFO"AMEO(A4S),

:.ME=NF,OE=OF,

:點N在直線y=3+3上，

3

.?.設N的坐標是（x,-x+3）,

4

設M點的坐標是（〃，-x）,

點也在直線y=%+3上，

.3q

..-x=]〃+3,

4

-

3-4,

4

-

3

解得：x=_蕓,

8412

/.0F=25，NF=X(-)+3=

2525J

??.tanNA°N=而=的=7；

解法二、過。作。C_LA8于C,過N作ND_LOA于。,

3

?,?設N的坐標是(x,-x+3),

4

貝(JDN=[X+3,OD=-x,

q

y=1x+3,

當尤=0時，y=3,

當y=0時，x=-4,

.,.A(-4,0),B(0,3),

即OA=4,08=3,

在△AOB中，由勾股定理得：AB=5,

?.?在△A08中，由三角形的面積公式得：AOXOB=ABXOC,

???3X4=5。。,

???在RtZXNOM中，OM=ON,ZMON=90°,

AZMNO=45°,

nr12

???sin45。=麗=泳’

?.0N=

在RtZ\N。。中，由勾股定理得：ND2+DO2=ON2,

即（|x+3）2+（-x）2=（喑產，

解得：Xl=一否，x2=

：N在第二象限，

.,.尤只能是一國，

3q12

7+3=國，

目口ATTA12八八84

即ND=汨，°°=近，

tanNAON=-Q^=y.

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，三角形的面積，解直角三角形等

知識點的運用，主要考查學生運用這些性質進行計算的能力，題目比較典型，綜合性比較強.

1A8

5.已知直線li：y=kx+b與直線12：y=--^x+m都經過。（—引-）,直線h交y軸于點B（0,4）,

交x軸于點A,直線/2交y軸于點Q,尸為y軸上任意一點，連接以、PC,有以下說法：①方程

b6

-+X---

的

組fy5

—--

+8②△BCD為直角三角形；③S^ABQ=3；④當山+尸。的值最小

lyXmy

、--

5

【分析】根據一次函數圖象與二元一次方程的關系，利用交點坐標可得方程組的解；根據兩直線

的系數的積為-1,可知兩直線互相垂直；求得3。和AO的長，根據三角形面積計算公式，即可

得到△A3。的面積;根據軸對稱的性質以及兩點之間，線段最短，即可得到當PA+PC的值最小時，

點P的坐標為(0,1).

【解答】解：),直線/i：與直線/2：,=—$:+機都經過。(—^^)，

!y=kx+b

1,的解為

y=-yX+m

故①正確；

A8

把8(0,4),C(-f,-)代入直線/i：y=kx+b,可得

，5

代［3+6,解得｛復%

，直線/1：y=2x+4,

1

又?直線12：y=一/+"，

???直線/1與直線/2互相垂直，即N3CD=90°,

???△38為直角三角形，

故②正確；

把C(―-)代入直線/2：y=—^x+m,可得加=1,

552

1

y=-/+l中，令x=0,則y=l,

：.D(0,1),

：.BD=4-1=3,

在直線/i：y=2x+4中，令y=0,則x=-2,

AA(-2,0),

：.AO=2f

1

?**S/\ABD=2X3X2=3,

故③正確；

點A關于y軸對稱的點為A(2,0),

設過點C,A的直線為y=ar+w,則

0-+n1

得a

8-26解---

，2

-G--a-

55+7ln1

1

?-

尸-X

?24-1,

令x=0,貝！Jy=l,

...當B4+PC的值最小時，點P的坐標為(0,1),

故④正確.

故選：D.

TAO

【點評】本題主要考查了一次函數圖象與性質，三角形面積以及最短距離問題，凡是涉及最短距

離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的

對稱點.

6.如圖，點M(-3,4),點P從。點出發(fā)，沿射線方向1個單位/秒勻速運動，運動的過程

中以P為對稱中心，O為一個頂點作正方形OABC,當正方形面積為128時，點A坐標是()

365,—856

B.(V7,11)C.(2,2V31)D.—)

5

【分析】作軸于。，CELx軸于E,設直線的解析式為y=日，直線AC的解析式為y

=k'x+b,根據M的坐標求得上為一半進一步得出/為一，通過證得△COEgZkOA。，得出CE

=0D,OE=AD,所以設A(a,6),則C(-b,a),然后根據待定系數法求得直線AC的斜率

為二,從而得出整理得6=7a,然后在中，根據勾股定理得出(7a)2+a2

a+ba+b4

=128,解得a=卷，b=等.

【解答】解：作AOJ_x軸于。，CELc軸于E,

設直線0M的解析式為y=fcv,直線AC的解析式為y=Rx+從

:點M(-3,4),

；.4=-3k,

?..四邊形ABCO是正方形,

?,?直線AC_L直線OM,

???四邊形ABCO是正方形，

：.OA=OCfZAOC=90°,

AZAOD+ZCOE=90°,

ZAOD+ZOAD=90°

；?/COE=NOAD,

在△COE和△04。中，

乙COE=Z-OAD

(CEO=^ODA=90°

、0C=OA

：.ACOE^/\OAD(AAS),

：.CE=OD,OE=AD,

設A(〃，/?),貝！JC(-b,a),

設直線AC的解析式為y=mx+n,

.(am+ri=匕①

{—bm+n=a@

解得根=麓'

.b-ct3

??~,

a+b4

整理得,b=la,

?..正方形面積為128,

.*.OA2=128,

在RTZXA。。中，AD2+O￡)2=OA2,即(7a)W=128,

解得，a=I，

.'.b—la—lx|=等，

856

.*.A(~,—),

55

故選：D.

解法二：

解：設">3=辰，

把M(-3,4)代入求得4=

.4

.?yoB=-

設尸(〃，一酊)，則OP=Jq2+(_.)2=_1〃，

1n

在正方形A3C0中，OB=2OP=ytz,

.10101I。。

..一ax-y^x不=128,

332

._24

??a=—

：.AP=OP=8,

作PQ_L尤軸，AN_Lx軸，PHLAN,則尸Q=P8,PO^PA,

：.AAPH出△OPQ,

243?

OQ=AH=^,PQ=PH=

故選：D.

【點評】本題是一次函數的綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式，正方形的性質，全

等三角形的判定和性質，勾股定理的應用等，根據直線AC的斜率列出方程是本題的關鍵.

7.等腰三角形ABC中，AB=AC,記AB=x,周長為y,定義（龍，y）為這個三角形的坐標.如圖所

示，直線y=2x,y=3無，y=4x將第一象限劃分為4個區(qū)域.下面四個結論中,

①對于任意等腰三角形ABC,其坐標不可能位于區(qū)域I中；

②對于任意等腰三角形ABC,其坐標可能位于區(qū)域IV中；

③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐標位于區(qū)域ni中；

④圖中點M所對應等腰三角形的底邊比點N所對應等腰三角形的底邊長.

【分析】設BC=Z,則y=2x+z.根據z>0,利用不等式的性質得出y>2x,即可判斷①；根據三

角形任意兩邊之和大于第三邊，得出2x>z,利用不等式的性質得到y<4x,即可判斷②；③根據

等腰直角三角形的性質、不等式的性質得出3尤<y<4x,即可判斷③；分別求出點M、點N所對應

等腰三角形的底邊范圍，即可判斷④.

【解答】解:如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,記AB=x,周長為y,

設2C=z,則y=2x+z,x>Q,z>0.

?VBC=z>0,

.,.y—2x+z>2x,

對于任意等腰三角形ABC,其坐標位于直線y=2x的上方，不可能位于區(qū)域I中，故結論①正

確；

②..?三角形任意兩邊之和大于第三邊，

；.2x>z,即z<2x,

.".y=2x+z<4x,

對于任意等腰三角形ABC,其坐標位于直線y=4尤的下方，不可能位于區(qū)域IV中，故結論②錯

誤；

③若三角形ABC是等腰直角三角形，貝Uz=&x,

VI<V2<2,AB=_r>0,

.,.x<y/2x<2x,

/.3x<2x+V2x<4.x,

即3x<y<4x,

...若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐標位于區(qū)域m中，故結論③正確；

④由圖可知，點M位于區(qū)域III中，此時3x<y<4x,

3尤<2x+z<4x,

.".x<z<2x；

點N位于區(qū)域II中，此時2x<y<3x,

.,.2x<2x+z<3x,

/.0<z<x；

?..點M所對應等腰三角形的周長比點N所對應等腰三角形的周長短，

.??圖中無法得到點M所對應等腰三角形的底邊比點N所對應等腰三角形的底邊長，故結論④錯誤.

故選：A.

【點評】本題是一次函數綜合題，涉及到一次函數的圖象與性質，三角形三邊關系定理，等腰三

角形、等腰直角三角形的性質，不等式的性質，難度適中.理解三角形的坐標的意義，利用數形

結合思想是解題的關鍵.

8.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（3,0）,點8是函數y=—*x+2（0〈尤<4）的

圖象上的一個動點，過點B作BCLy軸交函數y=1x+4的圖象于點C,點D在x軸上（點。在點

A的左側），且連接AB,CD.有如下四個結論：

①四邊形ABC。一定是平行四邊形；

②四邊形ABCD可能是菱形；

③四邊形ABC?？赡苁蔷匦?；

④四邊形ABCD可能是正方形.

所有正確結論的序號是（）

D.①②④

【分析】①由BC±y軸得到AD//BC,結合得到四邊形ABC。是平行四邊形，可作判

斷;

②根據列方程，方程有解在0