第六節(jié)空間向量的概念及運算高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量

的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.

掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.3.

掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共

線和垂直.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

空間向量及其有關(guān)概念概念語言描述共線向量（平行向量）表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于

?的向量同一個平面

概念語言描述共線向量定理對任意兩個空間向量a，b（b≠0），a∥b的充要條件是

存在實數(shù)λ，使a＝λb共面向量定理如果兩個向量a，b

，那么向量p與向量a，b

共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使p

＝xa＋yb不共線

概念語言描述空間向量基本定理及推論定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間

向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得p

＝

?.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內(nèi)

任一點P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使

＝

x

＋y

＋z

且x＋y＋z＝

?xa＋yb＋zc

1

2.

空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運算（1）兩個非零空間向量的數(shù)量積①a·b＝

?；②a⊥b?a·b＝0；

｜a｜｜b｜cos＜a，b＞

（2）空間向量運算的坐標(biāo)表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）數(shù)量積a·b＝

?a1b1＋a2b2＋a3b3

a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）垂直a⊥b?

＝0（a≠0，b≠0）夾角公式cos＜a，b＞＝

a1b1＋a2b2＋a3b3

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）空間中任意兩個非零向量a，b共面.

（

√

）（2）若{a，b，c}是空間的一個基底，則a，b，c中至多有一個零向

量.

（

×

）（3）對于向量a，b，若a·b＝0，則一定有a＝0或b＝0.

（

×

）（4）空間直角坐標(biāo)系中，在Oyz平面上的點的坐標(biāo)一定是（0，b，c），

b，c∈R.

（

√

）√××√

A.

a－

b－

cB.

a－

b－

cC.

a－

b－

cD.

a－

b－

c

√3.

已知點M在z軸上，且點M到點A（1，0，2）與到點B（1，－3，1）

的距離相等，則點M的坐標(biāo)是

?.

（0，0，－3）4.

已知a＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），則3a－b＝

?

，a·b＝

?.解析：因為a＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），所以3a－b＝（9，

6，15）－（1，5，－1）＝（8，1，16），a·b＝3＋10－5＝8.（8，1，

16）

8

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

空間向量的線性運算（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）

（0，6，－20）

練后悟通空間向量線性運算中的三個關(guān)鍵點共線、共面向量定理的應(yīng)用（師生共研過關(guān)）

（2）判斷點M是否在平面ABC內(nèi).

解題技法證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點（P，A，B）共線空間四點（M，P，A，B）共面

＝λ

且同過點P

＝x

＋y

對空間任一點O，

＝

＋

t

對空間任一點O，

＝

＋x

＋

y

對空間任一點O，

＝x

＋

（1－x）

對空間任一點O，

＝x

＋y

＋

（1－x－y）

A.2B.

－2C.1D.

－1

√2.

若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三點共線，則m

＋n＝

?.

－3空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（師生共研過關(guān)）

（人A選一P13例2、例3改編）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1）求線段AC1的長；

（2）求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；

（3）求證：AA1⊥BD.

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.

－

a＋

b＋cB.

a＋

b＋cC.

－

a－

b＋cD.

a－

b＋c

√123456789101112131415161718192020222324252.

已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若

a，b，c共面，則λ＝（

）A.9B.

－9C.

－3D.3

√

A.30°B.60°C.120°D.150°

√

A.1B.2C.

D.

√

A.

[0，5]B.

[1，5]C.

（1，5）D.

[1，25]

√6.

〔多選〕下列說法中正確的是（

）A.

｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共線的充要條件B.

若

，

共線，則AB∥CDC.

A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若

＝

＋

＋

，則P，A，B，C四點共面D.

若P，A，B，C為空間四點，且有

＝λ

＋μ

（

，

不

共線），則λ＋μ＝1是A，B，C三點共線的充要條件√√

7.

已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三點共線，

則xy＝

?.

2

（2）求a與b夾角的余弦值；

（3）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值.

A.

B.

C.

D.

√

11.

〔多選〕已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列說法中正確的是

（

）A.

（

＋

＋

）2＝3

B.

·（

－

）＝0C.

向量

與向量

的夾角是60°D.

正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為｜

·

·

｜√√

12.

〔多選〕（2025·梅州模擬）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1

＝3，點M，N分別在棱AB和BB1上運動（不含端點）.若D1M⊥MN，則

下列命題正確的是（

）A.

MN⊥A1MB.

MN⊥平面D1MCC.

線段BN長度的最大值為

D.

三棱錐C1-A1D1M的體積不變√√√

[0，32]

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

15.

（創(chuàng)新設(shè)問）〔多選〕設(shè)向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），

其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，則下列判斷正確的是（

）A.

向