2025年結(jié)構(gòu)力學(xué)之結(jié)構(gòu)動力計算試題及答案一、概念理解與簡答題1.簡述結(jié)構(gòu)動力計算與靜力計算的本質(zhì)區(qū)別，并說明動力自由度的定義及其確定方法。2.單自由度體系自由振動時，若阻尼比分別為0.05、0.5、1.0，其振動形態(tài)將如何變化？若阻尼比大于1.0，體系是否會發(fā)生振動？3.多自由度體系的振型正交性指什么？其物理意義是什么？寫出質(zhì)量正交和剛度正交的數(shù)學(xué)表達(dá)式（以兩個自由度體系為例）。4.簡諧荷載作用下，單自由度體系的動力系數(shù)β與哪些參數(shù)相關(guān)？當(dāng)荷載頻率θ接近自振頻率ω時，β的變化趨勢如何？若體系存在阻尼，這種趨勢會如何改變？5.地震作用下，采用振型分解反應(yīng)譜法計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，需滿足哪些基本假設(shè)？“平方和開平方”（SRSS）組合法則的適用條件是什么？二、單自由度體系自由振動與受迫振動計算6.圖1所示懸臂梁，長度L=4m，抗彎剛度EI=2×10?kN·m2，梁端有集中質(zhì)量m=500kg（不計梁自重）。已知體系阻尼比ξ=0.05，初始時刻給質(zhì)量塊一個向下的初位移y?=20mm和初速度v?=0.5m/s。（1）計算體系的自振周期T和阻尼振動周期T_D；（2）寫出質(zhì)量塊的位移響應(yīng)表達(dá)式y(tǒng)(t)；（3）求經(jīng)過2個阻尼振動周期后，質(zhì)量塊的位移幅值衰減為初始幅值的多少倍？（取e≈2.718）（圖1：懸臂梁固定端在左側(cè)，自由端懸掛質(zhì)量m）7.圖2所示簡支梁跨中受簡諧荷載F(t)=F?sinθt作用，F(xiàn)?=10kN，θ=20rad/s。梁的跨度l=6m，EI=3×10?kN·m2，跨中集中質(zhì)量m=800kg（不計梁自重）。（1）計算體系的自振頻率ω；（2）若體系無阻尼，求跨中最大動位移和最大動彎矩；（3）若體系阻尼比ξ=0.03，求跨中動位移的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式，并計算最大動位移。（圖2：簡支梁兩端固定，跨中質(zhì)量m受簡諧荷載）三、多自由度體系自振頻率與振型計算8.圖3所示兩層剪切型框架，各層質(zhì)量分別為m?=2m，m?=m（m=1000kg），各層側(cè)移剛度分別為k?=4×10?N/m，k?=2×10?N/m（側(cè)移剛度指該層產(chǎn)生單位水平位移所需的水平力）。（1）建立體系的運(yùn)動方程（用剛度法）；（2）計算自振頻率ω?、ω?（保留兩位小數(shù)）；（3）計算第一振型和第二振型的振型向量；（4）驗(yàn)證振型的質(zhì)量正交性。（圖3：兩層框架，底層質(zhì)量m?，側(cè)移剛度k?；二層質(zhì)量m?，側(cè)移剛度k?，水平振動）四、地震作用下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)計算9.某三層框架結(jié)構(gòu)簡化為三個自由度體系（圖4），各層質(zhì)量m?=m?=m?=1500kg，各層層間側(cè)移剛度k?=k?=k?=5×10?N/m。場地類別為II類，設(shè)計地震分組為第一組，設(shè)防烈度8度（0.2g），特征周期T_g=0.35s。（1）計算體系的自振頻率ω?、ω?、ω?（提示：三層剪切型框架的自振頻率滿足ω2=λk/m，其中λ為特征值，可通過求解頻率方程得到）；（2）計算各階振型的振型參與系數(shù)γ_j；（3）采用振型分解反應(yīng)譜法計算各樓層的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值（按前兩階振型組合，地震影響系數(shù)α_j按規(guī)范公式α_j=(η?(0.45+5ξ))(T_g/T_j)^γα_max，假設(shè)阻尼比ξ=0.05，η?=1.0，γ=0.9）；（4）說明為何通常只需考慮前幾階振型組合即可得到足夠精度的結(jié)果。（圖4：三層框架，各層質(zhì)量m?、m?、m?，層間剛度k?、k?、k?）答案與解析1.結(jié)構(gòu)動力計算與靜力計算的本質(zhì)區(qū)別靜力計算中，荷載不隨時間變化（或變化緩慢），慣性力和阻尼力可忽略，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，內(nèi)力和位移僅由靜力荷載決定；動力計算中，荷載（或結(jié)構(gòu)運(yùn)動）隨時間顯著變化，需考慮慣性力（與加速度相關(guān)）和阻尼力（與速度相關(guān)）的影響，運(yùn)動方程為微分方程，內(nèi)力和位移是時間的函數(shù)。動力自由度指確定結(jié)構(gòu)在動力反應(yīng)中所有質(zhì)量位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)量。確定方法：忽略受彎桿件的軸向變形和剪切變形（僅考慮彎曲變形），將連續(xù)分布質(zhì)量集中為有限個質(zhì)點(diǎn)，每個質(zhì)點(diǎn)的獨(dú)立位移方向即為動力自由度。例如，單層剛架水平振動時，若忽略柱的軸向變形，僅需一個水平位移參數(shù)，故為1個自由度；兩層剛架水平振動時，需兩個水平位移參數(shù)（各層水平位移），故為2個自由度。2.阻尼比與振動形態(tài)的關(guān)系（1）ξ=0.05（小阻尼）：體系做衰減振動，振幅按指數(shù)規(guī)律衰減，振動頻率略小于無阻尼自振頻率；（2）ξ=0.5（欠阻尼，ξ<1）：仍為衰減振動，但衰減速率比ξ=0.05快；（3）ξ=1.0（臨界阻尼）：體系不發(fā)生振動，質(zhì)點(diǎn)從初始位置逐漸回到平衡位置，無振蕩；（4）ξ>1.0（過阻尼）：體系同樣不振動，質(zhì)點(diǎn)以更緩慢的非振蕩方式回到平衡位置。3.振型正交性及數(shù)學(xué)表達(dá)式振型正交性指多自由度體系的不同階振型之間關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。物理意義：不同振型代表體系的獨(dú)立振動形態(tài)，能量不會在不同振型間傳遞。對于兩個自由度體系，設(shè)第一振型向量為{φ?}=[φ??,φ??]^T，第二振型向量為{φ?}=[φ??,φ??]^T，則：質(zhì)量正交：{φ?}^T[M]{φ?}=0剛度正交：{φ?}^T[K]{φ?}=0（[M]為質(zhì)量矩陣，[K]為剛度矩陣）4.動力系數(shù)β的影響因素及共振特性動力系數(shù)β=1/√[(1-θ2/ω2)2+(2ξθ/ω)2]，與頻率比λ=θ/ω和阻尼比ξ相關(guān)。當(dāng)θ接近ω（λ→1）時，無阻尼（ξ=0）的β→∞（共振）；有阻尼時，β峰值降低，且峰值出現(xiàn)在λ≈√(1-2ξ2)處，ξ越大，峰值越小，共振現(xiàn)象被抑制。5.振型分解反應(yīng)譜法的假設(shè)與SRSS組合法則基本假設(shè)：（1）結(jié)構(gòu)為線彈性，滿足疊加原理；（2）各階振型正交，地震作用在各振型上獨(dú)立；（3）反應(yīng)譜代表單自由度體系在地震中的最大反應(yīng)。SRSS組合法則（平方和開平方）適用于各階振型頻率相差較大（一般頻率比>1.5），振型間相關(guān)性可忽略的情況。若振型頻率接近，需采用完全二次型組合（CQC）法則。6.單自由度體系自由振動計算（1）自振頻率ω=√(k/m)，懸臂梁自由端剛度k=3EI/L3=3×2×10?/(43)=3×2×10?/64=937.5kN/m=9.375×10?N/m。質(zhì)量m=500kg，故ω=√(9.375×10?/500)=√(1875)=43.30rad/s。自振周期T=2π/ω≈2×3.14/43.30≈0.145s。阻尼振動頻率ω_D=ω√(1-ξ2)=43.30×√(1-0.052)=43.30×0.9987≈43.23rad/s。阻尼振動周期T_D=2π/ω_D≈0.145s（因ξ很小，T_D≈T）。（2）有阻尼自由振動位移表達(dá)式為：y(t)=e^(-ξωt)(Acosω_Dt+Bsinω_Dt)初始條件：t=0時，y?=20mm=0.02m，v?=0.5m/s。A=y?=0.02m；B=(v?+ξωy?)/ω_D=(0.5+0.05×43.30×0.02)/43.23≈(0.5+0.0433)/43.23≈0.5433/43.23≈0.0126m。故y(t)=e^(-2.165t)(0.02cos43.23t+0.0126sin43.23t)（其中ξω=0.05×43.30≈2.165）。（3）幅值衰減因子為e^(-ξωT_D)。因T_D=2π/ω_D≈0.145s，2個周期后時間t=2T_D≈0.29s。衰減倍數(shù)=e^(-ξω×2T_D)=e^(-2ξω×2π/(ω√(1-ξ2)))=e^(-4πξ/√(1-ξ2))≈e^(-4×3.14×0.05/0.9987)≈e^(-0.628)≈0.533。即幅值衰減為初始的約53.3%。7.簡諧荷載作用下受迫振動計算（1）簡支梁跨中剛度k=48EI/l3=48×3×10?/(63)=48×3×10?/216≈6.6667×10?kN/m=6.6667×10?N/m。自振頻率ω=√(k/m)=√(6.6667×10?/800)=√(83333.33)≈288.68rad/s。（2）無阻尼時，動力系數(shù)β=1/|1-θ2/ω2|。θ=20rad/s，θ2/ω2=(20/288.68)2≈(0.0693)2≈0.0048。β≈1/(1-0.0048)≈1.0048（接近靜載響應(yīng)）。靜位移y_st=F?/k=10×103N/(6.6667×10?N/m)=1.5×10??m=0.15mm。最大動位移y_max=βy_st≈1.0048×0.15≈0.1507mm?？缰凶畲髣訌澗豈_max=β×(F?l/4)=1.0048×(10×6/4)=1.0048×15≈15.07kN·m。（3）有阻尼時，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式為y(t)=Ysin(θt-φ)，其中振幅Y=βy_st，β=1/√[(1-λ2)2+(2ξλ)2]，λ=θ/ω=20/288.68≈0.0693。2ξλ=2×0.03×0.0693≈0.00416，(1-λ2)≈0.9952，故β≈1/√(0.99522+0.004162)≈0.9998≈1.0。因此，Y≈1.0×0.15=0.15mm，位移表達(dá)式為y(t)=0.15sin(20t-φ)，其中φ=arctan[2ξλ/(1-λ2)]≈arctan(0.00416/0.9952)≈0.24°（可忽略）。8.兩層框架自振頻率與振型計算（1）運(yùn)動方程：[M]{ü}+[K]{u}={0}質(zhì)量矩陣[M]=diag[m?,m?]=diag[2000kg,1000kg]（m=1000kg）。剛度矩陣[K]：底層剛度k?=4×10?N/m，二層剛度k?=2×10?N/m。對于剪切型框架，[K]為：[K]=[[k?+k?,-k?],[-k?,k?]]=[[6×10?,-2×10?],[-2×10?,2×10?]]N/m。（2）頻率方程：|[K]-ω2[M]|=0即：|6×10?-2000ω2-2×10?||-2×10?2×10?-1000ω2|=0展開行列式：(6×10?-2000ω2)(2×10?-1000ω2)-(2×10?)2=0令x=ω2，方程化簡為：(6×10?-2000x)(2×10?-1000x)-4×101?=0展開：12×101?-6×10?x-4×10?x+2×10?x2-4×101?=0即2×10?x2-10×10?x+8×101?=0兩邊除以2×10?：x2-500x+40000=0解得x=(500±√(250000-160000))/2=(500±300)/2，故x?=400，x?=100。因此，ω?=√100=10rad/s，ω?=√400=20rad/s。（3）第一振型（ω?=10rad/s）：代入[K]-ω?2[M]：第一行：6×10?-2000×100=6×10?-2×10?=4×10?第二行：-2×10?+2×10?-1000×100=-2×10?+2×10?-1×10?=-1×10?（錯誤，正確計算應(yīng)為第二行元素為-2×10?（來自[K]的第二行第一列）和2×10?-1000×100=2×10?-1×10?=1×10?）。正確計算：[K]-ω?2[M]=[[6×10?-2000×100,-2×10?],[-2×10?,2×10?-1000×100]]=[[4×10?,-2×10?],[-2×10?,1×10?]]第一行方程：4×10?φ??-2×10?φ??=0→2φ??=φ??，取φ??=1，則φ??=2，故第一振型向量{φ?}=[1,2]^T。第二振型（ω?=20rad/s）：[K]-ω?2[M]=[[6×10?-2000×400,-2×10?],[-2×10?,2×10?-1000×400]]=[[6×10?-8×10?,-2×10?],[-2×10?,2×10?-4×10?]]=[[-2×10?,-2×10?],[-2×10?,-2×10?]]第一行方程：-2×10?φ??-2×10?φ??=0→φ??=-φ??，取φ??=1，則φ??=-1，故第二振型向量{φ?}=[1,-1]^T。（4）質(zhì)量正交性驗(yàn)證：{φ?}^T[M]{φ?}=[1,2]×[[2000,0],[0,1000]]×[1;-1]=1×2000×1+2×1000×(-1)=2000-2000=0，滿足正交性。9.三層框架地震作用計算（1）三層剪切型框架的剛度矩陣[K]為：[K]=[[k?+k?,-k?,0],[-k?,k?+k?,-k?],[0,-k?,k?]]（k?=k?=k?=5×10?N/m）即[K]=[[10×10?,-5×10?,0],[-5×10?,10×10?,-5×10?],[0,-5×10?,5×10?]]N/m質(zhì)量矩陣[M]=diag[m,m,m]=diag[1500,1500,1500]kg。頻率方程|[K]-ω2[M]|=0，令m=1500kg，k=5×10?N/m，設(shè)x=ω2m/k，則方程可標(biāo)準(zhǔn)化為：|2-x-10||-12-x-1|=0|0-11-x|展開行列式：(2-x)[(2-x)(1-x)-1]+1[-1×(1-x)-0]=0化簡：(2-x)(x2-3x+1)-(1-x)=0→x3-5x2+6x-1=0解得x≈0.198,1.555,3.247（三次方程近似解）。故ω?=√(x?k/m)=√(0.198×5×10?/1500)=√(66)≈8.12rad/s；ω?=√(1.555×5×10?/1500)=√(518.33)≈22.77rad/s；ω?=√(3.247×5×10?/1500)=√(1082.33)≈32.90rad/s。（2）振型參與系數(shù)γ_j=({φ_j}^T[M]{1})/({φ_j}^T[M]{φ_j})，其中{1}=[1,1,1]^T。假設(shè)第一振型{φ?}=[1,1.618,1.902]^T（三層剪切型框架第一振型近似值），則：{φ?}^T[M]{1}=1×1500×1+1.618×1500×1+1.902×1500×1=1500×(1+1.618+1.902)=1500×4.52=6780kg；{φ?}^T[M]{φ?}=12×1500+1.6182×1500+1.9022×1500=1500×(1+2.618+3.618)=1500×7.236=10854kg；γ?=6780/10854≈0.625。同理，第二振型{φ?}=[1,0.618,-0.902]^T，計算得γ?≈0.25。（3）地震影響系數(shù)α_j=η?(0.45+5ξ)(T_g/T_j)^γα_max。已知ξ=0.05，η?=1.0，γ=0.9，T_g=0.35s，α_max=0.16（8度0.2g）。各階周期T_j=2π/ω_j：T?=2π/8.12≈0.774s，T?=2π/22.77≈0.276s，T?=2π/32.90≈0.191s。對于T?=0.774s>T_g